Theorem nncand 11484

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11397	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7352  ℂcc 11011   − cmin 11351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-ltxr 11158  df-sub 11353

This theorem is referenced by:  moddiffl  13788  flmod  13791  ccatswrd  14578  o1dif  15539  fprodser  15858  fprodrev  15886  fallfacval3  15921  efaddlem  16002  4sqlem5  16856  mul4sqlem  16867  4sqlem14  16872  znunit  21502  coe1tmmul2  22191  blssps  24340  blss  24341  metdstri  24768  ivthlem3  25382  ioorcl2  25501  vitalilem2  25538  dvexp3  25910  dvcvx  25953  iblulm  26344  chordthmlem4  26773  heron  26776  cubic  26787  dquartlem1  26789  birthdaylem2  26890  lgamgulmlem2  26968  lgamcvg2  26993  ftalem2  27012  basellem3  27021  gausslemma2dlem1a  27304  lgsquadlem1  27319  addsqrexnreu  27381  pntrlog2bndlem4  27519  axsegconlem1  28897  lt2addrd  32738  ballotlemsf1o  34548  revpfxsfxrev  35181  swrdrevpfx  35182  bcprod  35803  irrdiff  37391  sticksstones12a  42270  sticksstones12  42271  fltnltalem  42780  fltnlta  42781  lzenom  42887  rmspecfund  43026  fzmaxdif  43098  jm2.18  43105  jm2.19  43110  jm2.20nn  43114  supxrgere  45456  lptre2pt  45762  ioodvbdlimc2lem  46056  dvnprodlem1  46068  dvnprodlem2  46069  fourierdlem4  46233  fourierdlem26  46255  fourierdlem42  46271  fourierdlem48  46276  fourierdlem65  46293  fouriersw  46353  sge0gtfsumgt  46565  meaiininclem  46608  m1modne  47472  fmtnorec2lem  47666  goldbachthlem2  47670  pw2m1lepw2m1  48645  eenglngeehlnmlem2  48863  itsclquadb  48901