MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leexp2r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leexp2r 14085
Description: Weak ordering relationship for exponentiation of a fixed real base in [0, 1] to integer exponents. (Contributed by Paul Chapman, 14-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
leexp2r (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))

Proof of Theorem leexp2r
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘€))
21breq1d 5116 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€) โ†” (๐ดโ†‘๐‘€) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
32imbi2d 341 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))))
4 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
54breq1d 5116 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€) โ†” (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
65imbi2d 341 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))))
7 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)))
87breq1d 5116 . . . . . . 7 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€) โ†” (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
98imbi2d 341 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))))
10 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘))
1110breq1d 5116 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€) โ†” (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
1211imbi2d 341 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))))
13 reexpcl 13990 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
1413adantr 482 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
1514leidd 11726 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))
16 simprll 778 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
17 1red 11161 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
18 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
19 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
20 eluznn0 12847 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
2118, 19, 20syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
22 reexpcl 13990 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
2316, 21, 22syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
24 simprrl 780 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
25 expge0 14010 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜))
2616, 21, 24, 25syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜))
27 simprrr 781 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ ๐ด โ‰ค 1)
2816, 17, 23, 26, 27lemul2ad 12100 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท 1))
2916recnd 11188 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
30 expp1 13980 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
3129, 21, 30syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
3223recnd 11188 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3332mulid1d 11177 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท 1) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
3433eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท 1))
3528, 31, 343brtr4d 5138 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜))
36 peano2nn0 12458 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
3721, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
38 reexpcl 13990 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
3916, 37, 38syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
4013ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
41 letr 11254 . . . . . . . . . 10 (((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆง (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
4239, 23, 40, 41syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆง (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
4335, 42mpand 694 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
4443ex 414 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))))
4544a2d 29 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))))
463, 6, 9, 12, 15, 45uzind4i 12840 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
4746expd 417 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))))
4847com12 32 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))))
49483impia 1118 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
5049imp 408 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โ‰ค cle 11195  โ„•0cn0 12418  โ„คโ‰ฅcuz 12768  โ†‘cexp 13973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-seq 13913  df-exp 13974
This theorem is referenced by:  exple1  14087  leexp2rd  14164
  Copyright terms: Public domain W3C validator