MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasumlem3 26647
Description: Lemma for dchrvmasum 26673. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrvmasum.f ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ ℂ)
dchrvmasum.g (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → 𝐹 = 𝐾)
dchrvmasum.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasum.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
dchrvmasum.1 ((𝜑𝑚 ∈ (3[,)+∞)) → (abs‘(𝐹𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
dchrvmasum.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
dchrvmasum.2 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (1[,)3)(abs‘(𝐹𝑇)) ≤ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚, 1   𝑚,𝑑,𝑥,𝐶   𝐹,𝑑,𝑥   𝑚,𝐾   𝑚,𝑁,𝑥   𝜑,𝑑,𝑚,𝑥   𝑇,𝑑,𝑚,𝑥   𝑅,𝑑,𝑚,𝑥   𝑚,𝑍,𝑥   𝐷,𝑚,𝑥   𝐿,𝑑,𝑚,𝑥   𝑋,𝑑,𝑚,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐹(𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑑)   𝐾(𝑥,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasumlem3
StepHypRef Expression
1 1red 10976 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2 rpvmasum.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 rpvmasum.l . . 3 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
4 rpvmasum.a . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
5 rpvmasum.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
6 rpvmasum.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
7 rpvmasum.1 . . 3 1 = (0g𝐺)
8 dchrisum.b . . 3 (𝜑𝑋𝐷)
9 dchrisum.n1 . . 3 (𝜑𝑋1 )
10 dchrvmasum.f . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ ℂ)
11 dchrvmasum.g . . 3 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → 𝐹 = 𝐾)
12 dchrvmasum.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
13 dchrvmasum.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
14 dchrvmasum.1 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ (3[,)+∞)) → (abs‘(𝐹𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
15 dchrvmasum.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
16 dchrvmasum.2 . . 3 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (1[,)3)(abs‘(𝐹𝑇)) ≤ 𝑅)
172, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16dchrvmasumlem2 26646 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ∈ 𝑂(1))
18 fzfid 13693 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
1911eleq1d 2823 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → (𝐹 ∈ ℂ ↔ 𝐾 ∈ ℂ))
2010ralrimiva 3103 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℝ+ 𝐹 ∈ ℂ)
2120ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ∀𝑚 ∈ ℝ+ 𝐹 ∈ ℂ)
22 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
23 elfznn 13285 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℕ)
2423nnrpd 12770 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
25 rpdivcl 12755 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ+)
2622, 24, 25syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ+)
2719, 21, 26rspcdva 3562 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐾 ∈ ℂ)
2813ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑇 ∈ ℂ)
2927, 28subcld 11332 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐾𝑇) ∈ ℂ)
3029abscld 15148 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝐾𝑇)) ∈ ℝ)
3123adantl 482 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℕ)
3230, 31nndivred 12027 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑) ∈ ℝ)
3318, 32fsumrecl 15446 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑) ∈ ℝ)
348ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋𝐷)
35 elfzelz 13256 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℤ)
3635adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℤ)
375, 2, 6, 3, 34, 36dchrzrhcl 26393 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿𝑑)) ∈ ℂ)
38 mucl 26290 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ℕ → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
3931, 38syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
4039zred 12426 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
4140, 31nndivred 12027 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
4241recnd 11003 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
4337, 42mulcld 10995 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
4443, 29mulcld 10995 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇)) ∈ ℂ)
4518, 44fsumcl 15445 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇)) ∈ ℂ)
4645abscld 15148 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇))) ∈ ℝ)
4733recnd 11003 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑) ∈ ℂ)
4847abscld 15148 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ∈ ℝ)
4944abscld 15148 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇))) ∈ ℝ)
5018, 49fsumrecl 15446 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇))) ∈ ℝ)
5118, 44fsumabs 15513 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇))) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇))))
5243abscld 15148 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) ∈ ℝ)
5331nnrecred 12024 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
5429absge0d 15156 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘(𝐾𝑇)))
5537, 42absmuld 15166 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) = ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑑))) · (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑))))
5637abscld 15148 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑑))) ∈ ℝ)
57 1red 10976 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ)
5842abscld 15148 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℝ)
5937absge0d 15156 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑑))))
6042absge0d 15156 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)))
61 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
624nnnn0d 12293 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
632, 61, 3znzrhfo 20755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
65 fof 6688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
6766ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
6867, 36ffvelrnd 6962 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐿𝑑) ∈ (Base‘𝑍))
695, 6, 2, 61, 34, 68dchrabs2 26410 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑑))) ≤ 1)
7040recnd 11003 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
7131nncnd 11989 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℂ)
7231nnne0d 12023 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ≠ 0)
7370, 71, 72absdivd 15167 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)) = ((abs‘(μ‘𝑑)) / (abs‘𝑑)))
7431nnrpd 12770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
7574rprege0d 12779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑑))
76 absid 15008 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑑) → (abs‘𝑑) = 𝑑)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘𝑑) = 𝑑)
7877oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(μ‘𝑑)) / (abs‘𝑑)) = ((abs‘(μ‘𝑑)) / 𝑑))
7973, 78eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)) = ((abs‘(μ‘𝑑)) / 𝑑))
8070abscld 15148 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(μ‘𝑑)) ∈ ℝ)
81 mule1 26297 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ ℕ → (abs‘(μ‘𝑑)) ≤ 1)
8231, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(μ‘𝑑)) ≤ 1)
8380, 57, 74, 82lediv1dd 12830 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(μ‘𝑑)) / 𝑑) ≤ (1 / 𝑑))
8479, 83eqbrtrd 5096 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)) ≤ (1 / 𝑑))
8556, 57, 58, 53, 59, 60, 69, 84lemul12ad 11917 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑑))) · (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑))) ≤ (1 · (1 / 𝑑)))
8653recnd 11003 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑑) ∈ ℂ)
8786mulid2d 10993 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 · (1 / 𝑑)) = (1 / 𝑑))
8885, 87breqtrd 5100 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑑))) · (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑))) ≤ (1 / 𝑑))
8955, 88eqbrtrd 5096 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) ≤ (1 / 𝑑))
9052, 53, 30, 54, 89lemul1ad 11914 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) · (abs‘(𝐾𝑇))) ≤ ((1 / 𝑑) · (abs‘(𝐾𝑇))))
9143, 29absmuld 15166 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇))) = ((abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) · (abs‘(𝐾𝑇))))
9230recnd 11003 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝐾𝑇)) ∈ ℂ)
9392, 71, 72divrec2d 11755 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑) = ((1 / 𝑑) · (abs‘(𝐾𝑇))))
9490, 91, 933brtr4d 5106 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇))) ≤ ((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑))
9518, 49, 32, 94fsumle 15511 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇))) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑))
9646, 50, 33, 51, 95letrd 11132 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇))) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑))
9733leabsd 15126 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑) ≤ (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)))
9846, 33, 48, 96, 97letrd 11132 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇))) ≤ (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)))
9998adantrr 714 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇))) ≤ (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)))
1001, 17, 33, 45, 99o1le 15364 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064   class class class wbr 5074  cmpt 5157  wf 6429  ontowfo 6431  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876  +∞cpnf 11006  cle 11010  cmin 11205   / cdiv 11632  cn 11973  3c3 12029  0cn0 12233  cz 12319  +crp 12730  [,)cico 13081  ...cfz 13239  cfl 13510  abscabs 14945  𝑂(1)co1 15195  Σcsu 15397  Basecbs 16912  0gc0g 17150  ℤRHomczrh 20701  ℤ/nczn 20704  logclog 25710  μcmu 26244  DChrcdchr 26380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-o1 15199  df-lo1 15200  df-sum 15398  df-ef 15777  df-e 15778  df-sin 15779  df-cos 15780  df-tan 15781  df-pi 15782  df-dvds 15964  df-prm 16377  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-qus 17220  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-nsg 18753  df-eqg 18754  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-od 19136  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-rnghom 19959  df-drng 19993  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-lidl 20436  df-rsp 20437  df-2idl 20503  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-zring 20671  df-zrh 20705  df-zn 20708  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-ulm 25536  df-log 25712  df-cxp 25713  df-atan 26017  df-em 26142  df-mu 26250  df-dchr 26381
This theorem is referenced by:  dchrvmasumiflem1  26649
  Copyright terms: Public domain W3C validator