MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat0op Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat0op 21549
Description: Value of a zero matrix as operation. (Contributed by AV, 2-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mat0op.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat0op.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
mat0op ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁0 ))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑁   𝑅,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   0 (𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mat0op
StepHypRef Expression
1 mat0op.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 eqid 2739 . . 3 (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
31, 2mat0 21547 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (0g𝐴))
4 fconstmpo 7382 . . 3 ((𝑁 × 𝑁) × {(0g𝑅)}) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (0g𝑅))
5 simpr 484 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
6 sqxpexg 7596 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
76adantr 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
8 eqid 2739 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
92, 8frlm0 20942 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 × 𝑁) ∈ V) → ((𝑁 × 𝑁) × {(0g𝑅)}) = (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
105, 7, 9syl2anc 583 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑁 × 𝑁) × {(0g𝑅)}) = (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
11 mat0op.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
1211eqcomi 2748 . . . . . 6 (0g𝑅) = 0
1312a1i 11 . . . . 5 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (0g𝑅) = 0 )
1413mpoeq3ia 7344 . . . 4 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (0g𝑅)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁0 )
1514a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (0g𝑅)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁0 ))
164, 10, 153eqtr3a 2803 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁0 ))
173, 16eqtr3d 2781 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1541  wcel 2109  Vcvv 3430  {csn 4566   × cxp 5586  cfv 6430  (class class class)co 7268  cmpo 7270  Fincfn 8707  0gc0g 17131  Ringcrg 19764   freeLMod cfrlm 20934   Mat cmat 21535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-ot 4575  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-sup 9162  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-fz 13222  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-hom 16967  df-cco 16968  df-0g 17133  df-prds 17139  df-pws 17141  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-sbg 18563  df-subg 18733  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766  df-subrg 20003  df-lmod 20106  df-lss 20175  df-sra 20415  df-rgmod 20416  df-dsmm 20920  df-frlm 20935  df-mat 21536
This theorem is referenced by:  matinvgcell  21565  mat1dim0  21603  mdet0  21736  pmat0op  21825  decpmataa0  21898  decpmatid  21900  decpmatmulsumfsupp  21903  pmatcollpw2lem  21907  monmatcollpw  21909  mptcoe1matfsupp  21932  mp2pm2mplem4  21939  pm2mpmhmlem1  21948  chp0mat  21976
  Copyright terms: Public domain W3C validator