Theorem metakunt32 42238

Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 18-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt32.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt32.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt32.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt32.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt32.5	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑥, if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)))))
metakunt32.6	⊢ 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)
metakunt32.7	⊢ 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0)
metakunt32.8	⊢ 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻)))

Assertion

Ref	Expression
metakunt32	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt32

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt32.5	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑥, if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)))))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑥, if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0))))))
3		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
4	3	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 = 𝐼 ↔ 𝑋 = 𝐼))
5	3	breq1d 5152	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
6		oveq1 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
7	6	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
8	7	breq2d 5154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) ↔ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼))))
9	8	ifbid 4548	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0))
10	7, 9	oveq12d 7450	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)) = ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)))
11		metakunt32.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0))
13	12	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) = 𝐺)
14	13	oveq2d 7448	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)) = ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺))
15	10, 14	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)) = ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺))
16	3	oveq1d 7447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 − 𝐼) = (𝑋 − 𝐼))
17	16	breq2d 5154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼) ↔ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)))
18	17	ifbid 4548	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0) = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0))
19	16, 18	oveq12d 7450	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)) = ((𝑋 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0)))
20		metakunt32.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0)
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0))
22	21	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0) = 𝐻)
23	22	oveq2d 7448	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑋 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0)) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
24	19, 23	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
25	5, 15, 24	ifbieq12d 4553	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0))) = if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻)))
26	4, 3, 25	ifbieq12d 4553	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑥, if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))))
27		metakunt32.8	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻)))
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))))
29	28	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))) = 𝑅)
30	26, 29	eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑥, if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)))) = 𝑅)
31		metakunt32.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
32	31	elfzelzd 13566	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
33		metakunt32.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
34	33	nnzd 12642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
35		metakunt32.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
36	35	nnzd 12642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
37	34, 36	zsubcld 12729	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
38	32, 37	zaddcld 12728	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ)
39		1zzd 12650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
40		0zd 12627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
41	39, 40	ifcld 4571	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) ∈ ℤ)
42	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0))
43	42	eleq1d 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ↔ if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) ∈ ℤ))
44	41, 43	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ)
45	38, 44	zaddcld 12728	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺) ∈ ℤ)
46	32, 36	zsubcld 12729	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐼) ∈ ℤ)
47	39, 40	ifcld 4571	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0) ∈ ℤ)
48	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0))
49	48	eleq1d 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ↔ if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0) ∈ ℤ))
50	47, 49	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
51	46, 50	zaddcld 12728	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻) ∈ ℤ)
52	45, 51	ifcld 4571	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻)) ∈ ℤ)
53	32, 52	ifcld 4571	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))) ∈ ℤ)
54	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))))
55	54	eleq1d 2825	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℤ ↔ if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))) ∈ ℤ))
56	53, 55	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
57	2, 30, 31, 56	fvmptd 7022	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ifcif 4524   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   < clt 11296   ≤ cle 11297   − cmin 11493  ℕcn 12267  ℤcz 12615  ...cfz 13548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549

This theorem is referenced by:  metakunt33  42239