Theorem nncand 11562

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 11475	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℂcc 11086   − cmin 11429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236  df-sub 11431

This theorem is referenced by:  moddiffl  13906  flmod  13909  ccatswrd  14696  o1dif  15671  fprodser  15993  fprodrev  16021  fallfacval3  16056  efaddlem  16137  4sqlem5  16992  mul4sqlem  17003  4sqlem14  17008  znunit  21673  coe1tmmul2  22397  blssps  24542  blss  24543  metdstri  24970  ivthlem3  25573  ioorcl2  25692  vitalilem2  25729  dvexp3  26098  dvcvx  26140  iblulm  26528  chordthmlem4  26958  heron  26961  cubic  26972  dquartlem1  26974  birthdaylem2  27075  lgamgulmlem2  27152  lgamcvg2  27177  ftalem2  27196  basellem3  27205  gausslemma2dlem1a  27487  lgsquadlem1  27502  addsqrexnreu  27564  pntrlog2bndlem4  27702  axsegconlem1  29176  lt2addrd  33007  vietalem  33886  vieta  33887  ballotlemsf1o  34821  revpfxsfxrev  35478  swrdrevpfx  35479  bcprod  36101  irrdiff  37830  qdiff  37831  sticksstones12a  42786  sticksstones12  42787  fltnltalem  43256  fltnlta  43257  lzenom  43363  rmspecfund  43498  fzmaxdif  43570  jm2.18  43577  jm2.19  43582  jm2.20nn  43586  supxrgere  45907  lptre2pt  46212  ioodvbdlimc2lem  46506  dvnprodlem1  46518  dvnprodlem2  46519  fourierdlem4  46683  fourierdlem26  46705  fourierdlem42  46721  fourierdlem48  46726  fourierdlem65  46743  fouriersw  46803  sge0gtfsumgt  47015  meaiininclem  47058  m1modne  47946  fmtnorec2lem  48149  goldbachthlem2  48153  ppivalnnprm  48232  pw2m1lepw2m1  49151  eenglngeehlnmlem2  49369  itsclquadb  49407