Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt29 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt29 39369
 Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt29.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt29.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt29.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt29.4 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt29.5 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt29.6 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt29.7 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
metakunt29.8 (𝜑𝑋 < 𝐼)
metakunt29.9 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt29.10 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0)
Assertion
Ref Expression
metakunt29 (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐻   𝑦,𝐼   𝑧,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝑦,𝑋   𝑧,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐻(𝑥,𝑧)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt29
StepHypRef Expression
1 metakunt29.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 metakunt29.2 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
3 metakunt29.3 . . . 4 (𝜑𝐼𝑀)
4 metakunt29.4 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
5 metakunt29.5 . . . 4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
6 metakunt29.6 . . . 4 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
7 metakunt29.7 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
8 metakunt29.8 . . . 4 (𝜑𝑋 < 𝐼)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8metakunt27 39367 . . 3 (𝜑 → (𝐵‘(𝐴𝑋)) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
109fveq2d 6653 . 2 (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = (𝐶‘(𝑋 + (𝑀𝐼))))
11 metakunt29.9 . . . 4 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
1211a1i 11 . . 3 (𝜑𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
13 elfznn 12935 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
144, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℕ)
15 nnre 11636 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
171nnred 11644 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
182nnred 11644 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
1917, 18resubcld 11061 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀𝐼) ∈ ℝ)
2016, 19readdcld 10663 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∈ ℝ)
2116recnd 10662 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
2217recnd 10662 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
2318recnd 10662 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
2421, 22, 23addsub12d 11013 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + (𝑀𝐼)) = (𝑀 + (𝑋𝐼)))
2522, 23, 21subsub2d 11019 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 − (𝐼𝑋)) = (𝑀 + (𝑋𝐼)))
2618, 16resubcld 11061 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐼𝑋) ∈ ℝ)
2716, 18posdifd 11220 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 < 𝐼 ↔ 0 < (𝐼𝑋)))
288, 27mpbid 235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (𝐼𝑋))
2926, 28elrpd 12420 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼𝑋) ∈ ℝ+)
3017, 29ltsubrpd 12455 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 − (𝐼𝑋)) < 𝑀)
3125, 30eqbrtrrd 5057 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 + (𝑋𝐼)) < 𝑀)
3224, 31eqbrtrd 5055 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝑀)
3320, 32ltned 10769 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 + (𝑀𝐼)) ≠ 𝑀)
3433adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼))) → (𝑋 + (𝑀𝐼)) ≠ 𝑀)
35 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼))) → 𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
3635neeq1d 3049 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼))) → (𝑦𝑀 ↔ (𝑋 + (𝑀𝐼)) ≠ 𝑀))
3734, 36mpbird 260 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼))) → 𝑦𝑀)
3837neneqd 2995 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼))) → ¬ 𝑦 = 𝑀)
3938iffalsed 4439 . . . 4 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼))) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))
40 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)))
4118adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → 𝐼 ∈ ℝ)
4216adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → 𝑋 ∈ ℝ)
4317adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → 𝑀 ∈ ℝ)
4443, 41resubcld 11061 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → (𝑀𝐼) ∈ ℝ)
4542, 44readdcld 10663 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∈ ℝ)
4641, 45lenltd 10779 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → (𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼))
4740, 46mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → ¬ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼)
48473adant2 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → ¬ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼)
49 simp2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → 𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
5049breq1d 5043 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → (𝑦 < 𝐼 ↔ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼))
5150notbid 321 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → (¬ 𝑦 < 𝐼 ↔ ¬ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼))
5248, 51mpbird 260 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → ¬ 𝑦 < 𝐼)
5352iffalsed 4439 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = (𝑦 + 1))
5449oveq1d 7154 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → (𝑦 + 1) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 1))
5553, 54eqtrd 2836 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 1))
56 simp3 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)))
5756iftrued 4436 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0) = 1)
5857eqcomd 2807 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → 1 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0))
59 metakunt29.10 . . . . . . . . 9 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0)
6058, 59eqtr4di 2854 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → 1 = 𝐻)
6160oveq2d 7155 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 1) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
6255, 61eqtrd 2836 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
63623expa 1115 . . . . 5 (((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼))) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
6420, 18ltnled 10780 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼 ↔ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))))
6564biimprd 251 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)) → (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼))
6665imp 410 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼)
67663adant2 1128 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼)
68 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → 𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
6968breq1d 5043 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → (𝑦 < 𝐼 ↔ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼))
7067, 69mpbird 260 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → 𝑦 < 𝐼)
7170iftrued 4436 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = 𝑦)
7221adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → 𝑋 ∈ ℂ)
7322adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℂ)
7423adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℂ)
7573, 74subcld 10990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → (𝑀𝐼) ∈ ℂ)
7672, 75addcld 10653 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∈ ℂ)
7776addid1d 10833 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 0) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
7877eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → (𝑋 + (𝑀𝐼)) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 0))
7964biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)))
8079iffalsed 4439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0) = 0)
8180eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → 0 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0))
8259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0))
8382eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0) = 𝐻)
8481, 83eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → 0 = 𝐻)
8584oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 0) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
8678, 85eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → (𝑋 + (𝑀𝐼)) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
8786ex 416 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼 → (𝑋 + (𝑀𝐼)) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻)))
8865, 87syld 47 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)) → (𝑋 + (𝑀𝐼)) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻)))
8988imp 410 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → (𝑋 + (𝑀𝐼)) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
90893adant2 1128 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → (𝑋 + (𝑀𝐼)) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
9168, 90eqtrd 2836 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → 𝑦 = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
9271, 91eqtrd 2836 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
93923expa 1115 . . . . 5 (((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼))) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
9463, 93pm2.61dan 812 . . . 4 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼))) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
9539, 94eqtrd 2836 . . 3 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼))) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
96 1zzd 12005 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
971nnzd 12078 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9814nnzd 12078 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
992nnzd 12078 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
10097, 99zsubcld 12084 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝐼) ∈ ℤ)
10198, 100zaddcld 12083 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∈ ℤ)
102 1p0e1 11753 . . . . 5 (1 + 0) = 1
103 1red 10635 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
104 0red 10637 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10514nnge1d 11677 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ≤ 𝑋)
10617, 18subge0d 11223 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ≤ (𝑀𝐼) ↔ 𝐼𝑀))
1073, 106mpbird 260 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀𝐼))
108103, 104, 16, 19, 105, 107le2addd 11252 . . . . 5 (𝜑 → (1 + 0) ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)))
109102, 108eqbrtrrid 5069 . . . 4 (𝜑 → 1 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)))
11020, 17, 32ltled 10781 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + (𝑀𝐼)) ≤ 𝑀)
11196, 97, 101, 109, 110elfzd 12897 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∈ (1...𝑀))
112111elfzelzd 12907 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∈ ℤ)
113 0zd 11985 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
11496, 113ifcld 4473 . . . . 5 (𝜑 → if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0) ∈ ℤ)
11559a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0))
116115eleq1d 2877 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ↔ if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0) ∈ ℤ))
117114, 116mpbird 260 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ ℤ)
118112, 117zaddcld 12083 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻) ∈ ℤ)
11912, 95, 111, 118fvmptd 6756 . 2 (𝜑 → (𝐶‘(𝑋 + (𝑀𝐼))) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
12010, 119eqtrd 2836 1 (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ifcif 4428   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   < clt 10668   ≤ cle 10669   − cmin 10863  ℕcn 11629  ℤcz 11973  ...cfz 12889 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator