Theorem elfzelzd 13571

Description: A member of a finite set of sequential integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
elfzelzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
elfzelzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelzd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzelz 13570	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  ℤcz 12608  ...cfz 13553

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-neg 11461  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554

This theorem is used by:  fzone1  13832  seqf1olem1  14097  seqz  14106  seqcoll  14521  seqcoll2  14522  swrdf1  14711  swrdrn3  14714  ccatswrd  14730  splfv1  14816  summolem2a  15791  fsumrev  15855  prodmolem2a  16013  fprod1p  16047  prmdivdiv  16870  4sqlem12  17040  pfxchn  18690  efgredleme  19859  efgredlemc  19861  efgredlemb  19862  wilthlem2  27286  lgsqrlem4  27566  lgsquadlem2  27598  pntlemj  27820  swrdrn2  33342  gsummulsubdishift1  33454  cycpmco2lem7  33518  esplyindfv  34032  submateqlem2  34264  ballotlemimin  34963  ballotlemsgt1  34968  ballotlemsdom  34969  ballotlemsel1i  34970  ballotlemfrceq  34986  ballotlemfrcn0  34987  ballotlemirc  34989  ballotlem1ri  34992  fsum2dsub  35061  breprexplemc  35086  circlemeth  35094  erdszelem8  35729  poimirlem2  38332  poimirlem7  38337  poimirlem24  38354  poimirlem28  38358  fzsplitnd  42809  aks4d1p7d1  42909  aks4d1p7  42910  primrootspoweq0  42933  hashscontpow1  42948  aks6d1c5lem1  42963  aks6d1c5lem3  42964  aks6d1c5lem2  42965  unitscyglem2  43023  irrapxlem3  43611  fzmaxdif  43768  acongeq  43770  jm2.26  43789  monoords  46076  sumnnodd  46406  dvnprodlem1  46720  stoweidlem11  46785  stoweidlem26  46800  fourierdlem79  46959  elaa2lem  47007  etransclem1  47009  etransclem3  47011  etransclem7  47015  etransclem10  47018  etransclem15  47023  etransclem21  47029  etransclem22  47030  etransclem24  47032  etransclem25  47033  etransclem32  47040  etransclem35  47043  etransclem37  47045  etransclem38  47046  iccpartgtprec  48229