Theorem nncand 11575

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11488	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℂcc 11099   − cmin 11442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11444

This theorem is referenced by:  moddiffl  13917  flmod  13920  ccatswrd  14708  o1dif  15683  fprodser  16005  fprodrev  16033  fallfacval3  16068  efaddlem  16148  4sqlem5  17003  mul4sqlem  17014  4sqlem14  17019  znunit  21694  coe1tmmul2  22418  blssps  24562  blss  24563  metdstri  24990  ivthlem3  25593  ioorcl2  25712  vitalilem2  25749  dvexp3  26118  dvcvx  26160  iblulm  26548  chordthmlem4  26978  heron  26981  cubic  26992  dquartlem1  26994  birthdaylem2  27095  lgamgulmlem2  27172  lgamcvg2  27197  ftalem2  27216  basellem3  27225  gausslemma2dlem1a  27507  lgsquadlem1  27522  addsqrexnreu  27584  pntrlog2bndlem4  27722  axsegconlem1  29245  lt2addrd  33073  vietalem  33947  vieta  33948  ballotlemsf1o  34882  revpfxsfxrev  35585  swrdrevpfx  35586  bcprod  36208  irrdiff  37948  qdiff  37949  sticksstones12a  42902  sticksstones12  42903  fltnltalem  43374  fltnlta  43375  lzenom  43481  rmspecfund  43616  fzmaxdif  43688  jm2.18  43695  jm2.19  43700  jm2.20nn  43704  supxrgere  46029  lptre2pt  46334  ioodvbdlimc2lem  46628  dvnprodlem1  46640  dvnprodlem2  46641  fourierdlem4  46805  fourierdlem26  46827  fourierdlem42  46843  fourierdlem48  46848  fourierdlem65  46865  fouriersw  46925  sge0gtfsumgt  47137  meaiininclem  47180  m1modne  48068  fmtnorec2lem  48271  goldbachthlem2  48275  ppivalnnprm  48354  pw2m1lepw2m1  49277  eenglngeehlnmlem2  49495  itsclquadb  49533