Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt31 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt31 41576
Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 18-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt31.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt31.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt31.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt31.4 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt31.5 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt31.6 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt31.7 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt31.8 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0)
metakunt31.9 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋𝐼), 1, 0)
metakunt31.10 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻)))
Assertion
Ref Expression
metakunt31 (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐺   𝑦,𝐻   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑧,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝑦,𝑋   𝑧,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑧)   𝐻(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem metakunt31
StepHypRef Expression
1 metakunt31.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
3 metakunt31.2 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
43adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
5 metakunt31.3 . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑀)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → 𝐼𝑀)
7 metakunt31.5 . . . . 5 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
8 metakunt31.7 . . . . 5 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
9 metakunt31.6 . . . . 5 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
10 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → 𝑋 = 𝐼)
112, 4, 6, 7, 8, 9, 10metakunt26 41571 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑋)
1210iftrued 4531 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))) = 𝑋)
1312eqcomd 2732 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → 𝑋 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))))
1411, 13eqtrd 2766 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))))
15 metakunt31.10 . . . . 5 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻)))
1615eqcomi 2735 . . . 4 if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))) = 𝑅
1716a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))) = 𝑅)
1814, 17eqtrd 2766 . 2 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑅)
1913ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
2033ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
2153ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → 𝐼𝑀)
22 metakunt31.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
23223ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
24 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
25 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → 𝑋 < 𝐼)
26 metakunt31.8 . . . . . . 7 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0)
2719, 20, 21, 23, 7, 9, 24, 25, 8, 26metakunt29 41574 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺))
2824iffalsed 4534 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))) = if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻)))
2925iftrued 4531 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻)) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺))
3028, 29eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺))
3130eqcomd 2732 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))))
3227, 31eqtrd 2766 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))))
3316a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))) = 𝑅)
3432, 33eqtrd 2766 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑅)
35343expa 1115 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼) ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑅)
3613ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
3733ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
3853ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼𝑀)
39223ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
40 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
41 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 < 𝐼)
42 metakunt31.9 . . . . . . 7 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋𝐼), 1, 0)
4336, 37, 38, 39, 7, 9, 40, 41, 8, 42metakunt30 41575 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = ((𝑋𝐼) + 𝐻))
4440iffalsed 4534 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))) = if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻)))
4541iffalsed 4534 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻)) = ((𝑋𝐼) + 𝐻))
4644, 45eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))) = ((𝑋𝐼) + 𝐻))
4746eqcomd 2732 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ((𝑋𝐼) + 𝐻) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))))
4843, 47eqtrd 2766 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))))
4916a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))) = 𝑅)
5048, 49eqtrd 2766 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑅)
51503expa 1115 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑅)
5235, 51pm2.61dan 810 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑅)
5318, 52pm2.61dan 810 1 (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  ifcif 4523   class class class wbr 5141  cmpt 5224  cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252  cle 11253  cmin 11448  cn 12216  ...cfz 13490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491
This theorem is referenced by:  metakunt33  41578
  Copyright terms: Public domain W3C validator