Theorem metakunt1 40973

Description: A is an endomapping. (Contributed by metakunt, 23-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt1.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt1.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt1.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt1.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))

Assertion

Ref	Expression
metakunt1	⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2821	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) → (𝑀 ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) ∈ (1...𝑀)))
2		eleq1 2821	. . 3 ⊢ (if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) → (if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) ∈ (1...𝑀)))
3		1zzd 12589	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 1 ∈ ℤ)
4		metakunt1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12581	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6	5	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑀 ∈ ℤ)
7	4	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
8	7	nnge1d 12256	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 1 ≤ 𝑀)
9	4	nnred 12223	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
10	9	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑀 ∈ ℝ)
11	10	leidd 11776	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑀 ≤ 𝑀)
12	3, 6, 6, 8, 11	elfzd 13488	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
13		eleq1 2821	. . . 4 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) → (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) ∈ (1...𝑀)))
14		eleq1 2821	. . . 4 ⊢ ((𝑥 − 1) = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) → ((𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) ∈ (1...𝑀)))
15		simpllr 774	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) ∧ 𝑥 < 𝐼) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
16		pm4.56 987	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) ↔ ¬ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼))
17	16	anbi2i 623	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼)))
18		metakunt1.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
19	18	nnred 12223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℝ)
21		elfznn 13526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ)
22	21	nnred 12223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ)
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℝ)
24	20, 23	jca 512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
25		axlttri 11281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐼 < 𝑥 ↔ ¬ (𝐼 = 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐼)))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 ↔ ¬ (𝐼 = 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐼)))
27		eqcom 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝐼)
28	27	orbi1i 912	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 = 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐼) ↔ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼))
29	28	notbii 319	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐼 = 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐼) ↔ ¬ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼))
30	26, 29	bitrdi 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 ↔ ¬ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼)))
31		1zzd 12589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
32	5	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝑀 ∈ ℤ)
33		simp2 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
34	33	elfzelzd 13498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℤ)
35	34, 31	zsubcld 12667	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → (𝑥 − 1) ∈ ℤ)
36		1red 11211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 1 ∈ ℝ)
37	20	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝐼 ∈ ℝ)
38	33, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
39	18	nnge1d 12256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
40	39	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 1 ≤ 𝐼)
41		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝐼 < 𝑥)
42	36, 37, 38, 40, 41	lelttrd 11368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 1 < 𝑥)
43	31, 34	zltlem1d 40832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → (1 < 𝑥 ↔ 1 ≤ (𝑥 − 1)))
44	42, 43	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 1 ≤ (𝑥 − 1))
45		1red 11211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
46	23, 45	resubcld 11638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
47	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
48		0le1 11733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 1
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 0 ≤ 1)
50		1red 11211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
51	22, 50	subge02d 11802	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → (0 ≤ 1 ↔ (𝑥 − 1) ≤ 𝑥))
52	49, 51	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → (𝑥 − 1) ≤ 𝑥)
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝑥 − 1) ≤ 𝑥)
54		elfzle2 13501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ≤ 𝑀)
55	54	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑥 ≤ 𝑀)
56	46, 23, 47, 53, 55	letrd 11367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝑥 − 1) ≤ 𝑀)
57	56	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → (𝑥 − 1) ≤ 𝑀)
58	31, 32, 35, 44, 57	elfzd 13488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀))
59	58	3expia 1121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀)))
60	30, 59	sylbird 259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (¬ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼) → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀)))
61	60	imp 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀))
62	17, 61	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀))
63	62	anassrs 468	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀))
64	13, 14, 15, 63	ifbothda 4565	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) ∈ (1...𝑀))
65	1, 2, 12, 64	ifbothda 4565	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) ∈ (1...𝑀))
66		metakunt1.4	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
67	65, 66	fmptd 7110	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ⟶wf 6536  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  ℕcn 12208  ℤcz 12554  ...cfz 13480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481

This theorem is referenced by:  metakunt5  40977  metakunt6  40978  metakunt8  40980  metakunt14  40986  metakunt33  41005