Theorem mat0op 22446

Description: Value of a zero matrix as operation. (Contributed by AV, 2-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat0op.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat0op.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mat0op	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 0 ))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑁   𝑅,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   0 (𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mat0op

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat0op.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
3	1, 2	mat0 22444	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (0g‘𝐴))
4		fconstmpo 7567	. . 3 ⊢ ((𝑁 × 𝑁) × {(0g‘𝑅)}) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅))
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
6		sqxpexg 7790	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
8		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	2, 8	frlm0 21797	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 × 𝑁) ∈ V) → ((𝑁 × 𝑁) × {(0g‘𝑅)}) = (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
10	5, 7, 9	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑁 × 𝑁) × {(0g‘𝑅)}) = (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
11		mat0op.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
12	11	eqcomi 2749	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = 0
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑅) = 0 )
14	13	mpoeq3ia 7528	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 0 )
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 0 ))
16	4, 10, 15	3eqtr3a 2804	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 0 ))
17	3, 16	eqtr3d 2782	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  {csn 4648   × cxp 5698  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  Fincfn 9003  0_gc0g 17499  Ringcrg 20260   freeLMod cfrlm 21789   Mat cmat 22432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-dsmm 21775  df-frlm 21790  df-mat 22433

This theorem is referenced by:  matinvgcell  22462  mat1dim0  22500  mdet0  22633  pmat0op  22722  decpmataa0  22795  decpmatid  22797  decpmatmulsumfsupp  22800  pmatcollpw2lem  22804  monmatcollpw  22806  mptcoe1matfsupp  22829  mp2pm2mplem4  22836  pm2mpmhmlem1  22845  chp0mat  22873