Theorem elfzelzd 13547

Description: A member of a finite set of sequential integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
elfzelzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
elfzelzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelzd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzelz 13546	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  ℤcz 12593  ...cfz 13529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-neg 11474  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530

This theorem is referenced by:  seqf1olem1  14064  seqz  14073  seqcoll  14487  seqcoll2  14488  ccatswrd  14691  splfv1  14778  summolem2a  15736  fsumrev  15800  prodmolem2a  15955  fprod1p  15989  prmdivdiv  16811  4sqlem12  16981  efgredleme  19729  efgredlemc  19731  efgredlemb  19732  wilthlem2  27036  lgsqrlem4  27317  lgsquadlem2  27349  pntlemj  27571  fzone1  32782  swrdrn2  32935  swrdrn3  32936  swrdf1  32937  pfxchn  32994  cycpmco2lem7  33148  submateqlem2  33844  ballotlemimin  34543  ballotlemsgt1  34548  ballotlemsdom  34549  ballotlemsel1i  34550  ballotlemfrceq  34566  ballotlemfrcn0  34567  ballotlemirc  34569  ballotlem1ri  34572  fsum2dsub  34644  breprexplemc  34669  circlemeth  34677  erdszelem8  35225  poimirlem2  37651  poimirlem7  37656  poimirlem24  37673  poimirlem28  37677  fzsplitnd  42000  aks4d1p7d1  42100  aks4d1p7  42101  primrootspoweq0  42124  hashscontpow1  42139  aks6d1c5lem1  42154  aks6d1c5lem3  42155  aks6d1c5lem2  42156  unitscyglem2  42214  irrapxlem3  42814  fzmaxdif  42972  acongeq  42974  jm2.26  42993  monoords  45293  sumnnodd  45626  dvnprodlem1  45942  stoweidlem11  46007  stoweidlem26  46022  fourierdlem79  46181  elaa2lem  46229  etransclem1  46231  etransclem3  46233  etransclem7  46237  etransclem10  46240  etransclem15  46245  etransclem21  46251  etransclem22  46252  etransclem24  46254  etransclem25  46255  etransclem32  46262  etransclem35  46265  etransclem37  46267  etransclem38  46268  iccpartgtprec  47401