MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnnn0modprm0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnnn0modprm0 16135
Description: For a positive integer and a nonnegative integer both less than a given prime number there is always a second nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of this second nonnegative integer multiplied with the positive integer and the first nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
nnnn0modprm0 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
Distinct variable groups:   𝑗,𝐼   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗

Proof of Theorem nnnn0modprm0
StepHypRef Expression
1 prmnn 16010 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3 fzo0sn0fzo1 13119 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → (0..^𝑃) = ({0} ∪ (1..^𝑃)))
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (0..^𝑃) = ({0} ∪ (1..^𝑃)))
54eleq2d 2902 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^𝑃) ↔ 𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑃))))
6 elun 4128 . . . . 5 (𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑃)) ↔ (𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)))
7 elsni 4580 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ {0} → 𝐼 = 0)
8 lbfzo0 13070 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0..^𝑃) ↔ 𝑃 ∈ ℕ)
91, 8sylibr 235 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℙ → 0 ∈ (0..^𝑃))
10 elfzoelz 13031 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → 𝑁 ∈ ℤ)
11 zcn 11978 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
12 mul02 10810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℂ → (0 · 𝑁) = 0)
1312oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℂ → (0 + (0 · 𝑁)) = (0 + 0))
14 00id 10807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + 0) = 0
1513, 14syl6eq 2876 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℂ → (0 + (0 · 𝑁)) = 0)
1610, 11, 153syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → (0 + (0 · 𝑁)) = 0)
1716adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (0 + (0 · 𝑁)) = 0)
1817oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((0 + (0 · 𝑁)) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
19 nnrp 12393 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
20 0mod 13263 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
211, 19, 203syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → (0 mod 𝑃) = 0)
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (0 mod 𝑃) = 0)
2318, 22eqtrd 2860 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((0 + (0 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
24 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 0 → (𝑗 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
2524oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 0 → (0 + (𝑗 · 𝑁)) = (0 + (0 · 𝑁)))
2625oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 0 → ((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = ((0 + (0 · 𝑁)) mod 𝑃))
2726eqeq1d 2827 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 0 → (((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ((0 + (0 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
2827rspcev 3626 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ (0..^𝑃) ∧ ((0 + (0 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
299, 23, 28syl2an2r 681 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
3029adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐼 = 0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
31 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 = 0 → (𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) = (0 + (𝑗 · 𝑁)))
3231oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 = 0 → ((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = ((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃))
3332eqeq1d 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = 0 → (((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
3433adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 = 0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
3534rexbidv 3301 . . . . . . . . 9 ((𝐼 = 0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → (∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
3630, 35mpbird 258 . . . . . . . 8 ((𝐼 = 0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
3736ex 413 . . . . . . 7 (𝐼 = 0 → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
387, 37syl 17 . . . . . 6 (𝐼 ∈ {0} → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
39 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
4039adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (1..^𝑃) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑃 ∈ ℙ)
41 simprr 769 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (1..^𝑃) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑁 ∈ (1..^𝑃))
42 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (1..^𝑃) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 ∈ (1..^𝑃))
43 modprm0 16134 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
4440, 41, 42, 43syl3anc 1365 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (1..^𝑃) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
4544ex 413 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
4638, 45jaoi 853 . . . . 5 ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
476, 46sylbi 218 . . . 4 (𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑃)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
4847com12 32 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
495, 48sylbid 241 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^𝑃) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
50493impia 1111 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wrex 3143  cun 3937  {csn 4563  (class class class)co 7151  cc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  cn 11630  cz 11973  +crp 12382  ..^cfzo 13026   mod cmo 13230  cprime 16007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-dvds 15600  df-gcd 15836  df-prm 16008  df-phi 16095
This theorem is referenced by:  modprmn0modprm0  16136
  Copyright terms: Public domain W3C validator