Theorem metakunt6 41551

Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt6.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt6.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt6.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt6.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt6.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt6.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑦,𝑋   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metakunt6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt6.5	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
3		metakunt6.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
5		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
6	5	eqeq1d 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝐼 ↔ 𝑋 = 𝐼))
7		breq1 5144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
8		oveq1 7412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 1) = (𝑋 − 1))
9	7, 5, 8	ifbieq12d 4551	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
10	6, 9	ifbieq2d 4549	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
11	10	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
12		metakunt6.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
13		elfznn 13536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
15	14	nnred 12231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ ℝ)
17		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 < 𝐼)
18	16, 17	ltned 11354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ≠ 𝐼)
19		df-ne 2935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ≠ 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 = 𝐼)
20	18, 19	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
21		iffalse 4532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑋 = 𝐼 → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
23		iftrue 4529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = 𝑋)
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = 𝑋)
25	22, 24	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = 𝑋)
26	25	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = 𝑋)
27	11, 26	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑋)
28	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
29	4, 27, 28, 28	fvmptd 6999	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐴‘𝑋) = 𝑋)
30		eqcom 2733	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘𝑋) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝐴‘𝑋))
31	30	imbi2i 336	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐴‘𝑋) = 𝑋) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 = (𝐴‘𝑋)))
32	29, 31	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 = (𝐴‘𝑋))
33	32	eqeq2d 2737	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝑦 = 𝑋 ↔ 𝑦 = (𝐴‘𝑋)))
34		eqeq1 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 = 𝑀 ↔ 𝑋 = 𝑀))
35		breq1 5144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
36		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → 𝑦 = 𝑋)
37		oveq1 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 + 1) = (𝑋 + 1))
38	35, 36, 37	ifbieq12d 4551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
39	34, 38	ifbieq2d 4549	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))))
40	39	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))))
41		metakunt6.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
42	41	nnred 12231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℝ)
44		metakunt6.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
45	44	nnred 12231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℝ)
47		metakunt6.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ≤ 𝑀)
49	16, 43, 46, 17, 48	ltletrd 11378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 < 𝑀)
50	16, 49	ltned 11354	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ≠ 𝑀)
51	50	neneqd 2939	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝑀)
52		iffalse 4532	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑋 = 𝑀 → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
54		iftrue 4529	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)) = 𝑋)
55	54	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)) = 𝑋)
56	53, 55	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = 𝑋)
57	56	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = 𝑋)
58	40, 57	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
59	58	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋))
60	33, 59	sylbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝑦 = (𝐴‘𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋))
61	60	imp 406	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = (𝐴‘𝑋)) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
62	44	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
63	41	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
64	62, 63, 48, 3	metakunt1 41546	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
65	64, 28	ffvelcdmd 7081	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐴‘𝑋) ∈ (1...𝑀))
66	2, 61, 65, 28	fvmptd 6999	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℝcr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≤ cle 11253   − cmin 11448  ℕcn 12216  ...cfz 13490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491

This theorem is referenced by:  metakunt9  41554