Theorem metakunt26 40150

Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt26.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt26.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt26.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt26.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt26.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt26.6	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt26.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
metakunt26	⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐼(𝑥,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem metakunt26

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt26.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3		metakunt26.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝐼)
4	3	eqeq2d 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 𝑋 ↔ 𝑥 = 𝐼))
5		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
6	5	iftrued 4467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀)
7	6	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 𝐼 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀))
8	4, 7	sylbid 239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀))
9	8	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀)
10		1zzd 12351	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
11		metakunt26.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
12		nnz 12342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14		metakunt26.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
15	14	nnzd 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
16	14	nnge1d 12021	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
17		metakunt26.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
18	10, 13, 15, 16, 17	elfzd 13247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑀))
19	3	eleq1d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (1...𝑀)))
20	18, 19	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
21	2, 9, 20, 11	fvmptd 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = 𝑀)
22	21	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵‘𝑀))
23		metakunt26.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))))
25		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑀) → 𝑧 = 𝑀)
26	25	iftrued 4467	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑀) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = 𝑀)
27		1zzd 12351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
28		nnge1 12001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
29		nnre 11980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
30	29	leidd 11541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ 𝑀)
31	27, 12, 12, 28, 30	elfzd 13247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
32	11, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
33	24, 26, 32, 11	fvmptd 6882	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑀) = 𝑀)
34	22, 33	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑀)
35	34	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = (𝐶‘𝑀))
36		metakunt26.5	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
38		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝑀) → 𝑦 = 𝑀)
39	38	iftrued 4467	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝑀) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝐼)
40	37, 39, 32, 14	fvmptd 6882	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑀) = 𝐼)
41	35, 40	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = 𝐼)
42	3	eqcomd 2744	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝑋)
43	41, 42	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ifcif 4459   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℤcz 12319  ...cfz 13239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-fz 13240

This theorem is referenced by:  metakunt31  40155