Theorem elfzelzd 13439

Description: A member of a finite set of sequential integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
elfzelzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
elfzelzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelzd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzelz 13438	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356  ℤcz 12486  ...cfz 13421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-neg 11365  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422

This theorem is referenced by:  fzone1  13698  seqf1olem1  13962  seqz  13971  seqcoll  14385  seqcoll2  14386  ccatswrd  14590  splfv1  14676  summolem2a  15636  fsumrev  15700  prodmolem2a  15855  fprod1p  15889  prmdivdiv  16712  4sqlem12  16882  pfxchn  18531  efgredleme  19670  efgredlemc  19672  efgredlemb  19673  wilthlem2  27033  lgsqrlem4  27314  lgsquadlem2  27346  pntlemj  27568  swrdrn2  32985  swrdrn3  32986  swrdf1  32987  gsummulsubdishift1  33100  cycpmco2lem7  33163  esplyindfv  33681  submateqlem2  33914  ballotlemimin  34612  ballotlemsgt1  34617  ballotlemsdom  34618  ballotlemsel1i  34619  ballotlemfrceq  34635  ballotlemfrcn0  34636  ballotlemirc  34638  ballotlem1ri  34641  fsum2dsub  34713  breprexplemc  34738  circlemeth  34746  erdszelem8  35341  poimirlem2  37762  poimirlem7  37767  poimirlem24  37784  poimirlem28  37788  fzsplitnd  42175  aks4d1p7d1  42275  aks4d1p7  42276  primrootspoweq0  42299  hashscontpow1  42314  aks6d1c5lem1  42329  aks6d1c5lem3  42330  aks6d1c5lem2  42331  unitscyglem2  42389  irrapxlem3  43008  fzmaxdif  43165  acongeq  43167  jm2.26  43186  monoords  45487  sumnnodd  45818  dvnprodlem1  46132  stoweidlem11  46197  stoweidlem26  46212  fourierdlem79  46371  elaa2lem  46419  etransclem1  46421  etransclem3  46423  etransclem7  46427  etransclem10  46430  etransclem15  46435  etransclem21  46441  etransclem22  46442  etransclem24  46444  etransclem25  46445  etransclem32  46452  etransclem35  46455  etransclem37  46457  etransclem38  46458  iccpartgtprec  47608