Theorem metakunt31 42192

Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 18-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt31.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt31.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt31.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt31.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt31.5	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt31.6	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt31.7	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt31.8	⊢ 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)
metakunt31.9	⊢ 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0)
metakunt31.10	⊢ 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻)))

Assertion

Ref	Expression
metakunt31	⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐺   𝑦,𝐻   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑧,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝑦,𝑋   𝑧,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑧)   𝐻(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem metakunt31

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt31.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
3		metakunt31.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
5		metakunt31.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → 𝐼 ≤ 𝑀)
7		metakunt31.5	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
8		metakunt31.7	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
9		metakunt31.6	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → 𝑋 = 𝐼)
11	2, 4, 6, 7, 8, 9, 10	metakunt26 42187	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = 𝑋)
12	10	iftrued 4556	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))) = 𝑋)
13	12	eqcomd 2746	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → 𝑋 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))))
14	11, 13	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))))
15		metakunt31.10	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻)))
16	15	eqcomi 2749	. . . 4 ⊢ if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))) = 𝑅
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))) = 𝑅)
18	14, 17	eqtrd 2780	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = 𝑅)
19	1	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
20	3	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
21	5	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ≤ 𝑀)
22		metakunt31.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
23	22	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
24		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
25		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 < 𝐼)
26		metakunt31.8	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)
27	19, 20, 21, 23, 7, 9, 24, 25, 8, 26	metakunt29 42190	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺))
28	24	iffalsed 4559	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))) = if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻)))
29	25	iftrued 4556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻)) = ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺))
30	28, 29	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))) = ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺))
31	30	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ 𝑋 < 𝐼) → ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))))
32	27, 31	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))))
33	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))) = 𝑅)
34	32, 33	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = 𝑅)
35	34	3expa 1118	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼) ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = 𝑅)
36	1	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
37	3	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
38	5	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ≤ 𝑀)
39	22	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
40		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
41		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 < 𝐼)
42		metakunt31.9	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0)
43	36, 37, 38, 39, 7, 9, 40, 41, 8, 42	metakunt30 42191	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
44	40	iffalsed 4559	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))) = if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻)))
45	41	iffalsed 4559	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻)) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
46	44, 45	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
47	46	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))))
48	43, 47	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))))
49	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))) = 𝑅)
50	48, 49	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = 𝑅)
51	50	3expa 1118	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = 𝑅)
52	35, 51	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = 𝑅)
53	18, 52	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = 𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ifcif 4548   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℕcn 12293  ...cfz 13567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568

This theorem is referenced by:  metakunt33  42194