Theorem nncand 11625

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11538	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   − cmin 11492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494

This theorem is referenced by:  moddiffl  13922  flmod  13925  ccatswrd  14706  o1dif  15666  fprodser  15985  fprodrev  16013  fallfacval3  16048  efaddlem  16129  4sqlem5  16980  mul4sqlem  16991  4sqlem14  16996  znunit  21582  coe1tmmul2  22279  blssps  24434  blss  24435  metdstri  24873  ivthlem3  25488  ioorcl2  25607  vitalilem2  25644  dvexp3  26016  dvcvx  26059  iblulm  26450  chordthmlem4  26878  heron  26881  cubic  26892  dquartlem1  26894  birthdaylem2  26995  lgamgulmlem2  27073  lgamcvg2  27098  ftalem2  27117  basellem3  27126  gausslemma2dlem1a  27409  lgsquadlem1  27424  addsqrexnreu  27486  pntrlog2bndlem4  27624  axsegconlem1  28932  lt2addrd  32755  ballotlemsf1o  34516  revpfxsfxrev  35121  swrdrevpfx  35122  bcprod  35738  irrdiff  37327  sticksstones12a  42158  sticksstones12  42159  fltnltalem  42672  fltnlta  42673  lzenom  42781  rmspecfund  42920  fzmaxdif  42993  jm2.18  43000  jm2.19  43005  jm2.20nn  43009  supxrgere  45344  lptre2pt  45655  ioodvbdlimc2lem  45949  dvnprodlem1  45961  dvnprodlem2  45962  fourierdlem4  46126  fourierdlem26  46148  fourierdlem42  46164  fourierdlem48  46169  fourierdlem65  46186  fouriersw  46246  sge0gtfsumgt  46458  meaiininclem  46501  m1modne  47350  fmtnorec2lem  47529  goldbachthlem2  47533  pw2m1lepw2m1  48437  eenglngeehlnmlem2  48659  itsclquadb  48697