Theorem nncand 11602

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11515	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  ℂcc 11126   − cmin 11469

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276  df-sub 11471

This theorem is used by:  moddiffl  13947  flmod  13950  ccatswrd  14742  revpfxsfxrev  14841  swrdrevpfx  14842  o1dif  15721  fprodser  16042  fprodrev  16070  fallfacval3  16105  efaddlem  16185  4sqlem5  17040  mul4sqlem  17051  4sqlem14  17056  znunit  21782  coe1tmmul2  22508  blssps  24656  blss  24657  metdstri  25084  ivthlem3  25687  ioorcl2  25806  vitalilem2  25843  dvexp3  26212  dvcvx  26254  iblulm  26650  chordthmlem4  27080  heron  27083  cubic  27094  dquartlem1  27096  birthdaylem2  27197  lgamgulmlem2  27274  lgamcvg2  27299  ftalem2  27318  basellem3  27327  gausslemma2dlem1a  27609  lgsquadlem1  27624  addsqrexnreu  27686  pntrlog2bndlem4  27824  axsegconlem1  29382  lt2addrd  33229  vietalem  34097  vieta  34098  ballotlemsf1o  35033  bcprod  36325  irrdiff  38086  qdiff  38087  sticksstones12a  43031  sticksstones12  43032  fltnltalem  43516  fltnlta  43517  lzenom  43623  rmspecfund  43758  fzmaxdif  43830  jm2.18  43837  jm2.19  43842  jm2.20nn  43846  supxrgere  46171  lptre2pt  46476  ioodvbdlimc2lem  46770  dvnprodlem1  46782  dvnprodlem2  46783  fourierdlem4  46947  fourierdlem26  46969  fourierdlem42  46985  fourierdlem48  46990  fourierdlem65  47007  fouriersw  47067  sge0gtfsumgt  47279  meaiininclem  47322  m1modne  48250  fmtnorec2lem  48453  goldbachthlem2  48457  ppivalnnprm  48536  pw2m1lepw2m1  49458  eenglngeehlnmlem2  49676  itsclquadb  49714