Theorem elfzelzd 13428

Description: A member of a finite set of sequential integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
elfzelzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
elfzelzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelzd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzelz 13427	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  ℤcz 12471  ...cfz 13410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-neg 11350  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411

This theorem is referenced by:  seqf1olem1  13948  seqz  13957  seqcoll  14371  seqcoll2  14372  ccatswrd  14575  splfv1  14661  summolem2a  15622  fsumrev  15686  prodmolem2a  15841  fprod1p  15875  prmdivdiv  16698  4sqlem12  16868  efgredleme  19622  efgredlemc  19624  efgredlemb  19625  wilthlem2  26977  lgsqrlem4  27258  lgsquadlem2  27290  pntlemj  27512  fzone1  32743  swrdrn2  32896  swrdrn3  32897  swrdf1  32898  pfxchn  32951  cycpmco2lem7  33074  submateqlem2  33775  ballotlemimin  34474  ballotlemsgt1  34479  ballotlemsdom  34480  ballotlemsel1i  34481  ballotlemfrceq  34497  ballotlemfrcn0  34498  ballotlemirc  34500  ballotlem1ri  34503  fsum2dsub  34575  breprexplemc  34600  circlemeth  34608  erdszelem8  35175  poimirlem2  37606  poimirlem7  37611  poimirlem24  37628  poimirlem28  37632  fzsplitnd  41959  aks4d1p7d1  42059  aks4d1p7  42060  primrootspoweq0  42083  hashscontpow1  42098  aks6d1c5lem1  42113  aks6d1c5lem3  42114  aks6d1c5lem2  42115  unitscyglem2  42173  irrapxlem3  42801  fzmaxdif  42958  acongeq  42960  jm2.26  42979  monoords  45283  sumnnodd  45615  dvnprodlem1  45931  stoweidlem11  45996  stoweidlem26  46011  fourierdlem79  46170  elaa2lem  46218  etransclem1  46220  etransclem3  46222  etransclem7  46226  etransclem10  46229  etransclem15  46234  etransclem21  46240  etransclem22  46241  etransclem24  46243  etransclem25  46244  etransclem32  46251  etransclem35  46254  etransclem37  46256  etransclem38  46257  iccpartgtprec  47408