Theorem ply1mulr 22243

Description: Value of multiplication in a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1plusg.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
ply1plusg.s	⊢ 𝑆 = (1o mPoly 𝑅)
ply1mulr.n	⊢ · = (.r‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
ply1mulr	⊢ · = (.r‘𝑆)

Proof of Theorem ply1mulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1mulr.n	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑌)
2		ply1plusg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (1o mPoly 𝑅)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
4		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
5	2, 3, 4	mplmulr 22046	. . 3 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
6		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
7		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (.r‘(PwSer1‘𝑅)) = (.r‘(PwSer1‘𝑅))
8	6, 3, 7	psr1mulr 22240	. . 3 ⊢ (.r‘(PwSer1‘𝑅)) = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
9		fvex 6920	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
10		ply1plusg.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
11	10, 6	ply1val 22211	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
12	11, 7	ressmulr 17353	. . . 4 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (.r‘(PwSer1‘𝑅)) = (.r‘𝑌))
13	9, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (.r‘(PwSer1‘𝑅)) = (.r‘𝑌)
14	5, 8, 13	3eqtr2i 2769	. 2 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑌)
15	1, 14	eqtr4i 2766	1 ⊢ · = (.r‘𝑆)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  1_oc1o 8498  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299   mPwSer cmps 21942   mPoly cmpl 21944  PwSer₁cps1 22192  Poly₁cpl1 22194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-dec 12732  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-mulr 17312  df-ple 17318  df-psr 21947  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-psr1 22197  df-ply1 22199

This theorem is referenced by:  ply1ass23l  22244  ressply1mul  22248  subrgply1  22250  ply1opprmul  22256  ply1mpl1  22276  coe1mul  22289  coe1tm  22292  ply1coe  22318  evls1rhm  22342  evl1rhm  22352  rhmply1  22406  deg1mulle2  26163