Theorem mul02i 11069

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul02i	⊢ (0 · 𝐴) = 0

Proof of Theorem mul02i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul02 11058	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (0 · 𝐴) = 0

Syntax hints:   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  (class class class)co 7252  ℂcc 10775  0cc0 10777   · cmul 10782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-resscn 10834  ax-1cn 10835  ax-icn 10836  ax-addcl 10837  ax-addrcl 10838  ax-mulcl 10839  ax-mulrcl 10840  ax-mulcom 10841  ax-addass 10842  ax-mulass 10843  ax-distr 10844  ax-i2m1 10845  ax-1ne0 10846  ax-1rid 10847  ax-rnegex 10848  ax-rrecex 10849  ax-cnre 10850  ax-pre-lttri 10851  ax-pre-lttrn 10852  ax-pre-ltadd 10853

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-id 5479  df-po 5493  df-so 5494  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-ov 7255  df-er 8433  df-en 8669  df-dom 8670  df-sdom 8671  df-pnf 10917  df-mnf 10918  df-ltxr 10920

This theorem is referenced by:  abs0  14900  odd2np1lem  15952  divalglem8  16012  11prm  16719  631prm  16731  1259lem1  16735  1259lem3  16737  1259lem4  16738  2503lem1  16741  2503lem2  16742  4001lem1  16745  4001lem2  16746  4001lem3  16747  4001prm  16749  pcoass  24068  sin2pi  25512  abscxpbnd  25786  log2ub  25979  dchrmulid2  26280  lgsdir2  26358  lgsdir  26360  ex-prmo  28699  siilem2  29090  nmophmi  30269  ccfldextdgrr  31619  hgt750lem2  32507  60gcd6e6  39919  3exp7  39968  3lexlogpow5ineq1  39969  3lexlogpow5ineq5  39975  aks4d1p1  39990  sqn5i  40206  sqdeccom12  40210  stoweidlem36  43440  fmtnofac1  44883  fmtno5faclem1  44892  fmtno5faclem2  44893  31prm  44910  2exp340mod341  45046  8exp8mod9  45049  nfermltl8rev  45055  line2ylem  45958