MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nncand Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nncand 10990
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
nncand (𝜑 → (𝐴 − (𝐴𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 nncan 10903 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴𝐵)) = 𝐵)
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴𝐵)) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  (class class class)co 7145  cc 10523  cmin 10858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668  df-sub 10860
This theorem is referenced by:  moddiffl  13238  flmod  13241  ccatswrd  14018  o1dif  14974  fprodser  15291  fprodrev  15319  fallfacval3  15354  efaddlem  15434  4sqlem5  16266  mul4sqlem  16277  4sqlem14  16282  coe1tmmul2  20372  znunit  20638  blssps  22961  blss  22962  metdstri  23386  ivthlem3  23981  ioorcl2  24100  vitalilem2  24137  dvexp3  24502  dvcvx  24544  iblulm  24922  chordthmlem4  25340  heron  25343  cubic  25354  dquartlem1  25356  birthdaylem2  25457  lgamgulmlem2  25534  lgamcvg2  25559  ftalem2  25578  basellem3  25587  gausslemma2dlem1a  25868  lgsquadlem1  25883  addsqrexnreu  25945  pntrlog2bndlem4  26083  axsegconlem1  26630  lt2addrd  30401  ballotlemsf1o  31670  revpfxsfxrev  32259  swrdrevpfx  32260  bcprod  32867  fltnltalem  39152  fltnlta  39153  lzenom  39245  rmspecfund  39384  fzmaxdif  39456  jm2.18  39463  jm2.19  39468  jm2.20nn  39472  supxrgere  41477  lptre2pt  41797  ioodvbdlimc2lem  42095  dvnprodlem1  42107  dvnprodlem2  42108  fourierdlem4  42273  fourierdlem26  42295  fourierdlem42  42311  fourierdlem48  42316  fourierdlem65  42333  fouriersw  42393  sge0gtfsumgt  42602  meaiininclem  42645  fmtnorec2lem  43581  goldbachthlem2  43585  pw2m1lepw2m1  44503  eenglngeehlnmlem2  44653  itsclquadb  44691
  Copyright terms: Public domain W3C validator