MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1mulr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1mulr 22099
Description: Value of multiplication in a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1plusg.y ๐‘Œ = (Poly1โ€˜๐‘…)
ply1plusg.s ๐‘† = (1o mPoly ๐‘…)
ply1mulr.n ยท = (.rโ€˜๐‘Œ)
Assertion
Ref Expression
ply1mulr ยท = (.rโ€˜๐‘†)

Proof of Theorem ply1mulr
StepHypRef Expression
1 ply1mulr.n . 2 ยท = (.rโ€˜๐‘Œ)
2 ply1plusg.s . . . 4 ๐‘† = (1o mPoly ๐‘…)
3 eqid 2726 . . . 4 (1o mPwSer ๐‘…) = (1o mPwSer ๐‘…)
4 eqid 2726 . . . 4 (.rโ€˜๐‘†) = (.rโ€˜๐‘†)
52, 3, 4mplmulr 21909 . . 3 (.rโ€˜๐‘†) = (.rโ€˜(1o mPwSer ๐‘…))
6 eqid 2726 . . . 4 (PwSer1โ€˜๐‘…) = (PwSer1โ€˜๐‘…)
7 eqid 2726 . . . 4 (.rโ€˜(PwSer1โ€˜๐‘…)) = (.rโ€˜(PwSer1โ€˜๐‘…))
86, 3, 7psr1mulr 22096 . . 3 (.rโ€˜(PwSer1โ€˜๐‘…)) = (.rโ€˜(1o mPwSer ๐‘…))
9 fvex 6898 . . . 4 (Baseโ€˜(1o mPoly ๐‘…)) โˆˆ V
10 ply1plusg.y . . . . . 6 ๐‘Œ = (Poly1โ€˜๐‘…)
1110, 6ply1val 22068 . . . . 5 ๐‘Œ = ((PwSer1โ€˜๐‘…) โ†พs (Baseโ€˜(1o mPoly ๐‘…)))
1211, 7ressmulr 17261 . . . 4 ((Baseโ€˜(1o mPoly ๐‘…)) โˆˆ V โ†’ (.rโ€˜(PwSer1โ€˜๐‘…)) = (.rโ€˜๐‘Œ))
139, 12ax-mp 5 . . 3 (.rโ€˜(PwSer1โ€˜๐‘…)) = (.rโ€˜๐‘Œ)
145, 8, 133eqtr2i 2760 . 2 (.rโ€˜๐‘†) = (.rโ€˜๐‘Œ)
151, 14eqtr4i 2757 1 ยท = (.rโ€˜๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1oc1o 8460  Basecbs 17153  .rcmulr 17207   mPwSer cmps 21798   mPoly cmpl 21800  PwSer1cps1 22049  Poly1cpl1 22051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-dec 12682  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-mulr 17220  df-ple 17226  df-psr 21803  df-mpl 21805  df-opsr 21807  df-psr1 22054  df-ply1 22056
This theorem is referenced by:  ply1ass23l  22100  ressply1mul  22104  subrgply1  22106  ply1opprmul  22112  ply1mpl1  22131  coe1mul  22144  coe1tm  22147  ply1coe  22172  evls1rhm  22196  evl1rhm  22206  deg1mulle2  26000
  Copyright terms: Public domain W3C validator