MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat0 20627
Description: The matrix ring has the same zero as its underlying linear structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matbas.g 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
Assertion
Ref Expression
mat0 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (0g𝐺) = (0g𝐴))

Proof of Theorem mat0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2778 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
2 matbas.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 matbas.g . . 3 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
42, 3matbas 20623 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐴))
52, 3matplusg 20624 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (+g𝐺) = (+g𝐴))
65oveqdr 6950 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐴)𝑦))
71, 4, 6grpidpropd 17647 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (0g𝐺) = (0g𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106   × cxp 5353  cfv 6135  (class class class)co 6922  Fincfn 8241  Basecbs 16255  +gcplusg 16338  0gc0g 16486   freeLMod cfrlm 20489   Mat cmat 20617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-ot 4406  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-0g 16488  df-mat 20618
This theorem is referenced by:  mat0op  20629  matgsum  20647
  Copyright terms: Public domain W3C validator