Theorem nnzd 12615

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnzd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 12562	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12614	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ℕcn 12240  ℤcz 12588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589

This theorem is referenced by:  expaddzlem  14123  expmulz  14126  expmulnbnd  14253  facndiv  14306  bcval5  14336  bcpasc  14339  hashf1  14475  isercolllem1  15681  isercolllem2  15682  o1fsum  15829  bcxmas  15851  climcndslem2  15866  climcnds  15867  mertenslem1  15900  fprodser  15965  bpolydiflem  16070  eftlub  16127  eirrlem  16222  rpnnen2lem7  16238  rpnnen2lem9  16240  rpnnen2lem11  16242  sqrt2irrlem  16266  dvdsfac  16345  dvdsmod  16348  oddpwp1fsum  16411  bitsfzolem  16453  bitsmod  16455  bitsfi  16456  bitscmp  16457  bitsinv1  16461  sadadd3  16480  sadaddlem  16485  bitsuz  16493  bitsshft  16494  gcdnncl  16526  gcd1  16547  dvdsgcdidd  16556  bezoutlem3  16560  bezoutlem4  16561  mulgcd  16567  rplpwr  16577  rprpwr  16578  sqgcd  16581  expgcd  16582  nn0expgcd  16583  dvdssq  16586  lcmneg  16622  lcmgcdlem  16625  rpdvds  16679  coprmprod  16680  coprmproddvdslem  16681  congr  16683  cncongr1  16686  cncongr2  16687  prmz  16694  prmind2  16704  divgcdodd  16729  isprm6  16733  prmexpb  16738  prmfac1  16739  rpexp  16741  prmdvdsbc  16745  prmdvdsncoprmbd  16746  numdensq  16773  numdenexp  16779  hashdvds  16794  phiprmpw  16795  crth  16797  phimullem  16798  eulerthlem1  16800  eulerthlem2  16801  prmdivdiv  16806  hashgcdlem  16807  odzdvds  16815  pythagtriplem4  16839  pythagtriplem6  16841  pythagtriplem7  16842  pythagtriplem11  16845  pythagtriplem13  16847  pythagtriplem19  16853  pclem  16858  pcprendvds2  16861  pcpre1  16862  pcpremul  16863  pceulem  16865  pcqmul  16873  pcdvdsb  16889  pcidlem  16892  pcdvdstr  16896  pcgcd1  16897  pc2dvds  16899  pcprmpw2  16902  pcaddlem  16908  pcadd  16909  pcmpt2  16913  pcmptdvds  16914  pcfac  16919  pcbc  16920  qexpz  16921  oddprmdvds  16923  prmpwdvds  16924  pockthlem  16925  pockthg  16926  prmreclem2  16937  prmreclem3  16938  prmreclem4  16939  prmreclem5  16940  prmreclem6  16941  4sqlem5  16962  4sqlem8  16965  4sqlem9  16966  4sqlem10  16967  4sqlem12  16976  4sqlem14  16978  4sqlem16  16980  4sqlem17  16981  vdwlem1  17001  vdwlem2  17002  vdwlem3  17003  vdwlem6  17006  vdwlem9  17009  vdwlem10  17010  vdwnnlem3  17017  prmdvdsprmop  17063  prmolelcmf  17068  prmgaplem1  17069  prmgaplem7  17077  prmgaplem8  17078  gsumwsubmcl  18815  gsumsgrpccat  18818  gsumwmhm  18823  mulgneg  19075  mulgnndir  19086  psgnunilem4  19478  odlem2  19520  mndodconglem  19522  odmod  19527  gexlem2  19563  gexcl3  19568  gexcl2  19570  sylow1lem1  19579  sylow1lem3  19581  sylow1lem5  19583  pgpfi  19586  fislw  19606  sylow3lem4  19611  gexexlem  19833  ablfacrplem  20048  ablfacrp  20049  ablfacrp2  20050  ablfac1lem  20051  ablfac1b  20053  ablfac1eu  20056  pgpfac1lem3a  20059  ablfaclem3  20070  fincygsubgd  20094  fincygsubgodd  20095  znrrg  21526  psdpw  22108  cayhamlem1  22804  caublcls  25261  ovolicc2lem4  25473  iundisj2  25502  volsup  25509  uniioombllem3  25538  mbfi1fseqlem3  25670  mbfi1fseqlem4  25671  elqaalem2  26280  aalioulem1  26292  aalioulem4  26295  aalioulem5  26296  aalioulem6  26297  aaliou  26298  aaliou3lem1  26302  aaliou3lem2  26303  aaliou3lem3  26304  aaliou3lem8  26305  aaliou3lem5  26307  aaliou3lem6  26308  aaliou3lem7  26309  taylthlem2  26334  taylthlem2OLD  26335  cxpeq  26719  zrtelqelz  26720  amgmlem  26952  lgamgulmlem4  26994  lgamcvg2  27017  wilthlem2  27031  wilth  27033  wilthimp  27034  ftalem5  27039  basellem2  27044  basellem3  27045  basellem4  27046  basellem5  27047  muval1  27095  dvdssqf  27100  sgmnncl  27109  efchtdvds  27121  mumullem2  27142  mumul  27143  sqff1o  27144  fsumdvdsdiaglem  27145  dvdsppwf1o  27148  dvdsflf1o  27149  muinv  27155  mpodvdsmulf1o  27156  dvdsmulf1o  27158  chtublem  27174  fsumvma2  27177  vmasum  27179  chpchtsum  27182  logfacubnd  27184  mersenne  27190  perfect1  27191  perfectlem1  27192  perfectlem2  27193  perfect  27194  dchrelbas4  27206  dchrfi  27218  bcmono  27240  bcp1ctr  27242  bclbnd  27243  bposlem1  27247  bposlem3  27249  bposlem5  27251  bposlem6  27252  bposlem9  27255  lgsmod  27286  lgsdir  27295  lgsdilem2  27296  lgsne0  27298  lgsqrlem2  27310  lgsqr  27314  lgsqrmodndvds  27316  gausslemma2dlem0c  27321  gausslemma2dlem0h  27326  gausslemma2dlem0i  27327  gausslemma2dlem2  27330  gausslemma2dlem6  27335  gausslemma2dlem7  27336  gausslemma2d  27337  lgseisenlem1  27338  lgseisenlem2  27339  lgseisenlem3  27340  lgseisenlem4  27341  lgsquadlem1  27343  lgsquadlem2  27344  lgsquadlem3  27345  lgsquad2lem1  27347  lgsquad2lem2  27348  lgsquad2  27349  m1lgs  27351  2lgslem2  27358  2sqlem3  27383  2sqlem4  27384  2sqlem8  27389  chebbnd1lem1  27432  rplogsumlem2  27448  rpvmasumlem  27450  dchrisumlem1  27452  dchrisumlem2  27453  dchrisumlem3  27454  dchrisum0fmul  27469  dchrisum0ff  27470  dchrisum0flblem1  27471  dchrisum0flblem2  27472  dchrisum0flb  27473  dchrisum0  27483  pntrsumbnd2  27530  pntrlog2bndlem1  27540  pntrlog2bndlem6  27546  pntpbnd2  27550  pntlemg  27561  pntlemj  27566  pntlemf  27568  ostth2lem2  27597  ostth2lem3  27598  ostth3  27601  numclwlk2lem2f1o  30360  nrt2irr  30454  minvecolem4  30861  iundisj2f  32571  ssnnssfz  32764  iundisj2fi  32774  f1ocnt  32779  elq2  32790  numdenneg  32793  expgt0b  32795  ltesubnnd  32801  oexpled  32826  psgnfzto1stlem  33111  isarchi3  33185  archiabllem1b  33190  zringfrac  33569  fldextrspundgdvds  33722  cos9thpiminplylem2  33817  smatrcl  33827  1smat1  33835  submateqlem1  33838  lmatfvlem  33846  qqhval2  34013  qqhf  34017  qqhghm  34019  qqhrhm  34020  qqhnm  34021  qqhre  34051  esumcvg  34117  meascnbl  34250  omssubadd  34332  oddpwdc  34386  ballotlemfp1  34524  ballotlemfc0  34525  ballotlemfcc  34526  ballotlemimin  34538  ballotlemic  34539  ballotlem1c  34540  hgt750lemc  34679  hgt750lemd  34680  hgt750lemb  34688  hgt750leme  34690  subfaclim  35210  cvmliftlem7  35313  sinccvglem  35694  bcprod  35755  bccolsum  35756  faclimlem2  35761  faclim2  35765  poimirlem1  37645  poimirlem2  37646  poimirlem3  37647  poimirlem4  37648  poimirlem6  37650  poimirlem8  37652  poimirlem9  37653  poimirlem10  37654  poimirlem11  37655  poimirlem13  37657  poimirlem14  37658  poimirlem15  37659  poimirlem16  37660  poimirlem17  37661  poimirlem18  37662  poimirlem19  37663  poimirlem20  37664  poimirlem21  37665  poimirlem22  37666  poimirlem23  37667  poimirlem24  37668  poimirlem26  37670  poimirlem27  37671  poimirlem28  37672  poimirlem31  37675  mblfinlem2  37682  seqpo  37771  incsequz  37772  incsequz2  37773  zndvdchrrhm  41985  bccl2d  42004  nnproddivdvdsd  42013  lcmineqlem1  42042  lcmineqlem3  42044  lcmineqlem4  42045  lcmineqlem6  42047  lcmineqlem8  42049  lcmineqlem9  42050  lcmineqlem10  42051  lcmineqlem11  42052  lcmineqlem13  42054  lcmineqlem14  42055  lcmineqlem18  42059  lcmineqlem19  42060  lcmineqlem20  42061  lcmineqlem21  42062  lcmineqlem22  42063  lcmineqlem23  42064  lcmineqlem  42065  3lexlogpow5ineq2  42068  3lexlogpow2ineq1  42071  aks4d1p3  42091  aks4d1p5  42093  aks4d1p6  42094  aks4d1p8d1  42097  aks4d1p8d2  42098  aks4d1p8d3  42099  aks4d1p8  42100  aks4d1p9  42101  posbezout  42113  primrootscoprbij  42115  remexz  42117  primrootspoweq0  42119  aks6d1c1  42129  aks6d1c2p2  42132  hashscontpow1  42134  hashscontpow  42135  aks6d1c3  42136  aks6d1c4  42137  aks6d1c2lem4  42140  aks6d1c2  42143  aks6d1c5lem1  42149  sticksstones6  42164  sticksstones10  42168  sticksstones12a  42170  sticksstones12  42171  aks6d1c6lem3  42185  aks6d1c6lem4  42186  aks6d1c6isolem3  42189  aks6d1c6lem5  42190  aks6d1c7lem2  42194  aks6d1c7  42197  aks5lem1  42199  aks5lem2  42200  aks5lem3a  42202  grpods  42207  unitscyglem1  42208  unitscyglem2  42209  unitscyglem4  42211  unitscyglem5  42212  aks5  42217  metakunt1  42218  metakunt2  42219  metakunt3  42220  metakunt4  42221  metakunt5  42222  metakunt7  42224  metakunt10  42227  metakunt15  42232  metakunt16  42233  metakunt18  42235  metakunt19  42236  metakunt20  42237  metakunt21  42238  metakunt22  42239  metakunt24  42241  metakunt25  42242  metakunt26  42243  metakunt27  42244  metakunt28  42245  metakunt29  42246  metakunt30  42247  metakunt32  42249  metakunt33  42250  sumcubes  42362  oexpreposd  42371  explt1d  42372  expeq1d  42373  expeqidd  42374  exp11d  42375  gcdle1d  42379  gcdle2d  42380  dvdsexpnn0  42383  fimgmcyc  42557  fltdvdsabdvdsc  42661  fltaccoprm  42663  fltbccoprm  42664  fltabcoprm  42665  fltne  42667  flt4lem2  42670  flt4lem3  42671  flt4lem4  42672  flt4lem5  42673  flt4lem5elem  42674  flt4lem5a  42675  flt4lem5b  42676  flt4lem5c  42677  flt4lem5d  42678  flt4lem5e  42679  flt4lem5f  42680  flt4lem6  42681  flt4lem7  42682  nna4b4nsq  42683  fltltc  42684  fltnlta  42686  irrapxlem3  42847  irrapxlem5  42849  pellexlem5  42856  pellexlem6  42857  pellex  42858  pell1234qrmulcl  42878  jm2.23  43020  jm2.20nn  43021  jm2.26lem3  43025  jm2.27a  43029  jm2.27b  43030  jm2.27c  43031  jm3.1lem1  43041  jm3.1lem3  43043  inductionexd  44179  nznngen  44340  hashnzfz2  44345  fmuldfeq  45612  divcnvg  45656  stoweidlem1  46030  stoweidlem3  46032  stoweidlem11  46040  stoweidlem20  46049  stoweidlem26  46055  stoweidlem34  46063  stoweidlem51  46080  stirlinglem4  46106  stirlinglem5  46107  stirlinglem8  46110  dirkerper  46125  dirkertrigeqlem2  46128  dirkertrigeqlem3  46129  dirkercncflem2  46133  fourierdlem11  46147  fourierdlem14  46150  fourierdlem20  46156  fourierdlem25  46161  fourierdlem37  46173  fourierdlem41  46177  fourierdlem48  46183  fourierdlem49  46184  fourierdlem54  46189  fourierdlem64  46199  fourierdlem73  46208  fourierdlem79  46214  fourierdlem92  46227  fourierdlem93  46228  fourierdlem111  46246  sqwvfourb  46258  etransclem3  46266  etransclem7  46270  etransclem10  46273  etransclem15  46278  etransclem24  46287  etransclem25  46288  etransclem26  46289  etransclem27  46290  etransclem28  46291  etransclem35  46298  etransclem37  46300  etransclem38  46301  etransclem41  46304  etransclem44  46307  etransclem45  46308  etransclem48  46311  ovnsubaddlem1  46599  vonioolem1  46709  iccpartgtprec  47434  iccpartipre  47435  fmtnoodd  47547  goldbachthlem2  47560  goldbachth  47561  odz2prm2pw  47577  fmtnoprmfac1lem  47578  fmtnoprmfac2lem1  47580  fmtnoprmfac2  47581  fmtnofac2lem  47582  2pwp1prm  47603  lighneallem1  47619  lighneallem4  47624  proththdlem  47627  proththd  47628  divgcdoddALTV  47696  perfectALTVlem1  47735  perfectALTVlem2  47736  perfectALTV  47737  gbowge7  47777  gpgedgvtx1  48066  gpg3kgrtriexlem2  48086  gpg3kgrtriexlem5  48089  pw2m1lepw2m1  48496  nnolog2flm1  48570  dignn0fr  48581  dignn0flhalflem1  48595