MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leexp2r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leexp2r 14143
Description: Weak ordering relationship for exponentiation of a fixed real base in [0, 1] to integer exponents. (Contributed by Paul Chapman, 14-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
leexp2r (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))

Proof of Theorem leexp2r
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘€))
21breq1d 5157 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€) โ†” (๐ดโ†‘๐‘€) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
32imbi2d 339 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))))
4 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
54breq1d 5157 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€) โ†” (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
65imbi2d 339 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))))
7 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)))
87breq1d 5157 . . . . . . 7 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€) โ†” (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
98imbi2d 339 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))))
10 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘))
1110breq1d 5157 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€) โ†” (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
1211imbi2d 339 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))))
13 reexpcl 14048 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
1413adantr 479 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
1514leidd 11784 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))
16 simprll 775 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
17 1red 11219 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
18 simprlr 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
19 simpl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
20 eluznn0 12905 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
2118, 19, 20syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
22 reexpcl 14048 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
2316, 21, 22syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
24 simprrl 777 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
25 expge0 14068 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜))
2616, 21, 24, 25syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜))
27 simprrr 778 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ ๐ด โ‰ค 1)
2816, 17, 23, 26, 27lemul2ad 12158 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท 1))
2916recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
30 expp1 14038 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
3129, 21, 30syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
3223recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3332mulridd 11235 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท 1) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
3433eqcomd 2736 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท 1))
3528, 31, 343brtr4d 5179 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜))
36 peano2nn0 12516 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
3721, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
38 reexpcl 14048 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
3916, 37, 38syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
4013ad2antrl 724 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
41 letr 11312 . . . . . . . . . 10 (((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆง (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
4239, 23, 40, 41syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆง (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
4335, 42mpand 691 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
4443ex 411 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))))
4544a2d 29 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))))
463, 6, 9, 12, 15, 45uzind4i 12898 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
4746expd 414 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))))
4847com12 32 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))))
49483impia 1115 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
5049imp 405 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253  โ„•0cn0 12476  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ†‘cexp 14031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13971  df-exp 14032
This theorem is referenced by:  exple1  14145  leexp2rd  14222
  Copyright terms: Public domain W3C validator