Theorem elfzelzd 13493

Description: A member of a finite set of sequential integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
elfzelzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
elfzelzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelzd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzelz 13492	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℤcz 12536  ...cfz 13475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-neg 11415  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476

This theorem is referenced by:  seqf1olem1  14013  seqz  14022  seqcoll  14436  seqcoll2  14437  ccatswrd  14640  splfv1  14727  summolem2a  15688  fsumrev  15752  prodmolem2a  15907  fprod1p  15941  prmdivdiv  16764  4sqlem12  16934  efgredleme  19680  efgredlemc  19682  efgredlemb  19683  wilthlem2  26986  lgsqrlem4  27267  lgsquadlem2  27299  pntlemj  27521  fzone1  32730  swrdrn2  32883  swrdrn3  32884  swrdf1  32885  pfxchn  32942  cycpmco2lem7  33096  submateqlem2  33805  ballotlemimin  34504  ballotlemsgt1  34509  ballotlemsdom  34510  ballotlemsel1i  34511  ballotlemfrceq  34527  ballotlemfrcn0  34528  ballotlemirc  34530  ballotlem1ri  34533  fsum2dsub  34605  breprexplemc  34630  circlemeth  34638  erdszelem8  35192  poimirlem2  37623  poimirlem7  37628  poimirlem24  37645  poimirlem28  37649  fzsplitnd  41977  aks4d1p7d1  42077  aks4d1p7  42078  primrootspoweq0  42101  hashscontpow1  42116  aks6d1c5lem1  42131  aks6d1c5lem3  42132  aks6d1c5lem2  42133  unitscyglem2  42191  irrapxlem3  42819  fzmaxdif  42977  acongeq  42979  jm2.26  42998  monoords  45302  sumnnodd  45635  dvnprodlem1  45951  stoweidlem11  46016  stoweidlem26  46031  fourierdlem79  46190  elaa2lem  46238  etransclem1  46240  etransclem3  46242  etransclem7  46246  etransclem10  46249  etransclem15  46254  etransclem21  46260  etransclem22  46261  etransclem24  46263  etransclem25  46264  etransclem32  46271  etransclem35  46274  etransclem37  46276  etransclem38  46277  iccpartgtprec  47425