Theorem elfzelzd 13561

Description: A member of a finite set of sequential integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
elfzelzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
elfzelzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelzd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzelz 13560	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℤcz 12610  ...cfz 13543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-neg 11492  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544

This theorem is referenced by:  seqf1olem1  14078  seqz  14087  seqcoll  14499  seqcoll2  14500  ccatswrd  14702  splfv1  14789  summolem2a  15747  fsumrev  15811  prodmolem2a  15966  fprod1p  16000  prmdivdiv  16820  4sqlem12  16989  efgredleme  19775  efgredlemc  19777  efgredlemb  19778  wilthlem2  27126  lgsqrlem4  27407  lgsquadlem2  27439  pntlemj  27661  fzone1  32807  swrdrn2  32923  swrdrn3  32924  swrdf1  32925  pfxchn  32983  cycpmco2lem7  33134  submateqlem2  33768  ballotlemimin  34486  ballotlemsgt1  34491  ballotlemsdom  34492  ballotlemsel1i  34493  ballotlemfrceq  34509  ballotlemfrcn0  34510  ballotlemirc  34512  ballotlem1ri  34515  fsum2dsub  34600  breprexplemc  34625  circlemeth  34633  erdszelem8  35182  poimirlem2  37608  poimirlem7  37613  poimirlem24  37630  poimirlem28  37634  fzsplitnd  41963  aks4d1p7d1  42063  aks4d1p7  42064  primrootspoweq0  42087  hashscontpow1  42102  aks6d1c5lem1  42117  aks6d1c5lem3  42118  aks6d1c5lem2  42119  unitscyglem2  42177  metakunt1  42186  metakunt3  42188  metakunt4  42189  metakunt7  42192  metakunt12  42197  metakunt21  42206  metakunt22  42207  metakunt27  42212  metakunt28  42213  metakunt29  42214  metakunt32  42217  irrapxlem3  42811  fzmaxdif  42969  acongeq  42971  jm2.26  42990  monoords  45247  sumnnodd  45585  dvnprodlem1  45901  stoweidlem11  45966  stoweidlem26  45981  fourierdlem79  46140  elaa2lem  46188  etransclem1  46190  etransclem3  46192  etransclem7  46196  etransclem10  46199  etransclem15  46204  etransclem21  46210  etransclem22  46211  etransclem24  46213  etransclem25  46214  etransclem32  46221  etransclem35  46224  etransclem37  46226  etransclem38  46227  iccpartgtprec  47344