Theorem metakunt6 42167

Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt6.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt6.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt6.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt6.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt6.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt6.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑦,𝑋   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metakunt6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt6.5	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
3		metakunt6.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
5		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
6	5	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝐼 ↔ 𝑋 = 𝐼))
7		breq1 5169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
8		oveq1 7455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 1) = (𝑋 − 1))
9	7, 5, 8	ifbieq12d 4576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
10	6, 9	ifbieq2d 4574	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
11	10	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
12		metakunt6.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
13		elfznn 13613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
15	14	nnred 12308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ ℝ)
17		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 < 𝐼)
18	16, 17	ltned 11426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ≠ 𝐼)
19		df-ne 2947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ≠ 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 = 𝐼)
20	18, 19	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
21		iffalse 4557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑋 = 𝐼 → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
23		iftrue 4554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = 𝑋)
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = 𝑋)
25	22, 24	eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = 𝑋)
26	25	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = 𝑋)
27	11, 26	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑋)
28	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
29	4, 27, 28, 28	fvmptd 7036	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐴‘𝑋) = 𝑋)
30		eqcom 2747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘𝑋) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝐴‘𝑋))
31	30	imbi2i 336	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐴‘𝑋) = 𝑋) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 = (𝐴‘𝑋)))
32	29, 31	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 = (𝐴‘𝑋))
33	32	eqeq2d 2751	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝑦 = 𝑋 ↔ 𝑦 = (𝐴‘𝑋)))
34		eqeq1 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 = 𝑀 ↔ 𝑋 = 𝑀))
35		breq1 5169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
36		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → 𝑦 = 𝑋)
37		oveq1 7455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 + 1) = (𝑋 + 1))
38	35, 36, 37	ifbieq12d 4576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
39	34, 38	ifbieq2d 4574	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))))
40	39	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))))
41		metakunt6.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
42	41	nnred 12308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℝ)
44		metakunt6.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
45	44	nnred 12308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℝ)
47		metakunt6.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ≤ 𝑀)
49	16, 43, 46, 17, 48	ltletrd 11450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 < 𝑀)
50	16, 49	ltned 11426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ≠ 𝑀)
51	50	neneqd 2951	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝑀)
52		iffalse 4557	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑋 = 𝑀 → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
54		iftrue 4554	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)) = 𝑋)
55	54	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)) = 𝑋)
56	53, 55	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = 𝑋)
57	56	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = 𝑋)
58	40, 57	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
59	58	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋))
60	33, 59	sylbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝑦 = (𝐴‘𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋))
61	60	imp 406	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = (𝐴‘𝑋)) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
62	44	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
63	41	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
64	62, 63, 48, 3	metakunt1 42162	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
65	64, 28	ffvelcdmd 7119	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐴‘𝑋) ∈ (1...𝑀))
66	2, 61, 65, 28	fvmptd 7036	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ifcif 4548   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℕcn 12293  ...cfz 13567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568

This theorem is referenced by:  metakunt9  42170