Theorem metakunt5 41916

Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt5.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt5.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt5.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt5.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt5.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt5.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑦,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem metakunt5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt5.5	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
3		fveq2 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝐼 → (𝐴‘𝑋) = (𝐴‘𝐼))
4	3	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐴‘𝑋) = (𝐴‘𝐼))
5		metakunt5.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
7		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
8	7	iftrued 4533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀)
9		1zzd 12638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
10		metakunt5.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
11	10	nnzd 12630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12		metakunt5.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
13	12	nnzd 12630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
14	12	nnge1d 12305	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
15		metakunt5.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
16	9, 11, 13, 14, 15	elfzd 13539	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑀))
17	6, 8, 16, 10	fvmptd 7007	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐼) = 𝑀)
18	17	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐴‘𝐼) = 𝑀)
19	4, 18	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐴‘𝑋) = 𝑀)
20	19	eqeq2d 2737	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝑦 = (𝐴‘𝑋) ↔ 𝑦 = 𝑀))
21		iftrue 4531	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑀 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝐼)
22	21	3ad2ant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝑀) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝐼)
23		simp2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝑀) → 𝑋 = 𝐼)
24	22, 23	eqtr4d 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝑀) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
25	24	3expia 1118	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝑦 = 𝑀 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋))
26	20, 25	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝑦 = (𝐴‘𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋))
27	26	imp 405	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) ∧ 𝑦 = (𝐴‘𝑋)) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
28	10, 12, 15, 5	metakunt1 41912	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
29	28	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
30		metakunt5.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
31	30	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
32	29, 31	ffvelcdmd 7090	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐴‘𝑋) ∈ (1...𝑀))
33	2, 27, 32, 31	fvmptd 7007	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ifcif 4525   class class class wbr 5145   ↦ cmpt 5228  ⟶wf 6541  ‘cfv 6545  (class class class)co 7415  1c1 11149   + caddc 11151   < clt 11288   ≤ cle 11289   − cmin 11484  ℕcn 12257  ...cfz 13531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3968  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4908  df-iun 4997  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8966  df-dom 8967  df-sdom 8968  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12258  df-n0 12518  df-z 12604  df-uz 12868  df-fz 13532

This theorem is referenced by:  metakunt9  41920