Theorem metakunt1 39350

Description: A is an endomapping. (Contributed by metakunt, 23-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt1.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt1.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt1.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt1.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))

Assertion

Ref	Expression
metakunt1	⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2877	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) → (𝑀 ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) ∈ (1...𝑀)))
2		eleq1 2877	. . 3 ⊢ (if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) → (if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) ∈ (1...𝑀)))
3		1zzd 12001	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 1 ∈ ℤ)
4		metakunt1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12074	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6	5	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑀 ∈ ℤ)
7	4	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
8	7	nnge1d 11673	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 1 ≤ 𝑀)
9	4	nnred 11640	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
10	9	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑀 ∈ ℝ)
11	10	leidd 11195	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑀 ≤ 𝑀)
12	3, 6, 6, 8, 11	elfzd 12893	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
13		eleq1 2877	. . . 4 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) → (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) ∈ (1...𝑀)))
14		eleq1 2877	. . . 4 ⊢ ((𝑥 − 1) = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) → ((𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) ∈ (1...𝑀)))
15		simpllr 775	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) ∧ 𝑥 < 𝐼) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
16		pm4.56 986	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑥 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) ↔ ¬ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼))
17	16	anbi2i 625	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼)))
18		metakunt1.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
19	18	nnred 11640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
20	19	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝐼 ∈ ℝ)
21		elfznn 12931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ)
22	21	nnred 11640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ)
23	22	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℝ)
24	20, 23	jca 515	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
25		axlttri 10701	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐼 < 𝑥 ↔ ¬ (𝐼 = 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐼)))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 ↔ ¬ (𝐼 = 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐼)))
27		eqcom 2805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝐼)
28	27	orbi1i 911	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 = 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐼) ↔ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼))
29	28	notbii 323	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐼 = 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝐼) ↔ ¬ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼))
30	26, 29	syl6bb 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 ↔ ¬ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼)))
31		1zzd 12001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
32	5	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝑀 ∈ ℤ)
33		simp2 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
34	33	elfzelzd 12903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℤ)
35	34, 31	zsubcld 12080	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → (𝑥 − 1) ∈ ℤ)
36		1red 10631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 1 ∈ ℝ)
37	20	3adant3 1129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝐼 ∈ ℝ)
38	33, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
39	18	nnge1d 11673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
40	39	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 1 ≤ 𝐼)
41		simp3 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 𝐼 < 𝑥)
42	36, 37, 38, 40, 41	lelttrd 10787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 1 < 𝑥)
43	31, 34	zltlem1d 39266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → (1 < 𝑥 ↔ 1 ≤ (𝑥 − 1)))
44	42, 43	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → 1 ≤ (𝑥 − 1))
45		1red 10631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
46	23, 45	resubcld 11057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
47	9	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
48		0le1 11152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 1
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 0 ≤ 1)
50		1red 10631	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
51	22, 50	subge02d 11221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → (0 ≤ 1 ↔ (𝑥 − 1) ≤ 𝑥))
52	49, 51	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → (𝑥 − 1) ≤ 𝑥)
53	52	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝑥 − 1) ≤ 𝑥)
54		elfzle2 12906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ≤ 𝑀)
55	54	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑥 ≤ 𝑀)
56	46, 23, 47, 53, 55	letrd 10786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝑥 − 1) ≤ 𝑀)
57	56	3adant3 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → (𝑥 − 1) ≤ 𝑀)
58	31, 32, 35, 44, 57	elfzd 12893	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝐼 < 𝑥) → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀))
59	58	3expia 1118	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝐼 < 𝑥 → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀)))
60	30, 59	sylbird 263	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (¬ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼) → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀)))
61	60	imp 410	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀))
62	17, 61	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀))
63	62	anassrs 471	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑀))
64	13, 14, 15, 63	ifbothda 4462	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) ∈ (1...𝑀))
65	1, 2, 12, 64	ifbothda 4462	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) ∈ (1...𝑀))
66		metakunt1.4	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
67	65, 66	fmptd 6855	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ifcif 4425   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ⟶wf 6320  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℕcn 11625  ℤcz 11969  ...cfz 12885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886

This theorem is referenced by:  metakunt5  39354  metakunt6  39355  metakunt8  39357  metakunt14  39363  metakunt33  39382