Theorem nncand 11501

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11414	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027   − cmin 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370

This theorem is referenced by:  moddiffl  13832  flmod  13835  ccatswrd  14622  o1dif  15583  fprodser  15905  fprodrev  15933  fallfacval3  15968  efaddlem  16049  4sqlem5  16904  mul4sqlem  16915  4sqlem14  16920  znunit  21553  coe1tmmul2  22251  blssps  24399  blss  24400  metdstri  24827  ivthlem3  25430  ioorcl2  25549  vitalilem2  25586  dvexp3  25955  dvcvx  25997  iblulm  26385  chordthmlem4  26812  heron  26815  cubic  26826  dquartlem1  26828  birthdaylem2  26929  lgamgulmlem2  27007  lgamcvg2  27032  ftalem2  27051  basellem3  27060  gausslemma2dlem1a  27342  lgsquadlem1  27357  addsqrexnreu  27419  pntrlog2bndlem4  27557  axsegconlem1  29000  lt2addrd  32838  vietalem  33738  vieta  33739  ballotlemsf1o  34674  revpfxsfxrev  35314  swrdrevpfx  35315  bcprod  35936  irrdiff  37656  sticksstones12a  42610  sticksstones12  42611  fltnltalem  43109  fltnlta  43110  lzenom  43216  rmspecfund  43355  fzmaxdif  43427  jm2.18  43434  jm2.19  43439  jm2.20nn  43443  supxrgere  45781  lptre2pt  46086  ioodvbdlimc2lem  46380  dvnprodlem1  46392  dvnprodlem2  46393  fourierdlem4  46557  fourierdlem26  46579  fourierdlem42  46595  fourierdlem48  46600  fourierdlem65  46617  fouriersw  46677  sge0gtfsumgt  46889  meaiininclem  46932  m1modne  47814  fmtnorec2lem  48017  goldbachthlem2  48021  ppivalnnprm  48100  pw2m1lepw2m1  49008  eenglngeehlnmlem2  49226  itsclquadb  49264