Theorem nncand 11623

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11536	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151   − cmin 11490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492

This theorem is referenced by:  moddiffl  13919  flmod  13922  ccatswrd  14703  o1dif  15663  fprodser  15982  fprodrev  16010  fallfacval3  16045  efaddlem  16126  4sqlem5  16976  mul4sqlem  16987  4sqlem14  16992  znunit  21600  coe1tmmul2  22295  blssps  24450  blss  24451  metdstri  24887  ivthlem3  25502  ioorcl2  25621  vitalilem2  25658  dvexp3  26031  dvcvx  26074  iblulm  26465  chordthmlem4  26893  heron  26896  cubic  26907  dquartlem1  26909  birthdaylem2  27010  lgamgulmlem2  27088  lgamcvg2  27113  ftalem2  27132  basellem3  27141  gausslemma2dlem1a  27424  lgsquadlem1  27439  addsqrexnreu  27501  pntrlog2bndlem4  27639  axsegconlem1  28947  lt2addrd  32762  ballotlemsf1o  34495  revpfxsfxrev  35100  swrdrevpfx  35101  bcprod  35718  irrdiff  37309  sticksstones12a  42139  sticksstones12  42140  fltnltalem  42649  fltnlta  42650  lzenom  42758  rmspecfund  42897  fzmaxdif  42970  jm2.18  42977  jm2.19  42982  jm2.20nn  42986  supxrgere  45283  lptre2pt  45596  ioodvbdlimc2lem  45890  dvnprodlem1  45902  dvnprodlem2  45903  fourierdlem4  46067  fourierdlem26  46089  fourierdlem42  46105  fourierdlem48  46110  fourierdlem65  46127  fouriersw  46187  sge0gtfsumgt  46399  meaiininclem  46442  m1modne  47288  fmtnorec2lem  47467  goldbachthlem2  47471  pw2m1lepw2m1  48366  eenglngeehlnmlem2  48588  itsclquadb  48626