Theorem coe0 26177

Description: The coefficients of the zero polynomial are zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
coe0	⊢ (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})

Proof of Theorem coe0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cnd 11127	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℂ)
2		ssid 3960	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
3		ply0 26129	. . . . 5 ⊢ (ℂ ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ)
5		coemulc 26176	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ)) → (coeff‘((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝)) = ((ℕ0 × {0}) ∘f · (coeff‘0𝑝)))
6	1, 4, 5	sylancl 586	. . 3 ⊢ (⊤ → (coeff‘((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝)) = ((ℕ0 × {0}) ∘f · (coeff‘0𝑝)))
7		cnex 11109	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
9		plyf 26119	. . . . . . 7 ⊢ (0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ) → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
10	4, 9	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
11		mul02 11312	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
13	8, 10, 1, 1, 12	caofid2 7653	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝) = (ℂ × {0}))
14		df-0p 25587	. . . . 5 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
15	13, 14	eqtr4di 2782	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝) = 0𝑝)
16	15	fveq2d 6830	. . 3 ⊢ (⊤ → (coeff‘((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝)) = (coeff‘0𝑝))
17		nn0ex 12408	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℕ0 ∈ V)
19		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (coeff‘0𝑝) = (coeff‘0𝑝)
20	19	coef3 26153	. . . . 5 ⊢ (0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ) → (coeff‘0𝑝):ℕ0⟶ℂ)
21	4, 20	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → (coeff‘0𝑝):ℕ0⟶ℂ)
22	18, 21, 1, 1, 12	caofid2 7653	. . 3 ⊢ (⊤ → ((ℕ0 × {0}) ∘f · (coeff‘0𝑝)) = (ℕ0 × {0}))
23	6, 16, 22	3eqtr3d 2772	. 2 ⊢ (⊤ → (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0}))
24	23	mptru 1547	1 ⊢ (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})

Syntax hints:   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  {csn 4579   × cxp 5621  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∘_f cof 7615  ℂcc 11026  0cc0 11028   · cmul 11033  ℕ₀cn0 12402  0_𝑝c0p 25586  Polycply 26105  coeffccoe 26107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-0p 25587  df-ply 26109  df-coe 26111  df-dgr 26112

This theorem is referenced by:  dgreq0  26187  dgrlt  26188  plymul0or  26204  plydivlem4  26220  plymulx  34515  mncn0  43112  aaitgo  43135  n0p  45023  elaa2  46216  aacllem  49787