MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe0 25150
Description: The coefficients of the zero polynomial are zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
coe0 (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})

Proof of Theorem coe0
StepHypRef Expression
1 0cnd 10826 . . . 4 (⊤ → 0 ∈ ℂ)
2 ssid 3923 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
3 ply0 25102 . . . . 5 (ℂ ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ))
42, 3ax-mp 5 . . . 4 0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ)
5 coemulc 25149 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ 0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ)) → (coeff‘((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝)) = ((ℕ0 × {0}) ∘f · (coeff‘0𝑝)))
61, 4, 5sylancl 589 . . 3 (⊤ → (coeff‘((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝)) = ((ℕ0 × {0}) ∘f · (coeff‘0𝑝)))
7 cnex 10810 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
87a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ℂ ∈ V)
9 plyf 25092 . . . . . . 7 (0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ) → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
104, 9mp1i 13 . . . . . 6 (⊤ → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
11 mul02 11010 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
1211adantl 485 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
138, 10, 1, 1, 12caofid2 7502 . . . . 5 (⊤ → ((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝) = (ℂ × {0}))
14 df-0p 24567 . . . . 5 0𝑝 = (ℂ × {0})
1513, 14eqtr4di 2796 . . . 4 (⊤ → ((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝) = 0𝑝)
1615fveq2d 6721 . . 3 (⊤ → (coeff‘((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝)) = (coeff‘0𝑝))
17 nn0ex 12096 . . . . 5 0 ∈ V
1817a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℕ0 ∈ V)
19 eqid 2737 . . . . . 6 (coeff‘0𝑝) = (coeff‘0𝑝)
2019coef3 25126 . . . . 5 (0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ) → (coeff‘0𝑝):ℕ0⟶ℂ)
214, 20mp1i 13 . . . 4 (⊤ → (coeff‘0𝑝):ℕ0⟶ℂ)
2218, 21, 1, 1, 12caofid2 7502 . . 3 (⊤ → ((ℕ0 × {0}) ∘f · (coeff‘0𝑝)) = (ℕ0 × {0}))
236, 16, 223eqtr3d 2785 . 2 (⊤ → (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0}))
2423mptru 1550 1 (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1543  wtru 1544  wcel 2110  Vcvv 3408  wss 3866  {csn 4541   × cxp 5549  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  f cof 7467  cc 10727  0cc0 10729   · cmul 10734  0cn0 12090  0𝑝c0p 24566  Polycply 25078  coeffccoe 25080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-0p 24567  df-ply 25082  df-coe 25084  df-dgr 25085
This theorem is referenced by:  dgreq0  25159  dgrlt  25160  plymul0or  25174  plydivlem4  25189  plymulx  32239  mncn0  40670  aaitgo  40693  n0p  42267  elaa2  43453  aacllem  46179
  Copyright terms: Public domain W3C validator