Theorem nncand 11544

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11457	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7392  ℂcc 11068   − cmin 11411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-ltxr 11218  df-sub 11413

This theorem is referenced by:  moddiffl  13889  flmod  13892  ccatswrd  14679  o1dif  15640  fprodser  15962  fprodrev  15990  fallfacval3  16025  efaddlem  16106  4sqlem5  16961  mul4sqlem  16972  4sqlem14  16977  znunit  21595  coe1tmmul2  22319  blssps  24464  blss  24465  metdstri  24892  ivthlem3  25495  ioorcl2  25614  vitalilem2  25651  dvexp3  26020  dvcvx  26062  iblulm  26447  chordthmlem4  26877  heron  26880  cubic  26891  dquartlem1  26893  birthdaylem2  26994  lgamgulmlem2  27071  lgamcvg2  27096  ftalem2  27115  basellem3  27124  gausslemma2dlem1a  27406  lgsquadlem1  27421  addsqrexnreu  27483  pntrlog2bndlem4  27621  axsegconlem1  29064  lt2addrd  32902  vietalem  33837  vieta  33838  ballotlemsf1o  34772  revpfxsfxrev  35430  swrdrevpfx  35431  bcprod  36052  irrdiff  37782  qdiff  37783  sticksstones12a  42738  sticksstones12  42739  fltnltalem  43208  fltnlta  43209  lzenom  43315  rmspecfund  43450  fzmaxdif  43522  jm2.18  43529  jm2.19  43534  jm2.20nn  43538  supxrgere  45873  lptre2pt  46178  ioodvbdlimc2lem  46472  dvnprodlem1  46484  dvnprodlem2  46485  fourierdlem4  46649  fourierdlem26  46671  fourierdlem42  46687  fourierdlem48  46692  fourierdlem65  46709  fouriersw  46769  sge0gtfsumgt  46981  meaiininclem  47024  m1modne  47912  fmtnorec2lem  48115  goldbachthlem2  48119  ppivalnnprm  48198  pw2m1lepw2m1  49106  eenglngeehlnmlem2  49324  itsclquadb  49362