Theorem metakunt1 42187

Description: A is an endomapping. (Contributed by metakunt, 23-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt1.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt1.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt1.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt1.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))

Assertion

Ref	Expression
metakunt1	⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2827	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) → (𝑀 ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) ∈ (1...𝑀)))
2		eleq1 2827	. . 3 ⊢ (if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) → (if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) ∈ (1...𝑀)))
3		1zzd 12646	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 1 ∈ ℤ)
4		metakunt1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12638	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6	5	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑀 ∈ ℤ)
7	4	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
8	7	nnge1d 12312	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 1 ≤ 𝑀)
9	4	nnred 12279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
10	9	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑀 ∈ ℝ)
11	10	leidd 11827	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑀 ≤ 𝑀)
12	3, 6, 6, 8, 11	elfzd 13552	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
13		eleq1 2827	. . . 4 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) → (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) ∈ (1...𝑀)))
14		eleq1 2827	. . . 4 ⊢ ((𝑥 − 1) = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) → ((𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) ∈ (1...𝑀)))
15		simpllr 776	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) ∧ 𝑥 < 𝐼) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
16		pm4.56 990	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) ↔ ¬ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼))
17	16	anbi2i 623	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼)))
18		metakunt1.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
19	18	nnred 12279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℝ)
21		elfznn 13590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ)
22	21	nnred 12279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℝ)
24	20, 23	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
25		axlttri 11330	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐼 < 𝑥 ↔ ¬ (𝐼 = 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐼)))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 ↔ ¬ (𝐼 = 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐼)))
27		eqcom 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝐼)
28	27	orbi1i 913	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 = 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐼) ↔ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼))
29	28	notbii 320	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐼 = 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐼) ↔ ¬ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼))
30	26, 29	bitrdi 287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 ↔ ¬ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼)))
31		1zzd 12646	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
32	5	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝑀 ∈ ℤ)
33		simp2 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
34	33	elfzelzd 13562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℤ)
35	34, 31	zsubcld 12725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → (𝑥 − 1) ∈ ℤ)
36		1red 11260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 1 ∈ ℝ)
37	20	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝐼 ∈ ℝ)
38	33, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
39	18	nnge1d 12312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
40	39	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 1 ≤ 𝐼)
41		simp3 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝐼 < 𝑥)
42	36, 37, 38, 40, 41	lelttrd 11417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 1 < 𝑥)
43	31, 34	zltlem1d 12669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → (1 < 𝑥 ↔ 1 ≤ (𝑥 − 1)))
44	42, 43	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 1 ≤ (𝑥 − 1))
45		1red 11260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
46	23, 45	resubcld 11689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
47	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
48		0le1 11784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 1
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 0 ≤ 1)
50		1red 11260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
51	22, 50	subge02d 11853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → (0 ≤ 1 ↔ (𝑥 − 1) ≤ 𝑥))
52	49, 51	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → (𝑥 − 1) ≤ 𝑥)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝑥 − 1) ≤ 𝑥)
54		elfzle2 13565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ≤ 𝑀)
55	54	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑥 ≤ 𝑀)
56	46, 23, 47, 53, 55	letrd 11416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝑥 − 1) ≤ 𝑀)
57	56	3adant3 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → (𝑥 − 1) ≤ 𝑀)
58	31, 32, 35, 44, 57	elfzd 13552	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀))
59	58	3expia 1120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀)))
60	30, 59	sylbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (¬ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼) → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀)))
61	60	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀))
62	17, 61	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀))
63	62	anassrs 467	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀))
64	13, 14, 15, 63	ifbothda 4569	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) ∈ (1...𝑀))
65	1, 2, 12, 64	ifbothda 4569	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) ∈ (1...𝑀))
66		metakunt1.4	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
67	65, 66	fmptd 7134	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ifcif 4531   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ⟶wf 6559  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℕcn 12264  ℤcz 12611  ...cfz 13544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545

This theorem is referenced by:  metakunt5  42191  metakunt6  42192  metakunt8  42194  metakunt14  42200  metakunt33  42219