Theorem mul02i 11450

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul02i	⊢ (0 · 𝐴) = 0

Proof of Theorem mul02i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul02 11439	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (0 · 𝐴) = 0

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155   · cmul 11160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300

This theorem is referenced by:  abs0  15324  odd2np1lem  16377  divalglem8  16437  11prm  17152  631prm  17164  1259lem1  17168  1259lem3  17170  1259lem4  17171  2503lem1  17174  2503lem2  17175  4001lem1  17178  4001lem2  17179  4001lem3  17180  4001prm  17182  pzriprnglem5  21496  pzriprnglem6  21497  pzriprng1ALT  21507  pcoass  25057  sin2pi  26517  abscxpbnd  26796  log2ub  26992  dchrmullid  27296  lgsdir2  27374  lgsdir  27376  ex-prmo  30478  siilem2  30871  nmophmi  32050  ccfldextdgrr  33722  hgt750lem2  34667  60gcd6e6  42005  3exp7  42054  3lexlogpow5ineq1  42055  3lexlogpow5ineq5  42061  aks4d1p1  42077  sqn5i  42320  sqdeccom12  42324  stoweidlem36  46051  fmtnofac1  47557  fmtno5faclem1  47566  fmtno5faclem2  47567  31prm  47584  2exp340mod341  47720  8exp8mod9  47723  nfermltl8rev  47729  line2ylem  48672