Theorem metakunt32 39878

Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 18-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt32.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt32.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt32.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt32.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt32.5	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑥, if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)))))
metakunt32.6	⊢ 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)
metakunt32.7	⊢ 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0)
metakunt32.8	⊢ 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻)))

Assertion

Ref	Expression
metakunt32	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt32

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt32.5	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑥, if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)))))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑥, if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0))))))
3		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
4	3	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 = 𝐼 ↔ 𝑋 = 𝐼))
5	3	breq1d 5063	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
6		oveq1 7220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
7	6	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
8	7	breq2d 5065	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) ↔ 𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼))))
9	8	ifbid 4462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0))
10	7, 9	oveq12d 7231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)) = ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)))
11		metakunt32.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0))
13	12	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) = 𝐺)
14	13	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)) = ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺))
15	10, 14	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)) = ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺))
16	3	oveq1d 7228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 − 𝐼) = (𝑋 − 𝐼))
17	16	breq2d 5065	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼) ↔ 𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼)))
18	17	ifbid 4462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0) = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0))
19	16, 18	oveq12d 7231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)) = ((𝑋 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0)))
20		metakunt32.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0)
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0))
22	21	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0) = 𝐻)
23	22	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑋 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0)) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
24	19, 23	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)) = ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))
25	5, 15, 24	ifbieq12d 4467	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0))) = if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻)))
26	4, 3, 25	ifbieq12d 4467	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑥, if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))))
27		metakunt32.8	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻)))
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))))
29	28	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))) = 𝑅)
30	26, 29	eqtrd 2777	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑥, if(𝑥 < 𝐼, ((𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) + if(𝐼 ≤ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0)), ((𝑥 − 𝐼) + if(𝐼 ≤ (𝑥 − 𝐼), 1, 0)))) = 𝑅)
31		metakunt32.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
32	31	elfzelzd 13113	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
33		metakunt32.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
34	33	nnzd 12281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
35		metakunt32.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
36	35	nnzd 12281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
37	34, 36	zsubcld 12287	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
38	32, 37	zaddcld 12286	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ)
39		1zzd 12208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
40		0zd 12188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
41	39, 40	ifcld 4485	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) ∈ ℤ)
42	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0))
43	42	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ↔ if(𝐼 ≤ (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)), 1, 0) ∈ ℤ))
44	41, 43	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ)
45	38, 44	zaddcld 12286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺) ∈ ℤ)
46	32, 36	zsubcld 12287	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐼) ∈ ℤ)
47	39, 40	ifcld 4485	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0) ∈ ℤ)
48	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0))
49	48	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ↔ if(𝐼 ≤ (𝑋 − 𝐼), 1, 0) ∈ ℤ))
50	47, 49	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
51	46, 50	zaddcld 12286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻) ∈ ℤ)
52	45, 51	ifcld 4485	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻)) ∈ ℤ)
53	32, 52	ifcld 4485	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))) ∈ ℤ)
54	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))))
55	54	eleq1d 2822	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℤ ↔ if(𝑋 = 𝐼, 𝑋, if(𝑋 < 𝐼, ((𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) + 𝐺), ((𝑋 − 𝐼) + 𝐻))) ∈ ℤ))
56	53, 55	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
57	2, 30, 31, 56	fvmptd 6825	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ifcif 4439   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   < clt 10867   ≤ cle 10868   − cmin 11062  ℕcn 11830  ℤcz 12176  ...cfz 13095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096

This theorem is referenced by:  metakunt33  39879