Theorem fsumconst 15826

Description: The sum of constant terms (𝑘 is not free in 𝐵). (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fsumconst	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem fsumconst

Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul02 11439	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (0 · 𝐵) = 0)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 · 𝐵) = 0)
3	2	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 = (0 · 𝐵))
4		sumeq1 15725	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
5		sum0 15757	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
6	4, 5	eqtrdi 2793	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
7		fveq2 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (♯‘𝐴) = (♯‘∅))
8		hash0 14406	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
9	7, 8	eqtrdi 2793	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (♯‘𝐴) = 0)
10	9	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((♯‘𝐴) · 𝐵) = (0 · 𝐵))
11	6, 10	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵) ↔ 0 = (0 · 𝐵)))
12	3, 11	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵)))
13		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → 𝐵 = 𝐵)
14		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
15		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
16		simpllr 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
17		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
18		elfznn 13593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
19		fvconst2g 7222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐵})‘𝑛) = 𝐵)
20	17, 18, 19	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((ℕ × {𝐵})‘𝑛) = 𝐵)
21	13, 14, 15, 16, 20	fsum 15756	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (seq1( + , (ℕ × {𝐵}))‘(♯‘𝐴)))
22		ser1const 14099	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (seq1( + , (ℕ × {𝐵}))‘(♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐴) · 𝐵))
23	22	ad2ant2lr 748	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (seq1( + , (ℕ × {𝐵}))‘(♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐴) · 𝐵))
24	21, 23	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵))
25	24	expr 456	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵)))
26	25	exlimdv 1933	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵)))
27	26	expimpd 453	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵)))
28		fz1f1o 15746	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
29	28	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
30	12, 27, 29	mpjaod 861	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∅c0 4333  {csn 4626   × cxp 5683  –1-1-onto→wf1o 6560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  ℕcn 12266  ...cfz 13547  seqcseq 14042  ♯chash 14369  Σcsu 15722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723

This theorem is referenced by:  fsumdifsnconst  15827  o1fsum  15849  hashiun  15858  hash2iun1dif1  15860  climcndslem1  15885  climcndslem2  15886  harmonic  15895  mertenslem1  15920  sumhash  16934  cshwshashnsame  17141  lagsubg2  19212  sylow2a  19637  lebnumlem3  24995  uniioombllem4  25621  birthdaylem2  26995  basellem8  27131  0sgm  27187  musum  27234  chtleppi  27254  vmasum  27260  logfac2  27261  chpval2  27262  chpchtsum  27263  chpub  27264  logfaclbnd  27266  dchrsum2  27312  sumdchr2  27314  lgsquadlem1  27424  chebbnd1lem1  27513  chtppilimlem1  27517  dchrmusum2  27538  dchrisum0flblem1  27552  rpvmasum2  27556  dchrisum0lem2a  27561  mudivsum  27574  mulogsumlem  27575  selberglem2  27590  pntlemj  27647  rusgrnumwwlks  29994  fusgrhashclwwlkn  30098  fusgreghash2wsp  30357  numclwwlk6  30409  reprlt  34634  hashreprin  34635  reprgt  34636  hgt750lema  34672  rrndstprj2  37838  lcmineqlem17  42046  sticksstones10  42156  sticksstones12a  42158  fz1sumconst  42343  fltnltalem  42672  stoweidlem11  46026  stoweidlem26  46041  stoweidlem38  46053  dirkertrigeq  46116  fourierdlem73  46194  etransclem32  46281  rrndistlt  46305  sge0rpcpnf  46436  hoiqssbllem2  46638  nn0mulfsum  48545  amgmlemALT  49322