Theorem mul02i 11427

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul02i	⊢ (0 · 𝐴) = 0

Proof of Theorem mul02i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul02 11416	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (0 · 𝐴) = 0

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  0cc0 11128   · cmul 11133

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276

This theorem is used by:  abs0  15376  odd2np1lem  16436  divalglem8  16496  10nprm  17211  11prm  17213  631prm  17225  1259lem1  17229  1259lem3  17231  1259lem4  17232  2503lem1  17235  2503lem2  17236  4001lem1  17239  4001lem2  17240  4001lem3  17241  4001prm  17243  pzriprnglem5  21704  pzriprnglem6  21705  pzriprng1ALT  21715  pcoass  25258  sin2pi  26720  abscxpbnd  26998  log2ub  27194  dchrmullid  27496  lgsdir2  27574  lgsdir  27576  ex-prmo  30947  siilem2  31341  nmophmi  32520  ccfldextdgrr  34190  hgt750lem2  35168  60gcd6e6  42878  3exp7  42927  3lexlogpow5ineq1  42928  3lexlogpow5ineq5  42934  aks4d1p1  42950  sqn5i  43168  sqdeccom12  43172  stoweidlem36  46872  lambert0  47763  fmtnofac1  48481  fmtno5faclem1  48490  fmtno5faclem2  48491  31prm  48508  2exp340mod341  48657  8exp8mod9  48660  nfermltl8rev  48666  line2ylem  49689