Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt1 41071
Description: A is an endomapping. (Contributed by metakunt, 23-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt1.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt1.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt1.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt1.4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
Assertion
Ref Expression
metakunt1 (𝜑𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt1
StepHypRef Expression
1 eleq1 2821 . . 3 (𝑀 = if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) → (𝑀 ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) ∈ (1...𝑀)))
2 eleq1 2821 . . 3 (if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) → (if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) ∈ (1...𝑀)))
3 1zzd 12595 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 1 ∈ ℤ)
4 metakunt1.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
54nnzd 12587 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
65ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑀 ∈ ℤ)
74ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
87nnge1d 12262 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 1 ≤ 𝑀)
94nnred 12229 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
109ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑀 ∈ ℝ)
1110leidd 11782 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑀𝑀)
123, 6, 6, 8, 11elfzd 13494 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
13 eleq1 2821 . . . 4 (𝑥 = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) → (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) ∈ (1...𝑀)))
14 eleq1 2821 . . . 4 ((𝑥 − 1) = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) → ((𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) ∈ (1...𝑀)))
15 simpllr 774 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) ∧ 𝑥 < 𝐼) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
16 pm4.56 987 . . . . . . 7 ((¬ 𝑥 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) ↔ ¬ (𝑥 = 𝐼𝑥 < 𝐼))
1716anbi2i 623 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) ↔ ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ (𝑥 = 𝐼𝑥 < 𝐼)))
18 metakunt1.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
1918nnred 12229 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
2019adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℝ)
21 elfznn 13532 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ)
2221nnred 12229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ)
2322adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2420, 23jca 512 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
25 axlttri 11287 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐼 < 𝑥 ↔ ¬ (𝐼 = 𝑥𝑥 < 𝐼)))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 ↔ ¬ (𝐼 = 𝑥𝑥 < 𝐼)))
27 eqcom 2739 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = 𝑥𝑥 = 𝐼)
2827orbi1i 912 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 = 𝑥𝑥 < 𝐼) ↔ (𝑥 = 𝐼𝑥 < 𝐼))
2928notbii 319 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐼 = 𝑥𝑥 < 𝐼) ↔ ¬ (𝑥 = 𝐼𝑥 < 𝐼))
3026, 29bitrdi 286 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 ↔ ¬ (𝑥 = 𝐼𝑥 < 𝐼)))
31 1zzd 12595 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
3253ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝑀 ∈ ℤ)
33 simp2 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
3433elfzelzd 13504 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℤ)
3534, 31zsubcld 12673 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → (𝑥 − 1) ∈ ℤ)
36 1red 11217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 1 ∈ ℝ)
37203adant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝐼 ∈ ℝ)
3833, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
3918nnge1d 12262 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
40393ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 1 ≤ 𝐼)
41 simp3 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝐼 < 𝑥)
4236, 37, 38, 40, 41lelttrd 11374 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 1 < 𝑥)
4331, 34zltlem1d 40930 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → (1 < 𝑥 ↔ 1 ≤ (𝑥 − 1)))
4442, 43mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 1 ≤ (𝑥 − 1))
45 1red 11217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
4623, 45resubcld 11644 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
479adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
48 0le1 11739 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≤ 1
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 0 ≤ 1)
50 1red 11217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
5122, 50subge02d 11808 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → (0 ≤ 1 ↔ (𝑥 − 1) ≤ 𝑥))
5249, 51mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → (𝑥 − 1) ≤ 𝑥)
5352adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝑥 − 1) ≤ 𝑥)
54 elfzle2 13507 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥𝑀)
5554adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑥𝑀)
5646, 23, 47, 53, 55letrd 11373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝑥 − 1) ≤ 𝑀)
57563adant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → (𝑥 − 1) ≤ 𝑀)
5831, 32, 35, 44, 57elfzd 13494 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀))
59583expia 1121 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀)))
6030, 59sylbird 259 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (¬ (𝑥 = 𝐼𝑥 < 𝐼) → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀)))
6160imp 407 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ (𝑥 = 𝐼𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀))
6217, 61sylbi 216 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀))
6362anassrs 468 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀))
6413, 14, 15, 63ifbothda 4566 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) ∈ (1...𝑀))
651, 2, 12, 64ifbothda 4566 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) ∈ (1...𝑀))
66 metakunt1.4 . 2 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
6765, 66fmptd 7115 1 (𝜑𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  ifcif 4528   class class class wbr 5148  cmpt 5231  wf 6539  (class class class)co 7411  cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   < clt 11250  cle 11251  cmin 11446  cn 12214  cz 12560  ...cfz 13486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487
This theorem is referenced by:  metakunt5  41075  metakunt6  41076  metakunt8  41078  metakunt14  41084  metakunt33  41103
  Copyright terms: Public domain W3C validator