Theorem nncand 11267

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11180	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800   − cmin 11135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137

This theorem is referenced by:  moddiffl  13530  flmod  13533  ccatswrd  14309  o1dif  15267  fprodser  15587  fprodrev  15615  fallfacval3  15650  efaddlem  15730  4sqlem5  16571  mul4sqlem  16582  4sqlem14  16587  znunit  20683  coe1tmmul2  21357  blssps  23485  blss  23486  metdstri  23920  ivthlem3  24522  ioorcl2  24641  vitalilem2  24678  dvexp3  25047  dvcvx  25089  iblulm  25471  chordthmlem4  25890  heron  25893  cubic  25904  dquartlem1  25906  birthdaylem2  26007  lgamgulmlem2  26084  lgamcvg2  26109  ftalem2  26128  basellem3  26137  gausslemma2dlem1a  26418  lgsquadlem1  26433  addsqrexnreu  26495  pntrlog2bndlem4  26633  axsegconlem1  27188  lt2addrd  30976  ballotlemsf1o  32380  revpfxsfxrev  32977  swrdrevpfx  32978  bcprod  33610  irrdiff  35424  sticksstones12a  40041  sticksstones12  40042  fltnltalem  40415  fltnlta  40416  lzenom  40508  rmspecfund  40647  fzmaxdif  40719  jm2.18  40726  jm2.19  40731  jm2.20nn  40735  supxrgere  42762  lptre2pt  43071  ioodvbdlimc2lem  43365  dvnprodlem1  43377  dvnprodlem2  43378  fourierdlem4  43542  fourierdlem26  43564  fourierdlem42  43580  fourierdlem48  43585  fourierdlem65  43602  fouriersw  43662  sge0gtfsumgt  43871  meaiininclem  43914  fmtnorec2lem  44882  goldbachthlem2  44886  pw2m1lepw2m1  45749  eenglngeehlnmlem2  45972  itsclquadb  46010