Theorem nncand 11575

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11488	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7408  ℂcc 11107   − cmin 11443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445

This theorem is referenced by:  moddiffl  13846  flmod  13849  ccatswrd  14617  o1dif  15573  fprodser  15892  fprodrev  15920  fallfacval3  15955  efaddlem  16035  4sqlem5  16874  mul4sqlem  16885  4sqlem14  16890  znunit  21118  coe1tmmul2  21797  blssps  23929  blss  23930  metdstri  24366  ivthlem3  24969  ioorcl2  25088  vitalilem2  25125  dvexp3  25494  dvcvx  25536  iblulm  25918  chordthmlem4  26337  heron  26340  cubic  26351  dquartlem1  26353  birthdaylem2  26454  lgamgulmlem2  26531  lgamcvg2  26556  ftalem2  26575  basellem3  26584  gausslemma2dlem1a  26865  lgsquadlem1  26880  addsqrexnreu  26942  pntrlog2bndlem4  27080  axsegconlem1  28172  lt2addrd  31959  ballotlemsf1o  33507  revpfxsfxrev  34101  swrdrevpfx  34102  bcprod  34703  irrdiff  36202  sticksstones12a  40968  sticksstones12  40969  fltnltalem  41405  fltnlta  41406  lzenom  41498  rmspecfund  41637  fzmaxdif  41710  jm2.18  41717  jm2.19  41722  jm2.20nn  41726  supxrgere  44033  lptre2pt  44346  ioodvbdlimc2lem  44640  dvnprodlem1  44652  dvnprodlem2  44653  fourierdlem4  44817  fourierdlem26  44839  fourierdlem42  44855  fourierdlem48  44860  fourierdlem65  44877  fouriersw  44937  sge0gtfsumgt  45149  meaiininclem  45192  fmtnorec2lem  46200  goldbachthlem2  46204  pw2m1lepw2m1  47191  eenglngeehlnmlem2  47414  itsclquadb  47452