Theorem matbas 22326

Description: The matrix ring has the same base set as its underlying group. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matbas.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matbas.g	⊢ 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
matbas	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐴))

Proof of Theorem matbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseid 17183	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
2		basendxnmulrndx 17276	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
3	1, 2	setsnid 17178	. 2 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘(𝐺 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)⟩))
4		matbas.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		matbas.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
6		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
7	4, 5, 6	matval 22324	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝐴 = (𝐺 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)⟩))
8	7	fveq2d 6901	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Base‘𝐴) = (Base‘(𝐺 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)⟩)))
9	3, 8	eqtr4id 2787	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ⟨cop 4635  ⟨cotp 4637   × cxp 5676  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8964   sSet csts 17132  ndxcnx 17162  Basecbs 17180  ._rcmulr 17234   freeLMod cfrlm 21680   maMul cmmul 22298   Mat cmat 22320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-mulr 17247  df-mat 22321

This theorem is referenced by:  mat0  22332  matinvg  22333  matbas2  22336  matplusg2  22342  matvsca2  22343  matlmod  22344  matsubg  22347  matsubgcell  22349  matgsum  22352  matdim  33313  matunitlindflem2  37090  matunitlindf  37091