Theorem elfzelzd 13479

Description: A member of a finite set of sequential integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
elfzelzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
elfzelzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelzd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzelz 13478	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℤcz 12524  ...cfz 13461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-neg 11380  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462

This theorem is referenced by:  fzone1  13739  seqf1olem1  14003  seqz  14012  seqcoll  14426  seqcoll2  14427  ccatswrd  14631  splfv1  14717  summolem2a  15677  fsumrev  15741  prodmolem2a  15899  fprod1p  15933  prmdivdiv  16757  4sqlem12  16927  pfxchn  18576  efgredleme  19718  efgredlemc  19720  efgredlemb  19721  wilthlem2  27032  lgsqrlem4  27312  lgsquadlem2  27344  pntlemj  27566  swrdrn2  33014  swrdrn3  33015  swrdf1  33016  gsummulsubdishift1  33129  cycpmco2lem7  33193  esplyindfv  33720  submateqlem2  33952  ballotlemimin  34650  ballotlemsgt1  34655  ballotlemsdom  34656  ballotlemsel1i  34657  ballotlemfrceq  34673  ballotlemfrcn0  34674  ballotlemirc  34676  ballotlem1ri  34679  fsum2dsub  34751  breprexplemc  34776  circlemeth  34784  erdszelem8  35380  poimirlem2  37943  poimirlem7  37948  poimirlem24  37965  poimirlem28  37969  fzsplitnd  42421  aks4d1p7d1  42521  aks4d1p7  42522  primrootspoweq0  42545  hashscontpow1  42560  aks6d1c5lem1  42575  aks6d1c5lem3  42576  aks6d1c5lem2  42577  unitscyglem2  42635  irrapxlem3  43252  fzmaxdif  43409  acongeq  43411  jm2.26  43430  monoords  45730  sumnnodd  46060  dvnprodlem1  46374  stoweidlem11  46439  stoweidlem26  46454  fourierdlem79  46613  elaa2lem  46661  etransclem1  46663  etransclem3  46665  etransclem7  46669  etransclem10  46672  etransclem15  46677  etransclem21  46683  etransclem22  46684  etransclem24  46686  etransclem25  46687  etransclem32  46694  etransclem35  46697  etransclem37  46699  etransclem38  46700  iccpartgtprec  47880