Theorem elfzelzd 13470

Description: A member of a finite set of sequential integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
elfzelzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
elfzelzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelzd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzelz 13469	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  ℤcz 12515  ...cfz 13452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-neg 11371  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453

This theorem is referenced by:  fzone1  13730  seqf1olem1  13994  seqz  14003  seqcoll  14417  seqcoll2  14418  ccatswrd  14622  splfv1  14708  summolem2a  15668  fsumrev  15732  prodmolem2a  15890  fprod1p  15924  prmdivdiv  16748  4sqlem12  16918  pfxchn  18567  efgredleme  19709  efgredlemc  19711  efgredlemb  19712  wilthlem2  27050  lgsqrlem4  27330  lgsquadlem2  27362  pntlemj  27584  swrdrn2  33033  swrdrn3  33034  swrdf1  33035  gsummulsubdishift1  33149  cycpmco2lem7  33213  esplyindfv  33760  submateqlem2  33992  ballotlemimin  34690  ballotlemsgt1  34695  ballotlemsdom  34696  ballotlemsel1i  34697  ballotlemfrceq  34713  ballotlemfrcn0  34714  ballotlemirc  34716  ballotlem1ri  34719  fsum2dsub  34791  breprexplemc  34816  circlemeth  34824  erdszelem8  35426  poimirlem2  37989  poimirlem7  37994  poimirlem24  38011  poimirlem28  38015  fzsplitnd  42467  aks4d1p7d1  42567  aks4d1p7  42568  primrootspoweq0  42591  hashscontpow1  42606  aks6d1c5lem1  42621  aks6d1c5lem3  42622  aks6d1c5lem2  42623  unitscyglem2  42681  irrapxlem3  43269  fzmaxdif  43426  acongeq  43428  jm2.26  43447  monoords  45745  sumnnodd  46075  dvnprodlem1  46389  stoweidlem11  46454  stoweidlem26  46469  fourierdlem79  46628  elaa2lem  46676  etransclem1  46678  etransclem3  46680  etransclem7  46684  etransclem10  46687  etransclem15  46692  etransclem21  46698  etransclem22  46699  etransclem24  46701  etransclem25  46702  etransclem32  46709  etransclem35  46712  etransclem37  46714  etransclem38  46715  iccpartgtprec  47895