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Theorem fourierdlem39 46166
Description: Integration by parts of ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) d𝑥 (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem39.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem39.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem39.aleb (𝜑𝐴𝐵)
fourierdlem39.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
fourierdlem39.g 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem39.gcn (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
fourierdlem39.gbd (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
fourierdlem39.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem39 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐹𝐵) · -((cos‘(𝑅 · 𝐵)) / 𝑅)) − ((𝐹𝐴) · -((cos‘(𝑅 · 𝐴)) / 𝑅))) − ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem fourierdlem39
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem39.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem39.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 fourierdlem39.aleb . 2 (𝜑𝐴𝐵)
4 fourierdlem39.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
5 cncff 24920 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
76feqmptd 6976 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)))
87eqcomd 2742 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) = 𝐹)
98, 4eqeltrd 2840 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
10 coscn 26490 . . . . . 6 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
1110a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
121, 2iccssred 13475 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
13 ax-resscn 11213 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
1412, 13sstrdi 3995 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
15 fourierdlem39.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
1615rpred 13078 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
1716recnd 11290 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
18 ssid 4005 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2014, 17, 19constcncfg 45892 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑅) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
2114, 19idcncfg 45893 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
2220, 21mulcncf 25481 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑅 · 𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
2311, 22cncfmpt1f 24941 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (cos‘(𝑅 · 𝑥))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
2415rpcnne0d 13087 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ≠ 0))
25 eldifsn 4785 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ≠ 0))
2624, 25sylibr 234 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ (ℂ ∖ {0}))
27 difssd 4136 . . . . 5 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
2814, 26, 27constcncfg 45892 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑅) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
2923, 28divcncf 25483 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
3029negcncfg 45901 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
31 fourierdlem39.gcn . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
32 cncff 24920 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
3331, 32syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
3433feqmptd 6976 . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)))
3534eqcomd 2742 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)) = 𝐺)
3635, 31eqeltrd 2840 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
37 sincn 26489 . . . 4 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
3837a1i 11 . . 3 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
39 ioosscn 13450 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
4039a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
4140, 17, 19constcncfg 45892 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑅) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
4240, 19idcncfg 45893 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
4341, 42mulcncf 25481 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑅 · 𝑥)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
4438, 43cncfmpt1f 24941 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (sin‘(𝑅 · 𝑥))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
45 ioombl 25601 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
4645a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
47 volioo 25605 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
481, 2, 3, 47syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
492, 1resubcld 11692 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
5048, 49eqeltrd 2840 . . 3 (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
51 eqid 2736 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥))
52 ioossicc 13474 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
5352a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
546adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
5553sselda 3982 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
5654, 55ffvelcdmd 7104 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
5751, 9, 53, 19, 56cncfmptssg 45891 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
5857, 44mulcncf 25481 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
59 cniccbdd 25497 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦)
601, 2, 4, 59syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦)
61 nfra1 3283 . . . . . . . 8 𝑧𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦
6252sseli 3978 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
63 rspa 3247 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦)
6462, 63sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦)
6564ex 412 . . . . . . . 8 (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦))
6661, 65ralrimi 3256 . . . . . . 7 (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦)
6766a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦))
6867reximdva 3167 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦))
6960, 68mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦)
70 nfv 1913 . . . . . . . 8 𝑧(𝜑𝑦 ∈ ℝ)
71 nfra1 3283 . . . . . . . 8 𝑧𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦
7270, 71nfan 1898 . . . . . . 7 𝑧((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦)
73 simpll 766 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → (𝜑𝑦 ∈ ℝ))
74 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))))
7516adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ∈ ℝ)
76 elioore 13418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
7776adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7875, 77remulcld 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑅 · 𝑥) ∈ ℝ)
7978resincld 16180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑅 · 𝑥)) ∈ ℝ)
8079recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑅 · 𝑥)) ∈ ℂ)
8156, 80mulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) ∈ ℂ)
8281ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) ∈ ℂ)
83 dmmptg 6261 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) = (𝐴(,)𝐵))
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) = (𝐴(,)𝐵))
8584adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) = (𝐴(,)𝐵))
8674, 85eleqtrd 2842 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
8786ad4ant14 752 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
88 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦)
8986adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
90 rspa 3247 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦)
9188, 89, 90syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦)
9291adantllr 719 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦)
93 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))))
94 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
95 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑧 → (𝑅 · 𝑥) = (𝑅 · 𝑧))
9695fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → (sin‘(𝑅 · 𝑥)) = (sin‘(𝑅 · 𝑧)))
9794, 96oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) = ((𝐹𝑧) · (sin‘(𝑅 · 𝑧))))
9897adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑧) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) = ((𝐹𝑧) · (sin‘(𝑅 · 𝑧))))
99 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1006adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
10152, 99sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
102100, 101ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
10317adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ∈ ℂ)
10439, 99sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℂ)
105103, 104mulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑅 · 𝑧) ∈ ℂ)
106105sincld 16167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑅 · 𝑧)) ∈ ℂ)
107102, 106mulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹𝑧) · (sin‘(𝑅 · 𝑧))) ∈ ℂ)
10893, 98, 99, 107fvmptd 7022 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧) = ((𝐹𝑧) · (sin‘(𝑅 · 𝑧))))
109108fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) = (abs‘((𝐹𝑧) · (sin‘(𝑅 · 𝑧)))))
110102, 106absmuld 15494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑧) · (sin‘(𝑅 · 𝑧)))) = ((abs‘(𝐹𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))))
111109, 110eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) = ((abs‘(𝐹𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))))
112111adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) = ((abs‘(𝐹𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))))
113112adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) = ((abs‘(𝐹𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))))
114 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → 𝜑)
115 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
116114, 115, 102syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
117116abscld 15476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → (abs‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
11817ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → 𝑅 ∈ ℂ)
11939, 115sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → 𝑧 ∈ ℂ)
120118, 119mulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → (𝑅 · 𝑧) ∈ ℂ)
121120sincld 16167 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → (sin‘(𝑅 · 𝑧)) ∈ ℂ)
122121abscld 15476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧))) ∈ ℝ)
123117, 122remulcld 11292 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → ((abs‘(𝐹𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))) ∈ ℝ)
124 1red 11263 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → 1 ∈ ℝ)
125117, 124remulcld 11292 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → ((abs‘(𝐹𝑧)) · 1) ∈ ℝ)
126 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
127126, 124remulcld 11292 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → (𝑦 · 1) ∈ ℝ)
128106abscld 15476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧))) ∈ ℝ)
129 1red 11263 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
130102abscld 15476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
131102absge0d 15484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑧)))
13216adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ∈ ℝ)
133 elioore 13418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
134133adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
135132, 134remulcld 11292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑅 · 𝑧) ∈ ℝ)
136 abssinbd 45312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 · 𝑧) ∈ ℝ → (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧))) ≤ 1)
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧))) ≤ 1)
138128, 129, 130, 131, 137lemul2ad 12209 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑧)) · 1))
139138adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑧)) · 1))
140139adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → ((abs‘(𝐹𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑧)) · 1))
141 0le1 11787 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 1
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → 0 ≤ 1)
143 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦)
144117, 126, 124, 142, 143lemul1ad 12208 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → ((abs‘(𝐹𝑧)) · 1) ≤ (𝑦 · 1))
145123, 125, 127, 140, 144letrd 11419 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → ((abs‘(𝐹𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))) ≤ (𝑦 · 1))
146113, 145eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ (𝑦 · 1))
147126recnd 11290 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
148147mulridd 11279 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → (𝑦 · 1) = 𝑦)
149146, 148breqtrd 5168 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
15073, 87, 92, 149syl21anc 837 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
151150ex 412 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → (𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦))
15272, 151ralrimi 3256 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
153152ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦))
154153reximdva 3167 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦))
15569, 154mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)
15646, 50, 58, 155cnbdibl 45982 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
15711, 43cncfmpt1f 24941 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑅 · 𝑥))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
15840, 26, 27constcncfg 45892 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑅) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
159157, 158divcncf 25483 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
160159negcncfg 45901 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
16136, 160mulcncf 25481 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
162 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
16316adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
16415rpne0d 13083 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ≠ 0)
165164adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ 0)
166162, 163, 165redivcld 12096 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 / 𝑅) ∈ ℝ)
167166adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) → (𝑦 / 𝑅) ∈ ℝ)
168 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))) → 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))))
16933ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
17017adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ∈ ℂ)
17176recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
172171adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
173170, 172mulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑅 · 𝑥) ∈ ℂ)
174173coscld 16168 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑅 · 𝑥)) ∈ ℂ)
175164adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ≠ 0)
176174, 170, 175divcld 12044 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) ∈ ℂ)
177176negcld 11608 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) ∈ ℂ)
178169, 177mulcld 11282 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ℂ)
179178ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ℂ)
180179adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ℂ)
181 dmmptg 6261 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) = (𝐴(,)𝐵))
182180, 181syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))) → dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) = (𝐴(,)𝐵))
183168, 182eleqtrd 2842 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
184183ad4ant14 752 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
185 eqidd 2737 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))))
186 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑧))
18795fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (cos‘(𝑅 · 𝑥)) = (cos‘(𝑅 · 𝑧)))
188187oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) = ((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))
189188negeqd 11503 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) = -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))
190186, 189oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) = ((𝐺𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)))
191190adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑧) → ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) = ((𝐺𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)))
19233ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
193105coscld 16168 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑅 · 𝑧)) ∈ ℂ)
194164adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ≠ 0)
195193, 103, 194divcld 12044 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅) ∈ ℂ)
196195negcld 11608 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅) ∈ ℂ)
197192, 196mulcld 11282 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) ∈ ℂ)
198185, 191, 99, 197fvmptd 7022 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧) = ((𝐺𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)))
199198fveq2d 6909 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) = (abs‘((𝐺𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))))
200199ad4ant14 752 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) = (abs‘((𝐺𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))))
20133ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
202201ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
203202abscld 15476 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
204 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
20517ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ∈ ℂ)
206104ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℂ)
207205, 206mulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑅 · 𝑧) ∈ ℂ)
208207coscld 16168 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑅 · 𝑧)) ∈ ℂ)
209164ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ≠ 0)
210208, 205, 209divcld 12044 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅) ∈ ℂ)
211210negcld 11608 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅) ∈ ℂ)
212211abscld 15476 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) ∈ ℝ)
21315rprecred 13089 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 𝑅) ∈ ℝ)
214213ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 𝑅) ∈ ℝ)
215202absge0d 15484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑧)))
216211absge0d 15484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)))
217186fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (abs‘(𝐺𝑥)) = (abs‘(𝐺𝑧)))
218217breq1d 5152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → ((abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦))
219218rspccva 3620 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦)
220219adantll 714 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦)
221195absnegd 15489 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) = (abs‘((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)))
222193, 103, 194absdivd 15495 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) = ((abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) / (abs‘𝑅)))
22315rpge0d 13082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
22416, 223absidd 15462 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘𝑅) = 𝑅)
225224oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) / (abs‘𝑅)) = ((abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) / 𝑅))
226225adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) / (abs‘𝑅)) = ((abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) / 𝑅))
227221, 222, 2263eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) = ((abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) / 𝑅))
228193abscld 15476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) ∈ ℝ)
22915adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
230 abscosbd 45295 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 · 𝑧) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) ≤ 1)
231135, 230syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) ≤ 1)
232228, 129, 229, 231lediv1dd 13136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) / 𝑅) ≤ (1 / 𝑅))
233227, 232eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) ≤ (1 / 𝑅))
234233ad4ant14 752 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) ≤ (1 / 𝑅))
235203, 204, 212, 214, 215, 216, 220, 234lemul12ad 12211 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐺𝑧)) · (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))) ≤ (𝑦 · (1 / 𝑅)))
236192, 196absmuld 15494 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐺𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))) = ((abs‘(𝐺𝑧)) · (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))))
237236ad4ant14 752 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐺𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))) = ((abs‘(𝐺𝑧)) · (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))))
238204recnd 11290 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℂ)
239238, 205, 209divrecd 12047 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦 / 𝑅) = (𝑦 · (1 / 𝑅)))
240235, 237, 2393brtr4d 5174 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐺𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))) ≤ (𝑦 / 𝑅))
241200, 240eqbrtrd 5164 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ (𝑦 / 𝑅))
242184, 241syldan 591 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ (𝑦 / 𝑅))
243242ralrimiva 3145 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ (𝑦 / 𝑅))
244 breq2 5146 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑦 / 𝑅) → ((abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ 𝑤 ↔ (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ (𝑦 / 𝑅)))
245244ralbidv 3177 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 / 𝑅) → (∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ (𝑦 / 𝑅)))
246245rspcev 3621 . . . . 5 (((𝑦 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ (𝑦 / 𝑅)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ 𝑤)
247167, 243, 246syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ 𝑤)
248 fourierdlem39.gbd . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺𝑥)) ≤ 𝑦)
249247, 248r19.29a 3161 . . 3 (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ 𝑤)
25046, 50, 161, 249cnbdibl 45982 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) ∈ 𝐿1)
2518oveq2d 7448 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (ℝ D 𝐹))
252 fourierdlem39.g . . . . 5 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
253252eqcomi 2745 . . . 4 (ℝ D 𝐹) = 𝐺
254253a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
255251, 254, 343eqtrd 2780 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)))
256 reelprrecn 11248 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
257256a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
25817adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
259 recn 11246 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
260259adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
261258, 260mulcld 11282 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑅 · 𝑥) ∈ ℂ)
262261coscld 16168 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (cos‘(𝑅 · 𝑥)) ∈ ℂ)
263164adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ 0)
264262, 258, 263divcld 12044 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) ∈ ℂ)
265264negcld 11608 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) ∈ ℂ)
26616adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
267 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
268266, 267remulcld 11292 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑅 · 𝑥) ∈ ℝ)
269268resincld 16180 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘(𝑅 · 𝑥)) ∈ ℝ)
270269renegcld 11691 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → -(sin‘(𝑅 · 𝑥)) ∈ ℝ)
271270, 266remulcld 11292 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) ∈ ℝ)
272271, 266, 263redivcld 12096 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) ∈ ℝ)
273272renegcld 11691 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → -((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) ∈ ℝ)
274 recoscl 16178 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (cos‘𝑦) ∈ ℝ)
275274adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (cos‘𝑦) ∈ ℝ)
276275recnd 11290 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (cos‘𝑦) ∈ ℂ)
277 resincl 16177 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
278277renegcld 11691 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → -(sin‘𝑦) ∈ ℝ)
279278adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → -(sin‘𝑦) ∈ ℝ)
280 1red 11263 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
281257dvmptid 25996 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
282257, 260, 280, 281, 17dvmptcmul 26003 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑅 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑅 · 1)))
283258mulridd 11279 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑅 · 1) = 𝑅)
284283mpteq2dva 5241 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑅 · 1)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑅))
285282, 284eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑅 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑅))
286 dvcosre 45932 . . . . . . . 8 (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑦))
287286a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑦)))
288 fveq2 6905 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑅 · 𝑥) → (cos‘𝑦) = (cos‘(𝑅 · 𝑥)))
289 fveq2 6905 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑅 · 𝑥) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑅 · 𝑥)))
290289negeqd 11503 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑅 · 𝑥) → -(sin‘𝑦) = -(sin‘(𝑅 · 𝑥)))
291257, 257, 268, 266, 276, 279, 285, 287, 288, 290dvmptco 26011 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑅 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅)))
292257, 262, 271, 291, 17, 164dvmptdivc 26004 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅)))
293257, 264, 272, 292dvmptneg 26005 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅)))
294 tgioo4 24827 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
295 eqid 2736 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
296 iccntr 24844 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
2971, 2, 296syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
298257, 265, 273, 293, 12, 294, 295, 297dvmptres2 26001 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅)))
29980, 170mulneg1d 11717 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) = -((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅))
300299oveq1d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = (-((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅))
30180, 170mulcld 11282 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) ∈ ℂ)
302301, 170, 175divnegd 12057 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -(((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = (-((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅))
303300, 302eqtr4d 2779 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = -(((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅))
304303negeqd 11503 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = --(((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅))
305301, 170, 175divcld 12044 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) ∈ ℂ)
306305negnegd 11612 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → --(((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = (((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅))
30780, 170, 175divcan4d 12050 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = (sin‘(𝑅 · 𝑥)))
308304, 306, 3073eqtrd 2780 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = (sin‘(𝑅 · 𝑥)))
309308mpteq2dva 5241 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (sin‘(𝑅 · 𝑥))))
310298, 309eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (sin‘(𝑅 · 𝑥))))
311 fveq2 6905 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
312 oveq2 7440 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑅 · 𝑥) = (𝑅 · 𝐴))
313312fveq2d 6909 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (cos‘(𝑅 · 𝑥)) = (cos‘(𝑅 · 𝐴)))
314313oveq1d 7447 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) = ((cos‘(𝑅 · 𝐴)) / 𝑅))
315314negeqd 11503 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) = -((cos‘(𝑅 · 𝐴)) / 𝑅))
316311, 315oveq12d 7450 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) = ((𝐹𝐴) · -((cos‘(𝑅 · 𝐴)) / 𝑅)))
317316adantl 481 . 2 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → ((𝐹𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) = ((𝐹𝐴) · -((cos‘(𝑅 · 𝐴)) / 𝑅)))
318 fveq2 6905 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
319 oveq2 7440 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑅 · 𝑥) = (𝑅 · 𝐵))
320319fveq2d 6909 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (cos‘(𝑅 · 𝑥)) = (cos‘(𝑅 · 𝐵)))
321320oveq1d 7447 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) = ((cos‘(𝑅 · 𝐵)) / 𝑅))
322321negeqd 11503 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) = -((cos‘(𝑅 · 𝐵)) / 𝑅))
323318, 322oveq12d 7450 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) = ((𝐹𝐵) · -((cos‘(𝑅 · 𝐵)) / 𝑅)))
324323adantl 481 . 2 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → ((𝐹𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) = ((𝐹𝐵) · -((cos‘(𝑅 · 𝐵)) / 𝑅)))
3251, 2, 3, 9, 30, 36, 44, 156, 250, 255, 310, 317, 324itgparts 26089 1 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐹𝐵) · -((cos‘(𝑅 · 𝐵)) / 𝑅)) − ((𝐹𝐴) · -((cos‘(𝑅 · 𝐴)) / 𝑅))) − ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐺𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  cdif 3947  wss 3950  {csn 4625  {cpr 4627   class class class wbr 5142  cmpt 5224  dom cdm 5684  ran crn 5685  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   · cmul 11161  cle 11297  cmin 11493  -cneg 11494   / cdiv 11921  +crp 13035  (,)cioo 13388  [,]cicc 13391  abscabs 15274  sincsin 16100  cosccos 16101  TopOpenctopn 17467  topGenctg 17483  fldccnfld 21365  intcnt 23026  cnccncf 24903  volcvol 25499  citg 25654   D cdv 25899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cc 10476  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-symdif 4252  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-acn 9983  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16104  df-sin 16106  df-cos 16107  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-cmp 23396  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-ovol 25500  df-vol 25501  df-mbf 25655  df-itg1 25656  df-itg2 25657  df-ibl 25658  df-itg 25659  df-0p 25706  df-limc 25902  df-dv 25903
This theorem is referenced by:  fourierdlem73  46199
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