Theorem nncand 11498

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℂcc 11026   − cmin 11365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11367

This theorem is referenced by:  moddiffl  13804  flmod  13807  ccatswrd  14593  o1dif  15555  fprodser  15874  fprodrev  15902  fallfacval3  15937  efaddlem  16018  4sqlem5  16872  mul4sqlem  16883  4sqlem14  16888  znunit  21488  coe1tmmul2  22178  blssps  24328  blss  24329  metdstri  24756  ivthlem3  25370  ioorcl2  25489  vitalilem2  25526  dvexp3  25898  dvcvx  25941  iblulm  26332  chordthmlem4  26761  heron  26764  cubic  26775  dquartlem1  26777  birthdaylem2  26878  lgamgulmlem2  26956  lgamcvg2  26981  ftalem2  27000  basellem3  27009  gausslemma2dlem1a  27292  lgsquadlem1  27307  addsqrexnreu  27369  pntrlog2bndlem4  27507  axsegconlem1  28880  lt2addrd  32707  ballotlemsf1o  34481  revpfxsfxrev  35088  swrdrevpfx  35089  bcprod  35710  irrdiff  37299  sticksstones12a  42130  sticksstones12  42131  fltnltalem  42635  fltnlta  42636  lzenom  42743  rmspecfund  42882  fzmaxdif  42954  jm2.18  42961  jm2.19  42966  jm2.20nn  42970  supxrgere  45313  lptre2pt  45622  ioodvbdlimc2lem  45916  dvnprodlem1  45928  dvnprodlem2  45929  fourierdlem4  46093  fourierdlem26  46115  fourierdlem42  46131  fourierdlem48  46136  fourierdlem65  46153  fouriersw  46213  sge0gtfsumgt  46425  meaiininclem  46468  m1modne  47333  fmtnorec2lem  47527  goldbachthlem2  47531  pw2m1lepw2m1  48506  eenglngeehlnmlem2  48724  itsclquadb  48762