MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe0 26309
Description: The coefficients of the zero polynomial are zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
coe0 (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})

Proof of Theorem coe0
StepHypRef Expression
1 0cnd 11251 . . . 4 (⊤ → 0 ∈ ℂ)
2 ssid 4017 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
3 ply0 26261 . . . . 5 (ℂ ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ))
42, 3ax-mp 5 . . . 4 0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ)
5 coemulc 26308 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ 0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ)) → (coeff‘((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝)) = ((ℕ0 × {0}) ∘f · (coeff‘0𝑝)))
61, 4, 5sylancl 586 . . 3 (⊤ → (coeff‘((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝)) = ((ℕ0 × {0}) ∘f · (coeff‘0𝑝)))
7 cnex 11233 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
87a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ℂ ∈ V)
9 plyf 26251 . . . . . . 7 (0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ) → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
104, 9mp1i 13 . . . . . 6 (⊤ → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
11 mul02 11436 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
1211adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
138, 10, 1, 1, 12caofid2 7732 . . . . 5 (⊤ → ((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝) = (ℂ × {0}))
14 df-0p 25718 . . . . 5 0𝑝 = (ℂ × {0})
1513, 14eqtr4di 2792 . . . 4 (⊤ → ((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝) = 0𝑝)
1615fveq2d 6910 . . 3 (⊤ → (coeff‘((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝)) = (coeff‘0𝑝))
17 nn0ex 12529 . . . . 5 0 ∈ V
1817a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℕ0 ∈ V)
19 eqid 2734 . . . . . 6 (coeff‘0𝑝) = (coeff‘0𝑝)
2019coef3 26285 . . . . 5 (0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ) → (coeff‘0𝑝):ℕ0⟶ℂ)
214, 20mp1i 13 . . . 4 (⊤ → (coeff‘0𝑝):ℕ0⟶ℂ)
2218, 21, 1, 1, 12caofid2 7732 . . 3 (⊤ → ((ℕ0 × {0}) ∘f · (coeff‘0𝑝)) = (ℕ0 × {0}))
236, 16, 223eqtr3d 2782 . 2 (⊤ → (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0}))
2423mptru 1543 1 (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1536  wtru 1537  wcel 2105  Vcvv 3477  wss 3962  {csn 4630   × cxp 5686  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  f cof 7694  cc 11150  0cc0 11152   · cmul 11157  0cn0 12523  0𝑝c0p 25717  Polycply 26237  coeffccoe 26239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-0p 25718  df-ply 26241  df-coe 26243  df-dgr 26244
This theorem is referenced by:  dgreq0  26319  dgrlt  26320  plymul0or  26336  plydivlem4  26352  plymulx  34541  mncn0  43127  aaitgo  43150  n0p  44982  elaa2  46189  aacllem  49031
  Copyright terms: Public domain W3C validator