Theorem elfzelzd 13506

Description: A member of a finite set of sequential integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
elfzelzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
elfzelzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelzd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzelz 13505	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7411  ℤcz 12562  ...cfz 13488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-neg 11451  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489

This theorem is referenced by:  seqf1olem1  14011  seqz  14020  seqcoll  14429  seqcoll2  14430  ccatswrd  14622  splfv1  14709  summolem2a  15665  fsumrev  15729  prodmolem2a  15882  fprod1p  15916  prmdivdiv  16724  4sqlem12  16893  efgredleme  19652  efgredlemc  19654  efgredlemb  19655  wilthlem2  26809  lgsqrlem4  27088  lgsquadlem2  27120  pntlemj  27342  fzone1  32278  swrdrn2  32385  swrdrn3  32386  swrdf1  32387  cycpmco2lem7  32561  submateqlem2  33086  ballotlemimin  33802  ballotlemsgt1  33807  ballotlemsdom  33808  ballotlemsel1i  33809  ballotlemfrceq  33825  ballotlemfrcn0  33826  ballotlemirc  33828  ballotlem1ri  33831  fsum2dsub  33917  breprexplemc  33942  circlemeth  33950  erdszelem8  34487  poimirlem2  36793  poimirlem7  36798  poimirlem24  36815  poimirlem28  36819  fzsplitnd  41154  aks4d1p7d1  41253  aks4d1p7  41254  metakunt1  41291  metakunt3  41293  metakunt4  41294  metakunt7  41297  metakunt12  41302  metakunt21  41311  metakunt22  41312  metakunt27  41317  metakunt28  41318  metakunt29  41319  metakunt32  41322  irrapxlem3  41864  fzmaxdif  42022  acongeq  42024  jm2.26  42043  monoords  44305  sumnnodd  44644  dvnprodlem1  44960  stoweidlem11  45025  stoweidlem26  45040  fourierdlem79  45199  elaa2lem  45247  etransclem1  45249  etransclem3  45251  etransclem7  45255  etransclem10  45258  etransclem15  45263  etransclem21  45269  etransclem22  45270  etransclem24  45272  etransclem25  45273  etransclem32  45280  etransclem35  45283  etransclem37  45285  etransclem38  45286  iccpartgtprec  46386