Theorem metakunt5 41717

Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt5.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt5.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt5.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt5.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt5.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt5.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑦,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem metakunt5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt5.5	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
3		fveq2 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝐼 → (𝐴‘𝑋) = (𝐴‘𝐼))
4	3	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐴‘𝑋) = (𝐴‘𝐼))
5		metakunt5.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
7		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
8	7	iftrued 4532	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀)
9		1zzd 12623	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
10		metakunt5.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
11	10	nnzd 12615	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12		metakunt5.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
13	12	nnzd 12615	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
14	12	nnge1d 12290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
15		metakunt5.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
16	9, 11, 13, 14, 15	elfzd 13524	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑀))
17	6, 8, 16, 10	fvmptd 7007	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐼) = 𝑀)
18	17	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐴‘𝐼) = 𝑀)
19	4, 18	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐴‘𝑋) = 𝑀)
20	19	eqeq2d 2736	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝑦 = (𝐴‘𝑋) ↔ 𝑦 = 𝑀))
21		iftrue 4530	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑀 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝐼)
22	21	3ad2ant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝑀) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝐼)
23		simp2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝑀) → 𝑋 = 𝐼)
24	22, 23	eqtr4d 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝑀) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
25	24	3expia 1118	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝑦 = 𝑀 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋))
26	20, 25	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝑦 = (𝐴‘𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋))
27	26	imp 405	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) ∧ 𝑦 = (𝐴‘𝑋)) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
28	10, 12, 15, 5	metakunt1 41713	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
29	28	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
30		metakunt5.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
31	30	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
32	29, 31	ffvelcdmd 7090	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐴‘𝑋) ∈ (1...𝑀))
33	2, 27, 32, 31	fvmptd 7007	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4524   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  1c1 11139   + caddc 11141   < clt 11278   ≤ cle 11279   − cmin 11474  ℕcn 12242  ...cfz 13516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517

This theorem is referenced by:  metakunt9  41721