Theorem nncand 11592

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11505	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  ℂcc 11116   − cmin 11459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-sub 11461

This theorem is used by:  moddiffl  13935  flmod  13938  ccatswrd  14730  revpfxsfxrev  14829  swrdrevpfx  14830  o1dif  15707  fprodser  16029  fprodrev  16057  fallfacval3  16092  efaddlem  16172  4sqlem5  17027  mul4sqlem  17038  4sqlem14  17043  znunit  21750  coe1tmmul2  22474  blssps  24618  blss  24619  metdstri  25046  ivthlem3  25649  ioorcl2  25768  vitalilem2  25805  dvexp3  26174  dvcvx  26216  iblulm  26607  chordthmlem4  27037  heron  27040  cubic  27051  dquartlem1  27053  birthdaylem2  27154  lgamgulmlem2  27231  lgamcvg2  27256  ftalem2  27275  basellem3  27284  gausslemma2dlem1a  27566  lgsquadlem1  27581  addsqrexnreu  27643  pntrlog2bndlem4  27781  axsegconlem1  29304  lt2addrd  33132  vietalem  34000  vieta  34001  ballotlemsf1o  34936  bcprod  36251  irrdiff  38011  qdiff  38012  sticksstones12a  42965  sticksstones12  42966  fltnltalem  43435  fltnlta  43436  lzenom  43542  rmspecfund  43677  fzmaxdif  43749  jm2.18  43756  jm2.19  43761  jm2.20nn  43765  supxrgere  46090  lptre2pt  46395  ioodvbdlimc2lem  46689  dvnprodlem1  46701  dvnprodlem2  46702  fourierdlem4  46866  fourierdlem26  46888  fourierdlem42  46904  fourierdlem48  46909  fourierdlem65  46926  fouriersw  46986  sge0gtfsumgt  47198  meaiininclem  47241  m1modne  48132  fmtnorec2lem  48335  goldbachthlem2  48339  ppivalnnprm  48418  pw2m1lepw2m1  49341  eenglngeehlnmlem2  49559  itsclquadb  49597