Theorem mat0op 22314

Description: Value of a zero matrix as operation. (Contributed by AV, 2-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat0op.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat0op.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mat0op	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 0 ))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑁   𝑅,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   0 (𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mat0op

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat0op.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2727	. . 3 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
3	1, 2	mat0 22312	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (0g‘𝐴))
4		fconstmpo 7531	. . 3 ⊢ ((𝑁 × 𝑁) × {(0g‘𝑅)}) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅))
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
6		sqxpexg 7751	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
8		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	2, 8	frlm0 21681	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 × 𝑁) ∈ V) → ((𝑁 × 𝑁) × {(0g‘𝑅)}) = (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
10	5, 7, 9	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑁 × 𝑁) × {(0g‘𝑅)}) = (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
11		mat0op.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
12	11	eqcomi 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = 0
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑅) = 0 )
14	13	mpoeq3ia 7492	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 0 )
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 0 ))
16	4, 10, 15	3eqtr3a 2791	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 0 ))
17	3, 16	eqtr3d 2769	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469  {csn 4624   × cxp 5670  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  Fincfn 8957  0_gc0g 17414  Ringcrg 20166   freeLMod cfrlm 21673   Mat cmat 22300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-hom 17250  df-cco 17251  df-0g 17416  df-prds 17422  df-pws 17424  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-subg 19071  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-subrg 20501  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-sra 21051  df-rgmod 21052  df-dsmm 21659  df-frlm 21674  df-mat 22301

This theorem is referenced by:  matinvgcell  22330  mat1dim0  22368  mdet0  22501  pmat0op  22590  decpmataa0  22663  decpmatid  22665  decpmatmulsumfsupp  22668  pmatcollpw2lem  22672  monmatcollpw  22674  mptcoe1matfsupp  22697  mp2pm2mplem4  22704  pm2mpmhmlem1  22713  chp0mat  22741