Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt31 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt31 42217
Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 18-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt31.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt31.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt31.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt31.4 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt31.5 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt31.6 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt31.7 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt31.8 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0)
metakunt31.9 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋𝐼), 1, 0)
metakunt31.10 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻)))
Assertion
Ref Expression
metakunt31 (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐺   𝑦,𝐻   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑧,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝑦,𝑋   𝑧,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑧)   𝐻(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem metakunt31
StepHypRef Expression
1 metakunt31.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
3 metakunt31.2 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
43adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
5 metakunt31.3 . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑀)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → 𝐼𝑀)
7 metakunt31.5 . . . . 5 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
8 metakunt31.7 . . . . 5 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
9 metakunt31.6 . . . . 5 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
10 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → 𝑋 = 𝐼)
112, 4, 6, 7, 8, 9, 10metakunt26 42212 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑋)
1210iftrued 4539 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))) = 𝑋)
1312eqcomd 2741 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → 𝑋 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))))
1411, 13eqtrd 2775 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))))
15 metakunt31.10 . . . . 5 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻)))
1615eqcomi 2744 . . . 4 if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))) = 𝑅
1716a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))) = 𝑅)
1814, 17eqtrd 2775 . 2 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑅)
1913ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
2033ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
2153ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → 𝐼𝑀)
22 metakunt31.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
23223ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
24 simp2 1136 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
25 simp3 1137 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → 𝑋 < 𝐼)
26 metakunt31.8 . . . . . . 7 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0)
2719, 20, 21, 23, 7, 9, 24, 25, 8, 26metakunt29 42215 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺))
2824iffalsed 4542 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))) = if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻)))
2925iftrued 4539 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻)) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺))
3028, 29eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺))
3130eqcomd 2741 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))))
3227, 31eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))))
3316a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))) = 𝑅)
3432, 33eqtrd 2775 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑅)
35343expa 1117 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼) ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑅)
3613ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
3733ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
3853ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼𝑀)
39223ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
40 simp2 1136 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
41 simp3 1137 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 < 𝐼)
42 metakunt31.9 . . . . . . 7 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋𝐼), 1, 0)
4336, 37, 38, 39, 7, 9, 40, 41, 8, 42metakunt30 42216 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = ((𝑋𝐼) + 𝐻))
4440iffalsed 4542 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))) = if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻)))
4541iffalsed 4542 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻)) = ((𝑋𝐼) + 𝐻))
4644, 45eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))) = ((𝑋𝐼) + 𝐻))
4746eqcomd 2741 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → ((𝑋𝐼) + 𝐻) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))))
4843, 47eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))))
4916a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐺), ((𝑋𝐼) + 𝐻))) = 𝑅)
5048, 49eqtrd 2775 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑅)
51503expa 1117 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼) ∧ ¬ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑅)
5235, 51pm2.61dan 813 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑅)
5318, 52pm2.61dan 813 1 (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  ifcif 4531   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  ...cfz 13544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545
This theorem is referenced by:  metakunt33  42219
  Copyright terms: Public domain W3C validator