Theorem metakunt8 40992

Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt8.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt8.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt8.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt8.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt8.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt8.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝑦,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metakunt8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt8.5	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
3		eqeq1 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐴‘𝑋) → (𝑦 = 𝑀 ↔ (𝐴‘𝑋) = 𝑀))
4		breq1 5152	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴‘𝑋) → (𝑦 < 𝐼 ↔ (𝐴‘𝑋) < 𝐼))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴‘𝑋) → 𝑦 = (𝐴‘𝑋))
6		oveq1 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴‘𝑋) → (𝑦 + 1) = ((𝐴‘𝑋) + 1))
7	4, 5, 6	ifbieq12d 4557	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐴‘𝑋) → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1)))
8	3, 7	ifbieq2d 4555	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐴‘𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if((𝐴‘𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1))))
9	8	adantl 483	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑦 = (𝐴‘𝑋)) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if((𝐴‘𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1))))
10		metakunt8.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
11		metakunt8.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
12		metakunt8.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
13		metakunt8.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
14		metakunt8.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
15	10, 11, 12, 13, 1, 14	metakunt7 40991	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ((𝐴‘𝑋) = (𝑋 − 1) ∧ ¬ (𝐴‘𝑋) = 𝑀 ∧ ¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼))
16	15	simp2d 1144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ¬ (𝐴‘𝑋) = 𝑀)
17		iffalse 4538	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐴‘𝑋) = 𝑀 → if((𝐴‘𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1))) = if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1)))
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → if((𝐴‘𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1))) = if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1)))
19	15	simp3d 1145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼)
20		iffalse 4538	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼 → if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1)) = ((𝐴‘𝑋) + 1))
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1)) = ((𝐴‘𝑋) + 1))
22	18, 21	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → if((𝐴‘𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1))) = ((𝐴‘𝑋) + 1))
23	15	simp1d 1143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋 − 1))
24	23	oveq1d 7424	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ((𝐴‘𝑋) + 1) = ((𝑋 − 1) + 1))
25		elfznn 13530	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
26	14, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
27	26	nncnd 12228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
28		1cnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
29	27, 28	npcand 11575	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 1) + 1) = 𝑋)
30	29	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ((𝑋 − 1) + 1) = 𝑋)
31	24, 30	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ((𝐴‘𝑋) + 1) = 𝑋)
32	22, 31	eqtrd 2773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → if((𝐴‘𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1))) = 𝑋)
33	32	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑦 = (𝐴‘𝑋)) → if((𝐴‘𝑋) = 𝑀, 𝐼, if((𝐴‘𝑋) < 𝐼, (𝐴‘𝑋), ((𝐴‘𝑋) + 1))) = 𝑋)
34	9, 33	eqtrd 2773	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑦 = (𝐴‘𝑋)) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
35	10, 11, 12, 13	metakunt1 40985	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
36	35	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
37	14	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
38	36, 37	ffvelcdmd 7088	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐴‘𝑋) ∈ (1...𝑀))
39	2, 34, 38, 37	fvmptd 7006	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐶‘(𝐴‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   ≤ cle 11249   − cmin 11444  ℕcn 12212  ...cfz 13484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485

This theorem is referenced by:  metakunt9  40993