Theorem metakunt5 40989

Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt5.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt5.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt5.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt5.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt5.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt5.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑦,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem metakunt5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt5.5	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
3		fveq2 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝐼 → (𝐴‘𝑋) = (𝐴‘𝐼))
4	3	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐴‘𝑋) = (𝐴‘𝐼))
5		metakunt5.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
7		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
8	7	iftrued 4537	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀)
9		1zzd 12593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
10		metakunt5.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
11	10	nnzd 12585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12		metakunt5.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
13	12	nnzd 12585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
14	12	nnge1d 12260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
15		metakunt5.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
16	9, 11, 13, 14, 15	elfzd 13492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑀))
17	6, 8, 16, 10	fvmptd 7006	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐼) = 𝑀)
18	17	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐴‘𝐼) = 𝑀)
19	4, 18	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐴‘𝑋) = 𝑀)
20	19	eqeq2d 2744	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝑦 = (𝐴‘𝑋) ↔ 𝑦 = 𝑀))
21		iftrue 4535	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑀 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝐼)
22	21	3ad2ant3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝑀) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝐼)
23		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝑀) → 𝑋 = 𝐼)
24	22, 23	eqtr4d 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝑀) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
25	24	3expia 1122	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝑦 = 𝑀 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋))
26	20, 25	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝑦 = (𝐴‘𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋))
27	26	imp 408	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) ∧ 𝑦 = (𝐴‘𝑋)) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
28	10, 12, 15, 5	metakunt1 40985	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
29	28	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
30		metakunt5.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
31	30	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
32	29, 31	ffvelcdmd 7088	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐴‘𝑋) ∈ (1...𝑀))
33	2, 27, 32, 31	fvmptd 7006	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   ≤ cle 11249   − cmin 11444  ℕcn 12212  ...cfz 13484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485

This theorem is referenced by:  metakunt9  40993