Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt26 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt26 40602
Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt26.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt26.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt26.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt26.4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt26.5 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt26.6 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt26.7 (𝜑𝑋 = 𝐼)
Assertion
Ref Expression
metakunt26 (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐼(𝑥,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem metakunt26
StepHypRef Expression
1 metakunt26.4 . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
21a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3 metakunt26.7 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 = 𝐼)
43eqeq2d 2747 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝐼))
5 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
65iftrued 4494 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀)
76ex 413 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 = 𝐼 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀))
84, 7sylbid 239 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀))
98imp 407 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀)
10 1zzd 12534 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
11 metakunt26.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
12 nnz 12520 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
14 metakunt26.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
1514nnzd 12526 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
1614nnge1d 12201 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
17 metakunt26.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑀)
1810, 13, 15, 16, 17elfzd 13432 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑀))
193eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (1...𝑀)))
2018, 19mpbird 256 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
212, 9, 20, 11fvmptd 6955 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑋) = 𝑀)
2221fveq2d 6846 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵‘(𝐴𝑋)) = (𝐵𝑀))
23 metakunt26.6 . . . . . . 7 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))))
25 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 = 𝑀) → 𝑧 = 𝑀)
2625iftrued 4494 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 = 𝑀) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = 𝑀)
27 1zzd 12534 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
28 nnge1 12181 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
29 nnre 12160 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
3029leidd 11721 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀𝑀)
3127, 12, 12, 28, 30elfzd 13432 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
3211, 31syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (1...𝑀))
3324, 26, 32, 11fvmptd 6955 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑀) = 𝑀)
3422, 33eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → (𝐵‘(𝐴𝑋)) = 𝑀)
3534fveq2d 6846 . . 3 (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = (𝐶𝑀))
36 metakunt26.5 . . . . 5 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
3736a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
38 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = 𝑀) → 𝑦 = 𝑀)
3938iftrued 4494 . . . 4 ((𝜑𝑦 = 𝑀) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝐼)
4037, 39, 32, 14fvmptd 6955 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝑀) = 𝐼)
4135, 40eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝐼)
423eqcomd 2742 . 2 (𝜑𝐼 = 𝑋)
4341, 42eqtrd 2776 1 (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  cz 12499  ...cfz 13424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-fz 13425
This theorem is referenced by:  metakunt31  40607
  Copyright terms: Public domain W3C validator