Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt3 40511
Description: Value of A. (Contributed by metakunt, 23-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt3.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt3.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt3.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt3.4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt3.5 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
Assertion
Ref Expression
metakunt3 (𝜑 → (𝐴𝑋) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem metakunt3
StepHypRef Expression
1 metakunt3.4 . . 3 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
21a1i 11 . 2 (𝜑𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3 eqeq1 2740 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝐼𝑋 = 𝐼))
4 breq1 5106 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼𝑋 < 𝐼))
5 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
6 oveq1 7358 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 1) = (𝑋 − 1))
74, 5, 6ifbieq12d 4512 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
83, 7ifbieq2d 4510 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
98adantl 482 . 2 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
10 metakunt3.5 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
11 metakunt3.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1211nnzd 12484 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1310elfzelzd 13396 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
14 1zzd 12492 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
1513, 14zsubcld 12570 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℤ)
1613, 15ifcld 4530 . . 3 (𝜑 → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
1712, 16ifcld 4530 . 2 (𝜑 → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) ∈ ℤ)
182, 9, 10, 17fvmptd 6952 1 (𝜑 → (𝐴𝑋) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  ifcif 4484   class class class wbr 5103  cmpt 5186  cfv 6493  (class class class)co 7351  1c1 11010   < clt 11147  cle 11148  cmin 11343  cn 12111  cz 12457  ...cfz 13378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator