Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt6 40345
Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt6.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt6.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt6.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt6.4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt6.5 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt6.6 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
Assertion
Ref Expression
metakunt6 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐴𝑋)) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑦,𝑋   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metakunt6
StepHypRef Expression
1 metakunt6.5 . . 3 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
21a1i 11 . 2 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
3 metakunt6.4 . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
43a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
5 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
65eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝐼𝑋 = 𝐼))
7 breq1 5088 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼𝑋 < 𝐼))
8 oveq1 7320 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 1) = (𝑋 − 1))
97, 5, 8ifbieq12d 4497 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
106, 9ifbieq2d 4495 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
1110adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
12 metakunt6.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
13 elfznn 13355 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ∈ ℕ)
1514nnred 12058 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1615adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ ℝ)
17 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑋 < 𝐼)
1816, 17ltned 11181 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑋𝐼)
19 df-ne 2942 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝐼 ↔ ¬ 𝑋 = 𝐼)
2018, 19sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
21 iffalse 4478 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = 𝐼 → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
23 iftrue 4475 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = 𝑋)
2423adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = 𝑋)
2522, 24eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = 𝑋)
2625adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = 𝑋)
2711, 26eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑋)
2812adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
294, 27, 28, 28fvmptd 6919 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → (𝐴𝑋) = 𝑋)
30 eqcom 2744 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋) = 𝑋𝑋 = (𝐴𝑋))
3130imbi2i 335 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 < 𝐼) → (𝐴𝑋) = 𝑋) ↔ ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑋 = (𝐴𝑋)))
3229, 31mpbi 229 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑋 = (𝐴𝑋))
3332eqeq2d 2748 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → (𝑦 = 𝑋𝑦 = (𝐴𝑋)))
34 eqeq1 2741 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 = 𝑀𝑋 = 𝑀))
35 breq1 5088 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 < 𝐼𝑋 < 𝐼))
36 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑋𝑦 = 𝑋)
37 oveq1 7320 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 + 1) = (𝑋 + 1))
3835, 36, 37ifbieq12d 4497 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
3934, 38ifbieq2d 4495 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))))
4039adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))))
41 metakunt6.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
4241nnred 12058 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
4342adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℝ)
44 metakunt6.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4544nnred 12058 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℝ)
47 metakunt6.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼𝑀)
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝐼𝑀)
4916, 43, 46, 17, 48ltletrd 11205 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑋 < 𝑀)
5016, 49ltned 11181 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑋𝑀)
5150neneqd 2946 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝑀)
52 iffalse 4478 . . . . . . . . 9 𝑋 = 𝑀 → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
5351, 52syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
54 iftrue 4475 . . . . . . . . 9 (𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)) = 𝑋)
5554adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)) = 𝑋)
5653, 55eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = 𝑋)
5756adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = 𝑋)
5840, 57eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝜑𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
5958ex 413 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋))
6033, 59sylbird 259 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → (𝑦 = (𝐴𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋))
6160imp 407 . 2 (((𝜑𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = (𝐴𝑋)) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
6244adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
6341adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
6462, 63, 48, 3metakunt1 40340 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
6564, 28ffvelcdmd 6999 . 2 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → (𝐴𝑋) ∈ (1...𝑀))
662, 61, 65, 28fvmptd 6919 1 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐴𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2941  ifcif 4469   class class class wbr 5085  cmpt 5168  cfv 6463  (class class class)co 7313  cr 10940  1c1 10942   + caddc 10944   < clt 11079  cle 11080  cmin 11275  cn 12043  ...cfz 13309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-nn 12044  df-n0 12304  df-z 12390  df-uz 12653  df-fz 13310
This theorem is referenced by:  metakunt9  40348
  Copyright terms: Public domain W3C validator