Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt5 39352
 Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt5.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt5.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt5.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt5.4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt5.5 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt5.6 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
Assertion
Ref Expression
metakunt5 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐴𝑋)) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑦,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem metakunt5
StepHypRef Expression
1 metakunt5.5 . . 3 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
21a1i 11 . 2 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
3 fveq2 6645 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝐼 → (𝐴𝑋) = (𝐴𝐼))
43adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐴𝑋) = (𝐴𝐼))
5 metakunt5.4 . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
65a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
7 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
87iftrued 4433 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀)
9 1zzd 12001 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
10 metakunt5.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1110nnzd 12074 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
12 metakunt5.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
1312nnzd 12074 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
1412nnge1d 11673 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
15 metakunt5.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑀)
169, 11, 13, 14, 15elfzd 12893 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑀))
176, 8, 16, 10fvmptd 6752 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐼) = 𝑀)
1817adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐴𝐼) = 𝑀)
194, 18eqtrd 2833 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐴𝑋) = 𝑀)
2019eqeq2d 2809 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝑦 = (𝐴𝑋) ↔ 𝑦 = 𝑀))
21 iftrue 4431 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑀 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝐼)
22213ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 𝐼𝑦 = 𝑀) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝐼)
23 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 𝐼𝑦 = 𝑀) → 𝑋 = 𝐼)
2422, 23eqtr4d 2836 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐼𝑦 = 𝑀) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
25243expia 1118 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝑦 = 𝑀 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋))
2620, 25sylbid 243 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝑦 = (𝐴𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋))
2726imp 410 . 2 (((𝜑𝑋 = 𝐼) ∧ 𝑦 = (𝐴𝑋)) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
2810, 12, 15, 5metakunt1 39348 . . . 4 (𝜑𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
2928adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
30 metakunt5.6 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
3130adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
3229, 31ffvelrnd 6829 . 2 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐴𝑋) ∈ (1...𝑀))
332, 27, 32, 31fvmptd 6752 1 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐴𝑋)) = 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ifcif 4425   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℕcn 11625  ...cfz 12885 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886 This theorem is referenced by:  metakunt9  39356
 Copyright terms: Public domain W3C validator