Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsummoncoe1fzo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummoncoe1fzo 33200
Description: A coefficient of the polynomial represented as a sum of scaled monomials is the coefficient of the corresponding scaled monomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummoncoe1fzo.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
gsummoncoe1fzo.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
gsummoncoe1fzo.x 𝑋 = (var1𝑅)
gsummoncoe1fzo.e = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
gsummoncoe1fzo.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
gsummoncoe1fzo.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
gsummoncoe1fzo.m = ( ·𝑠𝑃)
gsummoncoe1fzo.1 0 = (0g𝑅)
gsummoncoe1fzo.a (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝐴𝐾)
gsummoncoe1fzo.l (𝜑𝐿 ∈ (0..^𝑁))
gsummoncoe1fzo.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
gsummoncoe1fzo.2 (𝑘 = 𝐿𝐴 = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
gsummoncoe1fzo (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐶)
Distinct variable groups:   ,𝑘   0 ,𝑘   ,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsummoncoe1fzo
StepHypRef Expression
1 gsummoncoe1fzo.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
2 eqid 2727 . . . . . . 7 (0g𝑃) = (0g𝑃)
3 gsummoncoe1fzo.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 gsummoncoe1fzo.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (Poly1𝑅)
54ply1ring 22153 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
63, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
76ringcmnd 20209 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ CMnd)
8 nn0ex 12500 . . . . . . . 8 0 ∈ V
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
10 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁)))
1110eldifbd 3957 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
1211iffalsed 4535 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = 0 )
1312oveq1d 7429 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) (𝑘 𝑋)) = ( 0 (𝑘 𝑋)))
143adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
1510eldifad 3956 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
1716, 1mgpbas 20071 . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
18 gsummoncoe1fzo.e . . . . . . . . . . 11 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
1916ringmgp 20170 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
206, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
22 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
23 gsummoncoe1fzo.x . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = (var1𝑅)
2423, 4, 1vr1cl 22123 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
253, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝐵)
2625adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐵)
2717, 18, 21, 22, 26mulgnn0cld 19041 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 𝑋) ∈ 𝐵)
2815, 27syldan 590 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → (𝑘 𝑋) ∈ 𝐵)
29 gsummoncoe1fzo.m . . . . . . . . . 10 = ( ·𝑠𝑃)
30 gsummoncoe1fzo.1 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑅)
314, 1, 29, 30ply10s0 22162 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑘 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃))
3214, 28, 31syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → ( 0 (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃))
3313, 32eqtrd 2767 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃))
34 fzofi 13963 . . . . . . . 8 (0..^𝑁) ∈ Fin
3534a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
364ply1lmod 22157 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
373, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ LMod)
3837adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
39 gsummoncoe1fzo.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝐴𝐾)
4039r19.21bi 3243 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴𝐾)
4140adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴𝐾)
42 gsummoncoe1fzo.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (Base‘𝑅)
4342, 30ring0cl 20192 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐾)
443, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑0𝐾)
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0𝐾)
4641, 45ifclda 4559 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ 𝐾)
474ply1sca 22158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
483, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4948fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
5042, 49eqtrid 2779 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
5150adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
5246, 51eleqtrd 2830 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
53 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
54 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
551, 53, 29, 54lmodvscl 20750 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ LMod ∧ if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑘 𝑋) ∈ 𝐵) → (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵)
5638, 52, 27, 55syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵)
57 fzo0ssnn0 13737 . . . . . . . 8 (0..^𝑁) ⊆ ℕ0
5857a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ ℕ0)
591, 2, 7, 9, 33, 35, 56, 58gsummptres2 32745 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) (𝑘 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) (𝑘 𝑋)))))
60 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
6160iftrued 4532 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = 𝐴)
6261oveq1d 7429 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) (𝑘 𝑋)) = (𝐴 (𝑘 𝑋)))
6362mpteq2dva 5242 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) (𝑘 𝑋))) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋))))
6463oveq2d 7430 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) (𝑘 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))
6559, 64eqtrd 2767 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) (𝑘 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))
6665fveq2d 6895 . . . 4 (𝜑 → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) (𝑘 𝑋))))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋))))))
6766fveq1d 6893 . . 3 (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) (𝑘 𝑋)))))‘𝐿) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))‘𝐿))
6846ralrimiva 3141 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ 𝐾)
69 eqid 2727 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 )) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ))
7069, 9, 35, 40, 44mptiffisupp 32457 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 )) finSupp 0 )
71 gsummoncoe1fzo.l . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ (0..^𝑁))
7257, 71sselid 3976 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
734, 1, 23, 18, 3, 42, 29, 30, 68, 70, 72gsummoncoe1 22214 . . 3 (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) (𝑘 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐿 / 𝑘if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ))
7467, 73eqtr3d 2769 . 2 (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐿 / 𝑘if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ))
75 eleq1 2816 . . . . 5 (𝑘 = 𝐿 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝐿 ∈ (0..^𝑁)))
76 gsummoncoe1fzo.2 . . . . 5 (𝑘 = 𝐿𝐴 = 𝐶)
7775, 76ifbieq1d 4548 . . . 4 (𝑘 = 𝐿 → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐶, 0 ))
7877adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑘 = 𝐿) → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐶, 0 ))
7971, 78csbied 3927 . 2 (𝜑𝐿 / 𝑘if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐶, 0 ))
8071iftrued 4532 . 2 (𝜑 → if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐶, 0 ) = 𝐶)
8174, 79, 803eqtrd 2771 1 (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056  Vcvv 3469  csb 3889  cdif 3941  wss 3944  ifcif 4524  cmpt 5225  cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  0cc0 11130  0cn0 12494  ..^cfzo 13651  Basecbs 17171  Scalarcsca 17227   ·𝑠 cvsca 17228  0gc0g 17412   Σg cgsu 17413  Mndcmnd 18685  .gcmg 19014  mulGrpcmgp 20065  Ringcrg 20164  LModclmod 20732  var1cv1 22082  Poly1cpl1 22083  coe1cco1 22084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-psr 21829  df-mvr 21830  df-mpl 21831  df-opsr 21833  df-psr1 22086  df-vr1 22087  df-ply1 22088  df-coe1 22089
This theorem is referenced by:  ply1gsumz  33201
  Copyright terms: Public domain W3C validator