Theorem metakunt26 40602

Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt26.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt26.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt26.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt26.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt26.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt26.6	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt26.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
metakunt26	⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐼(𝑥,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem metakunt26

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt26.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3		metakunt26.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝐼)
4	3	eqeq2d 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 𝑋 ↔ 𝑥 = 𝐼))
5		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
6	5	iftrued 4494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀)
7	6	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 𝐼 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀))
8	4, 7	sylbid 239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀))
9	8	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀)
10		1zzd 12534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
11		metakunt26.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
12		nnz 12520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14		metakunt26.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
15	14	nnzd 12526	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
16	14	nnge1d 12201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
17		metakunt26.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
18	10, 13, 15, 16, 17	elfzd 13432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑀))
19	3	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (1...𝑀)))
20	18, 19	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
21	2, 9, 20, 11	fvmptd 6955	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = 𝑀)
22	21	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵‘𝑀))
23		metakunt26.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))))
25		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑀) → 𝑧 = 𝑀)
26	25	iftrued 4494	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑀) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = 𝑀)
27		1zzd 12534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
28		nnge1 12181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
29		nnre 12160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
30	29	leidd 11721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ 𝑀)
31	27, 12, 12, 28, 30	elfzd 13432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
32	11, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
33	24, 26, 32, 11	fvmptd 6955	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑀) = 𝑀)
34	22, 33	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑀)
35	34	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = (𝐶‘𝑀))
36		metakunt26.5	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
38		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝑀) → 𝑦 = 𝑀)
39	38	iftrued 4494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝑀) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝐼)
40	37, 39, 32, 14	fvmptd 6955	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑀) = 𝐼)
41	35, 40	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = 𝐼)
42	3	eqcomd 2742	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝑋)
43	41, 42	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴‘𝑋))) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4486   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  ℕcn 12153  ℤcz 12499  ...cfz 13424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-fz 13425

This theorem is referenced by:  metakunt31  40607