MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nncand Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nncand 11518
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
nncand (𝜑 → (𝐴 − (𝐴𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 nncan 11431 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴𝐵)) = 𝐵)
41, 2, 3syl2anc 585 1 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴𝐵)) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7358  cc 11050  cmin 11386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195  df-sub 11388
This theorem is referenced by:  moddiffl  13788  flmod  13791  ccatswrd  14557  o1dif  15513  fprodser  15833  fprodrev  15861  fallfacval3  15896  efaddlem  15976  4sqlem5  16815  mul4sqlem  16826  4sqlem14  16831  znunit  20973  coe1tmmul2  21650  blssps  23780  blss  23781  metdstri  24217  ivthlem3  24820  ioorcl2  24939  vitalilem2  24976  dvexp3  25345  dvcvx  25387  iblulm  25769  chordthmlem4  26188  heron  26191  cubic  26202  dquartlem1  26204  birthdaylem2  26305  lgamgulmlem2  26382  lgamcvg2  26407  ftalem2  26426  basellem3  26435  gausslemma2dlem1a  26716  lgsquadlem1  26731  addsqrexnreu  26793  pntrlog2bndlem4  26931  axsegconlem1  27869  lt2addrd  31659  ballotlemsf1o  33116  revpfxsfxrev  33712  swrdrevpfx  33713  bcprod  34314  irrdiff  35800  sticksstones12a  40568  sticksstones12  40569  fltnltalem  41003  fltnlta  41004  lzenom  41096  rmspecfund  41235  fzmaxdif  41308  jm2.18  41315  jm2.19  41320  jm2.20nn  41324  supxrgere  43574  lptre2pt  43888  ioodvbdlimc2lem  44182  dvnprodlem1  44194  dvnprodlem2  44195  fourierdlem4  44359  fourierdlem26  44381  fourierdlem42  44397  fourierdlem48  44402  fourierdlem65  44419  fouriersw  44479  sge0gtfsumgt  44691  meaiininclem  44734  fmtnorec2lem  45741  goldbachthlem2  45745  pw2m1lepw2m1  46608  eenglngeehlnmlem2  46831  itsclquadb  46869
  Copyright terms: Public domain W3C validator