Theorem coe0 26229

Description: The coefficients of the zero polynomial are zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
coe0	⊢ (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})

Proof of Theorem coe0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cnd 11137	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℂ)
2		ssid 3958	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
3		ply0 26181	. . . . 5 ⊢ (ℂ ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ)
5		coemulc 26228	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ)) → (coeff‘((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝)) = ((ℕ0 × {0}) ∘f · (coeff‘0𝑝)))
6	1, 4, 5	sylancl 587	. . 3 ⊢ (⊤ → (coeff‘((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝)) = ((ℕ0 × {0}) ∘f · (coeff‘0𝑝)))
7		cnex 11119	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
9		plyf 26171	. . . . . . 7 ⊢ (0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ) → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
10	4, 9	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
11		mul02 11323	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
13	8, 10, 1, 1, 12	caofid2 7668	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝) = (ℂ × {0}))
14		df-0p 25639	. . . . 5 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
15	13, 14	eqtr4di 2790	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝) = 0𝑝)
16	15	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (⊤ → (coeff‘((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝)) = (coeff‘0𝑝))
17		nn0ex 12419	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℕ0 ∈ V)
19		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (coeff‘0𝑝) = (coeff‘0𝑝)
20	19	coef3 26205	. . . . 5 ⊢ (0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ) → (coeff‘0𝑝):ℕ0⟶ℂ)
21	4, 20	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → (coeff‘0𝑝):ℕ0⟶ℂ)
22	18, 21, 1, 1, 12	caofid2 7668	. . 3 ⊢ (⊤ → ((ℕ0 × {0}) ∘f · (coeff‘0𝑝)) = (ℕ0 × {0}))
23	6, 16, 22	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (⊤ → (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0}))
24	23	mptru 1549	1 ⊢ (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})

Syntax hints:   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  {csn 4582   × cxp 5630  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∘_f cof 7630  ℂcc 11036  0cc0 11038   · cmul 11043  ℕ₀cn0 12413  0_𝑝c0p 25638  Polycply 26157  coeffccoe 26159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-0p 25639  df-ply 26161  df-coe 26163  df-dgr 26164

This theorem is referenced by:  dgreq0  26239  dgrlt  26240  plymul0or  26256  plydivlem4  26272  plymulx  34725  mncn0  43490  aaitgo  43513  n0p  45399  elaa2  46586  aacllem  50154