Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt26 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt26 40147
Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt26.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt26.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt26.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt26.4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt26.5 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt26.6 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt26.7 (𝜑𝑋 = 𝐼)
Assertion
Ref Expression
metakunt26 (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐼(𝑥,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem metakunt26
StepHypRef Expression
1 metakunt26.4 . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
21a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3 metakunt26.7 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 = 𝐼)
43eqeq2d 2751 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝐼))
5 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
65iftrued 4473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀)
76ex 413 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 = 𝐼 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀))
84, 7sylbid 239 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀))
98imp 407 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀)
10 1zzd 12351 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
11 metakunt26.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
12 nnz 12342 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
14 metakunt26.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
1514nnzd 12424 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
1614nnge1d 12021 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
17 metakunt26.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑀)
1810, 13, 15, 16, 17elfzd 13246 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑀))
193eleq1d 2825 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝐼 ∈ (1...𝑀)))
2018, 19mpbird 256 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
212, 9, 20, 11fvmptd 6879 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑋) = 𝑀)
2221fveq2d 6775 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵‘(𝐴𝑋)) = (𝐵𝑀))
23 metakunt26.6 . . . . . . 7 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))))
25 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 = 𝑀) → 𝑧 = 𝑀)
2625iftrued 4473 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 = 𝑀) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = 𝑀)
27 1zzd 12351 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
28 nnge1 12001 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
29 nnre 11980 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
3029leidd 11541 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀𝑀)
3127, 12, 12, 28, 30elfzd 13246 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (1...𝑀))
3211, 31syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (1...𝑀))
3324, 26, 32, 11fvmptd 6879 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑀) = 𝑀)
3422, 33eqtrd 2780 . . . 4 (𝜑 → (𝐵‘(𝐴𝑋)) = 𝑀)
3534fveq2d 6775 . . 3 (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = (𝐶𝑀))
36 metakunt26.5 . . . . 5 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
3736a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
38 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = 𝑀) → 𝑦 = 𝑀)
3938iftrued 4473 . . . 4 ((𝜑𝑦 = 𝑀) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝐼)
4037, 39, 32, 14fvmptd 6879 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝑀) = 𝐼)
4135, 40eqtrd 2780 . 2 (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝐼)
423eqcomd 2746 . 2 (𝜑𝐼 = 𝑋)
4341, 42eqtrd 2780 1 (𝜑 → (𝐶‘(𝐵‘(𝐴𝑋))) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  ifcif 4465   class class class wbr 5079  cmpt 5162  cfv 6432  (class class class)co 7271  1c1 10873   + caddc 10875   < clt 11010  cle 11011  cmin 11205  cn 11973  cz 12319  ...cfz 13238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-fz 13239
This theorem is referenced by:  metakunt31  40152
  Copyright terms: Public domain W3C validator