Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt5 42210
Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt5.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt5.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt5.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt5.4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt5.5 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt5.6 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
Assertion
Ref Expression
metakunt5 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐴𝑋)) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑦,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem metakunt5
StepHypRef Expression
1 metakunt5.5 . . 3 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
21a1i 11 . 2 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
3 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝐼 → (𝐴𝑋) = (𝐴𝐼))
43adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐴𝑋) = (𝐴𝐼))
5 metakunt5.4 . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
65a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
7 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
87iftrued 4533 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑀)
9 1zzd 12648 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
10 metakunt5.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1110nnzd 12640 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
12 metakunt5.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
1312nnzd 12640 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
1412nnge1d 12314 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
15 metakunt5.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑀)
169, 11, 13, 14, 15elfzd 13555 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑀))
176, 8, 16, 10fvmptd 7023 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐼) = 𝑀)
1817adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐴𝐼) = 𝑀)
194, 18eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐴𝑋) = 𝑀)
2019eqeq2d 2748 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝑦 = (𝐴𝑋) ↔ 𝑦 = 𝑀))
21 iftrue 4531 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑀 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝐼)
22213ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 𝐼𝑦 = 𝑀) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝐼)
23 simp2 1138 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 𝐼𝑦 = 𝑀) → 𝑋 = 𝐼)
2422, 23eqtr4d 2780 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝐼𝑦 = 𝑀) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
25243expia 1122 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝑦 = 𝑀 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋))
2620, 25sylbid 240 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝑦 = (𝐴𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋))
2726imp 406 . 2 (((𝜑𝑋 = 𝐼) ∧ 𝑦 = (𝐴𝑋)) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
2810, 12, 15, 5metakunt1 42206 . . . 4 (𝜑𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
2928adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
30 metakunt5.6 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
3130adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
3229, 31ffvelcdmd 7105 . 2 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐴𝑋) ∈ (1...𝑀))
332, 27, 32, 31fvmptd 7023 1 ((𝜑𝑋 = 𝐼) → (𝐶‘(𝐴𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  ...cfz 13547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548
This theorem is referenced by:  metakunt9  42214
  Copyright terms: Public domain W3C validator