Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt8 39373
 Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt8.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt8.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt8.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt8.4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt8.5 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt8.6 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
Assertion
Ref Expression
metakunt8 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝐶‘(𝐴𝑋)) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝑦,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metakunt8
StepHypRef Expression
1 metakunt8.5 . . 3 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
21a1i 11 . 2 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
3 eqeq1 2802 . . . . 5 (𝑦 = (𝐴𝑋) → (𝑦 = 𝑀 ↔ (𝐴𝑋) = 𝑀))
4 breq1 5033 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐴𝑋) → (𝑦 < 𝐼 ↔ (𝐴𝑋) < 𝐼))
5 id 22 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐴𝑋) → 𝑦 = (𝐴𝑋))
6 oveq1 7142 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐴𝑋) → (𝑦 + 1) = ((𝐴𝑋) + 1))
74, 5, 6ifbieq12d 4452 . . . . 5 (𝑦 = (𝐴𝑋) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = if((𝐴𝑋) < 𝐼, (𝐴𝑋), ((𝐴𝑋) + 1)))
83, 7ifbieq2d 4450 . . . 4 (𝑦 = (𝐴𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if((𝐴𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴𝑋) < 𝐼, (𝐴𝑋), ((𝐴𝑋) + 1))))
98adantl 485 . . 3 (((𝜑𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑦 = (𝐴𝑋)) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if((𝐴𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴𝑋) < 𝐼, (𝐴𝑋), ((𝐴𝑋) + 1))))
10 metakunt8.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
11 metakunt8.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
12 metakunt8.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑀)
13 metakunt8.4 . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
14 metakunt8.6 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
1510, 11, 12, 13, 1, 14metakunt7 39372 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → ((𝐴𝑋) = (𝑋 − 1) ∧ ¬ (𝐴𝑋) = 𝑀 ∧ ¬ (𝐴𝑋) < 𝐼))
1615simp2d 1140 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → ¬ (𝐴𝑋) = 𝑀)
17 iffalse 4434 . . . . . . 7 (¬ (𝐴𝑋) = 𝑀 → if((𝐴𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴𝑋) < 𝐼, (𝐴𝑋), ((𝐴𝑋) + 1))) = if((𝐴𝑋) < 𝐼, (𝐴𝑋), ((𝐴𝑋) + 1)))
1816, 17syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → if((𝐴𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴𝑋) < 𝐼, (𝐴𝑋), ((𝐴𝑋) + 1))) = if((𝐴𝑋) < 𝐼, (𝐴𝑋), ((𝐴𝑋) + 1)))
1915simp3d 1141 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → ¬ (𝐴𝑋) < 𝐼)
20 iffalse 4434 . . . . . . 7 (¬ (𝐴𝑋) < 𝐼 → if((𝐴𝑋) < 𝐼, (𝐴𝑋), ((𝐴𝑋) + 1)) = ((𝐴𝑋) + 1))
2119, 20syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → if((𝐴𝑋) < 𝐼, (𝐴𝑋), ((𝐴𝑋) + 1)) = ((𝐴𝑋) + 1))
2218, 21eqtrd 2833 . . . . 5 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → if((𝐴𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴𝑋) < 𝐼, (𝐴𝑋), ((𝐴𝑋) + 1))) = ((𝐴𝑋) + 1))
2315simp1d 1139 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝐴𝑋) = (𝑋 − 1))
2423oveq1d 7150 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → ((𝐴𝑋) + 1) = ((𝑋 − 1) + 1))
25 elfznn 12933 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
2614, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℕ)
2726nncnd 11643 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
28 1cnd 10627 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2927, 28npcand 10992 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 − 1) + 1) = 𝑋)
3029adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → ((𝑋 − 1) + 1) = 𝑋)
3124, 30eqtrd 2833 . . . . 5 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → ((𝐴𝑋) + 1) = 𝑋)
3222, 31eqtrd 2833 . . . 4 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → if((𝐴𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴𝑋) < 𝐼, (𝐴𝑋), ((𝐴𝑋) + 1))) = 𝑋)
3332adantr 484 . . 3 (((𝜑𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑦 = (𝐴𝑋)) → if((𝐴𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴𝑋) < 𝐼, (𝐴𝑋), ((𝐴𝑋) + 1))) = 𝑋)
349, 33eqtrd 2833 . 2 (((𝜑𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑦 = (𝐴𝑋)) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
3510, 11, 12, 13metakunt1 39366 . . . 4 (𝜑𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
3635adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
3714adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
3836, 37ffvelrnd 6829 . 2 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝐴𝑋) ∈ (1...𝑀))
392, 34, 38, 37fvmptd 6752 1 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝐶‘(𝐴𝑋)) = 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ifcif 4425   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  1c1 10529   + caddc 10531   < clt 10666   ≤ cle 10667   − cmin 10861  ℕcn 11627  ...cfz 12887 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-fz 12888 This theorem is referenced by:  metakunt9  39374
 Copyright terms: Public domain W3C validator