Theorem elfzelzd 13462

Description: A member of a finite set of sequential integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
elfzelzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
elfzelzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelzd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzelz 13461	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℤcz 12505  ...cfz 13444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-neg 11384  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445

This theorem is referenced by:  seqf1olem1  13982  seqz  13991  seqcoll  14405  seqcoll2  14406  ccatswrd  14609  splfv1  14696  summolem2a  15657  fsumrev  15721  prodmolem2a  15876  fprod1p  15910  prmdivdiv  16733  4sqlem12  16903  efgredleme  19657  efgredlemc  19659  efgredlemb  19660  wilthlem2  27012  lgsqrlem4  27293  lgsquadlem2  27325  pntlemj  27547  fzone1  32773  swrdrn2  32926  swrdrn3  32927  swrdf1  32928  pfxchn  32981  cycpmco2lem7  33104  submateqlem2  33791  ballotlemimin  34490  ballotlemsgt1  34495  ballotlemsdom  34496  ballotlemsel1i  34497  ballotlemfrceq  34513  ballotlemfrcn0  34514  ballotlemirc  34516  ballotlem1ri  34519  fsum2dsub  34591  breprexplemc  34616  circlemeth  34624  erdszelem8  35178  poimirlem2  37609  poimirlem7  37614  poimirlem24  37631  poimirlem28  37635  fzsplitnd  41963  aks4d1p7d1  42063  aks4d1p7  42064  primrootspoweq0  42087  hashscontpow1  42102  aks6d1c5lem1  42117  aks6d1c5lem3  42118  aks6d1c5lem2  42119  unitscyglem2  42177  irrapxlem3  42805  fzmaxdif  42963  acongeq  42965  jm2.26  42984  monoords  45288  sumnnodd  45621  dvnprodlem1  45937  stoweidlem11  46002  stoweidlem26  46017  fourierdlem79  46176  elaa2lem  46224  etransclem1  46226  etransclem3  46228  etransclem7  46232  etransclem10  46235  etransclem15  46240  etransclem21  46246  etransclem22  46247  etransclem24  46249  etransclem25  46250  etransclem32  46257  etransclem35  46260  etransclem37  46262  etransclem38  46263  iccpartgtprec  47414