Theorem ply1mulr 22157

Description: Value of multiplication in a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1plusg.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
ply1plusg.s	⊢ 𝑆 = (1o mPoly 𝑅)
ply1mulr.n	⊢ · = (.r‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
ply1mulr	⊢ · = (.r‘𝑆)

Proof of Theorem ply1mulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1mulr.n	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑌)
2		ply1plusg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (1o mPoly 𝑅)
3		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
4		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
5	2, 3, 4	mplmulr 21954	. . 3 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
6		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
7		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (.r‘(PwSer1‘𝑅)) = (.r‘(PwSer1‘𝑅))
8	6, 3, 7	psr1mulr 22154	. . 3 ⊢ (.r‘(PwSer1‘𝑅)) = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
9		fvex 6844	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
10		ply1plusg.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
11	10, 6	ply1val 22125	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
12	11, 7	ressmulr 17218	. . . 4 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (.r‘(PwSer1‘𝑅)) = (.r‘𝑌))
13	9, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (.r‘(PwSer1‘𝑅)) = (.r‘𝑌)
14	5, 8, 13	3eqtr2i 2762	. 2 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑌)
15	1, 14	eqtr4i 2759	1 ⊢ · = (.r‘𝑆)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  1_oc1o 8387  Basecbs 17127  ._rcmulr 17169   mPwSer cmps 21851   mPoly cmpl 21853  PwSer₁cps1 22106  Poly₁cpl1 22108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-dec 12599  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-mulr 17182  df-ple 17188  df-psr 21856  df-mpl 21858  df-opsr 21860  df-psr1 22111  df-ply1 22113

This theorem is referenced by:  ply1ass23l  22158  ressply1mul  22162  subrgply1  22164  ply1opprmul  22170  ply1mpl1  22190  coe1mul  22203  coe1tm  22206  ply1coe  22233  evls1rhm  22257  evl1rhm  22267  rhmply1  22321  deg1mulle2  26061