Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt5 42191
Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt5.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt5.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt5.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt5.4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt5.5 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt5.6 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
Assertion
Ref Expression
metakunt5 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐴𝑋)) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑦,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem metakunt5
StepHypRef Expression
1 metakunt5.5 . . 3 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
21a1i 11 . 2 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
3 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝐼 → (𝐴𝑋) = (𝐴𝐼))
43adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐴𝑋) = (𝐴𝐼))
5 metakunt5.4 . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
65a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
7 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
87iftrued 4539 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀)
9 1zzd 12646 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
10 metakunt5.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1110nnzd 12638 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
12 metakunt5.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
1312nnzd 12638 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
1412nnge1d 12312 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
15 metakunt5.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑀)
169, 11, 13, 14, 15elfzd 13552 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑀))
176, 8, 16, 10fvmptd 7023 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐼) = 𝑀)
1817adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐴𝐼) = 𝑀)
194, 18eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐴𝑋) = 𝑀)
2019eqeq2d 2746 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝑦 = (𝐴𝑋) ↔ 𝑦 = 𝑀))
21 iftrue 4537 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑀 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝐼)
22213ad2ant3 1134 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 𝐼𝑦 = 𝑀) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝐼)
23 simp2 1136 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 𝐼𝑦 = 𝑀) → 𝑋 = 𝐼)
2422, 23eqtr4d 2778 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐼𝑦 = 𝑀) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
25243expia 1120 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝑦 = 𝑀 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋))
2620, 25sylbid 240 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝑦 = (𝐴𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋))
2726imp 406 . 2 (((𝜑𝑋 = 𝐼) ∧ 𝑦 = (𝐴𝑋)) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
2810, 12, 15, 5metakunt1 42187 . . . 4 (𝜑𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
2928adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
30 metakunt5.6 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
3130adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
3229, 31ffvelcdmd 7105 . 2 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐴𝑋) ∈ (1...𝑀))
332, 27, 32, 31fvmptd 7023 1 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐴𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  ifcif 4531   class class class wbr 5148  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  ...cfz 13544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545
This theorem is referenced by:  metakunt9  42195
  Copyright terms: Public domain W3C validator