Theorem matplusg 22454

Description: The matrix ring has the same addition as its underlying group. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matbas.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matbas.g	⊢ 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
matplusg	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐴))

Proof of Theorem matplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plusgid 17296	. . 3 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
2		plusgndxnmulrndx 17309	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
3	1, 2	setsnid 17227	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘(𝐺 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)⟩))
4		matbas.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		matbas.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
7	4, 5, 6	matval 22451	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝐴 = (𝐺 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)⟩))
8	7	fveq2d 6867	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (+g‘𝐴) = (+g‘(𝐺 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)⟩)))
9	3, 8	eqtr4id 2815	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ⟨cop 4587  ⟨cotp 4589   × cxp 5643  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Fincfn 8923   sSet csts 17182  ndxcnx 17212  +_gcplusg 17269  ._rcmulr 17270   freeLMod cfrlm 21778   maMul cmmul 22430   Mat cmat 22447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-mat 22448

This theorem is referenced by:  mat0  22457  matinvg  22458  matplusg2  22467  matlmod  22469  matsubg  22472  matgsum  22477  matdim  33873