MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasumlem3 27239
Description: Lemma for dchrvmasum 27265. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
dchrvmasum.f ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ∈ β„‚)
dchrvmasum.g (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ 𝐹 = 𝐾)
dchrvmasum.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasum.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
dchrvmasum.1 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ (absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐢 Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)))
dchrvmasum.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
dchrvmasum.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ (1[,)3)(absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š, 1   π‘š,𝑑,π‘₯,𝐢   𝐹,𝑑,π‘₯   π‘š,𝐾   π‘š,𝑁,π‘₯   πœ‘,𝑑,π‘š,π‘₯   𝑇,𝑑,π‘š,π‘₯   𝑅,𝑑,π‘š,π‘₯   π‘š,𝑍,π‘₯   𝐷,π‘š,π‘₯   𝐿,𝑑,π‘š,π‘₯   𝑋,𝑑,π‘š,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐹(π‘š)   𝐺(π‘₯,π‘š,𝑑)   𝐾(π‘₯,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasumlem3
StepHypRef Expression
1 1red 11220 . 2 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
2 rpvmasum.z . . 3 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 rpvmasum.l . . 3 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
4 rpvmasum.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
5 rpvmasum.g . . 3 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
6 rpvmasum.d . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
7 rpvmasum.1 . . 3 1 = (0gβ€˜πΊ)
8 dchrisum.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
9 dchrisum.n1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
10 dchrvmasum.f . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ∈ β„‚)
11 dchrvmasum.g . . 3 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ 𝐹 = 𝐾)
12 dchrvmasum.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
13 dchrvmasum.t . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
14 dchrvmasum.1 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ (absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐢 Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)))
15 dchrvmasum.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
16 dchrvmasum.2 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ (1[,)3)(absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ 𝑅)
172, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16dchrvmasumlem2 27238 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑)) ∈ 𝑂(1))
18 fzfid 13943 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
1911eleq1d 2817 . . . . . . 7 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ (𝐹 ∈ β„‚ ↔ 𝐾 ∈ β„‚))
2010ralrimiva 3145 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ ℝ+ 𝐹 ∈ β„‚)
2120ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ βˆ€π‘š ∈ ℝ+ 𝐹 ∈ β„‚)
22 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
23 elfznn 13535 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
2423nnrpd 13019 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
25 rpdivcl 13004 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ+)
2622, 24, 25syl2an 595 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ+)
2719, 21, 26rspcdva 3613 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
2813ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
2927, 28subcld 11576 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝑇) ∈ β„‚)
3029abscld 15388 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) ∈ ℝ)
3123adantl 481 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
3230, 31nndivred 12271 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑) ∈ ℝ)
3318, 32fsumrecl 15685 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑) ∈ ℝ)
348ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
35 elfzelz 13506 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
3635adantl 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
375, 2, 6, 3, 34, 36dchrzrhcl 26985 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
38 mucl 26882 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
3931, 38syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
4039zred 12671 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
4140, 31nndivred 12271 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ ℝ)
4241recnd 11247 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑) ∈ β„‚)
4337, 42mulcld 11239 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) ∈ β„‚)
4443, 29mulcld 11239 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
4518, 44fsumcl 15684 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
4645abscld 15388 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇))) ∈ ℝ)
4733recnd 11247 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑) ∈ β„‚)
4847abscld 15388 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑)) ∈ ℝ)
4944abscld 15388 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇))) ∈ ℝ)
5018, 49fsumrecl 15685 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇))) ∈ ℝ)
5118, 44fsumabs 15752 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇))) ≀ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇))))
5243abscld 15388 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑))) ∈ ℝ)
5331nnrecred 12268 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / 𝑑) ∈ ℝ)
5429absge0d 15396 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)))
5537, 42absmuld 15406 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑))) = ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘))) Β· (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑))))
5637abscld 15388 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
57 1red 11220 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ∈ ℝ)
5842abscld 15388 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) ∈ ℝ)
5937absge0d 15396 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘))))
6042absge0d 15396 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)))
61 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
624nnnn0d 12537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
632, 61, 3znzrhfo 21323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘))
65 fof 6805 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
6766ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
6867, 36ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (πΏβ€˜π‘‘) ∈ (Baseβ€˜π‘))
695, 6, 2, 61, 34, 68dchrabs2 27002 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘))) ≀ 1)
7040recnd 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
7131nncnd 12233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
7231nnne0d 12267 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 β‰  0)
7370, 71, 72absdivd 15407 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) = ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘‘)) / (absβ€˜π‘‘)))
7431nnrpd 13019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
7574rprege0d 13028 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑑))
76 absid 15248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑑) β†’ (absβ€˜π‘‘) = 𝑑)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜π‘‘) = 𝑑)
7877oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘‘)) / (absβ€˜π‘‘)) = ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘‘)) / 𝑑))
7973, 78eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) = ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘‘)) / 𝑑))
8070abscld 15388 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
81 mule1 26889 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ β„• β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘‘)) ≀ 1)
8231, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘‘)) ≀ 1)
8380, 57, 74, 82lediv1dd 13079 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘‘)) / 𝑑) ≀ (1 / 𝑑))
8479, 83eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) ≀ (1 / 𝑑))
8556, 57, 58, 53, 59, 60, 69, 84lemul12ad 12161 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘))) Β· (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑))) ≀ (1 Β· (1 / 𝑑)))
8653recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / 𝑑) ∈ β„‚)
8786mullidd 11237 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 Β· (1 / 𝑑)) = (1 / 𝑑))
8885, 87breqtrd 5174 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘))) Β· (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑))) ≀ (1 / 𝑑))
8955, 88eqbrtrd 5170 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑))) ≀ (1 / 𝑑))
9052, 53, 30, 54, 89lemul1ad 12158 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑))) Β· (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇))) ≀ ((1 / 𝑑) Β· (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇))))
9143, 29absmuld 15406 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇))) = ((absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑))) Β· (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇))))
9230recnd 11247 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
9392, 71, 72divrec2d 11999 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑) = ((1 / 𝑑) Β· (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇))))
9490, 91, 933brtr4d 5180 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇))) ≀ ((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑))
9518, 49, 32, 94fsumle 15750 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇))) ≀ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑))
9646, 50, 33, 51, 95letrd 11376 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇))) ≀ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑))
9733leabsd 15366 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑) ≀ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑)))
9846, 33, 48, 96, 97letrd 11376 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇))) ≀ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑)))
9998adantrr 714 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇))) ≀ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑)))
1001, 17, 33, 45, 99o1le 15604 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘‘)) Β· ((ΞΌβ€˜π‘‘) / 𝑑)) Β· (𝐾 βˆ’ 𝑇))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   Β· cmul 11119  +∞cpnf 11250   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  β„•cn 12217  3c3 12273  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  β„+crp 12979  [,)cico 13331  ...cfz 13489  βŒŠcfl 13760  abscabs 15186  π‘‚(1)co1 15435  Ξ£csu 15637  Basecbs 17149  0gc0g 17390  β„€RHomczrh 21269  β„€/nβ„€czn 21272  logclog 26300  ΞΌcmu 26836  DChrcdchr 26972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-ec 8709  df-qs 8713  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-acn 9941  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-o1 15439  df-lo1 15440  df-sum 15638  df-ef 16016  df-e 16017  df-sin 16018  df-cos 16019  df-tan 16020  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-prm 16614  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-qus 17460  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-nsg 19041  df-eqg 19042  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-od 19438  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-rhm 20364  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-drng 20503  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-lidl 20933  df-rsp 20934  df-2idl 21007  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-zring 21219  df-zrh 21273  df-zn 21276  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-ulm 26126  df-log 26302  df-cxp 26303  df-atan 26609  df-em 26734  df-mu 26842  df-dchr 26973
This theorem is referenced by:  dchrvmasumiflem1  27241
  Copyright terms: Public domain W3C validator