Theorem elfzelzd 13697

Description: A member of a finite set of sequential integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
elfzelzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
elfzelzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelzd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzelz 13696	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℤcz 12733  ...cfz 13679

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-neg 11583  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680

This theorem is used by:  fzone1  13959  seqf1olem1  14224  seqz  14233  seqcoll  14650  seqcoll2  14651  swrdf1  14841  swrdrn3  14844  ccatswrd  14860  splfv1  14946  summolem2a  15925  fsumrev  15989  prodmolem2a  16145  fprod1p  16179  prmdivdiv  17008  4sqlem12  17178  pfxchn  18834  efgredleme  20008  efgredlemc  20010  efgredlemb  20011  wilthlem2  27453  lgsqrlem4  27733  lgsquadlem2  27765  pntlemj  27987  swrdrn2  33613  gsummulsubdishift1  33728  cycpmco2lem7  33792  esplyindfv  34319  submateqlem2  34551  ballotlemimin  35249  ballotlemsgt1  35254  ballotlemsdom  35255  ballotlemsel1i  35256  ballotlemfrceq  35272  ballotlemfrcn0  35273  ballotlemirc  35275  ballotlem1ri  35278  fsum2dsub  35347  breprexplemc  35372  circlemeth  35380  erdszelem8  36171  poimirlem2  38808  poimirlem7  38813  poimirlem24  38830  poimirlem28  38834  fzsplitnd  43298  aks4d1p7d1  43398  aks4d1p7  43399  primrootspoweq0  43422  hashscontpow1  43437  aks6d1c5lem1  43452  aks6d1c5lem3  43453  aks6d1c5lem2  43454  unitscyglem2  43512  irrapxlem3  44097  fzmaxdif  44254  acongeq  44256  jm2.26  44275  monoords  46586  sumnnodd  46915  dvnprodlem1  47229  stoweidlem11  47294  stoweidlem26  47309  fourierdlem79  47468  elaa2lem  47516  etransclem1  47518  etransclem3  47520  etransclem7  47524  etransclem10  47527  etransclem15  47532  etransclem21  47538  etransclem22  47539  etransclem24  47541  etransclem25  47542  etransclem32  47549  etransclem35  47552  etransclem37  47554  etransclem38  47555  iccpartgtprec  48775