MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumconst 15822
Description: The sum of constant terms (𝑘 is not free in 𝐵). (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
fsumconst ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem fsumconst
Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mul02 11436 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → (0 · 𝐵) = 0)
21adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 · 𝐵) = 0)
32eqcomd 2740 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 = (0 · 𝐵))
4 sumeq1 15721 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
5 sum0 15753 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
64, 5eqtrdi 2790 . . . 4 (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0)
7 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (♯‘𝐴) = (♯‘∅))
8 hash0 14402 . . . . . 6 (♯‘∅) = 0
97, 8eqtrdi 2790 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (♯‘𝐴) = 0)
109oveq1d 7445 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ((♯‘𝐴) · 𝐵) = (0 · 𝐵))
116, 10eqeq12d 2750 . . 3 (𝐴 = ∅ → (Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵) ↔ 0 = (0 · 𝐵)))
123, 11syl5ibrcom 247 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵)))
13 eqidd 2735 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑓𝑛) → 𝐵 = 𝐵)
14 simprl 771 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
15 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
16 simpllr 776 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
17 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
18 elfznn 13589 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
19 fvconst2g 7221 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐵})‘𝑛) = 𝐵)
2017, 18, 19syl2an 596 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((ℕ × {𝐵})‘𝑛) = 𝐵)
2113, 14, 15, 16, 20fsum 15752 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (seq1( + , (ℕ × {𝐵}))‘(♯‘𝐴)))
22 ser1const 14095 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (seq1( + , (ℕ × {𝐵}))‘(♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐴) · 𝐵))
2322ad2ant2lr 748 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (seq1( + , (ℕ × {𝐵}))‘(♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐴) · 𝐵))
2421, 23eqtrd 2774 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵))
2524expr 456 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵)))
2625exlimdv 1930 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵)))
2726expimpd 453 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵)))
28 fz1f1o 15742 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
2928adantr 480 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
3012, 27, 29mpjaod 860 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  c0 4338  {csn 4630   × cxp 5686  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  cc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cn 12263  ...cfz 13543  seqcseq 14038  chash 14365  Σcsu 15718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719
This theorem is referenced by:  fsumdifsnconst  15823  o1fsum  15845  hashiun  15854  hash2iun1dif1  15856  climcndslem1  15881  climcndslem2  15882  harmonic  15891  mertenslem1  15916  sumhash  16929  cshwshashnsame  17137  lagsubg2  19224  sylow2a  19651  lebnumlem3  25008  uniioombllem4  25634  birthdaylem2  27009  basellem8  27145  0sgm  27201  musum  27248  chtleppi  27268  vmasum  27274  logfac2  27275  chpval2  27276  chpchtsum  27277  chpub  27278  logfaclbnd  27280  dchrsum2  27326  sumdchr2  27328  lgsquadlem1  27438  chebbnd1lem1  27527  chtppilimlem1  27531  dchrmusum2  27552  dchrisum0flblem1  27566  rpvmasum2  27570  dchrisum0lem2a  27575  mudivsum  27588  mulogsumlem  27589  selberglem2  27604  pntlemj  27661  rusgrnumwwlks  30003  fusgrhashclwwlkn  30107  fusgreghash2wsp  30366  numclwwlk6  30418  reprlt  34612  hashreprin  34613  reprgt  34614  hgt750lema  34650  rrndstprj2  37817  lcmineqlem17  42026  sticksstones10  42136  sticksstones12a  42138  fz1sumconst  42321  fltnltalem  42648  stoweidlem11  45966  stoweidlem26  45981  stoweidlem38  45993  dirkertrigeq  46056  fourierdlem73  46134  etransclem32  46221  rrndistlt  46245  sge0rpcpnf  46376  hoiqssbllem2  46578  nn0mulfsum  48473  amgmlemALT  49033
  Copyright terms: Public domain W3C validator