fourierdlem39 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fourierdlem39 46067

Description: Integration by parts of ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) d𝑥 (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem39.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem39.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem39.aleb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
fourierdlem39.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
fourierdlem39.g	⊢ 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem39.gcn	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
fourierdlem39.gbd	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
fourierdlem39.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ⁺)

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem39	⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐹‘𝐵) · -((cos‘(𝑅 · 𝐵)) / 𝑅)) − ((𝐹‘𝐴) · -((cos‘(𝑅 · 𝐴)) / 𝑅))) − ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) d𝑥))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴,𝑦 𝑥,𝐵,𝑦 𝑥,𝐹,𝑦 𝑥,𝐺,𝑦 𝑥,𝑅,𝑦 𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem fourierdlem39 Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem39.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		fourierdlem39.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		fourierdlem39.aleb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
4		fourierdlem39.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
5		cncff 24938	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
7	6	feqmptd 6990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)))
8	7	eqcomd 2746	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) = 𝐹)
9	8, 4	eqeltrd 2844	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
10		coscn 26507	. . . . . 6 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
12	1, 2	iccssred 13494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
13		ax-resscn 11241	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
14	12, 13	sstrdi 4021	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
15		fourierdlem39.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
16	15	rpred 13099	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
17	16	recnd 11318	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
18		ssid 4031	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
20	14, 17, 19	constcncfg 45793	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑅) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
21	14, 19	idcncfg 45794	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
22	20, 21	mulcncf 25499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑅 · 𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
23	11, 22	cncfmpt1f 24959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (cos‘(𝑅 · 𝑥))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
24	15	rpcnne0d 13108	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ≠ 0))
25		eldifsn 4811	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ≠ 0))
26	24, 25	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (ℂ ∖ {0}))
27		difssd 4160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
28	14, 26, 27	constcncfg 45793	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑅) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
29	23, 28	divcncf 25501	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
30	29	negcncfg 45802	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
31		fourierdlem39.gcn	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
32		cncff 24938	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
33	31, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
34	33	feqmptd 6990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑥)))
35	34	eqcomd 2746	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑥)) = 𝐺)
36	35, 31	eqeltrd 2844	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
37		sincn 26506	. . . 4 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
38	37	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
39		ioosscn 13469	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
40	39	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
41	40, 17, 19	constcncfg 45793	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑅) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
42	40, 19	idcncfg 45794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
43	41, 42	mulcncf 25499	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑅 · 𝑥)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
44	38, 43	cncfmpt1f 24959	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (sin‘(𝑅 · 𝑥))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
45		ioombl 25619	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
46	45	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
47		volioo 25623	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
48	1, 2, 3, 47	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
49	2, 1	resubcld 11718	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
50	48, 49	eqeltrd 2844	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
51		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥))
52		ioossicc 13493	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
53	52	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
54	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
55	53	sselda 4008	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
56	54, 55	ffvelcdmd 7119	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
57	51, 9, 53, 19, 56	cncfmptssg 45792	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
58	57, 44	mulcncf 25499	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
59		cniccbdd 25515	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦)
60	1, 2, 4, 59	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦)
61		nfra1 3290	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦
62	52	sseli 4004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
63		rspa 3254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦)
64	62, 63	sylan2 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦)
65	64	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦 → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦))
66	61, 65	ralrimi 3263	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦)
67	66	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦))
68	67	reximdva 3174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦))
69	60, 68	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦)
70		nfv 1913	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
71		nfra1 3290	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦
72	70, 71	nfan 1898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦)
73		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
74		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))))
75	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ∈ ℝ)
76		elioore 13437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
77	76	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
78	75, 77	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑅 · 𝑥) ∈ ℝ)
79	78	resincld 16191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑅 · 𝑥)) ∈ ℝ)
80	79	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑅 · 𝑥)) ∈ ℂ)
81	56, 80	mulcld 11310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) ∈ ℂ)
82	81	ralrimiva 3152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) ∈ ℂ)
83		dmmptg 6273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) = (𝐴(,)𝐵))
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) = (𝐴(,)𝐵))
85	84	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) = (𝐴(,)𝐵))
86	74, 85	eleqtrd 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
87	86	ad4ant14 751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
88		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦)
89	86	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
90		rspa 3254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦)
91	88, 89, 90	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦)
92	91	adantllr 718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦)
93		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))))
94		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
95		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑅 · 𝑥) = (𝑅 · 𝑧))
96	95	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (sin‘(𝑅 · 𝑥)) = (sin‘(𝑅 · 𝑧)))
97	94, 96	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑧) · (sin‘(𝑅 · 𝑧))))
98	97	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑧) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑧) · (sin‘(𝑅 · 𝑧))))
99		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
100	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
101	52, 99	sselid 4006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
102	100, 101	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
103	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ∈ ℂ)
104	39, 99	sselid 4006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℂ)
105	103, 104	mulcld 11310	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑅 · 𝑧) ∈ ℂ)
106	105	sincld 16178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑅 · 𝑧)) ∈ ℂ)
107	102, 106	mulcld 11310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘𝑧) · (sin‘(𝑅 · 𝑧))) ∈ ℂ)
108	93, 98, 99, 107	fvmptd 7036	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧) · (sin‘(𝑅 · 𝑧))))
109	108	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) = (abs‘((𝐹‘𝑧) · (sin‘(𝑅 · 𝑧)))))
110	102, 106	absmuld 15503	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹‘𝑧) · (sin‘(𝑅 · 𝑧)))) = ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))))
111	109, 110	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) = ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))))
112	111	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) = ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))))
113	112	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) = ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))))
114		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → 𝜑)
115		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
116	114, 115, 102	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
117	116	abscld 15485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
118	17	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → 𝑅 ∈ ℂ)
119	39, 115	sselid 4006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → 𝑧 ∈ ℂ)
120	118, 119	mulcld 11310	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → (𝑅 · 𝑧) ∈ ℂ)
121	120	sincld 16178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → (sin‘(𝑅 · 𝑧)) ∈ ℂ)
122	121	abscld 15485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧))) ∈ ℝ)
123	117, 122	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))) ∈ ℝ)
124		1red 11291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → 1 ∈ ℝ)
125	117, 124	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · 1) ∈ ℝ)
126		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
127	126, 124	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → (𝑦 · 1) ∈ ℝ)
128	106	abscld 15485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧))) ∈ ℝ)
129		1red 11291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
130	102	abscld 15485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
131	102	absge0d 15493	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
132	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ∈ ℝ)
133		elioore 13437	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
134	133	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
135	132, 134	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑅 · 𝑧) ∈ ℝ)
136		abssinbd 45210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 · 𝑧) ∈ ℝ → (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧))) ≤ 1)
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧))) ≤ 1)
138	128, 129, 130, 131, 137	lemul2ad 12235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))) ≤ ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · 1))
139	138	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))) ≤ ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · 1))
140	139	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))) ≤ ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · 1))
141		0le1 11813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ 1
142	141	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → 0 ≤ 1)
143		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦)
144	117, 126, 124, 142, 143	lemul1ad 12234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · 1) ≤ (𝑦 · 1))
145	123, 125, 127, 140, 144	letrd 11447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))) ≤ (𝑦 · 1))
146	113, 145	eqbrtrd 5188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ (𝑦 · 1))
147	126	recnd 11318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
148	147	mulridd 11307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → (𝑦 · 1) = 𝑦)
149	146, 148	breqtrd 5192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
150	73, 87, 92, 149	syl21anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
151	150	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → (𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦))
152	72, 151	ralrimi 3263	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
153	152	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦))
154	153	reximdva 3174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦))
155	69, 154	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
156	46, 50, 58, 155	cnbdibl 45883	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
157	11, 43	cncfmpt1f 24959	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑅 · 𝑥))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
158	40, 26, 27	constcncfg 45793	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑅) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
159	157, 158	divcncf 25501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
160	159	negcncfg 45802	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
161	36, 160	mulcncf 25499	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
162		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
163	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
164	15	rpne0d 13104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 0)
165	164	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ 0)
166	162, 163, 165	redivcld 12122	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 / 𝑅) ∈ ℝ)
167	166	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (𝑦 / 𝑅) ∈ ℝ)
168		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))) → 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))))
169	33	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
170	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ∈ ℂ)
171	76	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
172	171	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
173	170, 172	mulcld 11310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑅 · 𝑥) ∈ ℂ)
174	173	coscld 16179	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑅 · 𝑥)) ∈ ℂ)
175	164	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ≠ 0)
176	174, 170, 175	divcld 12070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) ∈ ℂ)
177	176	negcld 11634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) ∈ ℂ)
178	169, 177	mulcld 11310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ℂ)
179	178	ralrimiva 3152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ℂ)
180	179	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ℂ)
181		dmmptg 6273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) = (𝐴(,)𝐵))
182	180, 181	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))) → dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) = (𝐴(,)𝐵))
183	168, 182	eleqtrd 2846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
184	183	ad4ant14 751	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
185		eqidd 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))))
186		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑧))
187	95	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (cos‘(𝑅 · 𝑥)) = (cos‘(𝑅 · 𝑧)))
188	187	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) = ((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))
189	188	negeqd 11530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) = -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))
190	186, 189	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) = ((𝐺‘𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)))
191	190	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑧) → ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) = ((𝐺‘𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)))
192	33	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
193	105	coscld 16179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑅 · 𝑧)) ∈ ℂ)
194	164	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ≠ 0)
195	193, 103, 194	divcld 12070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅) ∈ ℂ)
196	195	negcld 11634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅) ∈ ℂ)
197	192, 196	mulcld 11310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺‘𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) ∈ ℂ)
198	185, 191, 99, 197	fvmptd 7036	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧) = ((𝐺‘𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)))
199	198	fveq2d 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) = (abs‘((𝐺‘𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))))
200	199	ad4ant14 751	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) = (abs‘((𝐺‘𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))))
201	33	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
202	201	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
203	202	abscld 15485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ)
204		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
205	17	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ∈ ℂ)
206	104	ad4ant14 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℂ)
207	205, 206	mulcld 11310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑅 · 𝑧) ∈ ℂ)
208	207	coscld 16179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑅 · 𝑧)) ∈ ℂ)
209	164	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ≠ 0)
210	208, 205, 209	divcld 12070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅) ∈ ℂ)
211	210	negcld 11634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅) ∈ ℂ)
212	211	abscld 15485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) ∈ ℝ)
213	15	rprecred 13110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑅) ∈ ℝ)
214	213	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 𝑅) ∈ ℝ)
215	202	absge0d 15493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑧)))
216	211	absge0d 15493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)))
217	186	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (abs‘(𝐺‘𝑥)) = (abs‘(𝐺‘𝑧)))
218	217	breq1d 5176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦))
219	218	rspccva 3634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)
220	219	adantll 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)
221	195	absnegd 15498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) = (abs‘((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)))
222	193, 103, 194	absdivd 15504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) = ((abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) / (abs‘𝑅)))
223	15	rpge0d 13103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
224	16, 223	absidd 15471	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑅) = 𝑅)
225	224	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) / (abs‘𝑅)) = ((abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) / 𝑅))
226	225	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) / (abs‘𝑅)) = ((abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) / 𝑅))
227	221, 222, 226	3eqtrd 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) = ((abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) / 𝑅))
228	193	abscld 15485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) ∈ ℝ)
229	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
230		abscosbd 45193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 · 𝑧) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) ≤ 1)
231	135, 230	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) ≤ 1)
232	228, 129, 229, 231	lediv1dd 13157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) / 𝑅) ≤ (1 / 𝑅))
233	227, 232	eqbrtrd 5188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) ≤ (1 / 𝑅))
234	233	ad4ant14 751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) ≤ (1 / 𝑅))
235	203, 204, 212, 214, 215, 216, 220, 234	lemul12ad 12237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))) ≤ (𝑦 · (1 / 𝑅)))
236	192, 196	absmuld 15503	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))) = ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))))
237	236	ad4ant14 751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))) = ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))))
238	204	recnd 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℂ)
239	238, 205, 209	divrecd 12073	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦 / 𝑅) = (𝑦 · (1 / 𝑅)))
240	235, 237, 239	3brtr4d 5198	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))) ≤ (𝑦 / 𝑅))
241	200, 240	eqbrtrd 5188	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ (𝑦 / 𝑅))
242	184, 241	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ (𝑦 / 𝑅))
243	242	ralrimiva 3152	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ (𝑦 / 𝑅))
244		breq2 5170	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑦 / 𝑅) → ((abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ 𝑤 ↔ (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ (𝑦 / 𝑅)))
245	244	ralbidv 3184	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑦 / 𝑅) → (∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ (𝑦 / 𝑅)))
246	245	rspcev 3635	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ (𝑦 / 𝑅)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ 𝑤)
247	167, 243, 246	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ 𝑤)
248		fourierdlem39.gbd	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦)
249	247, 248	r19.29a 3168	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ 𝑤)
250	46, 50, 161, 249	cnbdibl 45883	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) ∈ 𝐿¹)
251	8	oveq2d 7464	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥))) = (ℝ D 𝐹))
252		fourierdlem39.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
253	252	eqcomi 2749	. . . 4 ⊢ (ℝ D 𝐹) = 𝐺
254	253	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
255	251, 254, 34	3eqtrd 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑥)))
256		reelprrecn 11276	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
257	256	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
258	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
259		recn 11274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
260	259	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
261	258, 260	mulcld 11310	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑅 · 𝑥) ∈ ℂ)
262	261	coscld 16179	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (cos‘(𝑅 · 𝑥)) ∈ ℂ)
263	164	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ 0)
264	262, 258, 263	divcld 12070	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) ∈ ℂ)
265	264	negcld 11634	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) ∈ ℂ)
266	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
267		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
268	266, 267	remulcld 11320	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑅 · 𝑥) ∈ ℝ)
269	268	resincld 16191	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘(𝑅 · 𝑥)) ∈ ℝ)
270	269	renegcld 11717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(sin‘(𝑅 · 𝑥)) ∈ ℝ)
271	270, 266	remulcld 11320	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) ∈ ℝ)
272	271, 266, 263	redivcld 12122	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) ∈ ℝ)
273	272	renegcld 11717	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) ∈ ℝ)
274		recoscl 16189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (cos‘𝑦) ∈ ℝ)
275	274	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (cos‘𝑦) ∈ ℝ)
276	275	recnd 11318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (cos‘𝑦) ∈ ℂ)
277		resincl 16188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
278	277	renegcld 11717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -(sin‘𝑦) ∈ ℝ)
279	278	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -(sin‘𝑦) ∈ ℝ)
280		1red 11291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
281	257	dvmptid 26015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
282	257, 260, 280, 281, 17	dvmptcmul 26022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑅 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑅 · 1)))
283	258	mulridd 11307	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑅 · 1) = 𝑅)
284	283	mpteq2dva 5266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑅 · 1)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑅))
285	282, 284	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑅 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑅))
286		dvcosre 45833	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑦))
287	286	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑦)))
288		fveq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑅 · 𝑥) → (cos‘𝑦) = (cos‘(𝑅 · 𝑥)))
289		fveq2 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑅 · 𝑥) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑅 · 𝑥)))
290	289	negeqd 11530	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑅 · 𝑥) → -(sin‘𝑦) = -(sin‘(𝑅 · 𝑥)))
291	257, 257, 268, 266, 276, 279, 285, 287, 288, 290	dvmptco 26030	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑅 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅)))
292	257, 262, 271, 291, 17, 164	dvmptdivc 26023	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅)))
293	257, 264, 272, 292	dvmptneg 26024	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅)))
294		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
295	294	tgioo2 24844	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
296		iccntr 24862	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
297	1, 2, 296	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
298	257, 265, 273, 293, 12, 295, 294, 297	dvmptres2 26020	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅)))
299	80, 170	mulneg1d 11743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) = -((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅))
300	299	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = (-((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅))
301	80, 170	mulcld 11310	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) ∈ ℂ)
302	301, 170, 175	divnegd 12083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -(((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = (-((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅))
303	300, 302	eqtr4d 2783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = -(((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅))
304	303	negeqd 11530	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = --(((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅))
305	301, 170, 175	divcld 12070	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) ∈ ℂ)
306	305	negnegd 11638	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → --(((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = (((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅))
307	80, 170, 175	divcan4d 12076	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = (sin‘(𝑅 · 𝑥)))
308	304, 306, 307	3eqtrd 2784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = (sin‘(𝑅 · 𝑥)))
309	308	mpteq2dva 5266	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (sin‘(𝑅 · 𝑥))))
310	298, 309	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (sin‘(𝑅 · 𝑥))))
311		fveq2 6920	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
312		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑅 · 𝑥) = (𝑅 · 𝐴))
313	312	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (cos‘(𝑅 · 𝑥)) = (cos‘(𝑅 · 𝐴)))
314	313	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) = ((cos‘(𝑅 · 𝐴)) / 𝑅))
315	314	negeqd 11530	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) = -((cos‘(𝑅 · 𝐴)) / 𝑅))
316	311, 315	oveq12d 7466	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) = ((𝐹‘𝐴) · -((cos‘(𝑅 · 𝐴)) / 𝑅)))
317	316	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) = ((𝐹‘𝐴) · -((cos‘(𝑅 · 𝐴)) / 𝑅)))
318		fveq2 6920	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
319		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑅 · 𝑥) = (𝑅 · 𝐵))
320	319	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (cos‘(𝑅 · 𝑥)) = (cos‘(𝑅 · 𝐵)))
321	320	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) = ((cos‘(𝑅 · 𝐵)) / 𝑅))
322	321	negeqd 11530	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) = -((cos‘(𝑅 · 𝐵)) / 𝑅))
323	318, 322	oveq12d 7466	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) = ((𝐹‘𝐵) · -((cos‘(𝑅 · 𝐵)) / 𝑅)))
324	323	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → ((𝐹‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) = ((𝐹‘𝐵) · -((cos‘(𝑅 · 𝐵)) / 𝑅)))
325	1, 2, 3, 9, 30, 36, 44, 156, 250, 255, 310, 317, 324	itgparts 26108	1 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐹‘𝐵) · -((cos‘(𝑅 · 𝐵)) / 𝑅)) − ((𝐹‘𝐴) · -((cos‘(𝑅 · 𝐴)) / 𝑅))) − ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) d𝑥))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1537 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2946 ∀wral 3067 ∃wrex 3076 ∖ cdif 3973 ⊆ wss 3976 {csn 4648 {cpr 4650 class class class wbr 5166 ↦ cmpt 5249 dom cdm 5700 ran crn 5701 ⟶wf 6569 ‘cfv 6573 (class class class)co 7448 ℂcc 11182 ℝcr 11183 0cc0 11184 1c1 11185 · cmul 11189 ≤ cle 11325 − cmin 11520 -cneg 11521 / cdiv 11947 ℝ⁺crp 13057 (,)cioo 13407 [,]cicc 13410 abscabs 15283 sincsin 16111 cosccos 16112 TopOpenctopn 17481 topGenctg 17497 ℂ_fldccnfld 21387 intcnt 23046 –cn→ccncf 24921 volcvol 25517 ∫citg 25672 D cdv 25918

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1793 ax-4 1807 ax-5 1909 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2711 ax-rep 5303 ax-sep 5317 ax-nul 5324 ax-pow 5383 ax-pr 5447 ax-un 7770 ax-inf2 9710 ax-cc 10504 ax-cnex 11240 ax-resscn 11241 ax-1cn 11242 ax-icn 11243 ax-addcl 11244 ax-addrcl 11245 ax-mulcl 11246 ax-mulrcl 11247 ax-mulcom 11248 ax-addass 11249 ax-mulass 11250 ax-distr 11251 ax-i2m1 11252 ax-1ne0 11253 ax-1rid 11254 ax-rnegex 11255 ax-rrecex 11256 ax-cnre 11257 ax-pre-lttri 11258 ax-pre-lttrn 11259 ax-pre-ltadd 11260 ax-pre-mulgt0 11261 ax-pre-sup 11262 ax-addf 11263

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 847 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1778 df-nf 1782 df-sb 2065 df-mo 2543 df-eu 2572 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2819 df-nfc 2895 df-ne 2947 df-nel 3053 df-ral 3068 df-rex 3077 df-rmo 3388 df-reu 3389 df-rab 3444 df-v 3490 df-sbc 3805 df-csb 3922 df-dif 3979 df-un 3981 df-in 3983 df-ss 3993 df-pss 3996 df-symdif 4272 df-nul 4353 df-if 4549 df-pw 4624 df-sn 4649 df-pr 4651 df-tp 4653 df-op 4655 df-uni 4932 df-int 4971 df-iun 5017 df-iin 5018 df-disj 5134 df-br 5167 df-opab 5229 df-mpt 5250 df-tr 5284 df-id 5593 df-eprel 5599 df-po 5607 df-so 5608 df-fr 5652 df-se 5653 df-we 5654 df-xp 5706 df-rel 5707 df-cnv 5708 df-co 5709 df-dm 5710 df-rn 5711 df-res 5712 df-ima 5713 df-pred 6332 df-ord 6398 df-on 6399 df-lim 6400 df-suc 6401 df-iota 6525 df-fun 6575 df-fn 6576 df-f 6577 df-f1 6578 df-fo 6579 df-f1o 6580 df-fv 6581 df-isom 6582 df-riota 7404 df-ov 7451 df-oprab 7452 df-mpo 7453 df-of 7714 df-ofr 7715 df-om 7904 df-1st 8030 df-2nd 8031 df-supp 8202 df-frecs 8322 df-wrecs 8353 df-recs 8427 df-rdg 8466 df-1o 8522 df-2o 8523 df-oadd 8526 df-omul 8527 df-er 8763 df-map 8886 df-pm 8887 df-ixp 8956 df-en 9004 df-dom 9005 df-sdom 9006 df-fin 9007 df-fsupp 9432 df-fi 9480 df-sup 9511 df-inf 9512 df-oi 9579 df-dju 9970 df-card 10008 df-acn 10011 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11522 df-neg 11523 df-div 11948 df-nn 12294 df-2 12356 df-3 12357 df-4 12358 df-5 12359 df-6 12360 df-7 12361 df-8 12362 df-9 12363 df-n0 12554 df-z 12640 df-dec 12759 df-uz 12904 df-q 13014 df-rp 13058 df-xneg 13175 df-xadd 13176 df-xmul 13177 df-ioo 13411 df-ioc 13412 df-ico 13413 df-icc 13414 df-fz 13568 df-fzo 13712 df-fl 13843 df-mod 13921 df-seq 14053 df-exp 14113 df-fac 14323 df-bc 14352 df-hash 14380 df-shft 15116 df-cj 15148 df-re 15149 df-im 15150 df-sqrt 15284 df-abs 15285 df-limsup 15517 df-clim 15534 df-rlim 15535 df-sum 15735 df-ef 16115 df-sin 16117 df-cos 16118 df-struct 17194 df-sets 17211 df-slot 17229 df-ndx 17241 df-base 17259 df-ress 17288 df-plusg 17324 df-mulr 17325 df-starv 17326 df-sca 17327 df-vsca 17328 df-ip 17329 df-tset 17330 df-ple 17331 df-ds 17333 df-unif 17334 df-hom 17335 df-cco 17336 df-rest 17482 df-topn 17483 df-0g 17501 df-gsum 17502 df-topgen 17503 df-pt 17504 df-prds 17507 df-xrs 17562 df-qtop 17567 df-imas 17568 df-xps 17570 df-mre 17644 df-mrc 17645 df-acs 17647 df-mgm 18678 df-sgrp 18757 df-mnd 18773 df-submnd 18819 df-mulg 19108 df-cntz 19357 df-cmn 19824 df-psmet 21379 df-xmet 21380 df-met 21381 df-bl 21382 df-mopn 21383 df-fbas 21384 df-fg 21385 df-cnfld 21388 df-top 22921 df-topon 22938 df-topsp 22960 df-bases 22974 df-cld 23048 df-ntr 23049 df-cls 23050 df-nei 23127 df-lp 23165 df-perf 23166 df-cn 23256 df-cnp 23257 df-haus 23344 df-cmp 23416 df-tx 23591 df-hmeo 23784 df-fil 23875 df-fm 23967 df-flim 23968 df-flf 23969 df-xms 24351 df-ms 24352 df-tms 24353 df-cncf 24923 df-ovol 25518 df-vol 25519 df-mbf 25673 df-itg1 25674 df-itg2 25675 df-ibl 25676 df-itg 25677 df-0p 25724 df-limc 25921 df-dv 25922

This theorem is referenced by: fourierdlem73 46100

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