Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt31 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt31 40539
Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 18-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt31.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt31.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt31.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt31.4 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt31.5 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt31.6 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt31.7 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt31.8 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0)
metakunt31.9 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋𝐼), 1, 0)
metakunt31.10 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻)))
Assertion
Ref Expression
metakunt31 (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐺   𝑦,𝐻   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑧,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝑦,𝑋   𝑧,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑧)   𝐻(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem metakunt31
StepHypRef Expression
1 metakunt31.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
3 metakunt31.2 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
43adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
5 metakunt31.3 . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑀)
65adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → 𝐼𝑀)
7 metakunt31.5 . . . . 5 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
8 metakunt31.7 . . . . 5 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
9 metakunt31.6 . . . . 5 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
10 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → 𝑋 = 𝐼)
112, 4, 6, 7, 8, 9, 10metakunt26 40534 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑋)
1210iftrued 4492 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))) = 𝑋)
1312eqcomd 2742 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → 𝑋 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))))
1411, 13eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))))
15 metakunt31.10 . . . . 5 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻)))
1615eqcomi 2745 . . . 4 if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))) = 𝑅
1716a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))) = 𝑅)
1814, 17eqtrd 2776 . 2 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑅)
1913ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
2033ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
2153ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → 𝐼𝑀)
22 metakunt31.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
23223ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
24 simp2 1137 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
25 simp3 1138 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → 𝑋 < 𝐼)
26 metakunt31.8 . . . . . . 7 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0)
2719, 20, 21, 23, 7, 9, 24, 25, 8, 26metakunt29 40537 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺))
2824iffalsed 4495 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))) = if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻)))
2925iftrued 4492 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻)) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺))
3028, 29eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺))
3130eqcomd 2742 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))))
3227, 31eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))))
3316a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))) = 𝑅)
3432, 33eqtrd 2776 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑅)
35343expa 1118 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼) ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑅)
3613ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
3733ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
3853ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼𝑀)
39223ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
40 simp2 1137 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
41 simp3 1138 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 < 𝐼)
42 metakunt31.9 . . . . . . 7 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋𝐼), 1, 0)
4336, 37, 38, 39, 7, 9, 40, 41, 8, 42metakunt30 40538 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = ((𝑋𝐼) + 𝐻))
4440iffalsed 4495 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))) = if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻)))
4541iffalsed 4495 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻)) = ((𝑋𝐼) + 𝐻))
4644, 45eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))) = ((𝑋𝐼) + 𝐻))
4746eqcomd 2742 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ((𝑋𝐼) + 𝐻) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))))
4843, 47eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))))
4916a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))) = 𝑅)
5048, 49eqtrd 2776 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑅)
51503expa 1118 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑅)
5235, 51pm2.61dan 811 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑅)
5318, 52pm2.61dan 811 1 (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  ifcif 4484   class class class wbr 5103  cmpt 5186  cfv 6493  (class class class)co 7351  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   < clt 11147  cle 11148  cmin 11343  cn 12111  ...cfz 13378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-rp 12870  df-fz 13379
This theorem is referenced by:  metakunt33  40541
  Copyright terms: Public domain W3C validator