Theorem metakunt6 41718

Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt6.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt6.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt6.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt6.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt6.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt6.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑦,𝑋   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metakunt6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt6.5	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
3		metakunt6.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
5		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
6	5	eqeq1d 2727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝐼 ↔ 𝑋 = 𝐼))
7		breq1 5146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
8		oveq1 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 1) = (𝑋 − 1))
9	7, 5, 8	ifbieq12d 4552	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
10	6, 9	ifbieq2d 4550	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
11	10	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
12		metakunt6.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
13		elfznn 13562	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
15	14	nnred 12257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
16	15	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ ℝ)
17		simpr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 < 𝐼)
18	16, 17	ltned 11380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ≠ 𝐼)
19		df-ne 2931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ≠ 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 = 𝐼)
20	18, 19	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
21		iffalse 4533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑋 = 𝐼 → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
23		iftrue 4530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = 𝑋)
24	23	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = 𝑋)
25	22, 24	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = 𝑋)
26	25	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = 𝑋)
27	11, 26	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑋)
28	12	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
29	4, 27, 28, 28	fvmptd 7007	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐴‘𝑋) = 𝑋)
30		eqcom 2732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘𝑋) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝐴‘𝑋))
31	30	imbi2i 335	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐴‘𝑋) = 𝑋) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 = (𝐴‘𝑋)))
32	29, 31	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 = (𝐴‘𝑋))
33	32	eqeq2d 2736	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝑦 = 𝑋 ↔ 𝑦 = (𝐴‘𝑋)))
34		eqeq1 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 = 𝑀 ↔ 𝑋 = 𝑀))
35		breq1 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
36		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → 𝑦 = 𝑋)
37		oveq1 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 + 1) = (𝑋 + 1))
38	35, 36, 37	ifbieq12d 4552	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
39	34, 38	ifbieq2d 4550	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))))
40	39	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))))
41		metakunt6.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
42	41	nnred 12257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
43	42	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℝ)
44		metakunt6.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
45	44	nnred 12257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
46	45	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℝ)
47		metakunt6.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
48	47	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ≤ 𝑀)
49	16, 43, 46, 17, 48	ltletrd 11404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 < 𝑀)
50	16, 49	ltned 11380	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ≠ 𝑀)
51	50	neneqd 2935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝑀)
52		iffalse 4533	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑋 = 𝑀 → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
54		iftrue 4530	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)) = 𝑋)
55	54	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)) = 𝑋)
56	53, 55	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = 𝑋)
57	56	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = 𝑋)
58	40, 57	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
59	58	ex 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋))
60	33, 59	sylbird 259	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝑦 = (𝐴‘𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋))
61	60	imp 405	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = (𝐴‘𝑋)) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
62	44	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
63	41	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
64	62, 63, 48, 3	metakunt1 41713	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
65	64, 28	ffvelcdmd 7090	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐴‘𝑋) ∈ (1...𝑀))
66	2, 61, 65, 28	fvmptd 7007	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ifcif 4524   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  ℝcr 11137  1c1 11139   + caddc 11141   < clt 11278   ≤ cle 11279   − cmin 11474  ℕcn 12242  ...cfz 13516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517

This theorem is referenced by:  metakunt9  41721