Theorem nncand 11337

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11250	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℂcc 10869   − cmin 11205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207

This theorem is referenced by:  moddiffl  13602  flmod  13605  ccatswrd  14381  o1dif  15339  fprodser  15659  fprodrev  15687  fallfacval3  15722  efaddlem  15802  4sqlem5  16643  mul4sqlem  16654  4sqlem14  16659  znunit  20771  coe1tmmul2  21447  blssps  23577  blss  23578  metdstri  24014  ivthlem3  24617  ioorcl2  24736  vitalilem2  24773  dvexp3  25142  dvcvx  25184  iblulm  25566  chordthmlem4  25985  heron  25988  cubic  25999  dquartlem1  26001  birthdaylem2  26102  lgamgulmlem2  26179  lgamcvg2  26204  ftalem2  26223  basellem3  26232  gausslemma2dlem1a  26513  lgsquadlem1  26528  addsqrexnreu  26590  pntrlog2bndlem4  26728  axsegconlem1  27285  lt2addrd  31074  ballotlemsf1o  32480  revpfxsfxrev  33077  swrdrevpfx  33078  bcprod  33704  irrdiff  35497  sticksstones12a  40113  sticksstones12  40114  fltnltalem  40499  fltnlta  40500  lzenom  40592  rmspecfund  40731  fzmaxdif  40803  jm2.18  40810  jm2.19  40815  jm2.20nn  40819  supxrgere  42872  lptre2pt  43181  ioodvbdlimc2lem  43475  dvnprodlem1  43487  dvnprodlem2  43488  fourierdlem4  43652  fourierdlem26  43674  fourierdlem42  43690  fourierdlem48  43695  fourierdlem65  43712  fouriersw  43772  sge0gtfsumgt  43981  meaiininclem  44024  fmtnorec2lem  44994  goldbachthlem2  44998  pw2m1lepw2m1  45861  eenglngeehlnmlem2  46084  itsclquadb  46122