Theorem mul02i 11526

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul02i	⊢ (0 · 𝐴) = 0

Proof of Theorem mul02i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul02 11515	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (0 · 𝐴) = 0

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227   · cmul 11232

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-ltxr 11375

This theorem is used by:  abs0  15481  odd2np1lem  16539  divalglem8  16599  10nprm  17320  11prm  17322  631prm  17334  1259lem1  17338  1259lem3  17340  1259lem4  17341  2503lem1  17344  2503lem2  17345  4001lem1  17348  4001lem2  17349  4001lem3  17350  4001prm  17352  pzriprnglem5  21821  pzriprnglem6  21822  pzriprng1ALT  21832  pcoass  25375  sin2pi  26834  abscxpbnd  27111  log2ub  27307  dchrmullid  27609  lgsdir2  27687  lgsdir  27689  ex-prmo  31090  siilem2  31484  nmophmi  32663  ccfldextdgrr  34374  hgt750lem2  35351  60gcd6e6  43246  3exp7  43295  3lexlogpow5ineq1  43296  3lexlogpow5ineq5  43302  aks4d1p1  43318  sqn5i  43535  sqdeccom12  43539  stoweidlem36  47251  lambert0  48142  fmtnofac1  48860  fmtno5faclem1  48869  fmtno5faclem2  48870  31prm  48887  2exp340mod341  49036  8exp8mod9  49039  nfermltl8rev  49045  line2ylem  50068