Theorem metakunt6 42192

Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt6.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt6.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt6.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt6.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt6.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt6.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑦,𝑋   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metakunt6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt6.5	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
3		metakunt6.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
5		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
6	5	eqeq1d 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝐼 ↔ 𝑋 = 𝐼))
7		breq1 5151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
8		oveq1 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 1) = (𝑋 − 1))
9	7, 5, 8	ifbieq12d 4559	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
10	6, 9	ifbieq2d 4557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
11	10	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
12		metakunt6.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
13		elfznn 13590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
15	14	nnred 12279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ ℝ)
17		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 < 𝐼)
18	16, 17	ltned 11395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ≠ 𝐼)
19		df-ne 2939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ≠ 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 = 𝐼)
20	18, 19	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
21		iffalse 4540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑋 = 𝐼 → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
23		iftrue 4537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = 𝑋)
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = 𝑋)
25	22, 24	eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = 𝑋)
26	25	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = 𝑋)
27	11, 26	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑋)
28	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
29	4, 27, 28, 28	fvmptd 7023	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐴‘𝑋) = 𝑋)
30		eqcom 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘𝑋) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝐴‘𝑋))
31	30	imbi2i 336	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐴‘𝑋) = 𝑋) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 = (𝐴‘𝑋)))
32	29, 31	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 = (𝐴‘𝑋))
33	32	eqeq2d 2746	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝑦 = 𝑋 ↔ 𝑦 = (𝐴‘𝑋)))
34		eqeq1 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 = 𝑀 ↔ 𝑋 = 𝑀))
35		breq1 5151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
36		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → 𝑦 = 𝑋)
37		oveq1 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 + 1) = (𝑋 + 1))
38	35, 36, 37	ifbieq12d 4559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
39	34, 38	ifbieq2d 4557	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))))
40	39	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))))
41		metakunt6.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
42	41	nnred 12279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℝ)
44		metakunt6.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
45	44	nnred 12279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℝ)
47		metakunt6.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ≤ 𝑀)
49	16, 43, 46, 17, 48	ltletrd 11419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 < 𝑀)
50	16, 49	ltned 11395	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ≠ 𝑀)
51	50	neneqd 2943	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝑀)
52		iffalse 4540	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑋 = 𝑀 → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
54		iftrue 4537	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)) = 𝑋)
55	54	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)) = 𝑋)
56	53, 55	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = 𝑋)
57	56	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = 𝑋)
58	40, 57	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
59	58	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋))
60	33, 59	sylbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝑦 = (𝐴‘𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋))
61	60	imp 406	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = (𝐴‘𝑋)) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
62	44	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
63	41	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
64	62, 63, 48, 3	metakunt1 42187	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
65	64, 28	ffvelcdmd 7105	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐴‘𝑋) ∈ (1...𝑀))
66	2, 61, 65, 28	fvmptd 7023	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ifcif 4531   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℕcn 12264  ...cfz 13544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545

This theorem is referenced by:  metakunt9  42195