MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasumlem3 25644
Description: Lemma for dchrvmasum 25670. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrvmasum.f ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ ℂ)
dchrvmasum.g (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → 𝐹 = 𝐾)
dchrvmasum.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasum.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
dchrvmasum.1 ((𝜑𝑚 ∈ (3[,)+∞)) → (abs‘(𝐹𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
dchrvmasum.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
dchrvmasum.2 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (1[,)3)(abs‘(𝐹𝑇)) ≤ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚, 1   𝑚,𝑑,𝑥,𝐶   𝐹,𝑑,𝑥   𝑚,𝐾   𝑚,𝑁,𝑥   𝜑,𝑑,𝑚,𝑥   𝑇,𝑑,𝑚,𝑥   𝑅,𝑑,𝑚,𝑥   𝑚,𝑍,𝑥   𝐷,𝑚,𝑥   𝐿,𝑑,𝑚,𝑥   𝑋,𝑑,𝑚,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐹(𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑑)   𝐾(𝑥,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasumlem3
StepHypRef Expression
1 1red 10379 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2 rpvmasum.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 rpvmasum.l . . 3 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
4 rpvmasum.a . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
5 rpvmasum.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
6 rpvmasum.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
7 rpvmasum.1 . . 3 1 = (0g𝐺)
8 dchrisum.b . . 3 (𝜑𝑋𝐷)
9 dchrisum.n1 . . 3 (𝜑𝑋1 )
10 dchrvmasum.f . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ ℂ)
11 dchrvmasum.g . . 3 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → 𝐹 = 𝐾)
12 dchrvmasum.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
13 dchrvmasum.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
14 dchrvmasum.1 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ (3[,)+∞)) → (abs‘(𝐹𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
15 dchrvmasum.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
16 dchrvmasum.2 . . 3 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (1[,)3)(abs‘(𝐹𝑇)) ≤ 𝑅)
172, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16dchrvmasumlem2 25643 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ∈ 𝑂(1))
18 fzfid 13095 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
1911eleq1d 2844 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → (𝐹 ∈ ℂ ↔ 𝐾 ∈ ℂ))
2010ralrimiva 3148 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℝ+ 𝐹 ∈ ℂ)
2120ad2antrr 716 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ∀𝑚 ∈ ℝ+ 𝐹 ∈ ℂ)
22 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
23 elfznn 12691 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℕ)
2423nnrpd 12183 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
25 rpdivcl 12168 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ+)
2622, 24, 25syl2an 589 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ+)
2719, 21, 26rspcdva 3517 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐾 ∈ ℂ)
2813ad2antrr 716 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑇 ∈ ℂ)
2927, 28subcld 10736 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐾𝑇) ∈ ℂ)
3029abscld 14587 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝐾𝑇)) ∈ ℝ)
3123adantl 475 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℕ)
3230, 31nndivred 11433 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑) ∈ ℝ)
3318, 32fsumrecl 14876 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑) ∈ ℝ)
348ad2antrr 716 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋𝐷)
35 elfzelz 12663 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℤ)
3635adantl 475 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℤ)
375, 2, 6, 3, 34, 36dchrzrhcl 25426 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿𝑑)) ∈ ℂ)
38 mucl 25323 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ℕ → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
3931, 38syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑑) ∈ ℤ)
4039zred 11838 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑑) ∈ ℝ)
4140, 31nndivred 11433 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℝ)
4241recnd 10407 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑑) / 𝑑) ∈ ℂ)
4337, 42mulcld 10399 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℂ)
4443, 29mulcld 10399 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇)) ∈ ℂ)
4518, 44fsumcl 14875 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇)) ∈ ℂ)
4645abscld 14587 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇))) ∈ ℝ)
4733recnd 10407 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑) ∈ ℂ)
4847abscld 14587 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ∈ ℝ)
4944abscld 14587 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇))) ∈ ℝ)
5018, 49fsumrecl 14876 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇))) ∈ ℝ)
5118, 44fsumabs 14941 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇))) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇))))
5243abscld 14587 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) ∈ ℝ)
5331nnrecred 11430 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
5429absge0d 14595 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘(𝐾𝑇)))
5537, 42absmuld 14605 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) = ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑑))) · (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑))))
5637abscld 14587 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑑))) ∈ ℝ)
57 1red 10379 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ)
5842abscld 14587 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)) ∈ ℝ)
5937absge0d 14595 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑑))))
6042absge0d 14595 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)))
61 eqid 2778 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
624nnnn0d 11706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
632, 61, 3znzrhfo 20295 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
65 fof 6368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
6766ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
6867, 36ffvelrnd 6626 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐿𝑑) ∈ (Base‘𝑍))
695, 6, 2, 61, 34, 68dchrabs2 25443 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑑))) ≤ 1)
7040recnd 10407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑑) ∈ ℂ)
7131nncnd 11396 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℂ)
7231nnne0d 11429 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ≠ 0)
7370, 71, 72absdivd 14606 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)) = ((abs‘(μ‘𝑑)) / (abs‘𝑑)))
7431nnrpd 12183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
7574rprege0d 12192 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑑))
76 absid 14447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑑) → (abs‘𝑑) = 𝑑)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘𝑑) = 𝑑)
7877oveq2d 6940 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(μ‘𝑑)) / (abs‘𝑑)) = ((abs‘(μ‘𝑑)) / 𝑑))
7973, 78eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)) = ((abs‘(μ‘𝑑)) / 𝑑))
8070abscld 14587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(μ‘𝑑)) ∈ ℝ)
81 mule1 25330 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ ℕ → (abs‘(μ‘𝑑)) ≤ 1)
8231, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(μ‘𝑑)) ≤ 1)
8380, 57, 74, 82lediv1dd 12243 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(μ‘𝑑)) / 𝑑) ≤ (1 / 𝑑))
8479, 83eqbrtrd 4910 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑)) ≤ (1 / 𝑑))
8556, 57, 58, 53, 59, 60, 69, 84lemul12ad 11322 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑑))) · (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑))) ≤ (1 · (1 / 𝑑)))
8653recnd 10407 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑑) ∈ ℂ)
8786mulid2d 10397 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 · (1 / 𝑑)) = (1 / 𝑑))
8885, 87breqtrd 4914 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑑))) · (abs‘((μ‘𝑑) / 𝑑))) ≤ (1 / 𝑑))
8955, 88eqbrtrd 4910 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) ≤ (1 / 𝑑))
9052, 53, 30, 54, 89lemul1ad 11319 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) · (abs‘(𝐾𝑇))) ≤ ((1 / 𝑑) · (abs‘(𝐾𝑇))))
9143, 29absmuld 14605 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇))) = ((abs‘((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑))) · (abs‘(𝐾𝑇))))
9230recnd 10407 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝐾𝑇)) ∈ ℂ)
9392, 71, 72divrec2d 11157 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑) = ((1 / 𝑑) · (abs‘(𝐾𝑇))))
9490, 91, 933brtr4d 4920 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇))) ≤ ((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑))
9518, 49, 32, 94fsumle 14939 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇))) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑))
9646, 50, 33, 51, 95letrd 10535 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇))) ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑))
9733leabsd 14565 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑) ≤ (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)))
9846, 33, 48, 96, 97letrd 10535 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇))) ≤ (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)))
9998adantrr 707 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇))) ≤ (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)))
1001, 17, 33, 45, 99o1le 14795 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑑)) · ((μ‘𝑑) / 𝑑)) · (𝐾𝑇))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wral 3090   class class class wbr 4888  cmpt 4967  wf 6133  ontowfo 6135  cfv 6137  (class class class)co 6924  cc 10272  cr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   · cmul 10279  +∞cpnf 10410  cle 10414  cmin 10608   / cdiv 11034  cn 11378  3c3 11435  0cn0 11646  cz 11732  +crp 12141  [,)cico 12493  ...cfz 12647  cfl 12914  abscabs 14385  𝑂(1)co1 14629  Σcsu 14828  Basecbs 16259  0gc0g 16490  ℤRHomczrh 20248  ℤ/nczn 20251  logclog 24742  μcmu 25277  DChrcdchr 25413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-disj 4857  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-tpos 7636  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-omul 7850  df-er 8028  df-ec 8030  df-qs 8034  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-acn 9103  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-q 12100  df-rp 12142  df-xneg 12261  df-xadd 12262  df-xmul 12263  df-ioo 12495  df-ioc 12496  df-ico 12497  df-icc 12498  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-fl 12916  df-mod 12992  df-seq 13124  df-exp 13183  df-fac 13383  df-bc 13412  df-hash 13440  df-shft 14218  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-limsup 14614  df-clim 14631  df-rlim 14632  df-o1 14633  df-lo1 14634  df-sum 14829  df-ef 15204  df-e 15205  df-sin 15206  df-cos 15207  df-pi 15209  df-dvds 15392  df-prm 15795  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-starv 16357  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-ip 16360  df-tset 16361  df-ple 16362  df-ds 16364  df-unif 16365  df-hom 16366  df-cco 16367  df-rest 16473  df-topn 16474  df-0g 16492  df-gsum 16493  df-topgen 16494  df-pt 16495  df-prds 16498  df-xrs 16552  df-qtop 16557  df-imas 16558  df-qus 16559  df-xps 16560  df-mre 16636  df-mrc 16637  df-acs 16639  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-mhm 17725  df-submnd 17726  df-grp 17816  df-minusg 17817  df-sbg 17818  df-mulg 17932  df-subg 17979  df-nsg 17980  df-eqg 17981  df-ghm 18046  df-cntz 18137  df-od 18336  df-cmn 18585  df-abl 18586  df-mgp 18881  df-ur 18893  df-ring 18940  df-cring 18941  df-oppr 19014  df-dvdsr 19032  df-unit 19033  df-invr 19063  df-dvr 19074  df-rnghom 19108  df-drng 19145  df-subrg 19174  df-lmod 19261  df-lss 19329  df-lsp 19371  df-sra 19573  df-rgmod 19574  df-lidl 19575  df-rsp 19576  df-2idl 19633  df-psmet 20138  df-xmet 20139  df-met 20140  df-bl 20141  df-mopn 20142  df-fbas 20143  df-fg 20144  df-cnfld 20147  df-zring 20219  df-zrh 20252  df-zn 20255  df-top 21110  df-topon 21127  df-topsp 21149  df-bases 21162  df-cld 21235  df-ntr 21236  df-cls 21237  df-nei 21314  df-lp 21352  df-perf 21353  df-cn 21443  df-cnp 21444  df-haus 21531  df-cmp 21603  df-tx 21778  df-hmeo 21971  df-fil 22062  df-fm 22154  df-flim 22155  df-flf 22156  df-xms 22537  df-ms 22538  df-tms 22539  df-cncf 23093  df-limc 24071  df-dv 24072  df-log 24744  df-cxp 24745  df-em 25175  df-mu 25283  df-dchr 25414
This theorem is referenced by:  dchrvmasumiflem1  25646
  Copyright terms: Public domain W3C validator