Theorem nncand 11675

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11588	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7421  ℂcc 11199   − cmin 11542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-ltxr 11349  df-sub 11544

This theorem is used by:  moddiffl  14023  flmod  14026  ccatswrd  14819  revpfxsfxrev  14918  swrdrevpfx  14919  o1dif  15798  fprodser  16117  fprodrev  16145  fallfacval3  16180  efaddlem  16260  4sqlem5  17121  mul4sqlem  17132  4sqlem14  17137  znunit  21870  coe1tmmul2  22596  blssps  24744  blss  24745  metdstri  25172  ivthlem3  25775  ioorcl2  25894  vitalilem2  25931  dvexp3  26299  dvcvx  26341  iblulm  26735  chordthmlem4  27164  heron  27167  cubic  27178  dquartlem1  27180  birthdaylem2  27281  lgamgulmlem2  27358  lgamcvg2  27383  ftalem2  27402  basellem3  27411  gausslemma2dlem1a  27693  lgsquadlem1  27708  addsqrexnreu  27770  pntrlog2bndlem4  27908  axsegconlem1  29496  lt2addrd  33343  vietalem  34212  vieta  34213  ballotlemsf1o  35147  bcprod  36504  irrdiff  38249  qdiff  38250  sticksstones12a  43209  sticksstones12  43210  fltnltalem  43675  fltnlta  43676  lzenom  43782  rmspecfund  43917  fzmaxdif  43989  jm2.18  43996  jm2.19  44001  jm2.20nn  44005  supxrgere  46346  lptre2pt  46651  ioodvbdlimc2lem  46945  dvnprodlem1  46957  dvnprodlem2  46958  fourierdlem4  47122  fourierdlem26  47144  fourierdlem42  47160  fourierdlem48  47165  fourierdlem65  47182  fouriersw  47242  sge0gtfsumgt  47454  meaiininclem  47497  m1modne  48425  fmtnorec2lem  48628  goldbachthlem2  48632  ppivalnnprm  48711  pw2m1lepw2m1  49633  eenglngeehlnmlem2  49851  itsclquadb  49889