Theorem mat0op 22272

Description: Value of a zero matrix as operation. (Contributed by AV, 2-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat0op.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat0op.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mat0op	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 0 ))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑁   𝑅,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   0 (𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mat0op

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat0op.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2726	. . 3 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
3	1, 2	mat0 22270	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (0g‘𝐴))
4		fconstmpo 7520	. . 3 ⊢ ((𝑁 × 𝑁) × {(0g‘𝑅)}) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅))
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
6		sqxpexg 7738	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
8		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	2, 8	frlm0 21645	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 × 𝑁) ∈ V) → ((𝑁 × 𝑁) × {(0g‘𝑅)}) = (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
10	5, 7, 9	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑁 × 𝑁) × {(0g‘𝑅)}) = (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
11		mat0op.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
12	11	eqcomi 2735	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = 0
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑅) = 0 )
14	13	mpoeq3ia 7482	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 0 )
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 0 ))
16	4, 10, 15	3eqtr3a 2790	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 0 ))
17	3, 16	eqtr3d 2768	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  {csn 4623   × cxp 5667  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  Fincfn 8938  0_gc0g 17392  Ringcrg 20136   freeLMod cfrlm 21637   Mat cmat 22258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-subrg 20469  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-dsmm 21623  df-frlm 21638  df-mat 22259

This theorem is referenced by:  matinvgcell  22288  mat1dim0  22326  mdet0  22459  pmat0op  22548  decpmataa0  22621  decpmatid  22623  decpmatmulsumfsupp  22626  pmatcollpw2lem  22630  monmatcollpw  22632  mptcoe1matfsupp  22655  mp2pm2mplem4  22662  pm2mpmhmlem1  22671  chp0mat  22699