Theorem nncand 11497

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11410	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   − cmin 11364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366

This theorem is referenced by:  moddiffl  13802  flmod  13805  ccatswrd  14592  o1dif  15553  fprodser  15872  fprodrev  15900  fallfacval3  15935  efaddlem  16016  4sqlem5  16870  mul4sqlem  16881  4sqlem14  16886  znunit  21518  coe1tmmul2  22218  blssps  24368  blss  24369  metdstri  24796  ivthlem3  25410  ioorcl2  25529  vitalilem2  25566  dvexp3  25938  dvcvx  25981  iblulm  26372  chordthmlem4  26801  heron  26804  cubic  26815  dquartlem1  26817  birthdaylem2  26918  lgamgulmlem2  26996  lgamcvg2  27021  ftalem2  27040  basellem3  27049  gausslemma2dlem1a  27332  lgsquadlem1  27347  addsqrexnreu  27409  pntrlog2bndlem4  27547  axsegconlem1  28990  lt2addrd  32830  vietalem  33735  vieta  33736  ballotlemsf1o  34671  revpfxsfxrev  35310  swrdrevpfx  35311  bcprod  35932  irrdiff  37527  sticksstones12a  42407  sticksstones12  42408  fltnltalem  42901  fltnlta  42902  lzenom  43008  rmspecfund  43147  fzmaxdif  43219  jm2.18  43226  jm2.19  43231  jm2.20nn  43235  supxrgere  45574  lptre2pt  45880  ioodvbdlimc2lem  46174  dvnprodlem1  46186  dvnprodlem2  46187  fourierdlem4  46351  fourierdlem26  46373  fourierdlem42  46389  fourierdlem48  46394  fourierdlem65  46411  fouriersw  46471  sge0gtfsumgt  46683  meaiininclem  46726  m1modne  47590  fmtnorec2lem  47784  goldbachthlem2  47788  pw2m1lepw2m1  48762  eenglngeehlnmlem2  48980  itsclquadb  49018