Theorem coe0 24549

Description: The coefficients of the zero polynomial are zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
coe0	⊢ (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})

Proof of Theorem coe0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cnd 10432	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℂ)
2		ssid 3880	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
3		ply0 24501	. . . . 5 ⊢ (ℂ ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ)
5		coemulc 24548	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ)) → (coeff‘((ℂ × {0}) ∘𝑓 · 0𝑝)) = ((ℕ0 × {0}) ∘𝑓 · (coeff‘0𝑝)))
6	1, 4, 5	sylancl 577	. . 3 ⊢ (⊤ → (coeff‘((ℂ × {0}) ∘𝑓 · 0𝑝)) = ((ℕ0 × {0}) ∘𝑓 · (coeff‘0𝑝)))
7		cnex 10416	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
9		plyf 24491	. . . . . . 7 ⊢ (0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ) → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
10	4, 9	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
11		mul02 10618	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
12	11	adantl 474	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
13	8, 10, 1, 1, 12	caofid2 7258	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((ℂ × {0}) ∘𝑓 · 0𝑝) = (ℂ × {0}))
14		df-0p 23974	. . . . 5 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
15	13, 14	syl6eqr 2833	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((ℂ × {0}) ∘𝑓 · 0𝑝) = 0𝑝)
16	15	fveq2d 6503	. . 3 ⊢ (⊤ → (coeff‘((ℂ × {0}) ∘𝑓 · 0𝑝)) = (coeff‘0𝑝))
17		nn0ex 11714	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℕ0 ∈ V)
19		eqid 2779	. . . . . 6 ⊢ (coeff‘0𝑝) = (coeff‘0𝑝)
20	19	coef3 24525	. . . . 5 ⊢ (0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ) → (coeff‘0𝑝):ℕ0⟶ℂ)
21	4, 20	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → (coeff‘0𝑝):ℕ0⟶ℂ)
22	18, 21, 1, 1, 12	caofid2 7258	. . 3 ⊢ (⊤ → ((ℕ0 × {0}) ∘𝑓 · (coeff‘0𝑝)) = (ℕ0 × {0}))
23	6, 16, 22	3eqtr3d 2823	. 2 ⊢ (⊤ → (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0}))
24	23	mptru 1514	1 ⊢ (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})

Syntax hints:   = wceq 1507  ⊤wtru 1508   ∈ wcel 2050  Vcvv 3416   ⊆ wss 3830  {csn 4441   × cxp 5405  ⟶wf 6184  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976   ∘_𝑓 cof 7225  ℂcc 10333  0cc0 10335   · cmul 10340  ℕ₀cn0 11707  0_𝑝c0p 23973  Polycply 24477  coeffccoe 24479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-fl 12977  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706  df-rlim 14707  df-sum 14904  df-0p 23974  df-ply 24481  df-coe 24483  df-dgr 24484

This theorem is referenced by:  dgreq0  24558  dgrlt  24559  plymul0or  24573  plydivlem4  24588  plymulx  31461  mncn0  39132  aaitgo  39155  n0p  40721  elaa2  41948  aacllem  44267