Theorem elfzelzd 13657

Description: A member of a finite set of sequential integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
elfzelzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
elfzelzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelzd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzelz 13656	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420  ℤcz 12693  ...cfz 13639

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-neg 11544  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640

This theorem is used by:  fzone1  13919  seqf1olem1  14184  seqz  14193  seqcoll  14609  seqcoll2  14610  swrdf1  14799  swrdrn3  14802  ccatswrd  14818  splfv1  14904  summolem2a  15881  fsumrev  15945  prodmolem2a  16101  fprod1p  16135  prmdivdiv  16964  4sqlem12  17134  pfxchn  18784  efgredleme  19957  efgredlemc  19959  efgredlemb  19960  wilthlem2  27396  lgsqrlem4  27676  lgsquadlem2  27708  pntlemj  27930  swrdrn2  33517  gsummulsubdishift1  33629  cycpmco2lem7  33693  esplyindfv  34208  submateqlem2  34440  ballotlemimin  35138  ballotlemsgt1  35143  ballotlemsdom  35144  ballotlemsel1i  35145  ballotlemfrceq  35161  ballotlemfrcn0  35162  ballotlemirc  35164  ballotlem1ri  35167  fsum2dsub  35236  breprexplemc  35261  circlemeth  35269  erdszelem8  35963  poimirlem2  38540  poimirlem7  38545  poimirlem24  38562  poimirlem28  38566  fzsplitnd  43032  aks4d1p7d1  43132  aks4d1p7  43133  primrootspoweq0  43156  hashscontpow1  43171  aks6d1c5lem1  43186  aks6d1c5lem3  43187  aks6d1c5lem2  43188  unitscyglem2  43246  irrapxlem3  43830  fzmaxdif  43987  acongeq  43989  jm2.26  44008  monoords  46312  sumnnodd  46641  dvnprodlem1  46955  stoweidlem11  47020  stoweidlem26  47035  fourierdlem79  47194  elaa2lem  47242  etransclem1  47244  etransclem3  47246  etransclem7  47250  etransclem10  47253  etransclem15  47258  etransclem21  47264  etransclem22  47265  etransclem24  47267  etransclem25  47268  etransclem32  47275  etransclem35  47278  etransclem37  47280  etransclem38  47281  iccpartgtprec  48501