Theorem metakunt1 40151

Description: A is an endomapping. (Contributed by metakunt, 23-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt1.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt1.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt1.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt1.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))

Assertion

Ref	Expression
metakunt1	⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2821	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) → (𝑀 ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) ∈ (1...𝑀)))
2		eleq1 2821	. . 3 ⊢ (if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) → (if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) ∈ (1...𝑀)))
3		1zzd 12379	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 1 ∈ ℤ)
4		metakunt1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12453	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6	5	ad2antrr 722	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑀 ∈ ℤ)
7	4	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
8	7	nnge1d 12049	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 1 ≤ 𝑀)
9	4	nnred 12016	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
10	9	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑀 ∈ ℝ)
11	10	leidd 11569	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑀 ≤ 𝑀)
12	3, 6, 6, 8, 11	elfzd 13275	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
13		eleq1 2821	. . . 4 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) → (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) ∈ (1...𝑀)))
14		eleq1 2821	. . . 4 ⊢ ((𝑥 − 1) = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) → ((𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) ∈ (1...𝑀)))
15		simpllr 772	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) ∧ 𝑥 < 𝐼) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
16		pm4.56 985	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) ↔ ¬ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼))
17	16	anbi2i 622	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼)))
18		metakunt1.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
19	18	nnred 12016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℝ)
21		elfznn 13313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ)
22	21	nnred 12016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℝ)
24	20, 23	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
25		axlttri 11074	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐼 < 𝑥 ↔ ¬ (𝐼 = 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐼)))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 ↔ ¬ (𝐼 = 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐼)))
27		eqcom 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝐼)
28	27	orbi1i 910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 = 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐼) ↔ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼))
29	28	notbii 319	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐼 = 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐼) ↔ ¬ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼))
30	26, 29	bitrdi 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 ↔ ¬ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼)))
31		1zzd 12379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
32	5	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝑀 ∈ ℤ)
33		simp2 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
34	33	elfzelzd 13285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℤ)
35	34, 31	zsubcld 12459	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → (𝑥 − 1) ∈ ℤ)
36		1red 11004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 1 ∈ ℝ)
37	20	3adant3 1130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝐼 ∈ ℝ)
38	33, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
39	18	nnge1d 12049	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
40	39	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 1 ≤ 𝐼)
41		simp3 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝐼 < 𝑥)
42	36, 37, 38, 40, 41	lelttrd 11161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 1 < 𝑥)
43	31, 34	zltlem1d 40013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → (1 < 𝑥 ↔ 1 ≤ (𝑥 − 1)))
44	42, 43	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 1 ≤ (𝑥 − 1))
45		1red 11004	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
46	23, 45	resubcld 11431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
47	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
48		0le1 11526	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 1
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 0 ≤ 1)
50		1red 11004	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
51	22, 50	subge02d 11595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → (0 ≤ 1 ↔ (𝑥 − 1) ≤ 𝑥))
52	49, 51	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → (𝑥 − 1) ≤ 𝑥)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝑥 − 1) ≤ 𝑥)
54		elfzle2 13288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ≤ 𝑀)
55	54	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑥 ≤ 𝑀)
56	46, 23, 47, 53, 55	letrd 11160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝑥 − 1) ≤ 𝑀)
57	56	3adant3 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → (𝑥 − 1) ≤ 𝑀)
58	31, 32, 35, 44, 57	elfzd 13275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀))
59	58	3expia 1119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀)))
60	30, 59	sylbird 259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (¬ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼) → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀)))
61	60	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀))
62	17, 61	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀))
63	62	anassrs 467	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀))
64	13, 14, 15, 63	ifbothda 4500	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) ∈ (1...𝑀))
65	1, 2, 12, 64	ifbothda 4500	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) ∈ (1...𝑀))
66		metakunt1.4	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
67	65, 66	fmptd 7008	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1537   ∈ wcel 2101  ifcif 4462   class class class wbr 5077   ↦ cmpt 5160  ⟶wf 6443  (class class class)co 7295  ℝcr 10898  0cc0 10899  1c1 10900   < clt 11037   ≤ cle 11038   − cmin 11233  ℕcn 12001  ℤcz 12347  ...cfz 13267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-nn 12002  df-n0 12262  df-z 12348  df-uz 12611  df-fz 13268

This theorem is referenced by:  metakunt5  40155  metakunt6  40156  metakunt8  40158  metakunt14  40164  metakunt33  40183