MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasumlem3 27002
Description: Lemma for dchrvmasum 27028. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
dchrvmasum.f ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ∈ β„‚)
dchrvmasum.g (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ 𝐹 = 𝐾)
dchrvmasum.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasum.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
dchrvmasum.1 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ (absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐢 Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)))
dchrvmasum.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
dchrvmasum.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ (1[,)3)(absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š, 1   π‘š,𝑑,π‘₯,𝐢   𝐹,𝑑,π‘₯   π‘š,𝐾   π‘š,𝑁,π‘₯   πœ‘,𝑑,π‘š,π‘₯   𝑇,𝑑,π‘š,π‘₯   𝑅,𝑑,π‘š,π‘₯   π‘š,𝑍,π‘₯   𝐷,π‘š,π‘₯   𝐿,𝑑,π‘š,π‘₯   𝑋,𝑑,π‘š,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐹(π‘š)   𝐺(π‘₯,π‘š,𝑑)   𝐾(π‘₯,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasumlem3
StepHypRef Expression
1 1red 11215 . 2 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
2 rpvmasum.z . . 3 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 rpvmasum.l . . 3 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
4 rpvmasum.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
5 rpvmasum.g . . 3 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
6 rpvmasum.d . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
7 rpvmasum.1 . . 3 1 = (0gβ€˜πΊ)
8 dchrisum.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
9 dchrisum.n1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
10 dchrvmasum.f . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ∈ β„‚)
11 dchrvmasum.g . . 3 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ 𝐹 = 𝐾)
12 dchrvmasum.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
13 dchrvmasum.t . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
14 dchrvmasum.1 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ (absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐢 Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)))
15 dchrvmasum.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
16 dchrvmasum.2 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ (1[,)3)(absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ 𝑅)
172, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16dchrvmasumlem2 27001 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑)) ∈ 𝑂(1))
18 fzfid 13938 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
1911eleq1d 2819 . . . . . . 7 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ (𝐹 ∈ β„‚ ↔ 𝐾 ∈ β„‚))
2010ralrimiva 3147 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ ℝ+ 𝐹 ∈ β„‚)
2120ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ βˆ€π‘š ∈ ℝ+ 𝐹 ∈ β„‚)
22 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
23 elfznn 13530 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
2423nnrpd 13014 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
25 rpdivcl 12999 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ+)
2622, 24, 25syl2an 597 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ+)
2719, 21, 26rspcdva 3614 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
2813ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
2927, 28subcld 11571 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝑇) ∈ β„‚)
3029abscld 15383 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) ∈ ℝ)
3123adantl 483 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
3230, 31nndivred 12266 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑) ∈ ℝ)
3318, 32fsumrecl 15680 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑) ∈ ℝ)
348ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
35 elfzelz 13501 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
3635adantl 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
375, 2, 6, 3, 34, 36dchrzrhcl 26748 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
38 mucl 26645 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
3931, 38syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
4039zred 12666 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
4140, 31nndivred 12266 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ ℝ)
4241recnd 11242 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ β„‚)
4337, 42mulcld 11234 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) ∈ β„‚)
4443, 29mulcld 11234 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
4518, 44fsumcl 15679 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
4645abscld 15383 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇))) ∈ ℝ)
4733recnd 11242 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑) ∈ β„‚)
4847abscld 15383 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑)) ∈ ℝ)
4944abscld 15383 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇))) ∈ ℝ)
5018, 49fsumrecl 15680 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇))) ∈ ℝ)
5118, 44fsumabs 15747 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇))) ≀ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇))))
5243abscld 15383 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑))) ∈ ℝ)
5331nnrecred 12263 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
5429absge0d 15391 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)))
5537, 42absmuld 15401 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑))) = ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘))) Β· (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑))))
5637abscld 15383 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
57 1red 11215 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ∈ ℝ)
5842abscld 15383 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) ∈ ℝ)
5937absge0d 15391 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘))))
6042absge0d 15391 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)))
61 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
624nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
632, 61, 3znzrhfo 21103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘))
65 fof 6806 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
6766ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
6867, 36ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (πΏβ€˜π‘‘) ∈ (Baseβ€˜π‘))
695, 6, 2, 61, 34, 68dchrabs2 26765 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘))) ≀ 1)
7040recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
7131nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
7231nnne0d 12262 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 β‰  0)
7370, 71, 72absdivd 15402 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) = ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘‘)) / (absβ€˜π‘‘)))
7431nnrpd 13014 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
7574rprege0d 13023 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑑))
76 absid 15243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑑) β†’ (absβ€˜π‘‘) = 𝑑)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜π‘‘) = 𝑑)
7877oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘‘)) / (absβ€˜π‘‘)) = ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘‘)) / 𝑑))
7973, 78eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) = ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘‘)) / 𝑑))
8070abscld 15383 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
81 mule1 26652 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ β„• β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘‘)) ≀ 1)
8231, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘‘)) ≀ 1)
8380, 57, 74, 82lediv1dd 13074 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘‘)) / 𝑑) ≀ (1 / 𝑑))
8479, 83eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) ≀ (1 / 𝑑))
8556, 57, 58, 53, 59, 60, 69, 84lemul12ad 12156 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘))) Β· (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑))) ≀ (1 Β· (1 / 𝑑)))
8653recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / 𝑑) ∈ β„‚)
8786mullidd 11232 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 Β· (1 / 𝑑)) = (1 / 𝑑))
8885, 87breqtrd 5175 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘))) Β· (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑))) ≀ (1 / 𝑑))
8955, 88eqbrtrd 5171 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑))) ≀ (1 / 𝑑))
9052, 53, 30, 54, 89lemul1ad 12153 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑))) Β· (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇))) ≀ ((1 / 𝑑) Β· (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇))))
9143, 29absmuld 15401 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇))) = ((absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑))) Β· (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇))))
9230recnd 11242 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
9392, 71, 72divrec2d 11994 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑) = ((1 / 𝑑) Β· (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇))))
9490, 91, 933brtr4d 5181 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇))) ≀ ((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑))
9518, 49, 32, 94fsumle 15745 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇))) ≀ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑))
9646, 50, 33, 51, 95letrd 11371 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇))) ≀ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑))
9733leabsd 15361 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑) ≀ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑)))
9846, 33, 48, 96, 97letrd 11371 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇))) ≀ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑)))
9998adantrr 716 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇))) ≀ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑)))
1001, 17, 33, 45, 99o1le 15599 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  3c3 12268  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„+crp 12974  [,)cico 13326  ...cfz 13484  βŒŠcfl 13755  abscabs 15181  π‘‚(1)co1 15430  Ξ£csu 15632  Basecbs 17144  0gc0g 17385  β„€RHomczrh 21049  β„€/nβ„€czn 21052  logclog 26063  ΞΌcmu 26599  DChrcdchr 26735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-o1 15434  df-lo1 15435  df-sum 15633  df-ef 16011  df-e 16012  df-sin 16013  df-cos 16014  df-tan 16015  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-prm 16609  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-qus 17455  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-eqg 19005  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-od 19396  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-rsp 20788  df-2idl 20857  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-zn 21056  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-ulm 25889  df-log 26065  df-cxp 26066  df-atan 26372  df-em 26497  df-mu 26605  df-dchr 26736
This theorem is referenced by:  dchrvmasumiflem1  27004
  Copyright terms: Public domain W3C validator