Theorem nnzd 12757

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnzd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 12705	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12756	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ℕcn 12373  ℤcz 12731

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-ov 7452  df-om 7910  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-neg 11581  df-nn 12374  df-n0 12645  df-z 12732

This theorem is used by:  expaddzlem  14286  expmulz  14289  expmulnbnd  14418  facndiv  14471  bcval5  14501  bcpasc  14504  hashf1  14641  isercolllem1  15873  isercolllem2  15874  o1fsum  16021  bcxmas  16045  climcndslem2  16060  climcnds  16061  mertenslem1  16094  fprodser  16157  bpolydiflem  16261  eftlub  16318  eirrlem  16413  rpnnen2lem7  16429  rpnnen2lem9  16431  rpnnen2lem11  16433  sqrt2irrlem  16457  dvdsfac  16537  dvdsmod  16540  oddpwp1fsum  16603  bitsfzolem  16645  bitsmod  16647  bitsfi  16648  bitscmp  16649  bitsinv1  16653  sadadd3  16672  sadaddlem  16677  bitsuz  16685  bitsshft  16686  gcdnncl  16718  gcdle1d  16721  gcdle2d  16722  gcd1  16742  dvdsgcdidd  16751  bezoutlem3  16755  bezoutlem4  16756  mulgcd  16762  rplpwr  16773  rprpwr  16774  sqgcd  16777  expgcd  16778  nn0expgcd  16779  dvdssq  16783  lcmneg  16819  lcmgcdlem  16822  rpdvds  16876  coprmprod  16877  coprmproddvdslem  16878  congr  16880  cncongr1  16883  cncongr2  16884  prmz  16891  prmind2  16901  divgcdodd  16927  isprm6  16931  prmexpb  16936  prmfac1  16937  rpexp  16939  prmdvdsbc  16943  prmdvdsncoprmbd  16944  numdensq  16971  numdenexp  16978  hashdvds  16993  phiprmpw  16994  crth  16996  phimullem  16997  eulerthlem1  16999  eulerthlem2  17000  prmdivdiv  17005  hashgcdlem  17006  odzdvds  17014  pythagtriplem4  17038  pythagtriplem6  17040  pythagtriplem7  17041  pythagtriplem11  17044  pythagtriplem13  17046  pythagtriplem19  17052  pclem  17057  pcprendvds2  17060  pcpre1  17061  pcpremul  17062  pceulem  17064  pcqmul  17072  pcdvdsb  17088  pcidlem  17091  pcdvdstr  17095  pcgcd1  17096  pc2dvds  17098  pcprmpw2  17101  pcaddlem  17107  pcadd  17108  pcmpt2  17112  pcmptdvds  17113  pcfac  17118  pcbc  17119  qexpz  17120  oddprmdvds  17122  prmpwdvds  17123  pockthlem  17124  pockthg  17125  prmreclem2  17136  prmreclem3  17137  prmreclem4  17138  prmreclem5  17139  prmreclem6  17140  4sqlem5  17161  4sqlem8  17164  4sqlem9  17165  4sqlem10  17166  4sqlem12  17175  4sqlem14  17177  4sqlem16  17179  4sqlem17  17180  vdwlem1  17200  vdwlem2  17201  vdwlem3  17202  vdwlem6  17205  vdwlem9  17208  vdwlem10  17209  vdwnnlem3  17216  prmdvdsprmop  17262  prmolelcmf  17267  prmgaplem1  17268  prmgaplem7  17276  prmgaplem8  17277  gsumwsubmcl  19074  gsumsgrpccat  19077  gsumwmhm  19082  mulgneg  19343  mulgnndir  19354  psgnunilem4  19753  odlem2  19795  mndodconglem  19797  odmod  19802  gexlem2  19838  gexcl3  19843  gexcl2  19845  sylow1lem1  19854  sylow1lem3  19856  sylow1lem5  19858  pgpfi  19861  fislw  19881  sylow3lem4  19886  gexexlem  20108  ablfacrplem  20323  ablfacrp  20324  ablfacrp2  20325  ablfac1lem  20326  ablfac1b  20328  ablfac1eu  20331  pgpfac1lem3a  20334  ablfaclem3  20345  fincygsubgd  20369  fincygsubgodd  20370  znrrg  21915  psdpw  22535  cayhamlem1  23228  caublcls  25674  ovolicc2lem4  25885  iundisj2  25914  volsup  25921  uniioombllem3  25950  mbfi1fseqlem3  26082  mbfi1fseqlem4  26083  elqaalem2  26689  aalioulem1  26705  aalioulem4  26708  aalioulem5  26709  aalioulem6  26710  aaliou  26711  aaliou3lem1  26715  aaliou3lem2  26716  aaliou3lem3  26717  aaliou3lem8  26718  aaliou3lem5  26720  aaliou3lem6  26721  aaliou3lem7  26722  taylthlem2  26747  cxpeq  27131  zrtelqelz  27132  amgmlem  27363  lgamgulmlem4  27405  lgamcvg2  27428  wilthlem2  27442  wilth  27444  wilthimp  27445  ftalem5  27450  basellem2  27455  basellem3  27456  basellem4  27457  basellem5  27458  muval1  27506  dvdssqf  27511  sgmnncl  27520  efchtdvds  27532  mumullem2  27553  mumul  27554  sqff1o  27555  fsumdvdsdiaglem  27556  dvdsppwf1o  27559  dvdsflf1o  27560  muinv  27566  mpodvdsmulf1o  27567  dvdsmulf1o  27569  chtublem  27584  fsumvma2  27587  vmasum  27589  chpchtsum  27592  logfacubnd  27594  mersenne  27600  perfect1  27601  perfectlem1  27602  perfectlem2  27603  perfect  27604  dchrelbas4  27616  dchrfi  27628  bcmono  27650  bcp1ctr  27652  bclbnd  27653  bposlem1  27657  bposlem3  27659  bposlem5  27661  bposlem6  27662  bposlem9  27665  lgsmod  27696  lgsdir  27705  lgsdilem2  27706  lgsne0  27708  lgsqrlem2  27720  lgsqr  27724  lgsqrmodndvds  27726  gausslemma2dlem0c  27731  gausslemma2dlem0h  27736  gausslemma2dlem0i  27737  gausslemma2dlem2  27740  gausslemma2dlem6  27745  gausslemma2dlem7  27746  gausslemma2d  27747  lgseisenlem1  27748  lgseisenlem2  27749  lgseisenlem3  27750  lgseisenlem4  27751  lgsquadlem1  27753  lgsquadlem2  27754  lgsquadlem3  27755  lgsquad2lem1  27757  lgsquad2lem2  27758  lgsquad2  27759  m1lgs  27761  2lgslem2  27768  2sqlem3  27793  2sqlem4  27794  2sqlem8  27799  chebbnd1lem1  27842  rplogsumlem2  27858  rpvmasumlem  27860  dchrisumlem1  27862  dchrisumlem2  27863  dchrisumlem3  27864  dchrisum0fmul  27879  dchrisum0ff  27880  dchrisum0flblem1  27881  dchrisum0flblem2  27882  dchrisum0flb  27883  dchrisum0  27893  pntrsumbnd2  27940  pntrlog2bndlem1  27950  pntrlog2bndlem6  27956  pntpbnd2  27960  pntlemg  27971  pntlemj  27976  pntlemf  27978  ostth2lem2  28007  ostth2lem3  28008  ostth3  28011  fltdvdsabdvdsc  28016  fltaccoprm  28018  fltbccoprm  28019  fltabcoprm  28020  fltne  28021  flt4lem3  28024  flt4lem4  28025  flt4lem5  28026  flt4lem5elem  28027  flt4lem5a  28028  flt4lem5b  28029  flt4lem5c  28030  flt4lem5d  28031  flt4lem5e  28032  flt4lem5f  28033  flt4lem6  28034  flt4lem7  28035  nna4b4nsq  28036  numclwlk2lem2f1o  31026  nrt2irr  31120  minvecolem4  31528  iundisj2f  33272  ssnnssfz  33465  iundisj2fi  33475  f1ocnt  33478  elq2  33489  numdenneg  33492  expgt0b  33494  ltesubnnd  33500  oexpled  33513  psgnfzto1stlem  33750  isarchi3  33837  archiabllem1b  33842  zringfrac  34182  fldextrspundgdvds  34417  cos9thpiminplylem2  34519  smatrcl  34532  1smat1  34540  submateqlem1  34543  lmatfvlem  34551  qqhval2  34718  qqhf  34722  qqhghm  34724  qqhrhm  34725  qqhnm  34726  qqhre  34756  esumcvg  34822  meascnbl  34956  omssubadd  35036  oddpwdc  35090  ballotlemfp1  35228  ballotlemfc0  35229  ballotlemfcc  35230  ballotlemimin  35242  ballotlemic  35243  ballotlem1c  35244  hgt750lemc  35380  hgt750lemd  35381  hgt750lemb  35389  hgt750leme  35391  subfaclim  36154  cvmliftlem7  36257  sinccvglem  36638  bcprod  36711  bccolsum  36712  faclimlem2  36717  faclim2  36721  poimirlem1  38800  poimirlem2  38801  poimirlem3  38802  poimirlem4  38803  poimirlem6  38805  poimirlem8  38807  poimirlem9  38808  poimirlem10  38809  poimirlem11  38810  poimirlem13  38812  poimirlem14  38813  poimirlem15  38814  poimirlem16  38815  poimirlem17  38816  poimirlem18  38817  poimirlem19  38818  poimirlem20  38819  poimirlem21  38820  poimirlem22  38821  poimirlem23  38822  poimirlem24  38823  poimirlem26  38825  poimirlem27  38826  poimirlem28  38827  poimirlem31  38830  mblfinlem2  38837  seqpo  38940  incsequz  38941  incsequz2  38942  zndvdchrrhm  43282  bccl2d  43300  nnproddivdvdsd  43309  lcmineqlem1  43338  lcmineqlem3  43340  lcmineqlem4  43341  lcmineqlem6  43343  lcmineqlem8  43345  lcmineqlem9  43346  lcmineqlem10  43347  lcmineqlem11  43348  lcmineqlem13  43350  lcmineqlem14  43351  lcmineqlem18  43355  lcmineqlem19  43356  lcmineqlem20  43357  lcmineqlem21  43358  lcmineqlem22  43359  lcmineqlem23  43360  lcmineqlem  43361  3lexlogpow5ineq2  43364  3lexlogpow2ineq1  43367  aks4d1p3  43387  aks4d1p5  43389  aks4d1p6  43390  aks4d1p8d1  43393  aks4d1p8d2  43394  aks4d1p8d3  43395  aks4d1p8  43396  aks4d1p9  43397  posbezout  43409  primrootscoprbij  43411  remexz  43413  primrootspoweq0  43415  aks6d1c1  43425  aks6d1c2p2  43428  hashscontpow1  43430  hashscontpow  43431  aks6d1c3  43432  aks6d1c4  43433  aks6d1c2lem4  43436  aks6d1c2  43439  aks6d1c5lem1  43445  sticksstones6  43460  sticksstones10  43464  sticksstones12a  43466  sticksstones12  43467  aks6d1c6lem3  43481  aks6d1c6lem4  43482  aks6d1c6isolem3  43485  aks6d1c6lem5  43486  aks6d1c7lem2  43490  aks6d1c7  43493  aks5lem1  43495  aks5lem2  43496  aks5lem3a  43498  grpods  43503  unitscyglem1  43504  unitscyglem2  43505  unitscyglem4  43507  unitscyglem5  43508  aks5  43513  sumcubes  43630  oexpreposd  43639  explt1d  43640  expeq1d  43641  expeqidd  43642  exp11d  43643  dvdsexpnn0  43646  fimgmcyc  43858  fltltc  43932  fltnlta  43934  irrapxlem3  44091  irrapxlem5  44093  pellexlem5  44100  pellexlem6  44101  pellex  44102  pell1234qrmulcl  44122  jm2.23  44263  jm2.20nn  44264  jm2.26lem3  44268  jm2.27a  44272  jm2.27b  44273  jm2.27c  44274  jm3.1lem1  44284  jm3.1lem3  44286  inductionexd  45410  nznngen  45555  hashnzfz2  45560  fmuldfeq  46862  divcnvg  46906  stoweidlem1  47278  stoweidlem3  47280  stoweidlem11  47288  stoweidlem20  47297  stoweidlem26  47303  stoweidlem34  47311  stoweidlem51  47328  stirlinglem4  47354  stirlinglem5  47355  stirlinglem8  47358  dirkerper  47373  dirkertrigeqlem2  47376  dirkertrigeqlem3  47377  dirkercncflem2  47381  fourierdlem11  47395  fourierdlem14  47398  fourierdlem20  47404  fourierdlem25  47409  fourierdlem37  47421  fourierdlem41  47425  fourierdlem48  47431  fourierdlem49  47432  fourierdlem54  47437  fourierdlem64  47447  fourierdlem73  47456  fourierdlem79  47462  fourierdlem92  47475  fourierdlem93  47476  fourierdlem111  47494  sqwvfourb  47506  etransclem3  47514  etransclem7  47518  etransclem10  47521  etransclem15  47526  etransclem24  47535  etransclem25  47536  etransclem26  47537  etransclem27  47538  etransclem28  47539  etransclem35  47546  etransclem37  47548  etransclem38  47549  etransclem41  47552  etransclem44  47555  etransclem45  47556  etransclem48  47559  ovnsubaddlem1  47847  vonioolem1  47957  facnn0dvdsfac  48722  muldvdsfacgt  48723  muldvdsfacm1  48724  iccpartgtprec  48769  iccpartipre  48770  fmtnoodd  48885  goldbachthlem2  48898  goldbachth  48899  odz2prm2pw  48915  fmtnoprmfac1lem  48916  fmtnoprmfac2lem1  48918  fmtnoprmfac2  48919  fmtnofac2lem  48920  2pwp1prm  48941  lighneallem1  48957  lighneallem4  48962  proththdlem  48965  proththd  48966  nprmdvdsfacm1lem4  48975  ppivalnnprm  48977  ppivalnnnprmge6  48978  divgcdoddALTV  49047  perfectALTVlem1  49086  perfectALTVlem2  49087  perfectALTV  49088  gbowge7  49128  gpgedgvtx1  49427  gpg3kgrtriexlem2  49449  gpg3kgrtriexlem5  49452  pw2m1lepw2m1  49957  nnolog2flm1  50027  dignn0fr  50038  dignn0flhalflem1  50052