Theorem metakunt26 42212

Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt26.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt26.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt26.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt26.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt26.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt26.6	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt26.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
metakunt26	⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐼(𝑥,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem metakunt26

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt26.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3		metakunt26.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝐼)
4	3	eqeq2d 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 𝑋 ↔ 𝑥 = 𝐼))
5		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
6	5	iftrued 4539	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀)
7	6	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 𝐼 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀))
8	4, 7	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀))
9	8	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀)
10		1zzd 12646	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
11		metakunt26.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
12		nnz 12632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14		metakunt26.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
15	14	nnzd 12638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
16	14	nnge1d 12312	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
17		metakunt26.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
18	10, 13, 15, 16, 17	elfzd 13552	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑀))
19	3	eleq1d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (1...𝑀)))
20	18, 19	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
21	2, 9, 20, 11	fvmptd 7023	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = 𝑀)
22	21	fveq2d 6911	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵‘𝑀))
23		metakunt26.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))))
25		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑀) → 𝑧 = 𝑀)
26	25	iftrued 4539	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑀) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = 𝑀)
27		1zzd 12646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
28		nnge1 12292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
29		nnre 12271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
30	29	leidd 11827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ 𝑀)
31	27, 12, 12, 28, 30	elfzd 13552	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
32	11, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
33	24, 26, 32, 11	fvmptd 7023	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑀) = 𝑀)
34	22, 33	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑀)
35	34	fveq2d 6911	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = (𝐶‘𝑀))
36		metakunt26.5	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
38		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝑀) → 𝑦 = 𝑀)
39	38	iftrued 4539	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝑀) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝐼)
40	37, 39, 32, 14	fvmptd 7023	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑀) = 𝐼)
41	35, 40	eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = 𝐼)
42	3	eqcomd 2741	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝑋)
43	41, 42	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ifcif 4531   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℕcn 12264  ℤcz 12611  ...cfz 13544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-fz 13545

This theorem is referenced by:  metakunt31  42217