Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt6 40582
Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt6.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt6.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt6.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt6.4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt6.5 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt6.6 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
Assertion
Ref Expression
metakunt6 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐴𝑋)) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑦,𝑋   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metakunt6
StepHypRef Expression
1 metakunt6.5 . . 3 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
21a1i 11 . 2 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
3 metakunt6.4 . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
43a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
5 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
65eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝐼𝑋 = 𝐼))
7 breq1 5108 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼𝑋 < 𝐼))
8 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 1) = (𝑋 − 1))
97, 5, 8ifbieq12d 4514 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
106, 9ifbieq2d 4512 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
1110adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
12 metakunt6.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
13 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ∈ ℕ)
1514nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1615adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ ℝ)
17 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑋 < 𝐼)
1816, 17ltned 11291 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑋𝐼)
19 df-ne 2944 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝐼 ↔ ¬ 𝑋 = 𝐼)
2018, 19sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
21 iffalse 4495 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = 𝐼 → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
23 iftrue 4492 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = 𝑋)
2423adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = 𝑋)
2522, 24eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = 𝑋)
2625adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = 𝑋)
2711, 26eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑋)
2812adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
294, 27, 28, 28fvmptd 6955 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → (𝐴𝑋) = 𝑋)
30 eqcom 2743 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋) = 𝑋𝑋 = (𝐴𝑋))
3130imbi2i 335 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 < 𝐼) → (𝐴𝑋) = 𝑋) ↔ ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑋 = (𝐴𝑋)))
3229, 31mpbi 229 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑋 = (𝐴𝑋))
3332eqeq2d 2747 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → (𝑦 = 𝑋𝑦 = (𝐴𝑋)))
34 eqeq1 2740 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 = 𝑀𝑋 = 𝑀))
35 breq1 5108 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 < 𝐼𝑋 < 𝐼))
36 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑋𝑦 = 𝑋)
37 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 + 1) = (𝑋 + 1))
3835, 36, 37ifbieq12d 4514 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
3934, 38ifbieq2d 4512 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))))
4039adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))))
41 metakunt6.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
4241nnred 12168 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
4342adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℝ)
44 metakunt6.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4544nnred 12168 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℝ)
47 metakunt6.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼𝑀)
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝐼𝑀)
4916, 43, 46, 17, 48ltletrd 11315 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑋 < 𝑀)
5016, 49ltned 11291 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑋𝑀)
5150neneqd 2948 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝑀)
52 iffalse 4495 . . . . . . . . 9 𝑋 = 𝑀 → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
5351, 52syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
54 iftrue 4492 . . . . . . . . 9 (𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)) = 𝑋)
5554adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)) = 𝑋)
5653, 55eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = 𝑋)
5756adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = 𝑋)
5840, 57eqtrd 2776 . . . . 5 (((𝜑𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
5958ex 413 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋))
6033, 59sylbird 259 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → (𝑦 = (𝐴𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋))
6160imp 407 . 2 (((𝜑𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = (𝐴𝑋)) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
6244adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℕ)
6341adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℕ)
6462, 63, 48, 3metakunt1 40577 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
6564, 28ffvelcdmd 7036 . 2 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → (𝐴𝑋) ∈ (1...𝑀))
662, 61, 65, 28fvmptd 6955 1 ((𝜑𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘(𝐴𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  ...cfz 13424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425
This theorem is referenced by:  metakunt9  40585
  Copyright terms: Public domain W3C validator