Theorem nncand 11577

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11490	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7404  ℂcc 11107   − cmin 11445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447

This theorem is referenced by:  moddiffl  13850  flmod  13853  ccatswrd  14622  o1dif  15578  fprodser  15897  fprodrev  15925  fallfacval3  15960  efaddlem  16041  4sqlem5  16882  mul4sqlem  16893  4sqlem14  16898  znunit  21454  coe1tmmul2  22146  blssps  24281  blss  24282  metdstri  24718  ivthlem3  25333  ioorcl2  25452  vitalilem2  25489  dvexp3  25861  dvcvx  25904  iblulm  26294  chordthmlem4  26718  heron  26721  cubic  26732  dquartlem1  26734  birthdaylem2  26835  lgamgulmlem2  26913  lgamcvg2  26938  ftalem2  26957  basellem3  26966  gausslemma2dlem1a  27249  lgsquadlem1  27264  addsqrexnreu  27326  pntrlog2bndlem4  27464  axsegconlem1  28679  lt2addrd  32469  ballotlemsf1o  34042  revpfxsfxrev  34634  swrdrevpfx  34635  bcprod  35241  irrdiff  36714  sticksstones12a  41515  sticksstones12  41516  fltnltalem  41963  fltnlta  41964  lzenom  42067  rmspecfund  42206  fzmaxdif  42279  jm2.18  42286  jm2.19  42291  jm2.20nn  42295  supxrgere  44596  lptre2pt  44909  ioodvbdlimc2lem  45203  dvnprodlem1  45215  dvnprodlem2  45216  fourierdlem4  45380  fourierdlem26  45402  fourierdlem42  45418  fourierdlem48  45423  fourierdlem65  45440  fouriersw  45500  sge0gtfsumgt  45712  meaiininclem  45755  fmtnorec2lem  46763  goldbachthlem2  46767  pw2m1lepw2m1  47457  eenglngeehlnmlem2  47680  itsclquadb  47718