Theorem elfzelzd 13078

Description: A member of a finite set of sequential integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
elfzelzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
elfzelzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelzd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzelz 13077	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2112  (class class class)co 7191  ℤcz 12141  ...cfz 13060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-neg 11030  df-z 12142  df-uz 12404  df-fz 13061

This theorem is referenced by:  seqf1olem1  13580  seqz  13589  seqcoll  13995  seqcoll2  13996  ccatswrd  14198  splfv1  14285  summolem2a  15244  fsumrev  15306  prodmolem2a  15459  fprod1p  15493  prmdivdiv  16303  4sqlem12  16472  efgredleme  19087  efgredlemc  19089  efgredlemb  19090  wilthlem2  25905  lgsqrlem4  26184  lgsquadlem2  26216  pntlemj  26438  fzone1  30795  swrdrn2  30900  swrdrn3  30901  swrdf1  30902  cycpmco2lem7  31072  submateqlem2  31426  ballotlemimin  32138  ballotlemsgt1  32143  ballotlemsdom  32144  ballotlemsel1i  32145  ballotlemfrceq  32161  ballotlemfrcn0  32162  ballotlemirc  32164  ballotlem1ri  32167  fsum2dsub  32253  breprexplemc  32278  circlemeth  32286  erdszelem8  32827  poimirlem2  35465  poimirlem7  35470  poimirlem24  35487  poimirlem28  35491  fzsplitnd  39674  metakunt1  39788  metakunt3  39790  metakunt4  39791  metakunt7  39794  metakunt12  39799  metakunt21  39808  metakunt22  39809  metakunt27  39814  metakunt28  39815  metakunt29  39816  metakunt32  39819  irrapxlem3  40290  fzmaxdif  40447  acongeq  40449  jm2.26  40468  monoords  42450  sumnnodd  42789  dvnprodlem1  43105  stoweidlem11  43170  stoweidlem26  43185  fourierdlem79  43344  elaa2lem  43392  etransclem1  43394  etransclem3  43396  etransclem7  43400  etransclem10  43403  etransclem15  43408  etransclem21  43414  etransclem22  43415  etransclem24  43417  etransclem25  43418  etransclem32  43425  etransclem35  43428  etransclem37  43430  etransclem38  43431  iccpartgtprec  44488