Theorem nncand 11474

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11387	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11001   − cmin 11341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-ltxr 11148  df-sub 11343

This theorem is referenced by:  moddiffl  13783  flmod  13786  ccatswrd  14573  o1dif  15534  fprodser  15853  fprodrev  15881  fallfacval3  15916  efaddlem  15997  4sqlem5  16851  mul4sqlem  16862  4sqlem14  16867  znunit  21498  coe1tmmul2  22188  blssps  24337  blss  24338  metdstri  24765  ivthlem3  25379  ioorcl2  25498  vitalilem2  25535  dvexp3  25907  dvcvx  25950  iblulm  26341  chordthmlem4  26770  heron  26773  cubic  26784  dquartlem1  26786  birthdaylem2  26887  lgamgulmlem2  26965  lgamcvg2  26990  ftalem2  27009  basellem3  27018  gausslemma2dlem1a  27301  lgsquadlem1  27316  addsqrexnreu  27378  pntrlog2bndlem4  27516  axsegconlem1  28893  lt2addrd  32729  ballotlemsf1o  34522  revpfxsfxrev  35148  swrdrevpfx  35149  bcprod  35770  irrdiff  37359  sticksstones12a  42189  sticksstones12  42190  fltnltalem  42694  fltnlta  42695  lzenom  42802  rmspecfund  42941  fzmaxdif  43013  jm2.18  43020  jm2.19  43025  jm2.20nn  43029  supxrgere  45371  lptre2pt  45677  ioodvbdlimc2lem  45971  dvnprodlem1  45983  dvnprodlem2  45984  fourierdlem4  46148  fourierdlem26  46170  fourierdlem42  46186  fourierdlem48  46191  fourierdlem65  46208  fouriersw  46268  sge0gtfsumgt  46480  meaiininclem  46523  m1modne  47378  fmtnorec2lem  47572  goldbachthlem2  47576  pw2m1lepw2m1  48551  eenglngeehlnmlem2  48769  itsclquadb  48807