Theorem metakunt32 40608

Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 18-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt32.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt32.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt32.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt32.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt32.5	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑥, if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)))))
metakunt32.6	⊢ 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)
metakunt32.7	⊢ 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0)
metakunt32.8	⊢ 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻)))

Assertion

Ref	Expression
metakunt32	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt32

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt32.5	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑥, if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)))))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑥, if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0))))))
3		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
4	3	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 = 𝐼 ↔ 𝑋 = 𝐼))
5	3	breq1d 5115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
6		oveq1 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
7	6	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
8	7	breq2d 5117	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) ↔ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼))))
9	8	ifbid 4509	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0))
10	7, 9	oveq12d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)) = ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)))
11		metakunt32.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0))
13	12	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) = 𝐺)
14	13	oveq2d 7373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)) = ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺))
15	10, 14	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)) = ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺))
16	3	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 − 𝐼) = (𝑋 − 𝐼))
17	16	breq2d 5117	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼) ↔ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)))
18	17	ifbid 4509	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0) = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0))
19	16, 18	oveq12d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)) = ((𝑋 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0)))
20		metakunt32.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0)
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0))
22	21	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0) = 𝐻)
23	22	oveq2d 7373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑋 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0)) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
24	19, 23	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
25	5, 15, 24	ifbieq12d 4514	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0))) = if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻)))
26	4, 3, 25	ifbieq12d 4514	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑥, if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))))
27		metakunt32.8	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻)))
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))))
29	28	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))) = 𝑅)
30	26, 29	eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑥, if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)))) = 𝑅)
31		metakunt32.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
32	31	elfzelzd 13442	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
33		metakunt32.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
34	33	nnzd 12526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
35		metakunt32.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
36	35	nnzd 12526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
37	34, 36	zsubcld 12612	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
38	32, 37	zaddcld 12611	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ)
39		1zzd 12534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
40		0zd 12511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
41	39, 40	ifcld 4532	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) ∈ ℤ)
42	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0))
43	42	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ↔ if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) ∈ ℤ))
44	41, 43	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ)
45	38, 44	zaddcld 12611	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺) ∈ ℤ)
46	32, 36	zsubcld 12612	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐼) ∈ ℤ)
47	39, 40	ifcld 4532	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0) ∈ ℤ)
48	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0))
49	48	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ↔ if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0) ∈ ℤ))
50	47, 49	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
51	46, 50	zaddcld 12611	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻) ∈ ℤ)
52	45, 51	ifcld 4532	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻)) ∈ ℤ)
53	32, 52	ifcld 4532	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))) ∈ ℤ)
54	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))))
55	54	eleq1d 2822	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℤ ↔ if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))) ∈ ℤ))
56	53, 55	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
57	2, 30, 31, 56	fvmptd 6955	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4486   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  ℕcn 12153  ℤcz 12499  ...cfz 13424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425

This theorem is referenced by:  metakunt33  40609