Theorem leexp2rd 14052

Description: Ordering relationship for exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
leexp2rd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
leexp2rd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
leexp2rd.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
leexp2rd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 1)

Assertion

Ref	Expression
leexp2rd	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐴↑𝑀))

Proof of Theorem leexp2rd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		leexp2rd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3		leexp2rd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		leexp2rd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
5		leexp2rd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 1)
6		leexp2r 13972	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)) → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐴↑𝑀))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	syl32anc 1377	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐴↑𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5087  ‘cfv 6466  (class class class)co 7317  ℝcr 10950  0cc0 10951  1c1 10952   ≤ cle 11090  ℕ₀cn0 12313  ℤ_≥cuz 12662  ↑cexp 13862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-om 7760  df-2nd 7879  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-er 8548  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-nn 12054  df-n0 12314  df-z 12400  df-uz 12663  df-seq 13802  df-exp 13863

This theorem is referenced by:  eftlub  15897  sin01bnd  15973  cos01bnd  15974  sin01gt0  15978  ftalem5  26309  wallispilem1  43856