Theorem nncand 11194

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11107	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7213  ℂcc 10727   − cmin 11062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-ltxr 10872  df-sub 11064

This theorem is referenced by:  moddiffl  13455  flmod  13458  ccatswrd  14233  o1dif  15191  fprodser  15511  fprodrev  15539  fallfacval3  15574  efaddlem  15654  4sqlem5  16495  mul4sqlem  16506  4sqlem14  16511  znunit  20528  coe1tmmul2  21197  blssps  23322  blss  23323  metdstri  23748  ivthlem3  24350  ioorcl2  24469  vitalilem2  24506  dvexp3  24875  dvcvx  24917  iblulm  25299  chordthmlem4  25718  heron  25721  cubic  25732  dquartlem1  25734  birthdaylem2  25835  lgamgulmlem2  25912  lgamcvg2  25937  ftalem2  25956  basellem3  25965  gausslemma2dlem1a  26246  lgsquadlem1  26261  addsqrexnreu  26323  pntrlog2bndlem4  26461  axsegconlem1  27008  lt2addrd  30794  ballotlemsf1o  32192  revpfxsfxrev  32790  swrdrevpfx  32791  bcprod  33422  irrdiff  35231  sticksstones12a  39835  sticksstones12  39836  fltnltalem  40202  fltnlta  40203  lzenom  40295  rmspecfund  40434  fzmaxdif  40506  jm2.18  40513  jm2.19  40518  jm2.20nn  40522  supxrgere  42545  lptre2pt  42856  ioodvbdlimc2lem  43150  dvnprodlem1  43162  dvnprodlem2  43163  fourierdlem4  43327  fourierdlem26  43349  fourierdlem42  43365  fourierdlem48  43370  fourierdlem65  43387  fouriersw  43447  sge0gtfsumgt  43656  meaiininclem  43699  fmtnorec2lem  44667  goldbachthlem2  44671  pw2m1lepw2m1  45534  eenglngeehlnmlem2  45757  itsclquadb  45795