Theorem nncand 11510

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11423	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   − cmin 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379

This theorem is referenced by:  moddiffl  13841  flmod  13844  ccatswrd  14631  o1dif  15592  fprodser  15914  fprodrev  15942  fallfacval3  15977  efaddlem  16058  4sqlem5  16913  mul4sqlem  16924  4sqlem14  16929  znunit  21543  coe1tmmul2  22241  blssps  24389  blss  24390  metdstri  24817  ivthlem3  25420  ioorcl2  25539  vitalilem2  25576  dvexp3  25945  dvcvx  25987  iblulm  26372  chordthmlem4  26799  heron  26802  cubic  26813  dquartlem1  26815  birthdaylem2  26916  lgamgulmlem2  26993  lgamcvg2  27018  ftalem2  27037  basellem3  27046  gausslemma2dlem1a  27328  lgsquadlem1  27343  addsqrexnreu  27405  pntrlog2bndlem4  27543  axsegconlem1  28986  lt2addrd  32823  vietalem  33723  vieta  33724  ballotlemsf1o  34658  revpfxsfxrev  35298  swrdrevpfx  35299  bcprod  35920  irrdiff  37640  qdiff  37641  sticksstones12a  42596  sticksstones12  42597  fltnltalem  43095  fltnlta  43096  lzenom  43202  rmspecfund  43337  fzmaxdif  43409  jm2.18  43416  jm2.19  43421  jm2.20nn  43425  supxrgere  45763  lptre2pt  46068  ioodvbdlimc2lem  46362  dvnprodlem1  46374  dvnprodlem2  46375  fourierdlem4  46539  fourierdlem26  46561  fourierdlem42  46577  fourierdlem48  46582  fourierdlem65  46599  fouriersw  46659  sge0gtfsumgt  46871  meaiininclem  46914  m1modne  47802  fmtnorec2lem  48005  goldbachthlem2  48009  ppivalnnprm  48088  pw2m1lepw2m1  48996  eenglngeehlnmlem2  49214  itsclquadb  49252