MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1mulr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1mulr 20390
Description: Value of multiplication in a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1plusg.y 𝑌 = (Poly1𝑅)
ply1plusg.s 𝑆 = (1o mPoly 𝑅)
ply1mulr.n · = (.r𝑌)
Assertion
Ref Expression
ply1mulr · = (.r𝑆)

Proof of Theorem ply1mulr
StepHypRef Expression
1 ply1mulr.n . 2 · = (.r𝑌)
2 ply1plusg.s . . . 4 𝑆 = (1o mPoly 𝑅)
3 eqid 2824 . . . 4 (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
4 eqid 2824 . . . 4 (.r𝑆) = (.r𝑆)
52, 3, 4mplmulr 20384 . . 3 (.r𝑆) = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
6 eqid 2824 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
7 eqid 2824 . . . 4 (.r‘(PwSer1𝑅)) = (.r‘(PwSer1𝑅))
86, 3, 7psr1mulr 20387 . . 3 (.r‘(PwSer1𝑅)) = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
9 fvex 6672 . . . 4 (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
10 ply1plusg.y . . . . . 6 𝑌 = (Poly1𝑅)
1110, 6ply1val 20357 . . . . 5 𝑌 = ((PwSer1𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
1211, 7ressmulr 16623 . . . 4 ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (.r‘(PwSer1𝑅)) = (.r𝑌))
139, 12ax-mp 5 . . 3 (.r‘(PwSer1𝑅)) = (.r𝑌)
145, 8, 133eqtr2i 2853 . 2 (.r𝑆) = (.r𝑌)
151, 14eqtr4i 2850 1 · = (.r𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  cfv 6344  (class class class)co 7146  1oc1o 8087  Basecbs 16481  .rcmulr 16564   mPwSer cmps 20126   mPoly cmpl 20128  PwSer1cps1 20338  Poly1cpl1 20340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-dec 12094  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-mulr 16577  df-ple 16583  df-psr 20131  df-mpl 20133  df-opsr 20135  df-psr1 20343  df-ply1 20345
This theorem is referenced by:  ressply1mul  20394  subrgply1  20396  ply1opprmul  20402  ply1mpl1  20420  coe1mul  20433  coe1tm  20436  ply1coe  20459  evls1rhm  20480  evl1rhm  20490  deg1mulle2  24708  ply1ass23l  44655
  Copyright terms: Public domain W3C validator