Theorem metakunt3 41687

Description: Value of A. (Contributed by metakunt, 23-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt3.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt3.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt3.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt3.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt3.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt3	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem metakunt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt3.4	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3		eqeq1 2729	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝐼 ↔ 𝑋 = 𝐼))
4		breq1 5144	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
5		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
6		oveq1 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 1) = (𝑋 − 1))
7	4, 5, 6	ifbieq12d 4550	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
8	3, 7	ifbieq2d 4548	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
9	8	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
10		metakunt3.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
11		metakunt3.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12613	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	10	elfzelzd 13532	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
14		1zzd 12621	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
15	13, 14	zsubcld 12699	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℤ)
16	13, 15	ifcld 4568	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
17	12, 16	ifcld 4568	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) ∈ ℤ)
18	2, 9, 10, 17	fvmptd 7005	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4522   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6541  (class class class)co 7414  1c1 11137   < clt 11276   ≤ cle 11277   − cmin 11472  ℕcn 12240  ℤcz 12586  ...cfz 13514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515

This theorem is referenced by: (None)