Theorem nncand 11509

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11422	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036   − cmin 11376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378

This theorem is referenced by:  moddiffl  13814  flmod  13817  ccatswrd  14604  o1dif  15565  fprodser  15884  fprodrev  15912  fallfacval3  15947  efaddlem  16028  4sqlem5  16882  mul4sqlem  16893  4sqlem14  16898  znunit  21530  coe1tmmul2  22230  blssps  24380  blss  24381  metdstri  24808  ivthlem3  25422  ioorcl2  25541  vitalilem2  25578  dvexp3  25950  dvcvx  25993  iblulm  26384  chordthmlem4  26813  heron  26816  cubic  26827  dquartlem1  26829  birthdaylem2  26930  lgamgulmlem2  27008  lgamcvg2  27033  ftalem2  27052  basellem3  27061  gausslemma2dlem1a  27344  lgsquadlem1  27359  addsqrexnreu  27421  pntrlog2bndlem4  27559  axsegconlem1  29002  lt2addrd  32840  vietalem  33755  vieta  33756  ballotlemsf1o  34691  revpfxsfxrev  35329  swrdrevpfx  35330  bcprod  35951  irrdiff  37575  sticksstones12a  42521  sticksstones12  42522  fltnltalem  43014  fltnlta  43015  lzenom  43121  rmspecfund  43260  fzmaxdif  43332  jm2.18  43339  jm2.19  43344  jm2.20nn  43348  supxrgere  45686  lptre2pt  45992  ioodvbdlimc2lem  46286  dvnprodlem1  46298  dvnprodlem2  46299  fourierdlem4  46463  fourierdlem26  46485  fourierdlem42  46501  fourierdlem48  46506  fourierdlem65  46523  fouriersw  46583  sge0gtfsumgt  46795  meaiininclem  46838  m1modne  47702  fmtnorec2lem  47896  goldbachthlem2  47900  pw2m1lepw2m1  48874  eenglngeehlnmlem2  49092  itsclquadb  49130