MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe0 24303
Description: The coefficients of the zero polynomial are zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
coe0 (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})

Proof of Theorem coe0
StepHypRef Expression
1 0cnd 10286 . . . 4 (⊤ → 0 ∈ ℂ)
2 ssid 3783 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
3 ply0 24255 . . . . 5 (ℂ ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ))
42, 3ax-mp 5 . . . 4 0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ)
5 coemulc 24302 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ 0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ)) → (coeff‘((ℂ × {0}) ∘𝑓 · 0𝑝)) = ((ℕ0 × {0}) ∘𝑓 · (coeff‘0𝑝)))
61, 4, 5sylancl 580 . . 3 (⊤ → (coeff‘((ℂ × {0}) ∘𝑓 · 0𝑝)) = ((ℕ0 × {0}) ∘𝑓 · (coeff‘0𝑝)))
7 cnex 10270 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
87a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ℂ ∈ V)
9 plyf 24245 . . . . . . 7 (0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ) → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
104, 9mp1i 13 . . . . . 6 (⊤ → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
11 mul02 10468 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
1211adantl 473 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
138, 10, 1, 1, 12caofid2 7126 . . . . 5 (⊤ → ((ℂ × {0}) ∘𝑓 · 0𝑝) = (ℂ × {0}))
14 df-0p 23728 . . . . 5 0𝑝 = (ℂ × {0})
1513, 14syl6eqr 2817 . . . 4 (⊤ → ((ℂ × {0}) ∘𝑓 · 0𝑝) = 0𝑝)
1615fveq2d 6379 . . 3 (⊤ → (coeff‘((ℂ × {0}) ∘𝑓 · 0𝑝)) = (coeff‘0𝑝))
17 nn0ex 11545 . . . . 5 0 ∈ V
1817a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℕ0 ∈ V)
19 eqid 2765 . . . . . 6 (coeff‘0𝑝) = (coeff‘0𝑝)
2019coef3 24279 . . . . 5 (0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ) → (coeff‘0𝑝):ℕ0⟶ℂ)
214, 20mp1i 13 . . . 4 (⊤ → (coeff‘0𝑝):ℕ0⟶ℂ)
2218, 21, 1, 1, 12caofid2 7126 . . 3 (⊤ → ((ℕ0 × {0}) ∘𝑓 · (coeff‘0𝑝)) = (ℕ0 × {0}))
236, 16, 223eqtr3d 2807 . 2 (⊤ → (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0}))
2423mptru 1660 1 (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1652  wtru 1653  wcel 2155  Vcvv 3350  wss 3732  {csn 4334   × cxp 5275  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑓 cof 7093  cc 10187  0cc0 10189   · cmul 10194  0cn0 11538  0𝑝c0p 23727  Polycply 24231  coeffccoe 24233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-0p 23728  df-ply 24235  df-coe 24237  df-dgr 24238
This theorem is referenced by:  dgreq0  24312  dgrlt  24313  plymul0or  24327  plydivlem4  24342  plymulx  31008  mncn0  38318  aaitgo  38341  n0p  39792  elaa2  41020  aacllem  43151
  Copyright terms: Public domain W3C validator