Theorem nncand 11652

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11565	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182   − cmin 11520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522

This theorem is referenced by:  moddiffl  13933  flmod  13936  ccatswrd  14716  o1dif  15676  fprodser  15997  fprodrev  16025  fallfacval3  16060  efaddlem  16141  4sqlem5  16989  mul4sqlem  17000  4sqlem14  17005  znunit  21605  coe1tmmul2  22300  blssps  24455  blss  24456  metdstri  24892  ivthlem3  25507  ioorcl2  25626  vitalilem2  25663  dvexp3  26036  dvcvx  26079  iblulm  26468  chordthmlem4  26896  heron  26899  cubic  26910  dquartlem1  26912  birthdaylem2  27013  lgamgulmlem2  27091  lgamcvg2  27116  ftalem2  27135  basellem3  27144  gausslemma2dlem1a  27427  lgsquadlem1  27442  addsqrexnreu  27504  pntrlog2bndlem4  27642  axsegconlem1  28950  lt2addrd  32758  ballotlemsf1o  34478  revpfxsfxrev  35083  swrdrevpfx  35084  bcprod  35700  irrdiff  37292  sticksstones12a  42114  sticksstones12  42115  fltnltalem  42617  fltnlta  42618  lzenom  42726  rmspecfund  42865  fzmaxdif  42938  jm2.18  42945  jm2.19  42950  jm2.20nn  42954  supxrgere  45248  lptre2pt  45561  ioodvbdlimc2lem  45855  dvnprodlem1  45867  dvnprodlem2  45868  fourierdlem4  46032  fourierdlem26  46054  fourierdlem42  46070  fourierdlem48  46075  fourierdlem65  46092  fouriersw  46152  sge0gtfsumgt  46364  meaiininclem  46407  fmtnorec2lem  47416  goldbachthlem2  47420  pw2m1lepw2m1  48249  eenglngeehlnmlem2  48472  itsclquadb  48510