Theorem mul02i 11370

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul02i	⊢ (0 · 𝐴) = 0

Proof of Theorem mul02i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul02 11359	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (0 · 𝐴) = 0

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075   · cmul 11080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220

This theorem is referenced by:  abs0  15258  odd2np1lem  16317  divalglem8  16377  11prm  17092  631prm  17104  1259lem1  17108  1259lem3  17110  1259lem4  17111  2503lem1  17114  2503lem2  17115  4001lem1  17118  4001lem2  17119  4001lem3  17120  4001prm  17122  pzriprnglem5  21402  pzriprnglem6  21403  pzriprng1ALT  21413  pcoass  24931  sin2pi  26391  abscxpbnd  26670  log2ub  26866  dchrmullid  27170  lgsdir2  27248  lgsdir  27250  ex-prmo  30395  siilem2  30788  nmophmi  31967  ccfldextdgrr  33674  hgt750lem2  34650  60gcd6e6  41999  3exp7  42048  3lexlogpow5ineq1  42049  3lexlogpow5ineq5  42055  aks4d1p1  42071  sqn5i  42280  sqdeccom12  42284  stoweidlem36  46041  lambert0  46895  fmtnofac1  47575  fmtno5faclem1  47584  fmtno5faclem2  47585  31prm  47602  2exp340mod341  47738  8exp8mod9  47741  nfermltl8rev  47747  line2ylem  48744