Theorem nncand 11607

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11520	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7420  ℂcc 11137   − cmin 11475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-ltxr 11284  df-sub 11477

This theorem is referenced by:  moddiffl  13880  flmod  13883  ccatswrd  14651  o1dif  15607  fprodser  15926  fprodrev  15954  fallfacval3  15989  efaddlem  16070  4sqlem5  16911  mul4sqlem  16922  4sqlem14  16927  znunit  21497  coe1tmmul2  22195  blssps  24343  blss  24344  metdstri  24780  ivthlem3  25395  ioorcl2  25514  vitalilem2  25551  dvexp3  25923  dvcvx  25966  iblulm  26356  chordthmlem4  26780  heron  26783  cubic  26794  dquartlem1  26796  birthdaylem2  26897  lgamgulmlem2  26975  lgamcvg2  27000  ftalem2  27019  basellem3  27028  gausslemma2dlem1a  27311  lgsquadlem1  27326  addsqrexnreu  27388  pntrlog2bndlem4  27526  axsegconlem1  28741  lt2addrd  32534  ballotlemsf1o  34133  revpfxsfxrev  34725  swrdrevpfx  34726  bcprod  35332  irrdiff  36805  sticksstones12a  41629  sticksstones12  41630  fltnltalem  42086  fltnlta  42087  lzenom  42190  rmspecfund  42329  fzmaxdif  42402  jm2.18  42409  jm2.19  42414  jm2.20nn  42418  supxrgere  44715  lptre2pt  45028  ioodvbdlimc2lem  45322  dvnprodlem1  45334  dvnprodlem2  45335  fourierdlem4  45499  fourierdlem26  45521  fourierdlem42  45537  fourierdlem48  45542  fourierdlem65  45559  fouriersw  45619  sge0gtfsumgt  45831  meaiininclem  45874  fmtnorec2lem  46882  goldbachthlem2  46886  pw2m1lepw2m1  47588  eenglngeehlnmlem2  47811  itsclquadb  47849