Theorem metakunt32 40153

Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 18-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt32.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt32.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt32.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt32.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt32.5	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑥, if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)))))
metakunt32.6	⊢ 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)
metakunt32.7	⊢ 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0)
metakunt32.8	⊢ 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻)))

Assertion

Ref	Expression
metakunt32	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt32

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt32.5	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑥, if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)))))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑥, if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0))))))
3		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
4	3	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 = 𝐼 ↔ 𝑋 = 𝐼))
5	3	breq1d 5086	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
6		oveq1 7284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
7	6	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
8	7	breq2d 5088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) ↔ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼))))
9	8	ifbid 4484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0))
10	7, 9	oveq12d 7295	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)) = ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)))
11		metakunt32.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0))
13	12	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) = 𝐺)
14	13	oveq2d 7293	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)) = ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺))
15	10, 14	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)) = ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺))
16	3	oveq1d 7292	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 − 𝐼) = (𝑋 − 𝐼))
17	16	breq2d 5088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼) ↔ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)))
18	17	ifbid 4484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0) = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0))
19	16, 18	oveq12d 7295	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)) = ((𝑋 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0)))
20		metakunt32.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0)
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0))
22	21	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0) = 𝐻)
23	22	oveq2d 7293	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑋 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0)) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
24	19, 23	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
25	5, 15, 24	ifbieq12d 4489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0))) = if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻)))
26	4, 3, 25	ifbieq12d 4489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑥, if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))))
27		metakunt32.8	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻)))
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))))
29	28	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))) = 𝑅)
30	26, 29	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑥, if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)))) = 𝑅)
31		metakunt32.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
32	31	elfzelzd 13255	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
33		metakunt32.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
34	33	nnzd 12423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
35		metakunt32.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
36	35	nnzd 12423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
37	34, 36	zsubcld 12429	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
38	32, 37	zaddcld 12428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ)
39		1zzd 12349	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
40		0zd 12329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
41	39, 40	ifcld 4507	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) ∈ ℤ)
42	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0))
43	42	eleq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ↔ if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) ∈ ℤ))
44	41, 43	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ)
45	38, 44	zaddcld 12428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺) ∈ ℤ)
46	32, 36	zsubcld 12429	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐼) ∈ ℤ)
47	39, 40	ifcld 4507	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0) ∈ ℤ)
48	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0))
49	48	eleq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ↔ if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0) ∈ ℤ))
50	47, 49	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
51	46, 50	zaddcld 12428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻) ∈ ℤ)
52	45, 51	ifcld 4507	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻)) ∈ ℤ)
53	32, 52	ifcld 4507	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))) ∈ ℤ)
54	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))))
55	54	eleq1d 2823	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℤ ↔ if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))) ∈ ℤ))
56	53, 55	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
57	2, 30, 31, 56	fvmptd 6884	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ifcif 4461   class class class wbr 5076   ↦ cmpt 5159  ‘cfv 6435  (class class class)co 7277  0cc0 10869  1c1 10870   + caddc 10872   < clt 11007   ≤ cle 11008   − cmin 11203  ℕcn 11971  ℤcz 12317  ...cfz 13237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-er 8496  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12581  df-fz 13238

This theorem is referenced by:  metakunt33  40154