| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | fourierdlem39.a | . 2
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) | 
| 2 |  | fourierdlem39.b | . 2
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) | 
| 3 |  | fourierdlem39.aleb | . 2
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵) | 
| 4 |  | fourierdlem39.f | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) | 
| 5 |  | cncff 24920 | . . . . . 6
⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) | 
| 6 | 4, 5 | syl 17 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) | 
| 7 | 6 | feqmptd 6976 | . . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥))) | 
| 8 | 7 | eqcomd 2742 | . . 3
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) = 𝐹) | 
| 9 | 8, 4 | eqeltrd 2840 | . 2
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) | 
| 10 |  | coscn 26490 | . . . . . 6
⊢ cos
∈ (ℂ–cn→ℂ) | 
| 11 | 10 | a1i 11 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → cos ∈
(ℂ–cn→ℂ)) | 
| 12 | 1, 2 | iccssred 13475 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) | 
| 13 |  | ax-resscn 11213 | . . . . . . . 8
⊢ ℝ
⊆ ℂ | 
| 14 | 12, 13 | sstrdi 3995 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ) | 
| 15 |  | fourierdlem39.r | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈
ℝ+) | 
| 16 | 15 | rpred 13078 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ) | 
| 17 | 16 | recnd 11290 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ) | 
| 18 |  | ssid 4005 | . . . . . . . 8
⊢ ℂ
⊆ ℂ | 
| 19 | 18 | a1i 11 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ℂ ⊆
ℂ) | 
| 20 | 14, 17, 19 | constcncfg 45892 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑅) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) | 
| 21 | 14, 19 | idcncfg 45893 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) | 
| 22 | 20, 21 | mulcncf 25481 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑅 · 𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) | 
| 23 | 11, 22 | cncfmpt1f 24941 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (cos‘(𝑅 · 𝑥))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) | 
| 24 | 15 | rpcnne0d 13087 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ≠ 0)) | 
| 25 |  | eldifsn 4785 | . . . . . 6
⊢ (𝑅 ∈ (ℂ ∖ {0})
↔ (𝑅 ∈ ℂ
∧ 𝑅 ≠
0)) | 
| 26 | 24, 25 | sylibr 234 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (ℂ ∖
{0})) | 
| 27 |  | difssd 4136 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0})
⊆ ℂ) | 
| 28 | 14, 26, 27 | constcncfg 45892 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑅) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0}))) | 
| 29 | 23, 28 | divcncf 25483 | . . 3
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) | 
| 30 | 29 | negcncfg 45901 | . 2
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) | 
| 31 |  | fourierdlem39.gcn | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) | 
| 32 |  | cncff 24920 | . . . . . 6
⊢ (𝐺 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ) | 
| 33 | 31, 32 | syl 17 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ) | 
| 34 | 33 | feqmptd 6976 | . . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑥))) | 
| 35 | 34 | eqcomd 2742 | . . 3
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑥)) = 𝐺) | 
| 36 | 35, 31 | eqeltrd 2840 | . 2
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) | 
| 37 |  | sincn 26489 | . . . 4
⊢ sin
∈ (ℂ–cn→ℂ) | 
| 38 | 37 | a1i 11 | . . 3
⊢ (𝜑 → sin ∈
(ℂ–cn→ℂ)) | 
| 39 |  | ioosscn 13450 | . . . . . 6
⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ | 
| 40 | 39 | a1i 11 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ) | 
| 41 | 40, 17, 19 | constcncfg 45892 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑅) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) | 
| 42 | 40, 19 | idcncfg 45893 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) | 
| 43 | 41, 42 | mulcncf 25481 | . . 3
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑅 · 𝑥)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) | 
| 44 | 38, 43 | cncfmpt1f 24941 | . 2
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (sin‘(𝑅 · 𝑥))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) | 
| 45 |  | ioombl 25601 | . . . 4
⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol | 
| 46 | 45 | a1i 11 | . . 3
⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol) | 
| 47 |  | volioo 25605 | . . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴)) | 
| 48 | 1, 2, 3, 47 | syl3anc 1372 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴)) | 
| 49 | 2, 1 | resubcld 11692 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ) | 
| 50 | 48, 49 | eqeltrd 2840 | . . 3
⊢ (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) | 
| 51 |  | eqid 2736 | . . . . 5
⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) | 
| 52 |  | ioossicc 13474 | . . . . . 6
⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) | 
| 53 | 52 | a1i 11 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) | 
| 54 | 6 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) | 
| 55 | 53 | sselda 3982 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) | 
| 56 | 54, 55 | ffvelcdmd 7104 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ) | 
| 57 | 51, 9, 53, 19, 56 | cncfmptssg 45891 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) | 
| 58 | 57, 44 | mulcncf 25481 | . . 3
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) | 
| 59 |  | cniccbdd 25497 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) | 
| 60 | 1, 2, 4, 59 | syl3anc 1372 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) | 
| 61 |  | nfra1 3283 | . . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦 | 
| 62 | 52 | sseli 3978 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) | 
| 63 |  | rspa 3247 | . . . . . . . . . 10
⊢
((∀𝑧 ∈
(𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) | 
| 64 | 62, 63 | sylan2 593 | . . . . . . . . 9
⊢
((∀𝑧 ∈
(𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) | 
| 65 | 64 | ex 412 | . . . . . . . 8
⊢
(∀𝑧 ∈
(𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦 → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦)) | 
| 66 | 61, 65 | ralrimi 3256 | . . . . . . 7
⊢
(∀𝑧 ∈
(𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) | 
| 67 | 66 | a1i 11 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦)) | 
| 68 | 67 | reximdva 3167 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦)) | 
| 69 | 60, 68 | mpd 15 | . . . 4
⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) | 
| 70 |  | nfv 1913 | . . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) | 
| 71 |  | nfra1 3283 | . . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦 | 
| 72 | 70, 71 | nfan 1898 | . . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑧((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) | 
| 73 |  | simpll 766 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) | 
| 74 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) | 
| 75 | 16 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ∈ ℝ) | 
| 76 |  | elioore 13418 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ) | 
| 77 | 76 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ) | 
| 78 | 75, 77 | remulcld 11292 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑅 · 𝑥) ∈ ℝ) | 
| 79 | 78 | resincld 16180 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑅 · 𝑥)) ∈ ℝ) | 
| 80 | 79 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑅 · 𝑥)) ∈ ℂ) | 
| 81 | 56, 80 | mulcld 11282 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) ∈ ℂ) | 
| 82 | 81 | ralrimiva 3145 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) ∈ ℂ) | 
| 83 |  | dmmptg 6261 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(∀𝑥 ∈
(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) = (𝐴(,)𝐵)) | 
| 84 | 82, 83 | syl 17 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) = (𝐴(,)𝐵)) | 
| 85 | 84 | adantr 480 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) = (𝐴(,)𝐵)) | 
| 86 | 74, 85 | eleqtrd 2842 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) | 
| 87 | 86 | ad4ant14 752 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) | 
| 88 |  | simplr 768 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) | 
| 89 | 86 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) | 
| 90 |  | rspa 3247 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((∀𝑧 ∈
(𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) | 
| 91 | 88, 89, 90 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) | 
| 92 | 91 | adantllr 719 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) | 
| 93 |  | eqidd 2737 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) | 
| 94 |  | fveq2 6905 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧)) | 
| 95 |  | oveq2 7440 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑅 · 𝑥) = (𝑅 · 𝑧)) | 
| 96 | 95 | fveq2d 6909 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (sin‘(𝑅 · 𝑥)) = (sin‘(𝑅 · 𝑧))) | 
| 97 | 94, 96 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑧) · (sin‘(𝑅 · 𝑧)))) | 
| 98 | 97 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑧) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑧) · (sin‘(𝑅 · 𝑧)))) | 
| 99 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) | 
| 100 | 6 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) | 
| 101 | 52, 99 | sselid 3980 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) | 
| 102 | 100, 101 | ffvelcdmd 7104 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ) | 
| 103 | 17 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ∈ ℂ) | 
| 104 | 39, 99 | sselid 3980 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℂ) | 
| 105 | 103, 104 | mulcld 11282 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑅 · 𝑧) ∈ ℂ) | 
| 106 | 105 | sincld 16167 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑅 · 𝑧)) ∈ ℂ) | 
| 107 | 102, 106 | mulcld 11282 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘𝑧) · (sin‘(𝑅 · 𝑧))) ∈ ℂ) | 
| 108 | 93, 98, 99, 107 | fvmptd 7022 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧) · (sin‘(𝑅 · 𝑧)))) | 
| 109 | 108 | fveq2d 6909 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) = (abs‘((𝐹‘𝑧) · (sin‘(𝑅 · 𝑧))))) | 
| 110 | 102, 106 | absmuld 15494 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹‘𝑧) · (sin‘(𝑅 · 𝑧)))) = ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧))))) | 
| 111 | 109, 110 | eqtrd 2776 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) = ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧))))) | 
| 112 | 111 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) = ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧))))) | 
| 113 | 112 | adantr 480 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) = ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧))))) | 
| 114 |  | simplll 774 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → 𝜑) | 
| 115 |  | simplr 768 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) | 
| 116 | 114, 115,
102 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ) | 
| 117 | 116 | abscld 15476 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ) | 
| 118 | 17 | ad3antrrr 730 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → 𝑅 ∈ ℂ) | 
| 119 | 39, 115 | sselid 3980 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → 𝑧 ∈ ℂ) | 
| 120 | 118, 119 | mulcld 11282 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → (𝑅 · 𝑧) ∈ ℂ) | 
| 121 | 120 | sincld 16167 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → (sin‘(𝑅 · 𝑧)) ∈ ℂ) | 
| 122 | 121 | abscld 15476 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧))) ∈ ℝ) | 
| 123 | 117, 122 | remulcld 11292 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))) ∈ ℝ) | 
| 124 |  | 1red 11263 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → 1 ∈ ℝ) | 
| 125 | 117, 124 | remulcld 11292 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · 1) ∈
ℝ) | 
| 126 |  | simpllr 775 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ) | 
| 127 | 126, 124 | remulcld 11292 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → (𝑦 · 1) ∈ ℝ) | 
| 128 | 106 | abscld 15476 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧))) ∈ ℝ) | 
| 129 |  | 1red 11263 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ) | 
| 130 | 102 | abscld 15476 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ) | 
| 131 | 102 | absge0d 15484 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧))) | 
| 132 | 16 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ∈ ℝ) | 
| 133 |  | elioore 13418 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ) | 
| 134 | 133 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ) | 
| 135 | 132, 134 | remulcld 11292 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑅 · 𝑧) ∈ ℝ) | 
| 136 |  | abssinbd 45312 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑅 · 𝑧) ∈ ℝ →
(abs‘(sin‘(𝑅
· 𝑧))) ≤
1) | 
| 137 | 135, 136 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧))) ≤ 1) | 
| 138 | 128, 129,
130, 131, 137 | lemul2ad 12209 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))) ≤ ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · 1)) | 
| 139 | 138 | adantlr 715 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))) ≤ ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · 1)) | 
| 140 | 139 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))) ≤ ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · 1)) | 
| 141 |  | 0le1 11787 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 0 ≤
1 | 
| 142 | 141 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → 0 ≤ 1) | 
| 143 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) | 
| 144 | 117, 126,
124, 142, 143 | lemul1ad 12208 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · 1) ≤ (𝑦 · 1)) | 
| 145 | 123, 125,
127, 140, 144 | letrd 11419 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → ((abs‘(𝐹‘𝑧)) · (abs‘(sin‘(𝑅 · 𝑧)))) ≤ (𝑦 · 1)) | 
| 146 | 113, 145 | eqbrtrd 5164 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ (𝑦 · 1)) | 
| 147 | 126 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ) | 
| 148 | 147 | mulridd 11279 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → (𝑦 · 1) = 𝑦) | 
| 149 | 146, 148 | breqtrd 5168 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦) | 
| 150 | 73, 87, 92, 149 | syl21anc 837 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦) | 
| 151 | 150 | ex 412 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → (𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)) | 
| 152 | 72, 151 | ralrimi 3256 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦) | 
| 153 | 152 | ex 412 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦 → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)) | 
| 154 | 153 | reximdva 3167 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦)) | 
| 155 | 69, 154 | mpd 15 | . . 3
⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))))‘𝑧)) ≤ 𝑦) | 
| 156 | 46, 50, 58, 155 | cnbdibl 45982 | . 2
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) ∈
𝐿1) | 
| 157 | 11, 43 | cncfmpt1f 24941 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑅 · 𝑥))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) | 
| 158 | 40, 26, 27 | constcncfg 45892 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑅) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0}))) | 
| 159 | 157, 158 | divcncf 25483 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) | 
| 160 | 159 | negcncfg 45901 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) | 
| 161 | 36, 160 | mulcncf 25481 | . . 3
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) | 
| 162 |  | simpr 484 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ) | 
| 163 | 16 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ) | 
| 164 | 15 | rpne0d 13083 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 0) | 
| 165 | 164 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ 0) | 
| 166 | 162, 163,
165 | redivcld 12096 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 / 𝑅) ∈ ℝ) | 
| 167 | 166 | adantr 480 | . . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → (𝑦 / 𝑅) ∈ ℝ) | 
| 168 |  | simpr 484 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))) → 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))) | 
| 169 | 33 | ffvelcdmda 7103 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ) | 
| 170 | 17 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ∈ ℂ) | 
| 171 | 76 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ) | 
| 172 | 171 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ) | 
| 173 | 170, 172 | mulcld 11282 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑅 · 𝑥) ∈ ℂ) | 
| 174 | 173 | coscld 16168 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑅 · 𝑥)) ∈ ℂ) | 
| 175 | 164 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ≠ 0) | 
| 176 | 174, 170,
175 | divcld 12044 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) ∈ ℂ) | 
| 177 | 176 | negcld 11608 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) ∈ ℂ) | 
| 178 | 169, 177 | mulcld 11282 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ℂ) | 
| 179 | 178 | ralrimiva 3145 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ℂ) | 
| 180 | 179 | adantr 480 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ℂ) | 
| 181 |  | dmmptg 6261 | . . . . . . . . . 10
⊢
(∀𝑥 ∈
(𝐴(,)𝐵)((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) = (𝐴(,)𝐵)) | 
| 182 | 180, 181 | syl 17 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))) → dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) = (𝐴(,)𝐵)) | 
| 183 | 168, 182 | eleqtrd 2842 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) | 
| 184 | 183 | ad4ant14 752 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) | 
| 185 |  | eqidd 2737 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))) | 
| 186 |  | fveq2 6905 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑧)) | 
| 187 | 95 | fveq2d 6909 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (cos‘(𝑅 · 𝑥)) = (cos‘(𝑅 · 𝑧))) | 
| 188 | 187 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) = ((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) | 
| 189 | 188 | negeqd 11503 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 𝑧 → -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) = -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) | 
| 190 | 186, 189 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) = ((𝐺‘𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))) | 
| 191 | 190 | adantl 481 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑧) → ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) = ((𝐺‘𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))) | 
| 192 | 33 | ffvelcdmda 7103 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ) | 
| 193 | 105 | coscld 16168 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑅 · 𝑧)) ∈ ℂ) | 
| 194 | 164 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ≠ 0) | 
| 195 | 193, 103,
194 | divcld 12044 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅) ∈ ℂ) | 
| 196 | 195 | negcld 11608 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅) ∈ ℂ) | 
| 197 | 192, 196 | mulcld 11282 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺‘𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) ∈ ℂ) | 
| 198 | 185, 191,
99, 197 | fvmptd 7022 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧) = ((𝐺‘𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))) | 
| 199 | 198 | fveq2d 6909 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) = (abs‘((𝐺‘𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)))) | 
| 200 | 199 | ad4ant14 752 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) = (abs‘((𝐺‘𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)))) | 
| 201 | 33 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ) | 
| 202 | 201 | ffvelcdmda 7103 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ) | 
| 203 | 202 | abscld 15476 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ) | 
| 204 |  | simpllr 775 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ) | 
| 205 | 17 | ad3antrrr 730 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ∈ ℂ) | 
| 206 | 104 | ad4ant14 752 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℂ) | 
| 207 | 205, 206 | mulcld 11282 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑅 · 𝑧) ∈ ℂ) | 
| 208 | 207 | coscld 16168 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑅 · 𝑧)) ∈ ℂ) | 
| 209 | 164 | ad3antrrr 730 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ≠ 0) | 
| 210 | 208, 205,
209 | divcld 12044 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅) ∈ ℂ) | 
| 211 | 210 | negcld 11608 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅) ∈ ℂ) | 
| 212 | 211 | abscld 15476 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) ∈ ℝ) | 
| 213 | 15 | rprecred 13089 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (1 / 𝑅) ∈ ℝ) | 
| 214 | 213 | ad3antrrr 730 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 𝑅) ∈ ℝ) | 
| 215 | 202 | absge0d 15484 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑧))) | 
| 216 | 211 | absge0d 15484 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤
(abs‘-((cos‘(𝑅
· 𝑧)) / 𝑅))) | 
| 217 | 186 | fveq2d 6909 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (abs‘(𝐺‘𝑥)) = (abs‘(𝐺‘𝑧))) | 
| 218 | 217 | breq1d 5152 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦)) | 
| 219 | 218 | rspccva 3620 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((∀𝑥 ∈
(𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦) | 
| 220 | 219 | adantll 714 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ 𝑦) | 
| 221 | 195 | absnegd 15489 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) = (abs‘((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))) | 
| 222 | 193, 103,
194 | absdivd 15495 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) = ((abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) / (abs‘𝑅))) | 
| 223 | 15 | rpge0d 13082 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑅) | 
| 224 | 16, 223 | absidd 15462 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (abs‘𝑅) = 𝑅) | 
| 225 | 224 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 →
((abs‘(cos‘(𝑅
· 𝑧))) /
(abs‘𝑅)) =
((abs‘(cos‘(𝑅
· 𝑧))) / 𝑅)) | 
| 226 | 225 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) / (abs‘𝑅)) = ((abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) / 𝑅)) | 
| 227 | 221, 222,
226 | 3eqtrd 2780 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) = ((abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) / 𝑅)) | 
| 228 | 193 | abscld 15476 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) ∈ ℝ) | 
| 229 | 15 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑅 ∈
ℝ+) | 
| 230 |  | abscosbd 45295 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑅 · 𝑧) ∈ ℝ →
(abs‘(cos‘(𝑅
· 𝑧))) ≤
1) | 
| 231 | 135, 230 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) ≤ 1) | 
| 232 | 228, 129,
229, 231 | lediv1dd 13136 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(cos‘(𝑅 · 𝑧))) / 𝑅) ≤ (1 / 𝑅)) | 
| 233 | 227, 232 | eqbrtrd 5164 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) ≤ (1 / 𝑅)) | 
| 234 | 233 | ad4ant14 752 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)) ≤ (1 / 𝑅)) | 
| 235 | 203, 204,
212, 214, 215, 216, 220, 234 | lemul12ad 12211 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))) ≤ (𝑦 · (1 / 𝑅))) | 
| 236 | 192, 196 | absmuld 15494 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))) = ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)))) | 
| 237 | 236 | ad4ant14 752 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))) = ((abs‘(𝐺‘𝑧)) · (abs‘-((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅)))) | 
| 238 | 204 | recnd 11290 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℂ) | 
| 239 | 238, 205,
209 | divrecd 12047 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦 / 𝑅) = (𝑦 · (1 / 𝑅))) | 
| 240 | 235, 237,
239 | 3brtr4d 5174 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐺‘𝑧) · -((cos‘(𝑅 · 𝑧)) / 𝑅))) ≤ (𝑦 / 𝑅)) | 
| 241 | 200, 240 | eqbrtrd 5164 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ (𝑦 / 𝑅)) | 
| 242 | 184, 241 | syldan 591 | . . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))) → (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ (𝑦 / 𝑅)) | 
| 243 | 242 | ralrimiva 3145 | . . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ (𝑦 / 𝑅)) | 
| 244 |  | breq2 5146 | . . . . . . 7
⊢ (𝑤 = (𝑦 / 𝑅) → ((abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ 𝑤 ↔ (abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ (𝑦 / 𝑅))) | 
| 245 | 244 | ralbidv 3177 | . . . . . 6
⊢ (𝑤 = (𝑦 / 𝑅) → (∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ (𝑦 / 𝑅))) | 
| 246 | 245 | rspcev 3621 | . . . . 5
⊢ (((𝑦 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ (𝑦 / 𝑅)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ 𝑤) | 
| 247 | 167, 243,
246 | syl2anc 584 | . . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ 𝑤) | 
| 248 |  | fourierdlem39.gbd | . . . 4
⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐺‘𝑥)) ≤ 𝑦) | 
| 249 | 247, 248 | r19.29a 3161 | . . 3
⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))(abs‘((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)))‘𝑧)) ≤ 𝑤) | 
| 250 | 46, 50, 161, 249 | cnbdibl 45982 | . 2
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) ∈
𝐿1) | 
| 251 | 8 | oveq2d 7448 | . . 3
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥))) = (ℝ D 𝐹)) | 
| 252 |  | fourierdlem39.g | . . . . 5
⊢ 𝐺 = (ℝ D 𝐹) | 
| 253 | 252 | eqcomi 2745 | . . . 4
⊢ (ℝ
D 𝐹) = 𝐺 | 
| 254 | 253 | a1i 11 | . . 3
⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺) | 
| 255 | 251, 254,
34 | 3eqtrd 2780 | . 2
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑥))) | 
| 256 |  | reelprrecn 11248 | . . . . 5
⊢ ℝ
∈ {ℝ, ℂ} | 
| 257 | 256 | a1i 11 | . . . 4
⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ,
ℂ}) | 
| 258 | 17 | adantr 480 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ) | 
| 259 |  | recn 11246 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈
ℂ) | 
| 260 | 259 | adantl 481 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ) | 
| 261 | 258, 260 | mulcld 11282 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑅 · 𝑥) ∈ ℂ) | 
| 262 | 261 | coscld 16168 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (cos‘(𝑅 · 𝑥)) ∈ ℂ) | 
| 263 | 164 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ 0) | 
| 264 | 262, 258,
263 | divcld 12044 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) ∈ ℂ) | 
| 265 | 264 | negcld 11608 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) ∈ ℂ) | 
| 266 | 16 | adantr 480 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ) | 
| 267 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ) | 
| 268 | 266, 267 | remulcld 11292 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑅 · 𝑥) ∈ ℝ) | 
| 269 | 268 | resincld 16180 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘(𝑅 · 𝑥)) ∈ ℝ) | 
| 270 | 269 | renegcld 11691 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(sin‘(𝑅 · 𝑥)) ∈ ℝ) | 
| 271 | 270, 266 | remulcld 11292 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) ∈ ℝ) | 
| 272 | 271, 266,
263 | redivcld 12096 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) ∈ ℝ) | 
| 273 | 272 | renegcld 11691 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) ∈ ℝ) | 
| 274 |  | recoscl 16178 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 ∈ ℝ →
(cos‘𝑦) ∈
ℝ) | 
| 275 | 274 | adantl 481 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (cos‘𝑦) ∈
ℝ) | 
| 276 | 275 | recnd 11290 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (cos‘𝑦) ∈
ℂ) | 
| 277 |  | resincl 16177 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 ∈ ℝ →
(sin‘𝑦) ∈
ℝ) | 
| 278 | 277 | renegcld 11691 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑦 ∈ ℝ →
-(sin‘𝑦) ∈
ℝ) | 
| 279 | 278 | adantl 481 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -(sin‘𝑦) ∈
ℝ) | 
| 280 |  | 1red 11263 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈
ℝ) | 
| 281 | 257 | dvmptid 25996 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1)) | 
| 282 | 257, 260,
280, 281, 17 | dvmptcmul 26003 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑅 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑅 · 1))) | 
| 283 | 258 | mulridd 11279 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑅 · 1) = 𝑅) | 
| 284 | 283 | mpteq2dva 5241 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑅 · 1)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑅)) | 
| 285 | 282, 284 | eqtrd 2776 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑅 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑅)) | 
| 286 |  | dvcosre 45932 | . . . . . . . 8
⊢ (ℝ
D (𝑦 ∈ ℝ ↦
(cos‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦
-(sin‘𝑦)) | 
| 287 | 286 | a1i 11 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦
(cos‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦
-(sin‘𝑦))) | 
| 288 |  | fveq2 6905 | . . . . . . 7
⊢ (𝑦 = (𝑅 · 𝑥) → (cos‘𝑦) = (cos‘(𝑅 · 𝑥))) | 
| 289 |  | fveq2 6905 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = (𝑅 · 𝑥) → (sin‘𝑦) = (sin‘(𝑅 · 𝑥))) | 
| 290 | 289 | negeqd 11503 | . . . . . . 7
⊢ (𝑦 = (𝑅 · 𝑥) → -(sin‘𝑦) = -(sin‘(𝑅 · 𝑥))) | 
| 291 | 257, 257,
268, 266, 276, 279, 285, 287, 288, 290 | dvmptco 26011 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦
(cos‘(𝑅 ·
𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅))) | 
| 292 | 257, 262,
271, 291, 17, 164 | dvmptdivc 26004 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦
((cos‘(𝑅 ·
𝑥)) / 𝑅))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅))) | 
| 293 | 257, 264,
272, 292 | dvmptneg 26005 | . . . 4
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦
-((cos‘(𝑅 ·
𝑥)) / 𝑅))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅))) | 
| 294 |  | tgioo4 24827 | . . . 4
⊢
(topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld)
↾t ℝ) | 
| 295 |  | eqid 2736 | . . . 4
⊢
(TopOpen‘ℂfld) =
(TopOpen‘ℂfld) | 
| 296 |  | iccntr 24844 | . . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) →
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵)) | 
| 297 | 1, 2, 296 | syl2anc 584 | . . . 4
⊢ (𝜑 →
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵)) | 
| 298 | 257, 265,
273, 293, 12, 294, 295, 297 | dvmptres2 26001 | . . 3
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅))) | 
| 299 | 80, 170 | mulneg1d 11717 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) = -((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅)) | 
| 300 | 299 | oveq1d 7447 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = (-((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅)) | 
| 301 | 80, 170 | mulcld 11282 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) ∈ ℂ) | 
| 302 | 301, 170,
175 | divnegd 12057 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -(((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = (-((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅)) | 
| 303 | 300, 302 | eqtr4d 2779 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = -(((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅)) | 
| 304 | 303 | negeqd 11503 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = --(((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅)) | 
| 305 | 301, 170,
175 | divcld 12044 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) ∈ ℂ) | 
| 306 | 305 | negnegd 11612 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → --(((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = (((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅)) | 
| 307 | 80, 170, 175 | divcan4d 12050 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = (sin‘(𝑅 · 𝑥))) | 
| 308 | 304, 306,
307 | 3eqtrd 2780 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅) = (sin‘(𝑅 · 𝑥))) | 
| 309 | 308 | mpteq2dva 5241 | . . 3
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((-(sin‘(𝑅 · 𝑥)) · 𝑅) / 𝑅)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) | 
| 310 | 298, 309 | eqtrd 2776 | . 2
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (sin‘(𝑅 · 𝑥)))) | 
| 311 |  | fveq2 6905 | . . . 4
⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴)) | 
| 312 |  | oveq2 7440 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑅 · 𝑥) = (𝑅 · 𝐴)) | 
| 313 | 312 | fveq2d 6909 | . . . . . 6
⊢ (𝑥 = 𝐴 → (cos‘(𝑅 · 𝑥)) = (cos‘(𝑅 · 𝐴))) | 
| 314 | 313 | oveq1d 7447 | . . . . 5
⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) = ((cos‘(𝑅 · 𝐴)) / 𝑅)) | 
| 315 | 314 | negeqd 11503 | . . . 4
⊢ (𝑥 = 𝐴 → -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) = -((cos‘(𝑅 · 𝐴)) / 𝑅)) | 
| 316 | 311, 315 | oveq12d 7450 | . . 3
⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) = ((𝐹‘𝐴) · -((cos‘(𝑅 · 𝐴)) / 𝑅))) | 
| 317 | 316 | adantl 481 | . 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) = ((𝐹‘𝐴) · -((cos‘(𝑅 · 𝐴)) / 𝑅))) | 
| 318 |  | fveq2 6905 | . . . 4
⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵)) | 
| 319 |  | oveq2 7440 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑅 · 𝑥) = (𝑅 · 𝐵)) | 
| 320 | 319 | fveq2d 6909 | . . . . . 6
⊢ (𝑥 = 𝐵 → (cos‘(𝑅 · 𝑥)) = (cos‘(𝑅 · 𝐵))) | 
| 321 | 320 | oveq1d 7447 | . . . . 5
⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) = ((cos‘(𝑅 · 𝐵)) / 𝑅)) | 
| 322 | 321 | negeqd 11503 | . . . 4
⊢ (𝑥 = 𝐵 → -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅) = -((cos‘(𝑅 · 𝐵)) / 𝑅)) | 
| 323 | 318, 322 | oveq12d 7450 | . . 3
⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) = ((𝐹‘𝐵) · -((cos‘(𝑅 · 𝐵)) / 𝑅))) | 
| 324 | 323 | adantl 481 | . 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → ((𝐹‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) = ((𝐹‘𝐵) · -((cos‘(𝑅 · 𝐵)) / 𝑅))) | 
| 325 | 1, 2, 3, 9, 30, 36, 44, 156, 250, 255, 310, 317, 324 | itgparts 26089 | 1
⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑅 · 𝑥))) d𝑥 = ((((𝐹‘𝐵) · -((cos‘(𝑅 · 𝐵)) / 𝑅)) − ((𝐹‘𝐴) · -((cos‘(𝑅 · 𝐴)) / 𝑅))) − ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐺‘𝑥) · -((cos‘(𝑅 · 𝑥)) / 𝑅)) d𝑥)) |