Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsummoncoe1fzo Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem gsummoncoe1fzo 32656
Description: A coefficient of the polynomial represented as a sum of scaled monomials is the coefficient of the corresponding scaled monomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummoncoe1fzo.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
gsummoncoe1fzo.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
gsummoncoe1fzo.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
gsummoncoe1fzo.e ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
gsummoncoe1fzo.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
gsummoncoe1fzo.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
gsummoncoe1fzo.m βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
gsummoncoe1fzo.1 0 = (0gβ€˜π‘…)
gsummoncoe1fzo.a (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝐴 ∈ 𝐾)
gsummoncoe1fzo.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (0..^𝑁))
gsummoncoe1fzo.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
gsummoncoe1fzo.2 (π‘˜ = 𝐿 β†’ 𝐴 = 𝐢)
Assertion
Ref Expression
gsummoncoe1fzo (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))β€˜πΏ) = 𝐢)
Distinct variable groups:   βˆ— ,π‘˜   0 ,π‘˜   ↑ ,π‘˜   𝐡,π‘˜   𝐢,π‘˜   π‘˜,𝐾   π‘˜,𝐿   π‘˜,𝑁   𝑃,π‘˜   𝑅,π‘˜   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝑋(π‘˜)
Proof of Theorem gsummoncoe1fzo
StepHypRef Expression
1 gsummoncoe1fzo.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
2 eqid 2732 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
3 gsummoncoe1fzo.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 gsummoncoe1fzo.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
54ply1ring 21761 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
63, 5syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
76ringcmnd 20094 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
8 nn0ex 12474 . . . . . . . 8 β„•0 ∈ V
98a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„•0 ∈ V)
10 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁))) β†’ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁)))
1110eldifbd 3960 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁))) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (0..^𝑁))
1211iffalsed 4538 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁))) β†’ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = 0 )
1312oveq1d 7420 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁))) β†’ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = ( 0 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))
143adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1510eldifad 3959 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
16 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrpβ€˜π‘ƒ) = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
1716, 1mgpbas 19987 . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
18 gsummoncoe1fzo.e . . . . . . . . . . 11 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
1916ringmgp 20055 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
206, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
2120adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
22 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
23 gsummoncoe1fzo.x . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
2423, 4, 1vr1cl 21732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
253, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2625adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2717, 18, 21, 22, 26mulgnn0cld 18969 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ 𝐡)
2815, 27syldan 591 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁))) β†’ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ 𝐡)
29 gsummoncoe1fzo.m . . . . . . . . . 10 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
30 gsummoncoe1fzo.1 . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘…)
314, 1, 29, 30ply10s0 21769 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ ( 0 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
3214, 28, 31syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁))) β†’ ( 0 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
3313, 32eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁))) β†’ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
34 fzofi 13935 . . . . . . . 8 (0..^𝑁) ∈ Fin
3534a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0..^𝑁) ∈ Fin)
364ply1lmod 21765 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
373, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
3837adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
39 gsummoncoe1fzo.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝐴 ∈ 𝐾)
4039r19.21bi 3248 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
4140adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
42 gsummoncoe1fzo.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
4342, 30ring0cl 20077 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 ∈ 𝐾)
443, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐾)
4544ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 0 ∈ 𝐾)
4641, 45ifclda 4562 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ 𝐾)
474ply1sca 21766 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
483, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
4948fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
5042, 49eqtrid 2784 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
5150adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
5246, 51eleqtrd 2835 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
53 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
54 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
551, 53, 29, 54lmodvscl 20481 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ LMod ∧ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) ∈ 𝐡)
5638, 52, 27, 55syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) ∈ 𝐡)
57 fzo0ssnn0 13709 . . . . . . . 8 (0..^𝑁) βŠ† β„•0
5857a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0..^𝑁) βŠ† β„•0)
591, 2, 7, 9, 33, 35, 56, 58gsummptres2 32192 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))
60 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (0..^𝑁))
6160iftrued 4535 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = 𝐴)
6261oveq1d 7420 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))
6362mpteq2dva 5247 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))) = (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))))
6463oveq2d 7421 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))
6559, 64eqtrd 2772 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))
6665fveq2d 6892 . . . 4 (πœ‘ β†’ (coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))))) = (coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))))))
6766fveq1d 6890 . . 3 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))β€˜πΏ) = ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))β€˜πΏ))
6846ralrimiva 3146 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ 𝐾)
69 eqid 2732 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 )) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ))
7069, 9, 35, 40, 44mptiffisupp 31902 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 )) finSupp 0 )
71 gsummoncoe1fzo.l . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (0..^𝑁))
7257, 71sselid 3979 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„•0)
734, 1, 23, 18, 3, 42, 29, 30, 68, 70, 72gsummoncoe1 21819 . . 3 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))β€˜πΏ) = ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œif(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ))
7467, 73eqtr3d 2774 . 2 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))β€˜πΏ) = ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œif(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ))
75 eleq1 2821 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐿 β†’ (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝐿 ∈ (0..^𝑁)))
76 gsummoncoe1fzo.2 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐿 β†’ 𝐴 = 𝐢)
7775, 76ifbieq1d 4551 . . . 4 (π‘˜ = 𝐿 β†’ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐢, 0 ))
7877adantl 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 𝐿) β†’ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐢, 0 ))
7971, 78csbied 3930 . 2 (πœ‘ β†’ ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œif(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐢, 0 ))
8071iftrued 4535 . 2 (πœ‘ β†’ if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐢, 0 ) = 𝐢)
8174, 79, 803eqtrd 2776 1 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))β€˜πΏ) = 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474  β¦‹csb 3892   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  ifcif 4527   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  0cc0 11106  β„•0cn0 12468  ..^cfzo 13623  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381   Ξ£g cgsu 17382  Mndcmnd 18621  .gcmg 18944  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049  LModclmod 20463  var1cv1 21691  Poly1cpl1 21692  coe1cco1 21693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-coe1 21698
This theorem is referenced by:  ply1gsumz  32657
  Copyright terms: Public domain W3C validator