Theorem nncand 10991

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 10904	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℂcc 10524   − cmin 10859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861

This theorem is referenced by:  moddiffl  13245  flmod  13248  ccatswrd  14021  o1dif  14978  fprodser  15295  fprodrev  15323  fallfacval3  15358  efaddlem  15438  4sqlem5  16268  mul4sqlem  16279  4sqlem14  16284  znunit  20255  coe1tmmul2  20905  blssps  23031  blss  23032  metdstri  23456  ivthlem3  24057  ioorcl2  24176  vitalilem2  24213  dvexp3  24581  dvcvx  24623  iblulm  25002  chordthmlem4  25421  heron  25424  cubic  25435  dquartlem1  25437  birthdaylem2  25538  lgamgulmlem2  25615  lgamcvg2  25640  ftalem2  25659  basellem3  25668  gausslemma2dlem1a  25949  lgsquadlem1  25964  addsqrexnreu  26026  pntrlog2bndlem4  26164  axsegconlem1  26711  lt2addrd  30501  ballotlemsf1o  31881  revpfxsfxrev  32475  swrdrevpfx  32476  bcprod  33083  irrdiff  34740  fltnltalem  39618  fltnlta  39619  lzenom  39711  rmspecfund  39850  fzmaxdif  39922  jm2.18  39929  jm2.19  39934  jm2.20nn  39938  supxrgere  41965  lptre2pt  42282  ioodvbdlimc2lem  42576  dvnprodlem1  42588  dvnprodlem2  42589  fourierdlem4  42753  fourierdlem26  42775  fourierdlem42  42791  fourierdlem48  42796  fourierdlem65  42813  fouriersw  42873  sge0gtfsumgt  43082  meaiininclem  43125  fmtnorec2lem  44059  goldbachthlem2  44063  pw2m1lepw2m1  44929  eenglngeehlnmlem2  45152  itsclquadb  45190