Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt26 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt26 40648
Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt26.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt26.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt26.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt26.4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt26.5 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt26.6 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt26.7 (𝜑𝑋 = 𝐼)
Assertion
Ref Expression
metakunt26 (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐼(𝑥,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem metakunt26
StepHypRef Expression
1 metakunt26.4 . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
21a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3 metakunt26.7 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 = 𝐼)
43eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝐼))
5 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
65iftrued 4495 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀)
76ex 414 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 = 𝐼 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀))
84, 7sylbid 239 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀))
98imp 408 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀)
10 1zzd 12539 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
11 metakunt26.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
12 nnz 12525 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
14 metakunt26.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
1514nnzd 12531 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
1614nnge1d 12206 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
17 metakunt26.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑀)
1810, 13, 15, 16, 17elfzd 13438 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑀))
193eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (1...𝑀)))
2018, 19mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
212, 9, 20, 11fvmptd 6956 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑋) = 𝑀)
2221fveq2d 6847 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵‘(𝐴𝑋)) = (𝐵𝑀))
23 metakunt26.6 . . . . . . 7 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))))
25 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 = 𝑀) → 𝑧 = 𝑀)
2625iftrued 4495 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 = 𝑀) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = 𝑀)
27 1zzd 12539 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
28 nnge1 12186 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
29 nnre 12165 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
3029leidd 11726 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀𝑀)
3127, 12, 12, 28, 30elfzd 13438 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
3211, 31syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (1...𝑀))
3324, 26, 32, 11fvmptd 6956 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑀) = 𝑀)
3422, 33eqtrd 2773 . . . 4 (𝜑 → (𝐵‘(𝐴𝑋)) = 𝑀)
3534fveq2d 6847 . . 3 (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = (𝐶𝑀))
36 metakunt26.5 . . . . 5 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
3736a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
38 simpr 486 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = 𝑀) → 𝑦 = 𝑀)
3938iftrued 4495 . . . 4 ((𝜑𝑦 = 𝑀) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝐼)
4037, 39, 32, 14fvmptd 6956 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝑀) = 𝐼)
4135, 40eqtrd 2773 . 2 (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝐼)
423eqcomd 2739 . 2 (𝜑𝐼 = 𝑋)
4341, 42eqtrd 2773 1 (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  ifcif 4487   class class class wbr 5106  cmpt 5189  cfv 6497  (class class class)co 7358  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194  cle 11195  cmin 11390  cn 12158  cz 12504  ...cfz 13430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-fz 13431
This theorem is referenced by:  metakunt31  40653
  Copyright terms: Public domain W3C validator