Theorem gsummoncoe1fzo 33583

Description: A coefficient of the polynomial represented as a sum of scaled monomials is the coefficient of the corresponding scaled monomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummoncoe1fzo.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
gsummoncoe1fzo.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
gsummoncoe1fzo.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
gsummoncoe1fzo.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
gsummoncoe1fzo.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummoncoe1fzo.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
gsummoncoe1fzo.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
gsummoncoe1fzo.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsummoncoe1fzo.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝐴 ∈ 𝐾)
gsummoncoe1fzo.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0..^𝑁))
gsummoncoe1fzo.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummoncoe1fzo.2	⊢ (𝑘 = 𝐿 → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
gsummoncoe1fzo	⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐶)

Distinct variable groups:   ∗ ,𝑘   0 ,𝑘   ↑ ,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsummoncoe1fzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummoncoe1fzo.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
3		gsummoncoe1fzo.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		gsummoncoe1fzo.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1ring 22270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6	3, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
7	6	ringcmnd 20307	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CMnd)
8		nn0ex 12559	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
10		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁)))
11	10	eldifbd 3989	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
12	11	iffalsed 4559	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = 0 )
13	12	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = ( 0 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
14	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
15	10	eldifad 3988	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
17	16, 1	mgpbas 20167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
18		gsummoncoe1fzo.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
19	16	ringmgp 20266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
20	6, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
22		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
23		gsummoncoe1fzo.x	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
24	23, 4, 1	vr1cl 22240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
25	3, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
27	17, 18, 21, 22, 26	mulgnn0cld 19135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
28	15, 27	syldan 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
29		gsummoncoe1fzo.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
30		gsummoncoe1fzo.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
31	4, 1, 29, 30	ply10s0 22280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
32	14, 28, 31	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → ( 0 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
33	13, 32	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
34		fzofi 14025	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
35	34	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
36	4	ply1lmod 22274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
37	3, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
38	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
39		gsummoncoe1fzo.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝐴 ∈ 𝐾)
40	39	r19.21bi 3257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝐾)
41	40	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝐾)
42		gsummoncoe1fzo.k	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
43	42, 30	ring0cl 20290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
44	3, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
45	44	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ 𝐾)
46	41, 45	ifclda 4583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ 𝐾)
47	4	ply1sca 22275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
48	3, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
49	48	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
50	42, 49	eqtrid 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
51	50	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
52	46, 51	eleqtrd 2846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
53		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
54		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
55	1, 53, 29, 54	lmodvscl 20898	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
56	38, 52, 27, 55	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
57		fzo0ssnn0 13797	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ ℕ0
58	57	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ ℕ0)
59	1, 2, 7, 9, 33, 35, 56, 58	gsummptres2 33036	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
60		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
61	60	iftrued 4556	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = 𝐴)
62	61	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
63	62	mpteq2dva 5266	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))
64	63	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
65	59, 64	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
66	65	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
67	66	fveq1d 6922	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿))
68	46	ralrimiva 3152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ 𝐾)
69		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 )) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ))
70	69, 9, 35, 40, 44	mptiffisupp 32705	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 )) finSupp 0 )
71		gsummoncoe1fzo.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0..^𝑁))
72	57, 71	sselid 4006	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
73	4, 1, 23, 18, 3, 42, 29, 30, 68, 70, 72	gsummoncoe1 22333	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = ⦋𝐿 / 𝑘⦌if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ))
74	67, 73	eqtr3d 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = ⦋𝐿 / 𝑘⦌if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ))
75		eleq1 2832	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐿 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝐿 ∈ (0..^𝑁)))
76		gsummoncoe1fzo.2	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐿 → 𝐴 = 𝐶)
77	75, 76	ifbieq1d 4572	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐿 → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐶, 0 ))
78	77	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐿) → if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐶, 0 ))
79	71, 78	csbied 3959	. 2 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐿 / 𝑘⦌if(𝑘 ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐶, 0 ))
80	71	iftrued 4556	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐶, 0 ) = 𝐶)
81	74, 79, 80	3eqtrd 2784	1 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  Vcvv 3488  ⦋csb 3921   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  ifcif 4548   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  0cc0 11184  ℕ₀cn0 12553  ..^cfzo 13711  Basecbs 17258  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17499   Σ_g cgsu 17500  Mndcmnd 18772  ._gcmg 19107  mulGrpcmgp 20161  Ringcrg 20260  LModclmod 20880  var₁cv1 22198  Poly₁cpl1 22199  coe₁cco1 22200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-psr 21952  df-mvr 21953  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-psr1 22202  df-vr1 22203  df-ply1 22204  df-coe1 22205

This theorem is referenced by:  ply1gsumz  33584