Theorem metakunt8 41078

Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt8.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt8.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt8.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt8.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt8.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt8.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝑦,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metakunt8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt8.5	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
3		eqeq1 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐴‘𝑋) → (𝑦 = 𝑀 ↔ (𝐴‘𝑋) = 𝑀))
4		breq1 5151	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴‘𝑋) → (𝑦 < 𝐼 ↔ (𝐴‘𝑋) < 𝐼))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴‘𝑋) → 𝑦 = (𝐴‘𝑋))
6		oveq1 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴‘𝑋) → (𝑦 + 1) = ((𝐴‘𝑋) + 1))
7	4, 5, 6	ifbieq12d 4556	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐴‘𝑋) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1)))
8	3, 7	ifbieq2d 4554	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐴‘𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if((𝐴‘𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1))))
9	8	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑦 = (𝐴‘𝑋)) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if((𝐴‘𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1))))
10		metakunt8.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
11		metakunt8.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
12		metakunt8.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
13		metakunt8.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
14		metakunt8.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
15	10, 11, 12, 13, 1, 14	metakunt7 41077	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ((𝐴‘𝑋) = (𝑋 − 1) ∧ ¬ (𝐴‘𝑋) = 𝑀 ∧ ¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼))
16	15	simp2d 1143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ¬ (𝐴‘𝑋) = 𝑀)
17		iffalse 4537	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐴‘𝑋) = 𝑀 → if((𝐴‘𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1))) = if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1)))
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → if((𝐴‘𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1))) = if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1)))
19	15	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼)
20		iffalse 4537	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼 → if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1)) = ((𝐴‘𝑋) + 1))
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1)) = ((𝐴‘𝑋) + 1))
22	18, 21	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → if((𝐴‘𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1))) = ((𝐴‘𝑋) + 1))
23	15	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋 − 1))
24	23	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ((𝐴‘𝑋) + 1) = ((𝑋 − 1) + 1))
25		elfznn 13532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
26	14, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
27	26	nncnd 12230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
28		1cnd 11211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
29	27, 28	npcand 11577	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 1) + 1) = 𝑋)
30	29	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ((𝑋 − 1) + 1) = 𝑋)
31	24, 30	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ((𝐴‘𝑋) + 1) = 𝑋)
32	22, 31	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → if((𝐴‘𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1))) = 𝑋)
33	32	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑦 = (𝐴‘𝑋)) → if((𝐴‘𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1))) = 𝑋)
34	9, 33	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑦 = (𝐴‘𝑋)) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
35	10, 11, 12, 13	metakunt1 41071	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
36	35	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
37	14	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
38	36, 37	ffvelcdmd 7087	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐴‘𝑋) ∈ (1...𝑀))
39	2, 34, 38, 37	fvmptd 7005	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11250   ≤ cle 11251   − cmin 11446  ℕcn 12214  ...cfz 13486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487

This theorem is referenced by:  metakunt9  41079