Theorem nnzd 12495

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnzd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 12442	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12494	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ℕcn 12125  ℤcz 12468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469

This theorem is referenced by:  expaddzlem  14012  expmulz  14015  expmulnbnd  14142  facndiv  14195  bcval5  14225  bcpasc  14228  hashf1  14364  isercolllem1  15572  isercolllem2  15573  o1fsum  15720  bcxmas  15742  climcndslem2  15757  climcnds  15758  mertenslem1  15791  fprodser  15856  bpolydiflem  15961  eftlub  16018  eirrlem  16113  rpnnen2lem7  16129  rpnnen2lem9  16131  rpnnen2lem11  16133  sqrt2irrlem  16157  dvdsfac  16237  dvdsmod  16240  oddpwp1fsum  16303  bitsfzolem  16345  bitsmod  16347  bitsfi  16348  bitscmp  16349  bitsinv1  16353  sadadd3  16372  sadaddlem  16377  bitsuz  16385  bitsshft  16386  gcdnncl  16418  gcd1  16439  dvdsgcdidd  16448  bezoutlem3  16452  bezoutlem4  16453  mulgcd  16459  rplpwr  16469  rprpwr  16470  sqgcd  16473  expgcd  16474  nn0expgcd  16475  dvdssq  16478  lcmneg  16514  lcmgcdlem  16517  rpdvds  16571  coprmprod  16572  coprmproddvdslem  16573  congr  16575  cncongr1  16578  cncongr2  16579  prmz  16586  prmind2  16596  divgcdodd  16621  isprm6  16625  prmexpb  16630  prmfac1  16631  rpexp  16633  prmdvdsbc  16637  prmdvdsncoprmbd  16638  numdensq  16665  numdenexp  16671  hashdvds  16686  phiprmpw  16687  crth  16689  phimullem  16690  eulerthlem1  16692  eulerthlem2  16693  prmdivdiv  16698  hashgcdlem  16699  odzdvds  16707  pythagtriplem4  16731  pythagtriplem6  16733  pythagtriplem7  16734  pythagtriplem11  16737  pythagtriplem13  16739  pythagtriplem19  16745  pclem  16750  pcprendvds2  16753  pcpre1  16754  pcpremul  16755  pceulem  16757  pcqmul  16765  pcdvdsb  16781  pcidlem  16784  pcdvdstr  16788  pcgcd1  16789  pc2dvds  16791  pcprmpw2  16794  pcaddlem  16800  pcadd  16801  pcmpt2  16805  pcmptdvds  16806  pcfac  16811  pcbc  16812  qexpz  16813  oddprmdvds  16815  prmpwdvds  16816  pockthlem  16817  pockthg  16818  prmreclem2  16829  prmreclem3  16830  prmreclem4  16831  prmreclem5  16832  prmreclem6  16833  4sqlem5  16854  4sqlem8  16857  4sqlem9  16858  4sqlem10  16859  4sqlem12  16868  4sqlem14  16870  4sqlem16  16872  4sqlem17  16873  vdwlem1  16893  vdwlem2  16894  vdwlem3  16895  vdwlem6  16898  vdwlem9  16901  vdwlem10  16902  vdwnnlem3  16909  prmdvdsprmop  16955  prmolelcmf  16960  prmgaplem1  16961  prmgaplem7  16969  prmgaplem8  16970  gsumwsubmcl  18745  gsumsgrpccat  18748  gsumwmhm  18753  mulgneg  19005  mulgnndir  19016  psgnunilem4  19409  odlem2  19451  mndodconglem  19453  odmod  19458  gexlem2  19494  gexcl3  19499  gexcl2  19501  sylow1lem1  19510  sylow1lem3  19512  sylow1lem5  19514  pgpfi  19517  fislw  19537  sylow3lem4  19542  gexexlem  19764  ablfacrplem  19979  ablfacrp  19980  ablfacrp2  19981  ablfac1lem  19982  ablfac1b  19984  ablfac1eu  19987  pgpfac1lem3a  19990  ablfaclem3  20001  fincygsubgd  20025  fincygsubgodd  20026  znrrg  21502  psdpw  22085  cayhamlem1  22781  caublcls  25236  ovolicc2lem4  25448  iundisj2  25477  volsup  25484  uniioombllem3  25513  mbfi1fseqlem3  25645  mbfi1fseqlem4  25646  elqaalem2  26255  aalioulem1  26267  aalioulem4  26270  aalioulem5  26271  aalioulem6  26272  aaliou  26273  aaliou3lem1  26277  aaliou3lem2  26278  aaliou3lem3  26279  aaliou3lem8  26280  aaliou3lem5  26282  aaliou3lem6  26283  aaliou3lem7  26284  taylthlem2  26309  taylthlem2OLD  26310  cxpeq  26694  zrtelqelz  26695  amgmlem  26927  lgamgulmlem4  26969  lgamcvg2  26992  wilthlem2  27006  wilth  27008  wilthimp  27009  ftalem5  27014  basellem2  27019  basellem3  27020  basellem4  27021  basellem5  27022  muval1  27070  dvdssqf  27075  sgmnncl  27084  efchtdvds  27096  mumullem2  27117  mumul  27118  sqff1o  27119  fsumdvdsdiaglem  27120  dvdsppwf1o  27123  dvdsflf1o  27124  muinv  27130  mpodvdsmulf1o  27131  dvdsmulf1o  27133  chtublem  27149  fsumvma2  27152  vmasum  27154  chpchtsum  27157  logfacubnd  27159  mersenne  27165  perfect1  27166  perfectlem1  27167  perfectlem2  27168  perfect  27169  dchrelbas4  27181  dchrfi  27193  bcmono  27215  bcp1ctr  27217  bclbnd  27218  bposlem1  27222  bposlem3  27224  bposlem5  27226  bposlem6  27227  bposlem9  27230  lgsmod  27261  lgsdir  27270  lgsdilem2  27271  lgsne0  27273  lgsqrlem2  27285  lgsqr  27289  lgsqrmodndvds  27291  gausslemma2dlem0c  27296  gausslemma2dlem0h  27301  gausslemma2dlem0i  27302  gausslemma2dlem2  27305  gausslemma2dlem6  27310  gausslemma2dlem7  27311  gausslemma2d  27312  lgseisenlem1  27313  lgseisenlem2  27314  lgseisenlem3  27315  lgseisenlem4  27316  lgsquadlem1  27318  lgsquadlem2  27319  lgsquadlem3  27320  lgsquad2lem1  27322  lgsquad2lem2  27323  lgsquad2  27324  m1lgs  27326  2lgslem2  27333  2sqlem3  27358  2sqlem4  27359  2sqlem8  27364  chebbnd1lem1  27407  rplogsumlem2  27423  rpvmasumlem  27425  dchrisumlem1  27427  dchrisumlem2  27428  dchrisumlem3  27429  dchrisum0fmul  27444  dchrisum0ff  27445  dchrisum0flblem1  27446  dchrisum0flblem2  27447  dchrisum0flb  27448  dchrisum0  27458  pntrsumbnd2  27505  pntrlog2bndlem1  27515  pntrlog2bndlem6  27521  pntpbnd2  27525  pntlemg  27536  pntlemj  27541  pntlemf  27543  ostth2lem2  27572  ostth2lem3  27573  ostth3  27576  numclwlk2lem2f1o  30359  nrt2irr  30453  minvecolem4  30860  iundisj2f  32570  ssnnssfz  32770  iundisj2fi  32779  f1ocnt  32782  elq2  32794  numdenneg  32797  expgt0b  32799  ltesubnnd  32805  oexpled  32830  psgnfzto1stlem  33069  isarchi3  33156  archiabllem1b  33161  zringfrac  33519  fldextrspundgdvds  33694  cos9thpiminplylem2  33796  smatrcl  33809  1smat1  33817  submateqlem1  33820  lmatfvlem  33828  qqhval2  33995  qqhf  33999  qqhghm  34001  qqhrhm  34002  qqhnm  34003  qqhre  34033  esumcvg  34099  meascnbl  34232  omssubadd  34313  oddpwdc  34367  ballotlemfp1  34505  ballotlemfc0  34506  ballotlemfcc  34507  ballotlemimin  34519  ballotlemic  34520  ballotlem1c  34521  hgt750lemc  34660  hgt750lemd  34661  hgt750lemb  34669  hgt750leme  34671  subfaclim  35232  cvmliftlem7  35335  sinccvglem  35716  bcprod  35782  bccolsum  35783  faclimlem2  35788  faclim2  35792  poimirlem1  37660  poimirlem2  37661  poimirlem3  37662  poimirlem4  37663  poimirlem6  37665  poimirlem8  37667  poimirlem9  37668  poimirlem10  37669  poimirlem11  37670  poimirlem13  37672  poimirlem14  37673  poimirlem15  37674  poimirlem16  37675  poimirlem17  37676  poimirlem18  37677  poimirlem19  37678  poimirlem20  37679  poimirlem21  37680  poimirlem22  37681  poimirlem23  37682  poimirlem24  37683  poimirlem26  37685  poimirlem27  37686  poimirlem28  37687  poimirlem31  37690  mblfinlem2  37697  seqpo  37786  incsequz  37787  incsequz2  37788  zndvdchrrhm  42064  bccl2d  42083  nnproddivdvdsd  42092  lcmineqlem1  42121  lcmineqlem3  42123  lcmineqlem4  42124  lcmineqlem6  42126  lcmineqlem8  42128  lcmineqlem9  42129  lcmineqlem10  42130  lcmineqlem11  42131  lcmineqlem13  42133  lcmineqlem14  42134  lcmineqlem18  42138  lcmineqlem19  42139  lcmineqlem20  42140  lcmineqlem21  42141  lcmineqlem22  42142  lcmineqlem23  42143  lcmineqlem  42144  3lexlogpow5ineq2  42147  3lexlogpow2ineq1  42150  aks4d1p3  42170  aks4d1p5  42172  aks4d1p6  42173  aks4d1p8d1  42176  aks4d1p8d2  42177  aks4d1p8d3  42178  aks4d1p8  42179  aks4d1p9  42180  posbezout  42192  primrootscoprbij  42194  remexz  42196  primrootspoweq0  42198  aks6d1c1  42208  aks6d1c2p2  42211  hashscontpow1  42213  hashscontpow  42214  aks6d1c3  42215  aks6d1c4  42216  aks6d1c2lem4  42219  aks6d1c2  42222  aks6d1c5lem1  42228  sticksstones6  42243  sticksstones10  42247  sticksstones12a  42249  sticksstones12  42250  aks6d1c6lem3  42264  aks6d1c6lem4  42265  aks6d1c6isolem3  42268  aks6d1c6lem5  42269  aks6d1c7lem2  42273  aks6d1c7  42276  aks5lem1  42278  aks5lem2  42279  aks5lem3a  42281  grpods  42286  unitscyglem1  42287  unitscyglem2  42288  unitscyglem4  42290  unitscyglem5  42291  aks5  42296  sumcubes  42405  oexpreposd  42414  explt1d  42415  expeq1d  42416  expeqidd  42417  exp11d  42418  gcdle1d  42422  gcdle2d  42423  dvdsexpnn0  42426  fimgmcyc  42626  fltdvdsabdvdsc  42730  fltaccoprm  42732  fltbccoprm  42733  fltabcoprm  42734  fltne  42736  flt4lem2  42739  flt4lem3  42740  flt4lem4  42741  flt4lem5  42742  flt4lem5elem  42743  flt4lem5a  42744  flt4lem5b  42745  flt4lem5c  42746  flt4lem5d  42747  flt4lem5e  42748  flt4lem5f  42749  flt4lem6  42750  flt4lem7  42751  nna4b4nsq  42752  fltltc  42753  fltnlta  42755  irrapxlem3  42916  irrapxlem5  42918  pellexlem5  42925  pellexlem6  42926  pellex  42927  pell1234qrmulcl  42947  jm2.23  43088  jm2.20nn  43089  jm2.26lem3  43093  jm2.27a  43097  jm2.27b  43098  jm2.27c  43099  jm3.1lem1  43109  jm3.1lem3  43111  inductionexd  44247  nznngen  44408  hashnzfz2  44413  fmuldfeq  45682  divcnvg  45726  stoweidlem1  46098  stoweidlem3  46100  stoweidlem11  46108  stoweidlem20  46117  stoweidlem26  46123  stoweidlem34  46131  stoweidlem51  46148  stirlinglem4  46174  stirlinglem5  46175  stirlinglem8  46178  dirkerper  46193  dirkertrigeqlem2  46196  dirkertrigeqlem3  46197  dirkercncflem2  46201  fourierdlem11  46215  fourierdlem14  46218  fourierdlem20  46224  fourierdlem25  46229  fourierdlem37  46241  fourierdlem41  46245  fourierdlem48  46251  fourierdlem49  46252  fourierdlem54  46257  fourierdlem64  46267  fourierdlem73  46276  fourierdlem79  46282  fourierdlem92  46295  fourierdlem93  46296  fourierdlem111  46314  sqwvfourb  46326  etransclem3  46334  etransclem7  46338  etransclem10  46341  etransclem15  46346  etransclem24  46355  etransclem25  46356  etransclem26  46357  etransclem27  46358  etransclem28  46359  etransclem35  46366  etransclem37  46368  etransclem38  46369  etransclem41  46372  etransclem44  46375  etransclem45  46376  etransclem48  46379  ovnsubaddlem1  46667  vonioolem1  46777  iccpartgtprec  47519  iccpartipre  47520  fmtnoodd  47632  goldbachthlem2  47645  goldbachth  47646  odz2prm2pw  47662  fmtnoprmfac1lem  47663  fmtnoprmfac2lem1  47665  fmtnoprmfac2  47666  fmtnofac2lem  47667  2pwp1prm  47688  lighneallem1  47704  lighneallem4  47709  proththdlem  47712  proththd  47713  divgcdoddALTV  47781  perfectALTVlem1  47820  perfectALTVlem2  47821  perfectALTV  47822  gbowge7  47862  gpgedgvtx1  48161  gpg3kgrtriexlem2  48183  gpg3kgrtriexlem5  48186  pw2m1lepw2m1  48620  nnolog2flm1  48690  dignn0fr  48701  dignn0flhalflem1  48715