Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsummoncoe1fzo Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem gsummoncoe1fzo 33200
Description: A coefficient of the polynomial represented as a sum of scaled monomials is the coefficient of the corresponding scaled monomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummoncoe1fzo.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
gsummoncoe1fzo.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
gsummoncoe1fzo.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
gsummoncoe1fzo.e ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
gsummoncoe1fzo.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
gsummoncoe1fzo.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
gsummoncoe1fzo.m βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
gsummoncoe1fzo.1 0 = (0gβ€˜π‘…)
gsummoncoe1fzo.a (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝐴 ∈ 𝐾)
gsummoncoe1fzo.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (0..^𝑁))
gsummoncoe1fzo.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
gsummoncoe1fzo.2 (π‘˜ = 𝐿 β†’ 𝐴 = 𝐢)
Assertion
Ref Expression
gsummoncoe1fzo (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))β€˜πΏ) = 𝐢)
Distinct variable groups:   βˆ— ,π‘˜   0 ,π‘˜   ↑ ,π‘˜   𝐡,π‘˜   𝐢,π‘˜   π‘˜,𝐾   π‘˜,𝐿   π‘˜,𝑁   𝑃,π‘˜   𝑅,π‘˜   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝑋(π‘˜)
Proof of Theorem gsummoncoe1fzo
StepHypRef Expression
1 gsummoncoe1fzo.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
2 eqid 2727 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
3 gsummoncoe1fzo.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 gsummoncoe1fzo.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
54ply1ring 22153 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
63, 5syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
76ringcmnd 20209 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
8 nn0ex 12500 . . . . . . . 8 β„•0 ∈ V
98a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„•0 ∈ V)
10 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁))) β†’ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁)))
1110eldifbd 3957 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁))) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (0..^𝑁))
1211iffalsed 4535 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁))) β†’ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = 0 )
1312oveq1d 7429 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁))) β†’ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = ( 0 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))
143adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1510eldifad 3956 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
16 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrpβ€˜π‘ƒ) = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
1716, 1mgpbas 20071 . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
18 gsummoncoe1fzo.e . . . . . . . . . . 11 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
1916ringmgp 20170 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
206, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
22 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
23 gsummoncoe1fzo.x . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
2423, 4, 1vr1cl 22123 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
253, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2625adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2717, 18, 21, 22, 26mulgnn0cld 19041 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ 𝐡)
2815, 27syldan 590 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁))) β†’ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ 𝐡)
29 gsummoncoe1fzo.m . . . . . . . . . 10 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
30 gsummoncoe1fzo.1 . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘…)
314, 1, 29, 30ply10s0 22162 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ ( 0 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
3214, 28, 31syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁))) β†’ ( 0 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
3313, 32eqtrd 2767 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁))) β†’ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
34 fzofi 13963 . . . . . . . 8 (0..^𝑁) ∈ Fin
3534a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0..^𝑁) ∈ Fin)
364ply1lmod 22157 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
373, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
3837adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
39 gsummoncoe1fzo.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝐴 ∈ 𝐾)
4039r19.21bi 3243 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
4140adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
42 gsummoncoe1fzo.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
4342, 30ring0cl 20192 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 ∈ 𝐾)
443, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐾)
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 0 ∈ 𝐾)
4641, 45ifclda 4559 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ 𝐾)
474ply1sca 22158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
483, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
4948fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
5042, 49eqtrid 2779 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
5150adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
5246, 51eleqtrd 2830 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
53 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
54 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
551, 53, 29, 54lmodvscl 20750 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ LMod ∧ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) ∈ 𝐡)
5638, 52, 27, 55syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) ∈ 𝐡)
57 fzo0ssnn0 13737 . . . . . . . 8 (0..^𝑁) βŠ† β„•0
5857a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0..^𝑁) βŠ† β„•0)
591, 2, 7, 9, 33, 35, 56, 58gsummptres2 32745 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))
60 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (0..^𝑁))
6160iftrued 4532 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = 𝐴)
6261oveq1d 7429 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))
6362mpteq2dva 5242 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))) = (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))))
6463oveq2d 7430 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))
6559, 64eqtrd 2767 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))
6665fveq2d 6895 . . . 4 (πœ‘ β†’ (coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))))) = (coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))))))
6766fveq1d 6893 . . 3 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))β€˜πΏ) = ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))β€˜πΏ))
6846ralrimiva 3141 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ 𝐾)
69 eqid 2727 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 )) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ))
7069, 9, 35, 40, 44mptiffisupp 32457 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 )) finSupp 0 )
71 gsummoncoe1fzo.l . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (0..^𝑁))
7257, 71sselid 3976 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„•0)
734, 1, 23, 18, 3, 42, 29, 30, 68, 70, 72gsummoncoe1 22214 . . 3 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))β€˜πΏ) = ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œif(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ))
7467, 73eqtr3d 2769 . 2 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))β€˜πΏ) = ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œif(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ))
75 eleq1 2816 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐿 β†’ (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝐿 ∈ (0..^𝑁)))
76 gsummoncoe1fzo.2 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐿 β†’ 𝐴 = 𝐢)
7775, 76ifbieq1d 4548 . . . 4 (π‘˜ = 𝐿 β†’ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐢, 0 ))
7877adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 𝐿) β†’ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐢, 0 ))
7971, 78csbied 3927 . 2 (πœ‘ β†’ ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œif(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐢, 0 ))
8071iftrued 4532 . 2 (πœ‘ β†’ if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐢, 0 ) = 𝐢)
8174, 79, 803eqtrd 2771 1 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))β€˜πΏ) = 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469  β¦‹csb 3889   βˆ– cdif 3941   βŠ† wss 3944  ifcif 4524   ↦ cmpt 5225  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  0cc0 11130  β„•0cn0 12494  ..^cfzo 13651  Basecbs 17171  Scalarcsca 17227   ·𝑠 cvsca 17228  0gc0g 17412   Ξ£g cgsu 17413  Mndcmnd 18685  .gcmg 19014  mulGrpcmgp 20065  Ringcrg 20164  LModclmod 20732  var1cv1 22082  Poly1cpl1 22083  coe1cco1 22084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-psr 21829  df-mvr 21830  df-mpl 21831  df-opsr 21833  df-psr1 22086  df-vr1 22087  df-ply1 22088  df-coe1 22089
This theorem is referenced by:  ply1gsumz  33201
  Copyright terms: Public domain W3C validator