Theorem nncand 11655

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11568	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  ℂcc 11179   − cmin 11522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11524

This theorem is used by:  moddiffl  14002  flmod  14005  ccatswrd  14798  revpfxsfxrev  14897  swrdrevpfx  14898  o1dif  15777  fprodser  16096  fprodrev  16124  fallfacval3  16159  efaddlem  16239  4sqlem5  17100  mul4sqlem  17111  4sqlem14  17116  znunit  21849  coe1tmmul2  22575  blssps  24723  blss  24724  metdstri  25151  ivthlem3  25754  ioorcl2  25873  vitalilem2  25910  dvexp3  26278  dvcvx  26320  iblulm  26716  chordthmlem4  27145  heron  27148  cubic  27159  dquartlem1  27161  birthdaylem2  27262  lgamgulmlem2  27339  lgamcvg2  27364  ftalem2  27383  basellem3  27392  gausslemma2dlem1a  27674  lgsquadlem1  27689  addsqrexnreu  27751  pntrlog2bndlem4  27889  axsegconlem1  29477  lt2addrd  33324  vietalem  34193  vieta  34194  ballotlemsf1o  35129  bcprod  36472  irrdiff  38215  qdiff  38216  sticksstones12a  43175  sticksstones12  43176  fltnltalem  43627  fltnlta  43628  lzenom  43734  rmspecfund  43869  fzmaxdif  43941  jm2.18  43948  jm2.19  43953  jm2.20nn  43957  supxrgere  46289  lptre2pt  46594  ioodvbdlimc2lem  46888  dvnprodlem1  46900  dvnprodlem2  46901  fourierdlem4  47065  fourierdlem26  47087  fourierdlem42  47103  fourierdlem48  47108  fourierdlem65  47125  fouriersw  47185  sge0gtfsumgt  47397  meaiininclem  47440  m1modne  48368  fmtnorec2lem  48571  goldbachthlem2  48575  ppivalnnprm  48654  pw2m1lepw2m1  49576  eenglngeehlnmlem2  49794  itsclquadb  49832