Theorem elfzelzd 13257

Description: A member of a finite set of sequential integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
elfzelzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
elfzelzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelzd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzelz 13256	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℤcz 12319  ...cfz 13239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-neg 11208  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240

This theorem is referenced by:  seqf1olem1  13762  seqz  13771  seqcoll  14178  seqcoll2  14179  ccatswrd  14381  splfv1  14468  summolem2a  15427  fsumrev  15491  prodmolem2a  15644  fprod1p  15678  prmdivdiv  16488  4sqlem12  16657  efgredleme  19349  efgredlemc  19351  efgredlemb  19352  wilthlem2  26218  lgsqrlem4  26497  lgsquadlem2  26529  pntlemj  26751  fzone1  31121  swrdrn2  31226  swrdrn3  31227  swrdf1  31228  cycpmco2lem7  31399  submateqlem2  31758  ballotlemimin  32472  ballotlemsgt1  32477  ballotlemsdom  32478  ballotlemsel1i  32479  ballotlemfrceq  32495  ballotlemfrcn0  32496  ballotlemirc  32498  ballotlem1ri  32501  fsum2dsub  32587  breprexplemc  32612  circlemeth  32620  erdszelem8  33160  poimirlem2  35779  poimirlem7  35784  poimirlem24  35801  poimirlem28  35805  fzsplitnd  39991  aks4d1p7d1  40090  aks4d1p7  40091  metakunt1  40125  metakunt3  40127  metakunt4  40128  metakunt7  40131  metakunt12  40136  metakunt21  40145  metakunt22  40146  metakunt27  40151  metakunt28  40152  metakunt29  40153  metakunt32  40156  irrapxlem3  40646  fzmaxdif  40803  acongeq  40805  jm2.26  40824  monoords  42836  sumnnodd  43171  dvnprodlem1  43487  stoweidlem11  43552  stoweidlem26  43567  fourierdlem79  43726  elaa2lem  43774  etransclem1  43776  etransclem3  43778  etransclem7  43782  etransclem10  43785  etransclem15  43790  etransclem21  43796  etransclem22  43797  etransclem24  43799  etransclem25  43800  etransclem32  43807  etransclem35  43810  etransclem37  43812  etransclem38  43813  iccpartgtprec  44872