Theorem nncand 11704

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11617	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7446  ℂcc 11228   − cmin 11571

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-ltxr 11378  df-sub 11573

This theorem is used by:  moddiffl  14052  flmod  14055  ccatswrd  14849  revpfxsfxrev  14948  swrdrevpfx  14949  o1dif  15829  fprodser  16148  fprodrev  16176  fallfacval3  16211  efaddlem  16291  4sqlem5  17152  mul4sqlem  17163  4sqlem14  17168  znunit  21902  coe1tmmul2  22628  blssps  24776  blss  24777  metdstri  25204  ivthlem3  25807  ioorcl2  25926  vitalilem2  25963  dvexp3  26331  dvcvx  26373  iblulm  26767  chordthmlem4  27196  heron  27199  cubic  27210  dquartlem1  27212  birthdaylem2  27313  lgamgulmlem2  27390  lgamcvg2  27415  ftalem2  27434  basellem3  27443  gausslemma2dlem1a  27725  lgsquadlem1  27740  addsqrexnreu  27802  pntrlog2bndlem4  27940  axsegconlem1  29528  lt2addrd  33415  vietalem  34294  vieta  34295  ballotlemsf1o  35229  bcprod  36694  irrdiff  38452  qdiff  38453  sticksstones12a  43410  sticksstones12  43411  fltnltalem  43877  fltnlta  43878  lzenom  43985  rmspecfund  44120  fzmaxdif  44192  jm2.18  44199  jm2.19  44204  jm2.20nn  44208  supxrgere  46560  lptre2pt  46865  ioodvbdlimc2lem  47159  dvnprodlem1  47171  dvnprodlem2  47172  fourierdlem4  47336  fourierdlem26  47358  fourierdlem42  47374  fourierdlem48  47379  fourierdlem65  47396  fouriersw  47456  sge0gtfsumgt  47668  meaiininclem  47711  m1modne  48639  fmtnorec2lem  48842  goldbachthlem2  48846  ppivalnnprm  48925  pw2m1lepw2m1  49847  eenglngeehlnmlem2  50066  itsclquadb  50103