Theorem nncand 11538

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11451	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066   − cmin 11405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407

This theorem is referenced by:  moddiffl  13844  flmod  13847  ccatswrd  14633  o1dif  15596  fprodser  15915  fprodrev  15943  fallfacval3  15978  efaddlem  16059  4sqlem5  16913  mul4sqlem  16924  4sqlem14  16929  znunit  21473  coe1tmmul2  22162  blssps  24312  blss  24313  metdstri  24740  ivthlem3  25354  ioorcl2  25473  vitalilem2  25510  dvexp3  25882  dvcvx  25925  iblulm  26316  chordthmlem4  26745  heron  26748  cubic  26759  dquartlem1  26761  birthdaylem2  26862  lgamgulmlem2  26940  lgamcvg2  26965  ftalem2  26984  basellem3  26993  gausslemma2dlem1a  27276  lgsquadlem1  27291  addsqrexnreu  27353  pntrlog2bndlem4  27491  axsegconlem1  28844  lt2addrd  32674  ballotlemsf1o  34505  revpfxsfxrev  35103  swrdrevpfx  35104  bcprod  35725  irrdiff  37314  sticksstones12a  42145  sticksstones12  42146  fltnltalem  42650  fltnlta  42651  lzenom  42758  rmspecfund  42897  fzmaxdif  42970  jm2.18  42977  jm2.19  42982  jm2.20nn  42986  supxrgere  45329  lptre2pt  45638  ioodvbdlimc2lem  45932  dvnprodlem1  45944  dvnprodlem2  45945  fourierdlem4  46109  fourierdlem26  46131  fourierdlem42  46147  fourierdlem48  46152  fourierdlem65  46169  fouriersw  46229  sge0gtfsumgt  46441  meaiininclem  46484  m1modne  47349  fmtnorec2lem  47543  goldbachthlem2  47547  pw2m1lepw2m1  48509  eenglngeehlnmlem2  48727  itsclquadb  48765