Theorem mul02i 11387

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul02i	⊢ (0 · 𝐴) = 0

Proof of Theorem mul02i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul02 11376	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (0 · 𝐴) = 0

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088   · cmul 11093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236

This theorem is referenced by:  abs0  15326  odd2np1lem  16388  divalglem8  16448  10nprm  17163  11prm  17165  631prm  17177  1259lem1  17181  1259lem3  17183  1259lem4  17184  2503lem1  17187  2503lem2  17188  4001lem1  17191  4001lem2  17192  4001lem3  17193  4001prm  17195  pzriprnglem5  21595  pzriprnglem6  21596  pzriprng1ALT  21606  pcoass  25144  sin2pi  26598  abscxpbnd  26876  log2ub  27072  dchrmullid  27374  lgsdir2  27452  lgsdir  27454  ex-prmo  30719  siilem2  31113  nmophmi  32292  ccfldextdgrr  33979  hgt750lem2  34956  60gcd6e6  42633  3exp7  42682  3lexlogpow5ineq1  42683  3lexlogpow5ineq5  42689  aks4d1p1  42705  sqn5i  42906  sqdeccom12  42910  stoweidlem36  46608  lambert0  47479  fmtnofac1  48177  fmtno5faclem1  48186  fmtno5faclem2  48187  31prm  48204  2exp340mod341  48353  8exp8mod9  48356  nfermltl8rev  48362  line2ylem  49382