Theorem elfzelzd 13579

Description: A member of a finite set of sequential integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
elfzelzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
elfzelzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelzd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzelz 13578	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℤcz 12615  ...cfz 13561

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-neg 11468  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562

This theorem is used by:  fzone1  13840  seqf1olem1  14105  seqz  14114  seqcoll  14529  seqcoll2  14530  swrdf1  14719  swrdrn3  14722  ccatswrd  14738  splfv1  14824  summolem2a  15801  fsumrev  15865  prodmolem2a  16021  fprod1p  16055  prmdivdiv  16878  4sqlem12  17048  pfxchn  18698  efgredleme  19870  efgredlemc  19872  efgredlemb  19873  wilthlem2  27305  lgsqrlem4  27585  lgsquadlem2  27617  pntlemj  27839  swrdrn2  33396  gsummulsubdishift1  33508  cycpmco2lem7  33572  esplyindfv  34086  submateqlem2  34318  ballotlemimin  35017  ballotlemsgt1  35022  ballotlemsdom  35023  ballotlemsel1i  35024  ballotlemfrceq  35040  ballotlemfrcn0  35041  ballotlemirc  35043  ballotlem1ri  35046  fsum2dsub  35115  breprexplemc  35140  circlemeth  35148  erdszelem8  35777  poimirlem2  38371  poimirlem7  38376  poimirlem24  38393  poimirlem28  38397  fzsplitnd  42848  aks4d1p7d1  42948  aks4d1p7  42949  primrootspoweq0  42972  hashscontpow1  42987  aks6d1c5lem1  43002  aks6d1c5lem3  43003  aks6d1c5lem2  43004  unitscyglem2  43062  irrapxlem3  43665  fzmaxdif  43822  acongeq  43824  jm2.26  43843  monoords  46130  sumnnodd  46460  dvnprodlem1  46774  stoweidlem11  46839  stoweidlem26  46854  fourierdlem79  47013  elaa2lem  47061  etransclem1  47063  etransclem3  47065  etransclem7  47069  etransclem10  47072  etransclem15  47077  etransclem21  47083  etransclem22  47084  etransclem24  47086  etransclem25  47087  etransclem32  47094  etransclem35  47097  etransclem37  47099  etransclem38  47100  iccpartgtprec  48320