MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matplusg 20545
Description: The matrix ring has the same addition as its underlying group. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matbas.g 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
Assertion
Ref Expression
matplusg ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (+g𝐺) = (+g𝐴))

Proof of Theorem matplusg
StepHypRef Expression
1 matbas.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 matbas.g . . . 4 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
3 eqid 2799 . . . 4 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
41, 2, 3matval 20542 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → 𝐴 = (𝐺 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)⟩))
54fveq2d 6415 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (+g𝐴) = (+g‘(𝐺 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)⟩)))
6 plusgid 16298 . . 3 +g = Slot (+g‘ndx)
7 plusgndx 16297 . . . 4 (+g‘ndx) = 2
8 2re 11387 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
9 2lt3 11492 . . . . . 6 2 < 3
108, 9ltneii 10440 . . . . 5 2 ≠ 3
11 mulrndx 16317 . . . . 5 (.r‘ndx) = 3
1210, 11neeqtrri 3044 . . . 4 2 ≠ (.r‘ndx)
137, 12eqnetri 3041 . . 3 (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
146, 13setsnid 16240 . 2 (+g𝐺) = (+g‘(𝐺 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)⟩))
155, 14syl6reqr 2852 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (+g𝐺) = (+g𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  cop 4374  cotp 4376   × cxp 5310  cfv 6101  (class class class)co 6878  Fincfn 8195  2c2 11368  3c3 11369  ndxcnx 16181   sSet csts 16182  +gcplusg 16267  .rcmulr 16268   freeLMod cfrlm 20415   maMul cmmul 20514   Mat cmat 20538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-ot 4377  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-sets 16191  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-mat 20539
This theorem is referenced by:  mat0  20548  matinvg  20549  matplusg2  20558  matlmod  20560  matsubg  20563  matgsum  20568
  Copyright terms: Public domain W3C validator