Theorem elfzelzd 13502

Description: A member of a finite set of sequential integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
elfzelzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
elfzelzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelzd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzelz 13501	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℤcz 12558  ...cfz 13484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485

This theorem is referenced by:  seqf1olem1  14007  seqz  14016  seqcoll  14425  seqcoll2  14426  ccatswrd  14618  splfv1  14705  summolem2a  15661  fsumrev  15725  prodmolem2a  15878  fprod1p  15912  prmdivdiv  16720  4sqlem12  16889  efgredleme  19611  efgredlemc  19613  efgredlemb  19614  wilthlem2  26573  lgsqrlem4  26852  lgsquadlem2  26884  pntlemj  27106  fzone1  32011  swrdrn2  32118  swrdrn3  32119  swrdf1  32120  cycpmco2lem7  32291  submateqlem2  32788  ballotlemimin  33504  ballotlemsgt1  33509  ballotlemsdom  33510  ballotlemsel1i  33511  ballotlemfrceq  33527  ballotlemfrcn0  33528  ballotlemirc  33530  ballotlem1ri  33533  fsum2dsub  33619  breprexplemc  33644  circlemeth  33652  erdszelem8  34189  poimirlem2  36490  poimirlem7  36495  poimirlem24  36512  poimirlem28  36516  fzsplitnd  40848  aks4d1p7d1  40947  aks4d1p7  40948  metakunt1  40985  metakunt3  40987  metakunt4  40988  metakunt7  40991  metakunt12  40996  metakunt21  41005  metakunt22  41006  metakunt27  41011  metakunt28  41012  metakunt29  41013  metakunt32  41016  irrapxlem3  41562  fzmaxdif  41720  acongeq  41722  jm2.26  41741  monoords  44007  sumnnodd  44346  dvnprodlem1  44662  stoweidlem11  44727  stoweidlem26  44742  fourierdlem79  44901  elaa2lem  44949  etransclem1  44951  etransclem3  44953  etransclem7  44957  etransclem10  44960  etransclem15  44965  etransclem21  44971  etransclem22  44972  etransclem24  44974  etransclem25  44975  etransclem32  44982  etransclem35  44985  etransclem37  44987  etransclem38  44988  iccpartgtprec  46088