![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > fsumconst | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The sum of constant terms (๐ is not free in ๐ต). (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
fsumconst | โข ((๐ด โ Fin โง ๐ต โ โ) โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต = ((โฏโ๐ด) ยท ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mul02 11389 | . . . . 5 โข (๐ต โ โ โ (0 ยท ๐ต) = 0) | |
2 | 1 | adantl 483 | . . . 4 โข ((๐ด โ Fin โง ๐ต โ โ) โ (0 ยท ๐ต) = 0) |
3 | 2 | eqcomd 2739 | . . 3 โข ((๐ด โ Fin โง ๐ต โ โ) โ 0 = (0 ยท ๐ต)) |
4 | sumeq1 15632 | . . . . 5 โข (๐ด = โ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต = ฮฃ๐ โ โ ๐ต) | |
5 | sum0 15664 | . . . . 5 โข ฮฃ๐ โ โ ๐ต = 0 | |
6 | 4, 5 | eqtrdi 2789 | . . . 4 โข (๐ด = โ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต = 0) |
7 | fveq2 6889 | . . . . . 6 โข (๐ด = โ โ (โฏโ๐ด) = (โฏโโ )) | |
8 | hash0 14324 | . . . . . 6 โข (โฏโโ ) = 0 | |
9 | 7, 8 | eqtrdi 2789 | . . . . 5 โข (๐ด = โ โ (โฏโ๐ด) = 0) |
10 | 9 | oveq1d 7421 | . . . 4 โข (๐ด = โ โ ((โฏโ๐ด) ยท ๐ต) = (0 ยท ๐ต)) |
11 | 6, 10 | eqeq12d 2749 | . . 3 โข (๐ด = โ โ (ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต = ((โฏโ๐ด) ยท ๐ต) โ 0 = (0 ยท ๐ต))) |
12 | 3, 11 | syl5ibrcom 246 | . 2 โข ((๐ด โ Fin โง ๐ต โ โ) โ (๐ด = โ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต = ((โฏโ๐ด) ยท ๐ต))) |
13 | eqidd 2734 | . . . . . . 7 โข (๐ = (๐โ๐) โ ๐ต = ๐ต) | |
14 | simprl 770 | . . . . . . 7 โข (((๐ด โ Fin โง ๐ต โ โ) โง ((โฏโ๐ด) โ โ โง ๐:(1...(โฏโ๐ด))โ1-1-ontoโ๐ด)) โ (โฏโ๐ด) โ โ) | |
15 | simprr 772 | . . . . . . 7 โข (((๐ด โ Fin โง ๐ต โ โ) โง ((โฏโ๐ด) โ โ โง ๐:(1...(โฏโ๐ด))โ1-1-ontoโ๐ด)) โ ๐:(1...(โฏโ๐ด))โ1-1-ontoโ๐ด) | |
16 | simpllr 775 | . . . . . . 7 โข ((((๐ด โ Fin โง ๐ต โ โ) โง ((โฏโ๐ด) โ โ โง ๐:(1...(โฏโ๐ด))โ1-1-ontoโ๐ด)) โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) | |
17 | simplr 768 | . . . . . . . 8 โข (((๐ด โ Fin โง ๐ต โ โ) โง ((โฏโ๐ด) โ โ โง ๐:(1...(โฏโ๐ด))โ1-1-ontoโ๐ด)) โ ๐ต โ โ) | |
18 | elfznn 13527 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ (1...(โฏโ๐ด)) โ ๐ โ โ) | |
19 | fvconst2g 7200 | . . . . . . . 8 โข ((๐ต โ โ โง ๐ โ โ) โ ((โ ร {๐ต})โ๐) = ๐ต) | |
20 | 17, 18, 19 | syl2an 597 | . . . . . . 7 โข ((((๐ด โ Fin โง ๐ต โ โ) โง ((โฏโ๐ด) โ โ โง ๐:(1...(โฏโ๐ด))โ1-1-ontoโ๐ด)) โง ๐ โ (1...(โฏโ๐ด))) โ ((โ ร {๐ต})โ๐) = ๐ต) |
21 | 13, 14, 15, 16, 20 | fsum 15663 | . . . . . 6 โข (((๐ด โ Fin โง ๐ต โ โ) โง ((โฏโ๐ด) โ โ โง ๐:(1...(โฏโ๐ด))โ1-1-ontoโ๐ด)) โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต = (seq1( + , (โ ร {๐ต}))โ(โฏโ๐ด))) |
22 | ser1const 14021 | . . . . . . 7 โข ((๐ต โ โ โง (โฏโ๐ด) โ โ) โ (seq1( + , (โ ร {๐ต}))โ(โฏโ๐ด)) = ((โฏโ๐ด) ยท ๐ต)) | |
23 | 22 | ad2ant2lr 747 | . . . . . 6 โข (((๐ด โ Fin โง ๐ต โ โ) โง ((โฏโ๐ด) โ โ โง ๐:(1...(โฏโ๐ด))โ1-1-ontoโ๐ด)) โ (seq1( + , (โ ร {๐ต}))โ(โฏโ๐ด)) = ((โฏโ๐ด) ยท ๐ต)) |
24 | 21, 23 | eqtrd 2773 | . . . . 5 โข (((๐ด โ Fin โง ๐ต โ โ) โง ((โฏโ๐ด) โ โ โง ๐:(1...(โฏโ๐ด))โ1-1-ontoโ๐ด)) โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต = ((โฏโ๐ด) ยท ๐ต)) |
25 | 24 | expr 458 | . . . 4 โข (((๐ด โ Fin โง ๐ต โ โ) โง (โฏโ๐ด) โ โ) โ (๐:(1...(โฏโ๐ด))โ1-1-ontoโ๐ด โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต = ((โฏโ๐ด) ยท ๐ต))) |
26 | 25 | exlimdv 1937 | . . 3 โข (((๐ด โ Fin โง ๐ต โ โ) โง (โฏโ๐ด) โ โ) โ (โ๐ ๐:(1...(โฏโ๐ด))โ1-1-ontoโ๐ด โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต = ((โฏโ๐ด) ยท ๐ต))) |
27 | 26 | expimpd 455 | . 2 โข ((๐ด โ Fin โง ๐ต โ โ) โ (((โฏโ๐ด) โ โ โง โ๐ ๐:(1...(โฏโ๐ด))โ1-1-ontoโ๐ด) โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต = ((โฏโ๐ด) ยท ๐ต))) |
28 | fz1f1o 15653 | . . 3 โข (๐ด โ Fin โ (๐ด = โ โจ ((โฏโ๐ด) โ โ โง โ๐ ๐:(1...(โฏโ๐ด))โ1-1-ontoโ๐ด))) | |
29 | 28 | adantr 482 | . 2 โข ((๐ด โ Fin โง ๐ต โ โ) โ (๐ด = โ โจ ((โฏโ๐ด) โ โ โง โ๐ ๐:(1...(โฏโ๐ด))โ1-1-ontoโ๐ด))) |
30 | 12, 27, 29 | mpjaod 859 | 1 โข ((๐ด โ Fin โง ๐ต โ โ) โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต = ((โฏโ๐ด) ยท ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โจ wo 846 = wceq 1542 โwex 1782 โ wcel 2107 โ c0 4322 {csn 4628 ร cxp 5674 โ1-1-ontoโwf1o 6540 โcfv 6541 (class class class)co 7406 Fincfn 8936 โcc 11105 0cc0 11107 1c1 11108 + caddc 11110 ยท cmul 11112 โcn 12209 ...cfz 13481 seqcseq 13963 โฏchash 14287 ฮฃcsu 15629 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7722 ax-inf2 9633 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 ax-pre-sup 11185 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6298 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6493 df-fun 6543 df-fn 6544 df-f 6545 df-f1 6546 df-fo 6547 df-f1o 6548 df-fv 6549 df-isom 6550 df-riota 7362 df-ov 7409 df-oprab 7410 df-mpo 7411 df-om 7853 df-1st 7972 df-2nd 7973 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8368 df-rdg 8407 df-1o 8463 df-er 8700 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-fin 8940 df-sup 9434 df-oi 9502 df-card 9931 df-pnf 11247 df-mnf 11248 df-xr 11249 df-ltxr 11250 df-le 11251 df-sub 11443 df-neg 11444 df-div 11869 df-nn 12210 df-2 12272 df-3 12273 df-n0 12470 df-z 12556 df-uz 12820 df-rp 12972 df-fz 13482 df-fzo 13625 df-seq 13964 df-exp 14025 df-hash 14288 df-cj 15043 df-re 15044 df-im 15045 df-sqrt 15179 df-abs 15180 df-clim 15429 df-sum 15630 |
This theorem is referenced by: fsumdifsnconst 15734 o1fsum 15756 hashiun 15765 hash2iun1dif1 15767 climcndslem1 15792 climcndslem2 15793 harmonic 15802 mertenslem1 15827 sumhash 16826 cshwshashnsame 17034 lagsubg2 19066 sylow2a 19482 lebnumlem3 24471 uniioombllem4 25095 birthdaylem2 26447 basellem8 26582 0sgm 26638 musum 26685 chtleppi 26703 vmasum 26709 logfac2 26710 chpval2 26711 chpchtsum 26712 chpub 26713 logfaclbnd 26715 dchrsum2 26761 sumdchr2 26763 lgsquadlem1 26873 chebbnd1lem1 26962 chtppilimlem1 26966 dchrmusum2 26987 dchrisum0flblem1 27001 rpvmasum2 27005 dchrisum0lem2a 27010 mudivsum 27023 mulogsumlem 27024 selberglem2 27039 pntlemj 27096 rusgrnumwwlks 29218 fusgrhashclwwlkn 29322 fusgreghash2wsp 29581 numclwwlk6 29633 reprlt 33620 hashreprin 33621 reprgt 33622 hgt750lema 33658 rrndstprj2 36688 lcmineqlem17 40899 sticksstones10 40960 sticksstones12a 40962 fz1sumconst 41203 fltnltalem 41401 stoweidlem11 44714 stoweidlem26 44729 stoweidlem38 44741 dirkertrigeq 44804 fourierdlem73 44882 etransclem32 44969 rrndistlt 44993 sge0rpcpnf 45124 hoiqssbllem2 45326 nn0mulfsum 47264 amgmlemALT 47804 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |