Theorem elfzelzd 13453

Description: A member of a finite set of sequential integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
elfzelzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
elfzelzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelzd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzelz 13452	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℤcz 12500  ...cfz 13435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-neg 11379  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436

This theorem is referenced by:  fzone1  13712  seqf1olem1  13976  seqz  13985  seqcoll  14399  seqcoll2  14400  ccatswrd  14604  splfv1  14690  summolem2a  15650  fsumrev  15714  prodmolem2a  15869  fprod1p  15903  prmdivdiv  16726  4sqlem12  16896  pfxchn  18545  efgredleme  19684  efgredlemc  19686  efgredlemb  19687  wilthlem2  27047  lgsqrlem4  27328  lgsquadlem2  27360  pntlemj  27582  swrdrn2  33047  swrdrn3  33048  swrdf1  33049  gsummulsubdishift1  33162  cycpmco2lem7  33226  esplyindfv  33753  submateqlem2  33986  ballotlemimin  34684  ballotlemsgt1  34689  ballotlemsdom  34690  ballotlemsel1i  34691  ballotlemfrceq  34707  ballotlemfrcn0  34708  ballotlemirc  34710  ballotlem1ri  34713  fsum2dsub  34785  breprexplemc  34810  circlemeth  34818  erdszelem8  35414  poimirlem2  37873  poimirlem7  37878  poimirlem24  37895  poimirlem28  37899  fzsplitnd  42352  aks4d1p7d1  42452  aks4d1p7  42453  primrootspoweq0  42476  hashscontpow1  42491  aks6d1c5lem1  42506  aks6d1c5lem3  42507  aks6d1c5lem2  42508  unitscyglem2  42566  irrapxlem3  43181  fzmaxdif  43338  acongeq  43340  jm2.26  43359  monoords  45659  sumnnodd  45990  dvnprodlem1  46304  stoweidlem11  46369  stoweidlem26  46384  fourierdlem79  46543  elaa2lem  46591  etransclem1  46593  etransclem3  46595  etransclem7  46599  etransclem10  46602  etransclem15  46607  etransclem21  46613  etransclem22  46614  etransclem24  46616  etransclem25  46617  etransclem32  46624  etransclem35  46627  etransclem37  46629  etransclem38  46630  iccpartgtprec  47780