Theorem metakunt8 42213

Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt8.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt8.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt8.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt8.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt8.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt8.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝑦,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metakunt8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt8.5	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
3		eqeq1 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐴‘𝑋) → (𝑦 = 𝑀 ↔ (𝐴‘𝑋) = 𝑀))
4		breq1 5146	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴‘𝑋) → (𝑦 < 𝐼 ↔ (𝐴‘𝑋) < 𝐼))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴‘𝑋) → 𝑦 = (𝐴‘𝑋))
6		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴‘𝑋) → (𝑦 + 1) = ((𝐴‘𝑋) + 1))
7	4, 5, 6	ifbieq12d 4554	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐴‘𝑋) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1)))
8	3, 7	ifbieq2d 4552	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐴‘𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if((𝐴‘𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1))))
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑦 = (𝐴‘𝑋)) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if((𝐴‘𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1))))
10		metakunt8.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
11		metakunt8.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
12		metakunt8.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
13		metakunt8.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
14		metakunt8.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
15	10, 11, 12, 13, 1, 14	metakunt7 42212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ((𝐴‘𝑋) = (𝑋 − 1) ∧ ¬ (𝐴‘𝑋) = 𝑀 ∧ ¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼))
16	15	simp2d 1144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ¬ (𝐴‘𝑋) = 𝑀)
17		iffalse 4534	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐴‘𝑋) = 𝑀 → if((𝐴‘𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1))) = if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1)))
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → if((𝐴‘𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1))) = if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1)))
19	15	simp3d 1145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼)
20		iffalse 4534	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼 → if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1)) = ((𝐴‘𝑋) + 1))
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1)) = ((𝐴‘𝑋) + 1))
22	18, 21	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → if((𝐴‘𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1))) = ((𝐴‘𝑋) + 1))
23	15	simp1d 1143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋 − 1))
24	23	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ((𝐴‘𝑋) + 1) = ((𝑋 − 1) + 1))
25		elfznn 13593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
26	14, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
27	26	nncnd 12282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
28		1cnd 11256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
29	27, 28	npcand 11624	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 1) + 1) = 𝑋)
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ((𝑋 − 1) + 1) = 𝑋)
31	24, 30	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ((𝐴‘𝑋) + 1) = 𝑋)
32	22, 31	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → if((𝐴‘𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1))) = 𝑋)
33	32	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑦 = (𝐴‘𝑋)) → if((𝐴‘𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1))) = 𝑋)
34	9, 33	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑦 = (𝐴‘𝑋)) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
35	10, 11, 12, 13	metakunt1 42206	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
36	35	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
37	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
38	36, 37	ffvelcdmd 7105	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐴‘𝑋) ∈ (1...𝑀))
39	2, 34, 38, 37	fvmptd 7023	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4525   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕcn 12266  ...cfz 13547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548

This theorem is referenced by:  metakunt9  42214