Theorem metakunt32 41582

Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 18-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt32.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt32.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt32.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt32.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt32.5	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑥, if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)))))
metakunt32.6	⊢ 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)
metakunt32.7	⊢ 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0)
metakunt32.8	⊢ 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻)))

Assertion

Ref	Expression
metakunt32	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt32

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt32.5	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑥, if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)))))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑥, if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0))))))
3		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
4	3	eqeq1d 2728	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 = 𝐼 ↔ 𝑋 = 𝐼))
5	3	breq1d 5151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
6		oveq1 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
7	6	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
8	7	breq2d 5153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) ↔ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼))))
9	8	ifbid 4546	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0))
10	7, 9	oveq12d 7423	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)) = ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)))
11		metakunt32.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0))
13	12	eqcomd 2732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) = 𝐺)
14	13	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)) = ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺))
15	10, 14	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)) = ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺))
16	3	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 − 𝐼) = (𝑋 − 𝐼))
17	16	breq2d 5153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼) ↔ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)))
18	17	ifbid 4546	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0) = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0))
19	16, 18	oveq12d 7423	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)) = ((𝑋 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0)))
20		metakunt32.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0)
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0))
22	21	eqcomd 2732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0) = 𝐻)
23	22	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑋 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0)) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
24	19, 23	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
25	5, 15, 24	ifbieq12d 4551	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0))) = if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻)))
26	4, 3, 25	ifbieq12d 4551	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑥, if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))))
27		metakunt32.8	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻)))
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))))
29	28	eqcomd 2732	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))) = 𝑅)
30	26, 29	eqtrd 2766	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑥, if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)))) = 𝑅)
31		metakunt32.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
32	31	elfzelzd 13508	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
33		metakunt32.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
34	33	nnzd 12589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
35		metakunt32.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
36	35	nnzd 12589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
37	34, 36	zsubcld 12675	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
38	32, 37	zaddcld 12674	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ)
39		1zzd 12597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
40		0zd 12574	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
41	39, 40	ifcld 4569	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) ∈ ℤ)
42	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0))
43	42	eleq1d 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ↔ if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) ∈ ℤ))
44	41, 43	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ)
45	38, 44	zaddcld 12674	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺) ∈ ℤ)
46	32, 36	zsubcld 12675	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐼) ∈ ℤ)
47	39, 40	ifcld 4569	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0) ∈ ℤ)
48	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0))
49	48	eleq1d 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ↔ if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0) ∈ ℤ))
50	47, 49	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
51	46, 50	zaddcld 12674	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻) ∈ ℤ)
52	45, 51	ifcld 4569	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻)) ∈ ℤ)
53	32, 52	ifcld 4569	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))) ∈ ℤ)
54	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))))
55	54	eleq1d 2812	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℤ ↔ if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))) ∈ ℤ))
56	53, 55	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
57	2, 30, 31, 56	fvmptd 6999	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≤ cle 11253   − cmin 11448  ℕcn 12216  ℤcz 12562  ...cfz 13490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491

This theorem is referenced by:  metakunt33  41583