Theorem elfzelzd 13486

Description: A member of a finite set of sequential integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
elfzelzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
elfzelzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelzd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzelz 13485	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℤcz 12529  ...cfz 13468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-neg 11408  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469

This theorem is referenced by:  seqf1olem1  14006  seqz  14015  seqcoll  14429  seqcoll2  14430  ccatswrd  14633  splfv1  14720  summolem2a  15681  fsumrev  15745  prodmolem2a  15900  fprod1p  15934  prmdivdiv  16757  4sqlem12  16927  efgredleme  19673  efgredlemc  19675  efgredlemb  19676  wilthlem2  26979  lgsqrlem4  27260  lgsquadlem2  27292  pntlemj  27514  fzone1  32723  swrdrn2  32876  swrdrn3  32877  swrdf1  32878  pfxchn  32935  cycpmco2lem7  33089  submateqlem2  33798  ballotlemimin  34497  ballotlemsgt1  34502  ballotlemsdom  34503  ballotlemsel1i  34504  ballotlemfrceq  34520  ballotlemfrcn0  34521  ballotlemirc  34523  ballotlem1ri  34526  fsum2dsub  34598  breprexplemc  34623  circlemeth  34631  erdszelem8  35185  poimirlem2  37616  poimirlem7  37621  poimirlem24  37638  poimirlem28  37642  fzsplitnd  41970  aks4d1p7d1  42070  aks4d1p7  42071  primrootspoweq0  42094  hashscontpow1  42109  aks6d1c5lem1  42124  aks6d1c5lem3  42125  aks6d1c5lem2  42126  unitscyglem2  42184  irrapxlem3  42812  fzmaxdif  42970  acongeq  42972  jm2.26  42991  monoords  45295  sumnnodd  45628  dvnprodlem1  45944  stoweidlem11  46009  stoweidlem26  46024  fourierdlem79  46183  elaa2lem  46231  etransclem1  46233  etransclem3  46235  etransclem7  46239  etransclem10  46242  etransclem15  46247  etransclem21  46253  etransclem22  46254  etransclem24  46256  etransclem25  46257  etransclem32  46264  etransclem35  46267  etransclem37  46269  etransclem38  46270  iccpartgtprec  47421