Theorem metakunt5 40171

Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt5.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt5.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt5.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt5.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt5.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt5.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑦,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem metakunt5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt5.5	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
3		fveq2 6804	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝐼 → (𝐴‘𝑋) = (𝐴‘𝐼))
4	3	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐴‘𝑋) = (𝐴‘𝐼))
5		metakunt5.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
7		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
8	7	iftrued 4473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀)
9		1zzd 12397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
10		metakunt5.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
11	10	nnzd 12471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12		metakunt5.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
13	12	nnzd 12471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
14	12	nnge1d 12067	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
15		metakunt5.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
16	9, 11, 13, 14, 15	elfzd 13293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑀))
17	6, 8, 16, 10	fvmptd 6914	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐼) = 𝑀)
18	17	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐴‘𝐼) = 𝑀)
19	4, 18	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐴‘𝑋) = 𝑀)
20	19	eqeq2d 2747	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝑦 = (𝐴‘𝑋) ↔ 𝑦 = 𝑀))
21		iftrue 4471	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑀 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝐼)
22	21	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝑀) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝐼)
23		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝑀) → 𝑋 = 𝐼)
24	22, 23	eqtr4d 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝑀) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
25	24	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝑦 = 𝑀 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋))
26	20, 25	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝑦 = (𝐴‘𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋))
27	26	imp 408	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) ∧ 𝑦 = (𝐴‘𝑋)) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
28	10, 12, 15, 5	metakunt1 40167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
29	28	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
30		metakunt5.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
31	30	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
32	29, 31	ffvelcdmd 6994	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐴‘𝑋) ∈ (1...𝑀))
33	2, 27, 32, 31	fvmptd 6914	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ifcif 4465   class class class wbr 5081   ↦ cmpt 5164  ⟶wf 6454  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  1c1 10918   + caddc 10920   < clt 11055   ≤ cle 11056   − cmin 11251  ℕcn 12019  ...cfz 13285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-fz 13286

This theorem is referenced by:  metakunt9  40175