Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt29 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt29 42235
Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt29.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt29.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt29.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt29.4 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt29.5 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt29.6 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt29.7 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
metakunt29.8 (𝜑𝑋 < 𝐼)
metakunt29.9 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt29.10 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0)
Assertion
Ref Expression
metakunt29 (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐻   𝑦,𝐼   𝑧,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝑦,𝑋   𝑧,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐻(𝑥,𝑧)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt29
StepHypRef Expression
1 metakunt29.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 metakunt29.2 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
3 metakunt29.3 . . . 4 (𝜑𝐼𝑀)
4 metakunt29.4 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
5 metakunt29.5 . . . 4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
6 metakunt29.6 . . . 4 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
7 metakunt29.7 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
8 metakunt29.8 . . . 4 (𝜑𝑋 < 𝐼)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8metakunt27 42233 . . 3 (𝜑 → (𝐵‘(𝐴𝑋)) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
109fveq2d 6909 . 2 (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = (𝐶‘(𝑋 + (𝑀𝐼))))
11 metakunt29.9 . . . 4 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
1211a1i 11 . . 3 (𝜑𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
13 elfznn 13594 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
144, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℕ)
15 nnre 12274 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
171nnred 12282 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
182nnred 12282 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
1917, 18resubcld 11692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀𝐼) ∈ ℝ)
2016, 19readdcld 11291 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∈ ℝ)
2116recnd 11290 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
2217recnd 11290 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
2318recnd 11290 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
2421, 22, 23addsub12d 11644 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + (𝑀𝐼)) = (𝑀 + (𝑋𝐼)))
2522, 23, 21subsub2d 11650 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 − (𝐼𝑋)) = (𝑀 + (𝑋𝐼)))
2618, 16resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐼𝑋) ∈ ℝ)
2716, 18posdifd 11851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 < 𝐼 ↔ 0 < (𝐼𝑋)))
288, 27mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (𝐼𝑋))
2926, 28elrpd 13075 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼𝑋) ∈ ℝ+)
3017, 29ltsubrpd 13110 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 − (𝐼𝑋)) < 𝑀)
3125, 30eqbrtrrd 5166 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 + (𝑋𝐼)) < 𝑀)
3224, 31eqbrtrd 5164 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝑀)
3320, 32ltned 11398 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 + (𝑀𝐼)) ≠ 𝑀)
3433adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼))) → (𝑋 + (𝑀𝐼)) ≠ 𝑀)
35 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼))) → 𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
3635neeq1d 2999 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼))) → (𝑦𝑀 ↔ (𝑋 + (𝑀𝐼)) ≠ 𝑀))
3734, 36mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼))) → 𝑦𝑀)
3837neneqd 2944 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼))) → ¬ 𝑦 = 𝑀)
3938iffalsed 4535 . . . 4 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼))) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))
40 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)))
4118adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → 𝐼 ∈ ℝ)
4216adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → 𝑋 ∈ ℝ)
4317adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → 𝑀 ∈ ℝ)
4443, 41resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → (𝑀𝐼) ∈ ℝ)
4542, 44readdcld 11291 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∈ ℝ)
4641, 45lenltd 11408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → (𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼))
4740, 46mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → ¬ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼)
48473adant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → ¬ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼)
49 simp2 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → 𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
5049breq1d 5152 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → (𝑦 < 𝐼 ↔ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼))
5150notbid 318 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → (¬ 𝑦 < 𝐼 ↔ ¬ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼))
5248, 51mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → ¬ 𝑦 < 𝐼)
5352iffalsed 4535 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = (𝑦 + 1))
5449oveq1d 7447 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → (𝑦 + 1) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 1))
5553, 54eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 1))
56 simp3 1138 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)))
5756iftrued 4532 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0) = 1)
5857eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → 1 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0))
59 metakunt29.10 . . . . . . . . 9 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0)
6058, 59eqtr4di 2794 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → 1 = 𝐻)
6160oveq2d 7448 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 1) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
6255, 61eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
63623expa 1118 . . . . 5 (((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼))) ∧ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
6420, 18ltnled 11409 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼 ↔ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))))
6564biimprd 248 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)) → (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼))
6665imp 406 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼)
67663adant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼)
68 simp2 1137 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → 𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
6968breq1d 5152 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → (𝑦 < 𝐼 ↔ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼))
7067, 69mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → 𝑦 < 𝐼)
7170iftrued 4532 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = 𝑦)
7221adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → 𝑋 ∈ ℂ)
7322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℂ)
7423adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℂ)
7573, 74subcld 11621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → (𝑀𝐼) ∈ ℂ)
7672, 75addcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∈ ℂ)
7776addridd 11462 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 0) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
7877eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → (𝑋 + (𝑀𝐼)) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 0))
7964biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)))
8079iffalsed 4535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0) = 0)
8180eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → 0 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0))
8259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0))
8382eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0) = 𝐻)
8481, 83eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → 0 = 𝐻)
8584oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 0) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
8678, 85eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼) → (𝑋 + (𝑀𝐼)) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
8786ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑀𝐼)) < 𝐼 → (𝑋 + (𝑀𝐼)) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻)))
8865, 87syld 47 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)) → (𝑋 + (𝑀𝐼)) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻)))
8988imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → (𝑋 + (𝑀𝐼)) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
90893adant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → (𝑋 + (𝑀𝐼)) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
9168, 90eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → 𝑦 = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
9271, 91eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
93923expa 1118 . . . . 5 (((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼))) ∧ ¬ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼))) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
9463, 93pm2.61dan 812 . . . 4 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼))) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
9539, 94eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑𝑦 = (𝑋 + (𝑀𝐼))) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
96 1zzd 12650 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
971nnzd 12642 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9814nnzd 12642 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
992nnzd 12642 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
10097, 99zsubcld 12729 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝐼) ∈ ℤ)
10198, 100zaddcld 12728 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∈ ℤ)
102 1p0e1 12391 . . . . 5 (1 + 0) = 1
103 1red 11263 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
104 0red 11265 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10514nnge1d 12315 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ≤ 𝑋)
10617, 18subge0d 11854 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ≤ (𝑀𝐼) ↔ 𝐼𝑀))
1073, 106mpbird 257 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀𝐼))
108103, 104, 16, 19, 105, 107le2addd 11883 . . . . 5 (𝜑 → (1 + 0) ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)))
109102, 108eqbrtrrid 5178 . . . 4 (𝜑 → 1 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)))
11020, 17, 32ltled 11410 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + (𝑀𝐼)) ≤ 𝑀)
11196, 97, 101, 109, 110elfzd 13556 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∈ (1...𝑀))
112111elfzelzd 13566 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∈ ℤ)
113 0zd 12627 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
11496, 113ifcld 4571 . . . . 5 (𝜑 → if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0) ∈ ℤ)
11559a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0))
116115eleq1d 2825 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ↔ if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀𝐼)), 1, 0) ∈ ℤ))
117114, 116mpbird 257 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ ℤ)
118112, 117zaddcld 12728 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻) ∈ ℤ)
11912, 95, 111, 118fvmptd 7022 . 2 (𝜑 → (𝐶‘(𝑋 + (𝑀𝐼))) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
12010, 119eqtrd 2776 1 (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = ((𝑋 + (𝑀𝐼)) + 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  ifcif 4524   class class class wbr 5142  cmpt 5224  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493  cn 12267  cz 12615  ...cfz 13548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549
This theorem is referenced by:  metakunt31  42237
  Copyright terms: Public domain W3C validator