Theorem dchrvmasumlem3 27674

Description: Lemma for dchrvmasum 27700. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrvmasum.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ ℂ)
dchrvmasum.g	⊢ (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → 𝐹 = 𝐾)
dchrvmasum.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasum.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
dchrvmasum.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (3[,)+∞)) → (abs‘(𝐹 − 𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
dchrvmasum.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
dchrvmasum.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (1[,)3)(abs‘(𝐹 − 𝑇)) ≤ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dchrvmasumlem3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾 − 𝑇))) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚, 1   𝑚,𝑑,𝑥,𝐶   𝐹,𝑑,𝑥   𝑚,𝐾   𝑚,𝑁,𝑥   𝜑,𝑑,𝑚,𝑥   𝑇,𝑑,𝑚,𝑥   𝑅,𝑑,𝑚,𝑥   𝑚,𝑍,𝑥   𝐷,𝑚,𝑥   𝐿,𝑑,𝑚,𝑥   𝑋,𝑑,𝑚,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐹(𝑚)   𝐺(𝑥, 𝑚, 𝑑)   𝐾(𝑥, 𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasumlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11215	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2		rpvmasum.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		rpvmasum.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
4		rpvmasum.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5		rpvmasum.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
6		rpvmasum.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
7		rpvmasum.1	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
8		dchrisum.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
9		dchrisum.n1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
10		dchrvmasum.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ ℂ)
11		dchrvmasum.g	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → 𝐹 = 𝐾)
12		dchrvmasum.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
13		dchrvmasum.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
14		dchrvmasum.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (3[,)+∞)) → (abs‘(𝐹 − 𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
15		dchrvmasum.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
16		dchrvmasum.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (1[,)3)(abs‘(𝐹 − 𝑇)) ≤ 𝑅)
17	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	dchrvmasumlem2 27673	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾 − 𝑇)) / 𝑑)) ∈ 𝑂(1))
18		fzfid 14016	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
19	11	eleq1d 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → (𝐹 ∈ ℂ ↔ 𝐾 ∈ ℂ))
20	10	ralrimiva 3156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℝ+ 𝐹 ∈ ℂ)
21	20	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ∀𝑚 ∈ ℝ+ 𝐹 ∈ ℂ)
22		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
23		elfznn 13588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℕ)
24	23	nnrpd 13064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
25		rpdivcl 13049	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ+)
26	22, 24, 25	syl2an 607	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ+)
27	19, 21, 26	rspcdva 3581	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐾 ∈ ℂ)
28	13	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑇 ∈ ℂ)
29	27, 28	subcld 11575	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐾 − 𝑇) ∈ ℂ)
30	29	abscld 15497	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝐾 − 𝑇)) ∈ ℝ)
31	23	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℕ)
32	30, 31	nndivred 12296	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝐾 − 𝑇)) / 𝑑) ∈ ℝ)
33	18, 32	fsumrecl 15792	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾 − 𝑇)) / 𝑑) ∈ ℝ)
34	8	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
35		elfzelz 13558	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℤ)
36	35	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℤ)
37	5, 2, 6, 3, 34, 36	dchrzrhcl 27420	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑑)) ∈ ℂ)
38		mucl 27316	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
39	31, 38	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
40	39	zred 12706	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
41	40, 31	nndivred 12296	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11243	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
43	37, 42	mulcld 11235	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
44	43, 29	mulcld 11235	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾 − 𝑇)) ∈ ℂ)
45	18, 44	fsumcl 15791	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾 − 𝑇)) ∈ ℂ)
46	45	abscld 15497	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾 − 𝑇))) ∈ ℝ)
47	33	recnd 11243	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾 − 𝑇)) / 𝑑) ∈ ℂ)
48	47	abscld 15497	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾 − 𝑇)) / 𝑑)) ∈ ℝ)
49	44	abscld 15497	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾 − 𝑇))) ∈ ℝ)
50	18, 49	fsumrecl 15792	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾 − 𝑇))) ∈ ℝ)
51	18, 44	fsumabs 15860	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾 − 𝑇))) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾 − 𝑇))))
52	43	abscld 15497	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) ∈ ℝ)
53	31	nnrecred 12293	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
54	29	absge0d 15505	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘(𝐾 − 𝑇)))
55	37, 42	absmuld 15515	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) = ((abs‘(𝑋‘(𝐿‘𝑑))) · (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑))))
56	37	abscld 15497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝑋‘(𝐿‘𝑑))) ∈ ℝ)
57		1red 11215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ)
58	42	abscld 15497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℝ)
59	37	absge0d 15505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘(𝑋‘(𝐿‘𝑑))))
60	42	absge0d 15505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)))
61		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
62	4	nnnn0d 12571	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
63	2, 61, 3	znzrhfo 21708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
64	62, 63	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
65		fof 6792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
66	64, 65	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
67	66	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
68	67, 36	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐿‘𝑑) ∈ (Base‘𝑍))
69	5, 6, 2, 61, 34, 68	dchrabs2 27437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝑋‘(𝐿‘𝑑))) ≤ 1)
70	40	recnd 11243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
71	31	nncnd 12255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℂ)
72	31	nnne0d 12292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ≠ 0)
73	70, 71, 72	absdivd 15516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)) = ((abs‘(μ‘𝑑)) / (abs‘𝑑)))
74	31	nnrpd 13064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
75	74	rprege0d 13073	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑑))
76		absid 15354	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑑) → (abs‘𝑑) = 𝑑)
77	75, 76	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘𝑑) = 𝑑)
78	77	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(μ‘𝑑)) / (abs‘𝑑)) = ((abs‘(μ‘𝑑)) / 𝑑))
79	73, 78	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)) = ((abs‘(μ‘𝑑)) / 𝑑))
80	70	abscld 15497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(μ‘𝑑)) ∈ ℝ)
81		mule1 27323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → (abs‘(μ‘𝑑)) ≤ 1)
82	31, 81	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(μ‘𝑑)) ≤ 1)
83	80, 57, 74, 82	lediv1dd 13124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(μ‘𝑑)) / 𝑑) ≤ (1 / 𝑑))
84	79, 83	eqbrtrd 5132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)) ≤ (1 / 𝑑))
85	56, 57, 58, 53, 59, 60, 69, 84	lemul12ad 12163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿‘𝑑))) · (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑))) ≤ (1 · (1 / 𝑑)))
86	53	recnd 11243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑑) ∈ ℂ)
87	86	mullidd 11233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 · (1 / 𝑑)) = (1 / 𝑑))
88	85, 87	breqtrd 5136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿‘𝑑))) · (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑))) ≤ (1 / 𝑑))
89	55, 88	eqbrtrd 5132	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) ≤ (1 / 𝑑))
90	52, 53, 30, 54, 89	lemul1ad 12160	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) · (abs‘(𝐾 − 𝑇))) ≤ ((1 / 𝑑) · (abs‘(𝐾 − 𝑇))))
91	43, 29	absmuld 15515	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾 − 𝑇))) = ((abs‘((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) · (abs‘(𝐾 − 𝑇))))
92	30	recnd 11243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝐾 − 𝑇)) ∈ ℂ)
93	92, 71, 72	divrec2d 12001	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝐾 − 𝑇)) / 𝑑) = ((1 / 𝑑) · (abs‘(𝐾 − 𝑇))))
94	90, 91, 93	3brtr4d 5142	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾 − 𝑇))) ≤ ((abs‘(𝐾 − 𝑇)) / 𝑑))
95	18, 49, 32, 94	fsumle 15858	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾 − 𝑇))) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾 − 𝑇)) / 𝑑))
96	46, 50, 33, 51, 95	letrd 11373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾 − 𝑇))) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾 − 𝑇)) / 𝑑))
97	33	leabsd 15473	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾 − 𝑇)) / 𝑑) ≤ (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾 − 𝑇)) / 𝑑)))
98	46, 33, 48, 96, 97	letrd 11373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾 − 𝑇))) ≤ (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾 − 𝑇)) / 𝑑)))
99	98	adantrr 729	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾 − 𝑇))) ≤ (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾 − 𝑇)) / 𝑑)))
100	1, 17, 33, 45, 99	o1le 15711	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿‘𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾 − 𝑇))) ∈ 𝑂(1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ⟶wf 6532  –onto→wfo 6534  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111  +∞cpnf 11246   ≤ cle 11250   − cmin 11447   / cdiv 11877  ℕcn 12239  3c3 12302  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12597  ℝ⁺crp 13022  [,)cico 13380  ...cfz 13541  ⌊cfl 13830  abscabs 15292  𝑂(1)co1 15544  Σcsu 15744  Basecbs 17275  0_gc0g 17498  ℤRHomczrh 21660  ℤ/nℤczn 21663  logclog 26730  μcmu 27270  DChrcdchr 27407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-oadd 8455  df-omul 8456  df-er 8692  df-ec 8694  df-qs 8698  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9932  df-acn 9935  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-fac 14317  df-bc 14346  df-hash 14374  df-shft 15111  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-limsup 15529  df-clim 15546  df-rlim 15547  df-o1 15548  df-lo1 15549  df-sum 15745  df-ef 16127  df-e 16128  df-sin 16129  df-cos 16130  df-tan 16131  df-pi 16132  df-dvds 16317  df-prm 16736  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-rest 17481  df-topn 17482  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-topgen 17502  df-pt 17503  df-prds 17506  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-qus 17569  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-nsg 19196  df-eqg 19197  df-ghm 19290  df-cntz 19393  df-od 19604  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-oppr 20426  df-dvdsr 20446  df-unit 20447  df-invr 20477  df-dvr 20490  df-rhm 20561  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-drng 20840  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-lsp 21104  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-lidl 21343  df-rsp 21344  df-2idl 21400  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-fbas 21530  df-fg 21531  df-cnfld 21534  df-zring 21608  df-zrh 21664  df-zn 21667  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-cld 23187  df-ntr 23188  df-cls 23189  df-nei 23266  df-lp 23304  df-perf 23305  df-cn 23395  df-cnp 23396  df-haus 23483  df-cmp 23555  df-tx 23730  df-hmeo 23923  df-fil 24014  df-fm 24106  df-flim 24107  df-flf 24108  df-xms 24488  df-ms 24489  df-tms 24490  df-cncf 25048  df-limc 26036  df-dv 26037  df-ulm 26551  df-log 26732  df-cxp 26733  df-atan 27043  df-em 27168  df-mu 27276  df-dchr 27408

This theorem is used by:  dchrvmasumiflem1  27676