Theorem nncand 11545

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073   − cmin 11412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414

This theorem is referenced by:  moddiffl  13851  flmod  13854  ccatswrd  14640  o1dif  15603  fprodser  15922  fprodrev  15950  fallfacval3  15985  efaddlem  16066  4sqlem5  16920  mul4sqlem  16931  4sqlem14  16936  znunit  21480  coe1tmmul2  22169  blssps  24319  blss  24320  metdstri  24747  ivthlem3  25361  ioorcl2  25480  vitalilem2  25517  dvexp3  25889  dvcvx  25932  iblulm  26323  chordthmlem4  26752  heron  26755  cubic  26766  dquartlem1  26768  birthdaylem2  26869  lgamgulmlem2  26947  lgamcvg2  26972  ftalem2  26991  basellem3  27000  gausslemma2dlem1a  27283  lgsquadlem1  27298  addsqrexnreu  27360  pntrlog2bndlem4  27498  axsegconlem1  28851  lt2addrd  32681  ballotlemsf1o  34512  revpfxsfxrev  35110  swrdrevpfx  35111  bcprod  35732  irrdiff  37321  sticksstones12a  42152  sticksstones12  42153  fltnltalem  42657  fltnlta  42658  lzenom  42765  rmspecfund  42904  fzmaxdif  42977  jm2.18  42984  jm2.19  42989  jm2.20nn  42993  supxrgere  45336  lptre2pt  45645  ioodvbdlimc2lem  45939  dvnprodlem1  45951  dvnprodlem2  45952  fourierdlem4  46116  fourierdlem26  46138  fourierdlem42  46154  fourierdlem48  46159  fourierdlem65  46176  fouriersw  46236  sge0gtfsumgt  46448  meaiininclem  46491  m1modne  47353  fmtnorec2lem  47547  goldbachthlem2  47551  pw2m1lepw2m1  48513  eenglngeehlnmlem2  48731  itsclquadb  48769