Theorem gsummoncoe1fzo 33536

Description: A coefficient of the polynomial represented as a sum of scaled monomials is the coefficient of the corresponding scaled monomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummoncoe1fzo.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
gsummoncoe1fzo.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
gsummoncoe1fzo.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
gsummoncoe1fzo.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
gsummoncoe1fzo.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummoncoe1fzo.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
gsummoncoe1fzo.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
gsummoncoe1fzo.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsummoncoe1fzo.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝐴 ∈ 𝐾)
gsummoncoe1fzo.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0..^𝑁))
gsummoncoe1fzo.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummoncoe1fzo.2	⊢ (𝑘 = 𝐿 → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
gsummoncoe1fzo	⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐶)

Distinct variable groups:   ∗ ,𝑘   0 ,𝑘   ↑ ,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsummoncoe1fzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummoncoe1fzo.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
3		gsummoncoe1fzo.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		gsummoncoe1fzo.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1ring 22108	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6	3, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
7	6	ringcmnd 20169	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CMnd)
8		nn0ex 12424	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
10		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁)))
11	10	eldifbd 3924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
12	11	iffalsed 4495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = 0 )
13	12	oveq1d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = ( 0 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
14	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
15	10	eldifad 3923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
17	16, 1	mgpbas 20030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
18		gsummoncoe1fzo.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
19	16	ringmgp 20124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
20	6, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
22		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
23		gsummoncoe1fzo.x	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
24	23, 4, 1	vr1cl 22078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
25	3, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
27	17, 18, 21, 22, 26	mulgnn0cld 19003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
28	15, 27	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
29		gsummoncoe1fzo.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
30		gsummoncoe1fzo.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
31	4, 1, 29, 30	ply10s0 22118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
32	14, 28, 31	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → ( 0 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
33	13, 32	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
34		fzofi 13915	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
35	34	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
36	4	ply1lmod 22112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
37	3, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
38	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
39		gsummoncoe1fzo.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝐴 ∈ 𝐾)
40	39	r19.21bi 3227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝐾)
41	40	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝐾)
42		gsummoncoe1fzo.k	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
43	42, 30	ring0cl 20152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
44	3, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
45	44	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ 𝐾)
46	41, 45	ifclda 4520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ 𝐾)
47	4	ply1sca 22113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
48	3, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
49	48	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
50	42, 49	eqtrid 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
51	50	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
52	46, 51	eleqtrd 2830	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
53		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
54		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
55	1, 53, 29, 54	lmodvscl 20760	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
56	38, 52, 27, 55	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
57		fzo0ssnn0 13683	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ ℕ0
58	57	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ ℕ0)
59	1, 2, 7, 9, 33, 35, 56, 58	gsummptres2 32966	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
60		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
61	60	iftrued 4492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = 𝐴)
62	61	oveq1d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
63	62	mpteq2dva 5195	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))
64	63	oveq2d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
65	59, 64	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
66	65	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
67	66	fveq1d 6842	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿))
68	46	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ 𝐾)
69		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 )) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ))
70	69, 9, 35, 40, 44	mptiffisupp 32589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 )) finSupp 0 )
71		gsummoncoe1fzo.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0..^𝑁))
72	57, 71	sselid 3941	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
73	4, 1, 23, 18, 3, 42, 29, 30, 68, 70, 72	gsummoncoe1 22171	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = ⦋𝐿 / 𝑘⦌if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ))
74	67, 73	eqtr3d 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = ⦋𝐿 / 𝑘⦌if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ))
75		eleq1 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐿 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝐿 ∈ (0..^𝑁)))
76		gsummoncoe1fzo.2	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐿 → 𝐴 = 𝐶)
77	75, 76	ifbieq1d 4509	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐿 → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐶, 0 ))
78	77	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐿) → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐶, 0 ))
79	71, 78	csbied 3895	. 2 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐿 / 𝑘⦌if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐶, 0 ))
80	71	iftrued 4492	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐶, 0 ) = 𝐶)
81	74, 79, 80	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3444  ⦋csb 3859   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911  ifcif 4484   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Fincfn 8895  0cc0 11044  ℕ₀cn0 12418  ..^cfzo 13591  Basecbs 17155  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  0_gc0g 17378   Σ_g cgsu 17379  Mndcmnd 18637  ._gcmg 18975  mulGrpcmgp 20025  Ringcrg 20118  LModclmod 20742  var₁cv1 22036  Poly₁cpl1 22037  coe₁cco1 22038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-ghm 19121  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-psr 21794  df-mvr 21795  df-mpl 21796  df-opsr 21798  df-psr1 22040  df-vr1 22041  df-ply1 22042  df-coe1 22043

This theorem is referenced by:  ply1gsumz  33537