Theorem nncand 11677

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11590	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11201   − cmin 11544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-ltxr 11351  df-sub 11546

This theorem is used by:  moddiffl  14025  flmod  14028  ccatswrd  14822  revpfxsfxrev  14921  swrdrevpfx  14922  o1dif  15802  fprodser  16121  fprodrev  16149  fallfacval3  16184  efaddlem  16264  4sqlem5  17125  mul4sqlem  17136  4sqlem14  17141  znunit  21874  coe1tmmul2  22600  blssps  24748  blss  24749  metdstri  25176  ivthlem3  25779  ioorcl2  25898  vitalilem2  25935  dvexp3  26303  dvcvx  26345  iblulm  26739  chordthmlem4  27168  heron  27171  cubic  27182  dquartlem1  27184  birthdaylem2  27285  lgamgulmlem2  27362  lgamcvg2  27387  ftalem2  27406  basellem3  27415  gausslemma2dlem1a  27697  lgsquadlem1  27712  addsqrexnreu  27774  pntrlog2bndlem4  27912  axsegconlem1  29500  lt2addrd  33388  vietalem  34257  vieta  34258  ballotlemsf1o  35192  bcprod  36595  irrdiff  38340  qdiff  38341  sticksstones12a  43300  sticksstones12  43301  fltnltalem  43766  fltnlta  43767  lzenom  43874  rmspecfund  44009  fzmaxdif  44081  jm2.18  44088  jm2.19  44093  jm2.20nn  44097  supxrgere  46438  lptre2pt  46743  ioodvbdlimc2lem  47037  dvnprodlem1  47049  dvnprodlem2  47050  fourierdlem4  47214  fourierdlem26  47236  fourierdlem42  47252  fourierdlem48  47257  fourierdlem65  47274  fouriersw  47334  sge0gtfsumgt  47546  meaiininclem  47589  m1modne  48517  fmtnorec2lem  48720  goldbachthlem2  48724  ppivalnnprm  48803  pw2m1lepw2m1  49725  eenglngeehlnmlem2  49944  itsclquadb  49981