Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsummoncoe1fzo Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem gsummoncoe1fzo 33321
Description: A coefficient of the polynomial represented as a sum of scaled monomials is the coefficient of the corresponding scaled monomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummoncoe1fzo.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
gsummoncoe1fzo.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
gsummoncoe1fzo.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
gsummoncoe1fzo.e ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
gsummoncoe1fzo.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
gsummoncoe1fzo.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
gsummoncoe1fzo.m βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
gsummoncoe1fzo.1 0 = (0gβ€˜π‘…)
gsummoncoe1fzo.a (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝐴 ∈ 𝐾)
gsummoncoe1fzo.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (0..^𝑁))
gsummoncoe1fzo.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
gsummoncoe1fzo.2 (π‘˜ = 𝐿 β†’ 𝐴 = 𝐢)
Assertion
Ref Expression
gsummoncoe1fzo (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))β€˜πΏ) = 𝐢)
Distinct variable groups:   βˆ— ,π‘˜   0 ,π‘˜   ↑ ,π‘˜   𝐡,π‘˜   𝐢,π‘˜   π‘˜,𝐾   π‘˜,𝐿   π‘˜,𝑁   𝑃,π‘˜   𝑅,π‘˜   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝑋(π‘˜)
Proof of Theorem gsummoncoe1fzo
StepHypRef Expression
1 gsummoncoe1fzo.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
2 eqid 2725 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
3 gsummoncoe1fzo.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 gsummoncoe1fzo.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
54ply1ring 22170 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
63, 5syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
76ringcmnd 20219 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
8 nn0ex 12503 . . . . . . . 8 β„•0 ∈ V
98a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„•0 ∈ V)
10 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁))) β†’ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁)))
1110eldifbd 3954 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁))) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (0..^𝑁))
1211iffalsed 4536 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁))) β†’ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = 0 )
1312oveq1d 7428 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁))) β†’ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = ( 0 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))
143adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1510eldifad 3953 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
16 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrpβ€˜π‘ƒ) = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
1716, 1mgpbas 20079 . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
18 gsummoncoe1fzo.e . . . . . . . . . . 11 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
1916ringmgp 20178 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
206, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
2120adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
22 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
23 gsummoncoe1fzo.x . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
2423, 4, 1vr1cl 22140 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
253, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2625adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2717, 18, 21, 22, 26mulgnn0cld 19049 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ 𝐡)
2815, 27syldan 589 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁))) β†’ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ 𝐡)
29 gsummoncoe1fzo.m . . . . . . . . . 10 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
30 gsummoncoe1fzo.1 . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘…)
314, 1, 29, 30ply10s0 22179 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ ( 0 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
3214, 28, 31syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁))) β†’ ( 0 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
3313, 32eqtrd 2765 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 βˆ– (0..^𝑁))) β†’ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
34 fzofi 13966 . . . . . . . 8 (0..^𝑁) ∈ Fin
3534a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0..^𝑁) ∈ Fin)
364ply1lmod 22174 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
373, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
3837adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
39 gsummoncoe1fzo.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝐴 ∈ 𝐾)
4039r19.21bi 3239 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
4140adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
42 gsummoncoe1fzo.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
4342, 30ring0cl 20202 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 ∈ 𝐾)
443, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐾)
4544ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 0 ∈ 𝐾)
4641, 45ifclda 4560 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ 𝐾)
474ply1sca 22175 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
483, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
4948fveq2d 6894 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
5042, 49eqtrid 2777 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
5150adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
5246, 51eleqtrd 2827 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
53 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
54 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
551, 53, 29, 54lmodvscl 20760 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ LMod ∧ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) ∈ 𝐡)
5638, 52, 27, 55syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) ∈ 𝐡)
57 fzo0ssnn0 13740 . . . . . . . 8 (0..^𝑁) βŠ† β„•0
5857a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0..^𝑁) βŠ† β„•0)
591, 2, 7, 9, 33, 35, 56, 58gsummptres2 32807 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))
60 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (0..^𝑁))
6160iftrued 4533 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = 𝐴)
6261oveq1d 7428 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))
6362mpteq2dva 5244 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))) = (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))))
6463oveq2d 7429 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))
6559, 64eqtrd 2765 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))
6665fveq2d 6894 . . . 4 (πœ‘ β†’ (coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))))) = (coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))))))
6766fveq1d 6892 . . 3 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))β€˜πΏ) = ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))β€˜πΏ))
6846ralrimiva 3136 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) ∈ 𝐾)
69 eqid 2725 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 )) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ))
7069, 9, 35, 40, 44mptiffisupp 32513 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 )) finSupp 0 )
71 gsummoncoe1fzo.l . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (0..^𝑁))
7257, 71sselid 3971 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„•0)
734, 1, 23, 18, 3, 42, 29, 30, 68, 70, 72gsummoncoe1 22231 . . 3 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))β€˜πΏ) = ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œif(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ))
7467, 73eqtr3d 2767 . 2 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))β€˜πΏ) = ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œif(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ))
75 eleq1 2813 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐿 β†’ (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝐿 ∈ (0..^𝑁)))
76 gsummoncoe1fzo.2 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐿 β†’ 𝐴 = 𝐢)
7775, 76ifbieq1d 4549 . . . 4 (π‘˜ = 𝐿 β†’ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐢, 0 ))
7877adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 𝐿) β†’ if(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐢, 0 ))
7971, 78csbied 3924 . 2 (πœ‘ β†’ ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œif(π‘˜ ∈ (0..^𝑁), 𝐴, 0 ) = if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐢, 0 ))
8071iftrued 4533 . 2 (πœ‘ β†’ if(𝐿 ∈ (0..^𝑁), 𝐢, 0 ) = 𝐢)
8174, 79, 803eqtrd 2769 1 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝐴 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))β€˜πΏ) = 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463  β¦‹csb 3886   βˆ– cdif 3938   βŠ† wss 3941  ifcif 4525   ↦ cmpt 5227  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Fincfn 8957  0cc0 11133  β„•0cn0 12497  ..^cfzo 13654  Basecbs 17174  Scalarcsca 17230   ·𝑠 cvsca 17231  0gc0g 17415   Ξ£g cgsu 17416  Mndcmnd 18688  .gcmg 19022  mulGrpcmgp 20073  Ringcrg 20172  LModclmod 20742  var1cv1 22098  Poly1cpl1 22099  coe1cco1 22100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-psr 21841  df-mvr 21842  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-psr1 22102  df-vr1 22103  df-ply1 22104  df-coe1 22105
This theorem is referenced by:  ply1gsumz  33322
  Copyright terms: Public domain W3C validator