Theorem matbas 21558

Description: The matrix ring has the same base set as its underlying group. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matbas.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matbas.g	⊢ 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
matbas	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐴))

Proof of Theorem matbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseid 16913	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
2		basendxnmulrndx 17003	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
3	1, 2	setsnid 16908	. 2 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘(𝐺 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)⟩))
4		matbas.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		matbas.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
6		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
7	4, 5, 6	matval 21556	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝐴 = (𝐺 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)⟩))
8	7	fveq2d 6775	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Base‘𝐴) = (Base‘(𝐺 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)⟩)))
9	3, 8	eqtr4id 2799	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ⟨cop 4573  ⟨cotp 4575   × cxp 5588  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  Fincfn 8716   sSet csts 16862  ndxcnx 16892  Basecbs 16910  ._rcmulr 16961   freeLMod cfrlm 20951   maMul cmmul 21530   Mat cmat 21552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-mulr 16974  df-mat 21553

This theorem is referenced by:  mat0  21564  matinvg  21565  matbas2  21568  matplusg2  21574  matvsca2  21575  matlmod  21576  matsubg  21579  matsubgcell  21581  matgsum  21584  matdim  31694  matunitlindflem2  35770  matunitlindf  35771