Theorem ply1mulr 22133

Description: Value of multiplication in a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1plusg.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
ply1plusg.s	⊢ 𝑆 = (1o mPoly 𝑅)
ply1mulr.n	⊢ · = (.r‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
ply1mulr	⊢ · = (.r‘𝑆)

Proof of Theorem ply1mulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1mulr.n	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑌)
2		ply1plusg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (1o mPoly 𝑅)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
5	2, 3, 4	mplmulr 21940	. . 3 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
6		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
7		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (.r‘(PwSer1‘𝑅)) = (.r‘(PwSer1‘𝑅))
8	6, 3, 7	psr1mulr 22130	. . 3 ⊢ (.r‘(PwSer1‘𝑅)) = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
9		fvex 6830	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
10		ply1plusg.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
11	10, 6	ply1val 22101	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
12	11, 7	ressmulr 17206	. . . 4 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (.r‘(PwSer1‘𝑅)) = (.r‘𝑌))
13	9, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (.r‘(PwSer1‘𝑅)) = (.r‘𝑌)
14	5, 8, 13	3eqtr2i 2760	. 2 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑌)
15	1, 14	eqtr4i 2757	1 ⊢ · = (.r‘𝑆)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  1_oc1o 8373  Basecbs 17115  ._rcmulr 17157   mPwSer cmps 21836   mPoly cmpl 21838  PwSer₁cps1 22082  Poly₁cpl1 22084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-dec 12584  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-mulr 17170  df-ple 17176  df-psr 21841  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-psr1 22087  df-ply1 22089

This theorem is referenced by:  ply1ass23l  22134  ressply1mul  22138  subrgply1  22140  ply1opprmul  22146  ply1mpl1  22166  coe1mul  22179  coe1tm  22182  ply1coe  22208  evls1rhm  22232  evl1rhm  22242  rhmply1  22296  deg1mulle2  26036