Theorem mul02i 11499

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul02i	⊢ (0 · 𝐴) = 0

Proof of Theorem mul02i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul02 11488	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (0 · 𝐴) = 0

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200   · cmul 11205

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348

This theorem is used by:  abs0  15452  odd2np1lem  16510  divalglem8  16570  10nprm  17291  11prm  17293  631prm  17305  1259lem1  17309  1259lem3  17311  1259lem4  17312  2503lem1  17315  2503lem2  17316  4001lem1  17319  4001lem2  17320  4001lem3  17321  4001prm  17323  pzriprnglem5  21791  pzriprnglem6  21792  pzriprng1ALT  21802  pcoass  25345  sin2pi  26804  abscxpbnd  27081  log2ub  27277  dchrmullid  27579  lgsdir2  27657  lgsdir  27659  ex-prmo  31060  siilem2  31454  nmophmi  32633  ccfldextdgrr  34304  hgt750lem2  35281  60gcd6e6  43055  3exp7  43104  3lexlogpow5ineq1  43105  3lexlogpow5ineq5  43111  aks4d1p1  43127  sqn5i  43343  sqdeccom12  43347  stoweidlem36  47046  lambert0  47937  fmtnofac1  48655  fmtno5faclem1  48664  fmtno5faclem2  48665  31prm  48682  2exp340mod341  48831  8exp8mod9  48834  nfermltl8rev  48840  line2ylem  49863