MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumconst 15733
Description: The sum of constant terms (๐‘˜ is not free in ๐ต). (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
fsumconst ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜

Proof of Theorem fsumconst
Dummy variables ๐‘“ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mul02 11389 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
21adantl 483 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
32eqcomd 2739 . . 3 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 0 = (0 ยท ๐ต))
4 sumeq1 15632 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต)
5 sum0 15664 . . . . 5 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต = 0
64, 5eqtrdi 2789 . . . 4 (๐ด = โˆ… โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = 0)
7 fveq2 6889 . . . . . 6 (๐ด = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
8 hash0 14324 . . . . . 6 (โ™ฏโ€˜โˆ…) = 0
97, 8eqtrdi 2789 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = 0)
109oveq1d 7421 . . . 4 (๐ด = โˆ… โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต) = (0 ยท ๐ต))
116, 10eqeq12d 2749 . . 3 (๐ด = โˆ… โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต) โ†” 0 = (0 ยท ๐ต)))
123, 11syl5ibrcom 246 . 2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด = โˆ… โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต)))
13 eqidd 2734 . . . . . . 7 (๐‘˜ = (๐‘“โ€˜๐‘›) โ†’ ๐ต = ๐ต)
14 simprl 770 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
15 simprr 772 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
16 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
17 simplr 768 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
18 elfznn 13527 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
19 fvconst2g 7200 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„• ร— {๐ต})โ€˜๐‘›) = ๐ต)
2017, 18, 19syl2an 597 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ ((โ„• ร— {๐ต})โ€˜๐‘›) = ๐ต)
2113, 14, 15, 16, 20fsum 15663 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (seq1( + , (โ„• ร— {๐ต}))โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)))
22 ser1const 14021 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ต}))โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต))
2322ad2ant2lr 747 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐ต}))โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต))
2421, 23eqtrd 2773 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต))
2524expr 458 . . . 4 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต)))
2625exlimdv 1937 . . 3 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘“ ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต)))
2726expimpd 455 . 2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง โˆƒ๐‘“ ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต)))
28 fz1f1o 15653 . . 3 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง โˆƒ๐‘“ ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)))
2928adantr 482 . 2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง โˆƒ๐‘“ ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)))
3012, 27, 29mpjaod 859 1 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107  โˆ…c0 4322  {csn 4628   ร— cxp 5674  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6540  โ€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Fincfn 8936  โ„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112  โ„•cn 12209  ...cfz 13481  seqcseq 13963  โ™ฏchash 14287  ฮฃcsu 15629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630
This theorem is referenced by:  fsumdifsnconst  15734  o1fsum  15756  hashiun  15765  hash2iun1dif1  15767  climcndslem1  15792  climcndslem2  15793  harmonic  15802  mertenslem1  15827  sumhash  16826  cshwshashnsame  17034  lagsubg2  19066  sylow2a  19482  lebnumlem3  24471  uniioombllem4  25095  birthdaylem2  26447  basellem8  26582  0sgm  26638  musum  26685  chtleppi  26703  vmasum  26709  logfac2  26710  chpval2  26711  chpchtsum  26712  chpub  26713  logfaclbnd  26715  dchrsum2  26761  sumdchr2  26763  lgsquadlem1  26873  chebbnd1lem1  26962  chtppilimlem1  26966  dchrmusum2  26987  dchrisum0flblem1  27001  rpvmasum2  27005  dchrisum0lem2a  27010  mudivsum  27023  mulogsumlem  27024  selberglem2  27039  pntlemj  27096  rusgrnumwwlks  29218  fusgrhashclwwlkn  29322  fusgreghash2wsp  29581  numclwwlk6  29633  reprlt  33620  hashreprin  33621  reprgt  33622  hgt750lema  33658  rrndstprj2  36688  lcmineqlem17  40899  sticksstones10  40960  sticksstones12a  40962  fz1sumconst  41203  fltnltalem  41401  stoweidlem11  44714  stoweidlem26  44729  stoweidlem38  44741  dirkertrigeq  44804  fourierdlem73  44882  etransclem32  44969  rrndistlt  44993  sge0rpcpnf  45124  hoiqssbllem2  45326  nn0mulfsum  47264  amgmlemALT  47804
  Copyright terms: Public domain W3C validator