Theorem metakunt26 42187

Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt26.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt26.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt26.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt26.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt26.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt26.6	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt26.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
metakunt26	⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐼(𝑥,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem metakunt26

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt26.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3		metakunt26.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝐼)
4	3	eqeq2d 2751	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 𝑋 ↔ 𝑥 = 𝐼))
5		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
6	5	iftrued 4556	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀)
7	6	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 𝐼 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀))
8	4, 7	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀))
9	8	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀)
10		1zzd 12674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
11		metakunt26.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
12		nnz 12660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14		metakunt26.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
15	14	nnzd 12666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
16	14	nnge1d 12341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
17		metakunt26.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
18	10, 13, 15, 16, 17	elfzd 13575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑀))
19	3	eleq1d 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (1...𝑀)))
20	18, 19	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
21	2, 9, 20, 11	fvmptd 7036	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = 𝑀)
22	21	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵‘𝑀))
23		metakunt26.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))))
25		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑀) → 𝑧 = 𝑀)
26	25	iftrued 4556	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑀) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = 𝑀)
27		1zzd 12674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
28		nnge1 12321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
29		nnre 12300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
30	29	leidd 11856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ 𝑀)
31	27, 12, 12, 28, 30	elfzd 13575	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
32	11, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
33	24, 26, 32, 11	fvmptd 7036	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑀) = 𝑀)
34	22, 33	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑀)
35	34	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = (𝐶‘𝑀))
36		metakunt26.5	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
38		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝑀) → 𝑦 = 𝑀)
39	38	iftrued 4556	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝑀) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝐼)
40	37, 39, 32, 14	fvmptd 7036	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑀) = 𝐼)
41	35, 40	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = 𝐼)
42	3	eqcomd 2746	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝑋)
43	41, 42	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ifcif 4548   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℕcn 12293  ℤcz 12639  ...cfz 13567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-fz 13568

This theorem is referenced by:  metakunt31  42192