Theorem nncand 11477

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11390	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11004   − cmin 11344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346

This theorem is referenced by:  moddiffl  13786  flmod  13789  ccatswrd  14576  o1dif  15537  fprodser  15856  fprodrev  15884  fallfacval3  15919  efaddlem  16000  4sqlem5  16854  mul4sqlem  16865  4sqlem14  16870  znunit  21500  coe1tmmul2  22190  blssps  24339  blss  24340  metdstri  24767  ivthlem3  25381  ioorcl2  25500  vitalilem2  25537  dvexp3  25909  dvcvx  25952  iblulm  26343  chordthmlem4  26772  heron  26775  cubic  26786  dquartlem1  26788  birthdaylem2  26889  lgamgulmlem2  26967  lgamcvg2  26992  ftalem2  27011  basellem3  27020  gausslemma2dlem1a  27303  lgsquadlem1  27318  addsqrexnreu  27380  pntrlog2bndlem4  27518  axsegconlem1  28895  lt2addrd  32734  ballotlemsf1o  34527  revpfxsfxrev  35160  swrdrevpfx  35161  bcprod  35782  irrdiff  37370  sticksstones12a  42249  sticksstones12  42250  fltnltalem  42754  fltnlta  42755  lzenom  42862  rmspecfund  43001  fzmaxdif  43073  jm2.18  43080  jm2.19  43085  jm2.20nn  43089  supxrgere  45431  lptre2pt  45737  ioodvbdlimc2lem  46031  dvnprodlem1  46043  dvnprodlem2  46044  fourierdlem4  46208  fourierdlem26  46230  fourierdlem42  46246  fourierdlem48  46251  fourierdlem65  46268  fouriersw  46328  sge0gtfsumgt  46540  meaiininclem  46583  m1modne  47447  fmtnorec2lem  47641  goldbachthlem2  47645  pw2m1lepw2m1  48620  eenglngeehlnmlem2  48838  itsclquadb  48876