Theorem mul02i 11312

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul02i	⊢ (0 · 𝐴) = 0

Proof of Theorem mul02i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul02 11301	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (0 · 𝐴) = 0

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7355  ℂcc 11014  0cc0 11016   · cmul 11021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-ltxr 11161

This theorem is referenced by:  abs0  15202  odd2np1lem  16261  divalglem8  16321  11prm  17036  631prm  17048  1259lem1  17052  1259lem3  17054  1259lem4  17055  2503lem1  17058  2503lem2  17059  4001lem1  17062  4001lem2  17063  4001lem3  17064  4001prm  17066  pzriprnglem5  21432  pzriprnglem6  21433  pzriprng1ALT  21443  pcoass  24961  sin2pi  26421  abscxpbnd  26700  log2ub  26896  dchrmullid  27200  lgsdir2  27278  lgsdir  27280  ex-prmo  30450  siilem2  30843  nmophmi  32022  ccfldextdgrr  33696  hgt750lem2  34676  60gcd6e6  42107  3exp7  42156  3lexlogpow5ineq1  42157  3lexlogpow5ineq5  42163  aks4d1p1  42179  sqn5i  42393  sqdeccom12  42397  stoweidlem36  46148  lambert0  47001  fmtnofac1  47684  fmtno5faclem1  47693  fmtno5faclem2  47694  31prm  47711  2exp340mod341  47847  8exp8mod9  47850  nfermltl8rev  47856  line2ylem  48866