Theorem nnzd 12087

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnzd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 11956	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12086	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ℕcn 11638  ℤcz 11982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983

This theorem is referenced by:  expaddzlem  13473  expmulz  13476  expmulnbnd  13597  facndiv  13649  bcval5  13679  bcpasc  13682  hashf1  13816  isercolllem1  15021  isercolllem2  15022  o1fsum  15168  bcxmas  15190  climcndslem2  15205  climcnds  15206  mertenslem1  15240  fprodser  15303  bpolydiflem  15408  eftlub  15462  eirrlem  15557  rpnnen2lem7  15573  rpnnen2lem9  15575  rpnnen2lem11  15577  sqrt2irrlem  15601  dvdsfac  15676  dvdsmod  15678  oddpwp1fsum  15743  bitsfzolem  15783  bitsmod  15785  bitsfi  15786  bitscmp  15787  bitsinv1  15791  sadadd3  15810  sadaddlem  15815  bitsuz  15823  bitsshft  15824  gcdnncl  15856  gcd1  15876  dvdsgcdidd  15885  bezoutlem3  15889  bezoutlem4  15890  mulgcd  15896  gcdmultiplezOLD  15901  rplpwr  15907  rppwr  15908  sqgcd  15909  dvdssq  15911  lcmneg  15947  lcmgcdlem  15950  rpdvds  16004  coprmprod  16005  coprmproddvdslem  16006  congr  16008  cncongr1  16011  cncongr2  16012  prmz  16019  prmind2  16029  divgcdodd  16054  isprm6  16058  prmexpb  16062  prmfac1  16063  rpexp  16064  numdensq  16094  hashdvds  16112  phiprmpw  16113  crth  16115  phimullem  16116  eulerthlem1  16118  eulerthlem2  16119  prmdivdiv  16124  hashgcdlem  16125  odzdvds  16132  pythagtriplem4  16156  pythagtriplem6  16158  pythagtriplem7  16159  pythagtriplem11  16162  pythagtriplem13  16164  pythagtriplem19  16170  pclem  16175  pcprendvds2  16178  pcpre1  16179  pcpremul  16180  pceulem  16182  pcqmul  16190  pcdvdsb  16205  pcidlem  16208  pcdvdstr  16212  pcgcd1  16213  pc2dvds  16215  pcprmpw2  16218  pcaddlem  16224  pcadd  16225  pcmpt2  16229  pcmptdvds  16230  pcfac  16235  pcbc  16236  qexpz  16237  oddprmdvds  16239  prmpwdvds  16240  pockthlem  16241  pockthg  16242  prmreclem2  16253  prmreclem3  16254  prmreclem4  16255  prmreclem5  16256  prmreclem6  16257  4sqlem5  16278  4sqlem8  16281  4sqlem9  16282  4sqlem10  16283  4sqlem12  16292  4sqlem14  16294  4sqlem16  16296  4sqlem17  16297  vdwlem1  16317  vdwlem2  16318  vdwlem3  16319  vdwlem6  16322  vdwlem9  16325  vdwlem10  16326  vdwnnlem3  16333  prmdvdsprmop  16379  prmolelcmf  16384  prmgaplem1  16385  prmgaplem7  16393  prmgaplem8  16394  gsumwsubmcl  18001  gsumsgrpccat  18004  gsumccatOLD  18005  gsumwmhm  18010  mulgneg  18246  mulgnndir  18256  psgnunilem4  18625  odlem2  18667  mndodconglem  18669  odmod  18674  gexlem2  18707  gexcl3  18712  gexcl2  18714  sylow1lem1  18723  sylow1lem3  18725  sylow1lem5  18727  pgpfi  18730  fislw  18750  sylow3lem4  18755  gexexlem  18972  ablfacrplem  19187  ablfacrp  19188  ablfacrp2  19189  ablfac1lem  19190  ablfac1b  19192  ablfac1eu  19195  pgpfac1lem3a  19198  ablfaclem3  19209  fincygsubgd  19233  fincygsubgodd  19234  znrrg  20712  cayhamlem1  21474  caublcls  23912  ovolicc2lem4  24121  iundisj2  24150  volsup  24157  uniioombllem3  24186  mbfi1fseqlem3  24318  mbfi1fseqlem4  24319  elqaalem2  24909  aalioulem1  24921  aalioulem4  24924  aalioulem5  24925  aalioulem6  24926  aaliou  24927  aaliou3lem1  24931  aaliou3lem2  24932  aaliou3lem3  24933  aaliou3lem8  24934  aaliou3lem5  24936  aaliou3lem6  24937  aaliou3lem7  24938  taylthlem2  24962  cxpeq  25338  amgmlem  25567  lgamgulmlem4  25609  lgamcvg2  25632  wilthlem2  25646  wilth  25648  wilthimp  25649  ftalem5  25654  basellem2  25659  basellem3  25660  basellem4  25661  basellem5  25662  muval1  25710  dvdssqf  25715  sgmnncl  25724  efchtdvds  25736  mumullem2  25757  mumul  25758  sqff1o  25759  fsumdvdsdiaglem  25760  dvdsppwf1o  25763  dvdsflf1o  25764  muinv  25770  dvdsmulf1o  25771  chtublem  25787  fsumvma2  25790  vmasum  25792  chpchtsum  25795  logfacubnd  25797  mersenne  25803  perfect1  25804  perfectlem1  25805  perfectlem2  25806  perfect  25807  dchrelbas4  25819  dchrfi  25831  bcmono  25853  bcp1ctr  25855  bclbnd  25856  bposlem1  25860  bposlem3  25862  bposlem5  25864  bposlem6  25865  bposlem9  25868  lgsmod  25899  lgsdir  25908  lgsdilem2  25909  lgsne0  25911  lgsqrlem2  25923  lgsqr  25927  lgsqrmodndvds  25929  gausslemma2dlem0c  25934  gausslemma2dlem0h  25939  gausslemma2dlem0i  25940  gausslemma2dlem2  25943  gausslemma2dlem6  25948  gausslemma2dlem7  25949  gausslemma2d  25950  lgseisenlem1  25951  lgseisenlem2  25952  lgseisenlem3  25953  lgseisenlem4  25954  lgsquadlem1  25956  lgsquadlem2  25957  lgsquadlem3  25958  lgsquad2lem1  25960  lgsquad2lem2  25961  lgsquad2  25962  m1lgs  25964  2lgslem2  25971  2sqlem3  25996  2sqlem4  25997  2sqlem8  26002  chebbnd1lem1  26045  rplogsumlem2  26061  rpvmasumlem  26063  dchrisumlem1  26065  dchrisumlem2  26066  dchrisumlem3  26067  dchrisum0fmul  26082  dchrisum0ff  26083  dchrisum0flblem1  26084  dchrisum0flblem2  26085  dchrisum0flb  26086  dchrisum0  26096  pntrsumbnd2  26143  pntrlog2bndlem1  26153  pntrlog2bndlem6  26159  pntpbnd2  26163  pntlemg  26174  pntlemj  26179  pntlemf  26181  ostth2lem2  26210  ostth2lem3  26211  ostth3  26214  numclwlk2lem2f1o  28158  minvecolem4  28657  iundisj2f  30340  ssnnssfz  30510  iundisj2fi  30520  f1ocnt  30525  prmdvdsbc  30532  numdenneg  30533  ltesubnnd  30538  psgnfzto1stlem  30742  isarchi3  30816  archiabllem1b  30821  smatrcl  31061  1smat1  31069  submateqlem1  31072  submateqlem2  31073  lmatfvlem  31080  qqhval2  31223  qqhf  31227  qqhghm  31229  qqhrhm  31230  qqhnm  31231  qqhre  31261  esumcvg  31345  meascnbl  31478  omssubadd  31558  oddpwdc  31612  ballotlemfp1  31749  ballotlemfc0  31750  ballotlemfcc  31751  ballotlemimin  31763  ballotlemic  31764  ballotlem1c  31765  hgt750lemc  31918  hgt750lemd  31919  hgt750lemb  31927  hgt750leme  31929  subfaclim  32435  cvmliftlem7  32538  sinccvglem  32915  bcprod  32970  bccolsum  32971  faclimlem2  32976  faclim2  32980  poimirlem1  34908  poimirlem2  34909  poimirlem3  34910  poimirlem4  34911  poimirlem6  34913  poimirlem8  34915  poimirlem9  34916  poimirlem10  34917  poimirlem11  34918  poimirlem13  34920  poimirlem14  34921  poimirlem15  34922  poimirlem16  34923  poimirlem17  34924  poimirlem18  34925  poimirlem19  34926  poimirlem20  34927  poimirlem21  34928  poimirlem22  34929  poimirlem23  34930  poimirlem24  34931  poimirlem26  34933  poimirlem27  34934  poimirlem28  34935  poimirlem31  34938  mblfinlem2  34945  seqpo  35037  incsequz  35038  incsequz2  35039  oexpreposd  39199  expgcd  39203  nn0expgcd  39204  numdenexp  39206  zrtelqelz  39212  fltne  39292  fltltc  39293  fltnlta  39295  irrapxlem3  39441  irrapxlem5  39443  pellexlem5  39450  pellexlem6  39451  pellex  39452  pell1234qrmulcl  39472  jm2.23  39613  jm2.20nn  39614  jm2.26lem3  39618  jm2.27a  39622  jm2.27b  39623  jm2.27c  39624  jm3.1lem1  39634  jm3.1lem3  39636  inductionexd  40525  nznngen  40668  hashnzfz2  40673  fmuldfeq  41884  divcnvg  41928  stoweidlem1  42306  stoweidlem3  42308  stoweidlem11  42316  stoweidlem20  42325  stoweidlem26  42331  stoweidlem34  42339  stoweidlem51  42356  stirlinglem4  42382  stirlinglem5  42383  stirlinglem8  42386  dirkerper  42401  dirkertrigeqlem2  42404  dirkertrigeqlem3  42405  dirkercncflem2  42409  fourierdlem11  42423  fourierdlem14  42426  fourierdlem20  42432  fourierdlem25  42437  fourierdlem37  42449  fourierdlem41  42453  fourierdlem48  42459  fourierdlem49  42460  fourierdlem54  42465  fourierdlem64  42475  fourierdlem73  42484  fourierdlem79  42490  fourierdlem92  42503  fourierdlem93  42504  fourierdlem111  42522  sqwvfourb  42534  etransclem3  42542  etransclem7  42546  etransclem10  42549  etransclem15  42554  etransclem24  42563  etransclem25  42564  etransclem26  42565  etransclem27  42566  etransclem28  42567  etransclem35  42574  etransclem37  42576  etransclem38  42577  etransclem41  42580  etransclem44  42583  etransclem45  42584  etransclem48  42587  ovnsubaddlem1  42872  vonioolem1  42982  iccpartgtprec  43600  iccpartipre  43601  fmtnoodd  43715  goldbachthlem2  43728  goldbachth  43729  odz2prm2pw  43745  fmtnoprmfac1lem  43746  fmtnoprmfac2lem1  43748  fmtnoprmfac2  43749  fmtnofac2lem  43750  2pwp1prm  43771  lighneallem1  43790  lighneallem4  43795  proththdlem  43798  proththd  43799  divgcdoddALTV  43867  perfectALTVlem1  43906  perfectALTVlem2  43907  perfectALTV  43908  gbowge7  43948  pw2m1lepw2m1  44595  nnolog2flm1  44670  dignn0fr  44681  dignn0flhalflem1  44695