Theorem lt2sqd 14216

Description: The square function on nonnegative reals is strictly monotonic. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqgt0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lt2sqd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lt2sqd.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
lt2sqd.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lt2sqd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴↑2) < (𝐵↑2)))

Proof of Theorem lt2sqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqgt0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lt2sqd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		lt2sqd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		lt2sqd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		lt2sq 14095	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴↑2) < (𝐵↑2)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴↑2) < (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148  (class class class)co 7406  ℝcr 11106  0cc0 11107   < clt 11245   ≤ cle 11246  2c2 12264  ↑cexp 14024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-seq 13964  df-exp 14025

This theorem is referenced by:  nonsq  16692  pythagtriplem10  16750  pockthg  16836  minveclem3b  24937  minveclem3  24938  minveclem4  24941  tangtx  26007  tanregt0  26040  bndatandm  26424  basellem8  26582  chpub  26713  bposlem6  26782  bposlem7  26783  2sqblem  26924  minvecolem4  30121  minvecolem5  30122  sqsscirc1  32877  areacirclem1  36565  areacirclem4  36568  areacirclem5  36569  areacirc  36570  cntotbnd  36653  rrndstprj2  36688  pell14qrgt0  41583  pell14qrgapw  41600  rmspecnonsq  41631  rmspecfund  41633  rmspecpos  41641