Theorem gsummoncoe1fzo 34008

Description: A coefficient of the polynomial represented as a sum of scaled monomials is the coefficient of the corresponding scaled monomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummoncoe1fzo.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
gsummoncoe1fzo.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
gsummoncoe1fzo.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
gsummoncoe1fzo.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
gsummoncoe1fzo.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummoncoe1fzo.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
gsummoncoe1fzo.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
gsummoncoe1fzo.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsummoncoe1fzo.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝐴 ∈ 𝐾)
gsummoncoe1fzo.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0..^𝑁))
gsummoncoe1fzo.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummoncoe1fzo.2	⊢ (𝑘 = 𝐿 → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
gsummoncoe1fzo	⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐶)

Distinct variable groups:   ∗ ,𝑘   0 ,𝑘   ↑ ,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsummoncoe1fzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummoncoe1fzo.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
3		gsummoncoe1fzo.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		gsummoncoe1fzo.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1ring 22473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6	3, 5	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
7	6	ringcmnd 20426	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CMnd)
8		nn0ex 12535	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
10		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁)))
11	10	eldifbd 3912	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
12	11	iffalsed 4493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = 0 )
13	12	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = ( 0 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
14	3	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
15	10	eldifad 3911	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
17	16, 1	mgpbas 20279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
18		gsummoncoe1fzo.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
19	16	ringmgp 20379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
20	6, 19	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
21	20	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
22		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
23		gsummoncoe1fzo.x	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
24	23, 4, 1	vr1cl 22443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
25	3, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
26	25	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
27	17, 18, 21, 22, 26	mulgnn0cld 19219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
28	15, 27	syldan 603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
29		gsummoncoe1fzo.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
30		gsummoncoe1fzo.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
31	4, 1, 29, 30	ply10s0 22483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
32	14, 28, 31	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → ( 0 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
33	13, 32	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
34		fzofi 14039	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
35	34	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
36	4	ply1lmod 22477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
37	3, 36	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
38	37	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
39		gsummoncoe1fzo.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝐴 ∈ 𝐾)
40	39	r19.21bi 3254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝐾)
41	40	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝐾)
42		gsummoncoe1fzo.k	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
43	42, 30	ring0cl 20409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
44	3, 43	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
45	44	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ 𝐾)
46	41, 45	ifclda 4518	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ 𝐾)
47	4	ply1sca 22478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
48	3, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
49	48	fveq2d 6883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
50	42, 49	eqtrid 2807	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
51	50	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
52	46, 51	eleqtrd 2862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
53		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
54		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
55	1, 53, 29, 54	lmodvscl 21063	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
56	38, 52, 27, 55	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
57		fzo0ssnn0 13803	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ ℕ0
58	57	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ ℕ0)
59	1, 2, 7, 9, 33, 35, 56, 58	gsummptres2 33494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
60		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
61	60	iftrued 4490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = 𝐴)
62	61	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
63	62	mpteq2dva 5198	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))
64	63	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
65	59, 64	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
66	65	fveq2d 6883	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
67	66	fveq1d 6881	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿))
68	46	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ 𝐾)
69		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 )) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ))
70	69, 9, 35, 40, 44	mptiffisupp 33166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 )) finSupp 0 )
71		gsummoncoe1fzo.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0..^𝑁))
72	57, 71	sselid 3929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
73	4, 1, 23, 18, 3, 42, 29, 30, 68, 70, 72	gsummoncoe1 22534	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = ⦋𝐿 / 𝑘⦌if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ))
74	67, 73	eqtr3d 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = ⦋𝐿 / 𝑘⦌if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ))
75		eleq1 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐿 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝐿 ∈ (0..^𝑁)))
76		gsummoncoe1fzo.2	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐿 → 𝐴 = 𝐶)
77	75, 76	ifbieq1d 4507	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐿 → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐶, 0 ))
78	77	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐿) → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐶, 0 ))
79	71, 78	csbied 3883	. 2 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐿 / 𝑘⦌if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐶, 0 ))
80	71	iftrued 4490	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐶, 0 ) = 𝐶)
81	74, 79, 80	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450  ⦋csb 3847   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ifcif 4482   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  0cc0 11125  ℕ₀cn0 12529  ..^cfzo 13710  Basecbs 17302  Scalarcsca 17346   ·_𝑠 cvsca 17347  0_gc0g 17525   Σ_g cgsu 17526  Mndcmnd 18837  ._gcmg 19191  mulGrpcmgp 20274  Ringcrg 20373  LModclmod 21045  var₁cv1 22402  Poly₁cpl1 22403  coe₁cco1 22404

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-sup 9413  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-hash 14396  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-hom 17367  df-cco 17368  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-prds 17533  df-pws 17535  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-psr 22125  df-mvr 22126  df-mpl 22127  df-opsr 22129  df-psr1 22406  df-vr1 22407  df-ply1 22408  df-coe1 22409

This theorem is used by:  gsummoncoe1fz  34009  ply1gsumz  34010