Theorem gsummoncoe1fzo 34129

Description: A coefficient of the polynomial represented as a sum of scaled monomials is the coefficient of the corresponding scaled monomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummoncoe1fzo.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
gsummoncoe1fzo.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
gsummoncoe1fzo.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
gsummoncoe1fzo.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
gsummoncoe1fzo.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummoncoe1fzo.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
gsummoncoe1fzo.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
gsummoncoe1fzo.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsummoncoe1fzo.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝐴 ∈ 𝐾)
gsummoncoe1fzo.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0..^𝑁))
gsummoncoe1fzo.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummoncoe1fzo.2	⊢ (𝑘 = 𝐿 → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
gsummoncoe1fzo	⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐶)

Distinct variable groups:   ∗ ,𝑘   0 ,𝑘   ↑ ,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsummoncoe1fzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummoncoe1fzo.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
3		gsummoncoe1fzo.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		gsummoncoe1fzo.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1ring 22565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6	3, 5	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
7	6	ringcmnd 20513	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CMnd)
8		nn0ex 12612	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
10		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁)))
11	10	eldifbd 3912	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
12	11	iffalsed 4493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = 0 )
13	12	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = ( 0 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
14	3	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
15	10	eldifad 3911	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
17	16, 1	mgpbas 20365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
18		gsummoncoe1fzo.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
19	16	ringmgp 20465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
20	6, 19	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
21	20	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
22		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
23		gsummoncoe1fzo.x	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
24	23, 4, 1	vr1cl 22535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
25	3, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
26	25	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
27	17, 18, 21, 22, 26	mulgnn0cld 19305	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
28	15, 27	syldan 603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
29		gsummoncoe1fzo.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
30		gsummoncoe1fzo.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
31	4, 1, 29, 30	ply10s0 22575	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
32	14, 28, 31	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → ( 0 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
33	13, 32	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
34		fzofi 14117	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
35	34	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
36	4	ply1lmod 22569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
37	3, 36	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
38	37	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
39		gsummoncoe1fzo.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝐴 ∈ 𝐾)
40	39	r19.21bi 3255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝐾)
41	40	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝐾)
42		gsummoncoe1fzo.k	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
43	42, 30	ring0cl 20496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
44	3, 43	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
45	44	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ 𝐾)
46	41, 45	ifclda 4518	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ 𝐾)
47	4	ply1sca 22570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
48	3, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
49	48	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
50	42, 49	eqtrid 2808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
51	50	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
52	46, 51	eleqtrd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
53		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
54		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
55	1, 53, 29, 54	lmodvscl 21153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
56	38, 52, 27, 55	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
57		fzo0ssnn0 13881	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ ℕ0
58	57	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ ℕ0)
59	1, 2, 7, 9, 33, 35, 56, 58	gsummptres2 33614	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
60		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
61	60	iftrued 4490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = 𝐴)
62	61	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
63	62	mpteq2dva 5198	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))
64	63	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
65	59, 64	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
66	65	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
67	66	fveq1d 6887	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿))
68	46	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ 𝐾)
69		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 )) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ))
70	69, 9, 35, 40, 44	mptiffisupp 33286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 )) finSupp 0 )
71		gsummoncoe1fzo.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0..^𝑁))
72	57, 71	sselid 3929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
73	4, 1, 23, 18, 3, 42, 29, 30, 68, 70, 72	gsummoncoe1 22626	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = ⦋𝐿 / 𝑘⦌if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ))
74	67, 73	eqtr3d 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = ⦋𝐿 / 𝑘⦌if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ))
75		eleq1 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐿 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝐿 ∈ (0..^𝑁)))
76		gsummoncoe1fzo.2	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐿 → 𝐴 = 𝐶)
77	75, 76	ifbieq1d 4507	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐿 → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐶, 0 ))
78	77	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐿) → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐶, 0 ))
79	71, 78	csbied 3883	. 2 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐿 / 𝑘⦌if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐶, 0 ))
80	71	iftrued 4490	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐶, 0 ) = 𝐶)
81	74, 79, 80	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451  ⦋csb 3847   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ifcif 4482   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  0cc0 11200  ℕ₀cn0 12606  ..^cfzo 13788  Basecbs 17387  Scalarcsca 17431   ·_𝑠 cvsca 17432  0_gc0g 17610   Σ_g cgsu 17611  Mndcmnd 18923  ._gcmg 19277  mulGrpcmgp 20360  Ringcrg 20459  LModclmod 21135  var₁cv1 22494  Poly₁cpl1 22495  coe₁cco1 22496

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-psr 22217  df-mvr 22218  df-mpl 22219  df-opsr 22221  df-psr1 22498  df-vr1 22499  df-ply1 22500  df-coe1 22501

This theorem is used by:  gsummoncoe1fz  34130  ply1gsumz  34131