Theorem coe0 26555

Description: The coefficients of the zero polynomial are zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
coe0	⊢ (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})

Proof of Theorem coe0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cnd 11280	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℂ)
2		ssid 3953	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
3		ply0 26506	. . . . 5 ⊢ (ℂ ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ)
5		coemulc 26554	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ)) → (coeff‘((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝)) = ((ℕ0 × {0}) ∘f · (coeff‘0𝑝)))
6	1, 4, 5	sylancl 598	. . 3 ⊢ (⊤ → (coeff‘((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝)) = ((ℕ0 × {0}) ∘f · (coeff‘0𝑝)))
7		cnex 11262	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
9		plyf 26496	. . . . . . 7 ⊢ (0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ) → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
10	4, 9	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
11		mul02 11469	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
12	11	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
13	8, 10, 1, 1, 12	caofid2 7718	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝) = (ℂ × {0}))
14		df-0p 25971	. . . . 5 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
15	13, 14	eqtr4di 2814	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝) = 0𝑝)
16	15	fveq2d 6881	. . 3 ⊢ (⊤ → (coeff‘((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝)) = (coeff‘0𝑝))
17		nn0ex 12593	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℕ0 ∈ V)
19		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (coeff‘0𝑝) = (coeff‘0𝑝)
20	19	coef3 26531	. . . . 5 ⊢ (0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ) → (coeff‘0𝑝):ℕ0⟶ℂ)
21	4, 20	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (⊤ → (coeff‘0𝑝):ℕ0⟶ℂ)
22	18, 21, 1, 1, 12	caofid2 7718	. . 3 ⊢ (⊤ → ((ℕ0 × {0}) ∘f · (coeff‘0𝑝)) = (ℕ0 × {0}))
23	6, 16, 22	3eqtr3d 2804	. 2 ⊢ (⊤ → (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0}))
24	23	mptru 1577	1 ⊢ (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  {csn 4584   × cxp 5649  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7680  ℂcc 11179  0cc0 11181   · cmul 11186  ℕ₀cn0 12587  0_𝑝c0p 25970  Polycply 26482  coeffccoe 26484

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-0p 25971  df-ply 26486  df-coe 26488  df-dgr 26489

This theorem is used by:  dgreq0  26564  dgrlt  26565  plymul0or  26581  plymulidp  26585  plydivlem4  26599  mncn0  44099  aaitgo  44122  n0p  46005  elaa2  47188  aacllem  50883