Theorem elfzelzd 13186

Description: A member of a finite set of sequential integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
elfzelzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
elfzelzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelzd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzelz 13185	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℤcz 12249  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-neg 11138  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169

This theorem is referenced by:  seqf1olem1  13690  seqz  13699  seqcoll  14106  seqcoll2  14107  ccatswrd  14309  splfv1  14396  summolem2a  15355  fsumrev  15419  prodmolem2a  15572  fprod1p  15606  prmdivdiv  16416  4sqlem12  16585  efgredleme  19264  efgredlemc  19266  efgredlemb  19267  wilthlem2  26123  lgsqrlem4  26402  lgsquadlem2  26434  pntlemj  26656  fzone1  31023  swrdrn2  31128  swrdrn3  31129  swrdf1  31130  cycpmco2lem7  31301  submateqlem2  31660  ballotlemimin  32372  ballotlemsgt1  32377  ballotlemsdom  32378  ballotlemsel1i  32379  ballotlemfrceq  32395  ballotlemfrcn0  32396  ballotlemirc  32398  ballotlem1ri  32401  fsum2dsub  32487  breprexplemc  32512  circlemeth  32520  erdszelem8  33060  poimirlem2  35706  poimirlem7  35711  poimirlem24  35728  poimirlem28  35732  fzsplitnd  39919  aks4d1p7d1  40018  aks4d1p7  40019  metakunt1  40053  metakunt3  40055  metakunt4  40056  metakunt7  40059  metakunt12  40064  metakunt21  40073  metakunt22  40074  metakunt27  40079  metakunt28  40080  metakunt29  40081  metakunt32  40084  irrapxlem3  40562  fzmaxdif  40719  acongeq  40721  jm2.26  40740  monoords  42726  sumnnodd  43061  dvnprodlem1  43377  stoweidlem11  43442  stoweidlem26  43457  fourierdlem79  43616  elaa2lem  43664  etransclem1  43666  etransclem3  43668  etransclem7  43672  etransclem10  43675  etransclem15  43680  etransclem21  43686  etransclem22  43687  etransclem24  43689  etransclem25  43690  etransclem32  43697  etransclem35  43700  etransclem37  43702  etransclem38  43703  iccpartgtprec  44760