Theorem ply1mulr 20397

Description: Value of multiplication in a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1plusg.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
ply1plusg.s	⊢ 𝑆 = (1o mPoly 𝑅)
ply1mulr.n	⊢ · = (.r‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
ply1mulr	⊢ · = (.r‘𝑆)

Proof of Theorem ply1mulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1mulr.n	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑌)
2		ply1plusg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (1o mPoly 𝑅)
3		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
4		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
5	2, 3, 4	mplmulr 20391	. . 3 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
6		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
7		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (.r‘(PwSer1‘𝑅)) = (.r‘(PwSer1‘𝑅))
8	6, 3, 7	psr1mulr 20394	. . 3 ⊢ (.r‘(PwSer1‘𝑅)) = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
9		fvex 6685	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
10		ply1plusg.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
11	10, 6	ply1val 20364	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
12	11, 7	ressmulr 16627	. . . 4 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (.r‘(PwSer1‘𝑅)) = (.r‘𝑌))
13	9, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (.r‘(PwSer1‘𝑅)) = (.r‘𝑌)
14	5, 8, 13	3eqtr2i 2852	. 2 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑌)
15	1, 14	eqtr4i 2849	1 ⊢ · = (.r‘𝑆)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  1_oc1o 8097  Basecbs 16485  ._rcmulr 16568   mPwSer cmps 20133   mPoly cmpl 20135  PwSer₁cps1 20345  Poly₁cpl1 20347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-dec 12102  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-mulr 16581  df-ple 16587  df-psr 20138  df-mpl 20140  df-opsr 20142  df-psr1 20350  df-ply1 20352

This theorem is referenced by:  ressply1mul  20401  subrgply1  20403  ply1opprmul  20409  ply1mpl1  20427  coe1mul  20440  coe1tm  20443  ply1coe  20466  evls1rhm  20487  evl1rhm  20497  deg1mulle2  24705  ply1ass23l  44443