Theorem nncand 11599

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11512	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℂcc 11127   − cmin 11466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-sub 11468

This theorem is referenced by:  moddiffl  13899  flmod  13902  ccatswrd  14686  o1dif  15646  fprodser  15965  fprodrev  15993  fallfacval3  16028  efaddlem  16109  4sqlem5  16962  mul4sqlem  16973  4sqlem14  16978  znunit  21524  coe1tmmul2  22213  blssps  24363  blss  24364  metdstri  24791  ivthlem3  25406  ioorcl2  25525  vitalilem2  25562  dvexp3  25934  dvcvx  25977  iblulm  26368  chordthmlem4  26797  heron  26800  cubic  26811  dquartlem1  26813  birthdaylem2  26914  lgamgulmlem2  26992  lgamcvg2  27017  ftalem2  27036  basellem3  27045  gausslemma2dlem1a  27328  lgsquadlem1  27343  addsqrexnreu  27405  pntrlog2bndlem4  27543  axsegconlem1  28896  lt2addrd  32728  ballotlemsf1o  34546  revpfxsfxrev  35138  swrdrevpfx  35139  bcprod  35755  irrdiff  37344  sticksstones12a  42170  sticksstones12  42171  fltnltalem  42685  fltnlta  42686  lzenom  42793  rmspecfund  42932  fzmaxdif  43005  jm2.18  43012  jm2.19  43017  jm2.20nn  43021  supxrgere  45360  lptre2pt  45669  ioodvbdlimc2lem  45963  dvnprodlem1  45975  dvnprodlem2  45976  fourierdlem4  46140  fourierdlem26  46162  fourierdlem42  46178  fourierdlem48  46183  fourierdlem65  46200  fouriersw  46260  sge0gtfsumgt  46472  meaiininclem  46515  m1modne  47377  fmtnorec2lem  47556  goldbachthlem2  47560  pw2m1lepw2m1  48496  eenglngeehlnmlem2  48718  itsclquadb  48756