Theorem elfzelzd 13441

Description: A member of a finite set of sequential integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
elfzelzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
elfzelzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelzd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzelz 13440	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℤcz 12488  ...cfz 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-neg 11367  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424

This theorem is referenced by:  fzone1  13700  seqf1olem1  13964  seqz  13973  seqcoll  14387  seqcoll2  14388  ccatswrd  14592  splfv1  14678  summolem2a  15638  fsumrev  15702  prodmolem2a  15857  fprod1p  15891  prmdivdiv  16714  4sqlem12  16884  pfxchn  18533  efgredleme  19672  efgredlemc  19674  efgredlemb  19675  wilthlem2  27035  lgsqrlem4  27316  lgsquadlem2  27348  pntlemj  27570  swrdrn2  33036  swrdrn3  33037  swrdf1  33038  gsummulsubdishift1  33151  cycpmco2lem7  33214  esplyindfv  33732  submateqlem2  33965  ballotlemimin  34663  ballotlemsgt1  34668  ballotlemsdom  34669  ballotlemsel1i  34670  ballotlemfrceq  34686  ballotlemfrcn0  34687  ballotlemirc  34689  ballotlem1ri  34692  fsum2dsub  34764  breprexplemc  34789  circlemeth  34797  erdszelem8  35392  poimirlem2  37823  poimirlem7  37828  poimirlem24  37845  poimirlem28  37849  fzsplitnd  42246  aks4d1p7d1  42346  aks4d1p7  42347  primrootspoweq0  42370  hashscontpow1  42385  aks6d1c5lem1  42400  aks6d1c5lem3  42401  aks6d1c5lem2  42402  unitscyglem2  42460  irrapxlem3  43076  fzmaxdif  43233  acongeq  43235  jm2.26  43254  monoords  45555  sumnnodd  45886  dvnprodlem1  46200  stoweidlem11  46265  stoweidlem26  46280  fourierdlem79  46439  elaa2lem  46487  etransclem1  46489  etransclem3  46491  etransclem7  46495  etransclem10  46498  etransclem15  46503  etransclem21  46509  etransclem22  46510  etransclem24  46512  etransclem25  46513  etransclem32  46520  etransclem35  46523  etransclem37  46525  etransclem38  46526  iccpartgtprec  47676