Theorem mul02i 11429

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul02i	⊢ (0 · 𝐴) = 0

Proof of Theorem mul02i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul02 11418	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (0 · 𝐴) = 0

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  0cc0 11134   · cmul 11139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279

This theorem is referenced by:  abs0  15309  odd2np1lem  16364  divalglem8  16424  11prm  17139  631prm  17151  1259lem1  17155  1259lem3  17157  1259lem4  17158  2503lem1  17161  2503lem2  17162  4001lem1  17165  4001lem2  17166  4001lem3  17167  4001prm  17169  pzriprnglem5  21451  pzriprnglem6  21452  pzriprng1ALT  21462  pcoass  24980  sin2pi  26441  abscxpbnd  26720  log2ub  26916  dchrmullid  27220  lgsdir2  27298  lgsdir  27300  ex-prmo  30445  siilem2  30838  nmophmi  32017  ccfldextdgrr  33718  hgt750lem2  34689  60gcd6e6  42022  3exp7  42071  3lexlogpow5ineq1  42072  3lexlogpow5ineq5  42078  aks4d1p1  42094  sqn5i  42302  sqdeccom12  42306  stoweidlem36  46032  lambert0  46886  fmtnofac1  47551  fmtno5faclem1  47560  fmtno5faclem2  47561  31prm  47578  2exp340mod341  47714  8exp8mod9  47717  nfermltl8rev  47723  line2ylem  48698