Theorem nncand 11508

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11421	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℂcc 11034   − cmin 11375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182  df-sub 11377

This theorem is referenced by:  moddiffl  13839  flmod  13842  ccatswrd  14629  o1dif  15590  fprodser  15912  fprodrev  15940  fallfacval3  15975  efaddlem  16056  4sqlem5  16911  mul4sqlem  16922  4sqlem14  16927  znunit  21545  coe1tmmul2  22269  blssps  24414  blss  24415  metdstri  24842  ivthlem3  25445  ioorcl2  25564  vitalilem2  25601  dvexp3  25970  dvcvx  26012  iblulm  26397  chordthmlem4  26824  heron  26827  cubic  26838  dquartlem1  26840  birthdaylem2  26941  lgamgulmlem2  27018  lgamcvg2  27043  ftalem2  27062  basellem3  27071  gausslemma2dlem1a  27353  lgsquadlem1  27368  addsqrexnreu  27430  pntrlog2bndlem4  27568  axsegconlem1  29011  lt2addrd  32849  vietalem  33770  vieta  33771  ballotlemsf1o  34705  revpfxsfxrev  35351  swrdrevpfx  35352  bcprod  35973  irrdiff  37693  qdiff  37694  sticksstones12a  42649  sticksstones12  42650  fltnltalem  43119  fltnlta  43120  lzenom  43226  rmspecfund  43361  fzmaxdif  43433  jm2.18  43440  jm2.19  43445  jm2.20nn  43449  supxrgere  45785  lptre2pt  46090  ioodvbdlimc2lem  46384  dvnprodlem1  46396  dvnprodlem2  46397  fourierdlem4  46561  fourierdlem26  46583  fourierdlem42  46599  fourierdlem48  46604  fourierdlem65  46621  fouriersw  46681  sge0gtfsumgt  46893  meaiininclem  46936  m1modne  47824  fmtnorec2lem  48027  goldbachthlem2  48031  ppivalnnprm  48110  pw2m1lepw2m1  49018  eenglngeehlnmlem2  49236  itsclquadb  49274