MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnnn0modprm0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnnn0modprm0 15889
Description: For a positive integer and a nonnegative integer both less than a given prime number there is always a second nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of this second nonnegative integer multiplied with the positive integer and the first nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
nnnn0modprm0 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
Distinct variable groups:   𝑗,𝐼   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗

Proof of Theorem nnnn0modprm0
StepHypRef Expression
1 prmnn 15767 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21adantr 474 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3 fzo0sn0fzo1 12859 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → (0..^𝑃) = ({0} ∪ (1..^𝑃)))
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (0..^𝑃) = ({0} ∪ (1..^𝑃)))
54eleq2d 2892 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^𝑃) ↔ 𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑃))))
6 elun 3982 . . . . 5 (𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑃)) ↔ (𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)))
7 elsni 4416 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ {0} → 𝐼 = 0)
8 lbfzo0 12810 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ (0..^𝑃) ↔ 𝑃 ∈ ℕ)
91, 8sylibr 226 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 0 ∈ (0..^𝑃))
109adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 0 ∈ (0..^𝑃))
11 elfzoelz 12772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → 𝑁 ∈ ℤ)
12 zcn 11716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
13 mul02 10540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℂ → (0 · 𝑁) = 0)
1413oveq2d 6926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℂ → (0 + (0 · 𝑁)) = (0 + 0))
15 00id 10537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + 0) = 0
1614, 15syl6eq 2877 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℂ → (0 + (0 · 𝑁)) = 0)
1711, 12, 163syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → (0 + (0 · 𝑁)) = 0)
1817adantl 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (0 + (0 · 𝑁)) = 0)
1918oveq1d 6925 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((0 + (0 · 𝑁)) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
20 nnrp 12132 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
21 0mod 13003 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
221, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → (0 mod 𝑃) = 0)
2322adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (0 mod 𝑃) = 0)
2419, 23eqtrd 2861 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((0 + (0 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
25 oveq1 6917 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 0 → (𝑗 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
2625oveq2d 6926 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 0 → (0 + (𝑗 · 𝑁)) = (0 + (0 · 𝑁)))
2726oveq1d 6925 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 0 → ((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = ((0 + (0 · 𝑁)) mod 𝑃))
2827eqeq1d 2827 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 0 → (((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ((0 + (0 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
2928rspcev 3526 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ (0..^𝑃) ∧ ((0 + (0 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
3010, 24, 29syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
3130adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝐼 = 0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
32 oveq1 6917 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 = 0 → (𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) = (0 + (𝑗 · 𝑁)))
3332oveq1d 6925 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 = 0 → ((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = ((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃))
3433eqeq1d 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = 0 → (((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
3534adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 = 0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
3635rexbidv 3262 . . . . . . . . 9 ((𝐼 = 0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → (∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
3731, 36mpbird 249 . . . . . . . 8 ((𝐼 = 0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
3837ex 403 . . . . . . 7 (𝐼 = 0 → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
397, 38syl 17 . . . . . 6 (𝐼 ∈ {0} → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
40 simpl 476 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
4140adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (1..^𝑃) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑃 ∈ ℙ)
42 simprr 789 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (1..^𝑃) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑁 ∈ (1..^𝑃))
43 simpl 476 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (1..^𝑃) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 ∈ (1..^𝑃))
44 modprm0 15888 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
4541, 42, 43, 44syl3anc 1494 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (1..^𝑃) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
4645ex 403 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
4739, 46jaoi 888 . . . . 5 ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
486, 47sylbi 209 . . . 4 (𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑃)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
4948com12 32 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
505, 49sylbid 232 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^𝑃) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
51503impia 1149 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wo 878  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wrex 3118  cun 3796  {csn 4399  (class class class)co 6910  cc 10257  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264  cn 11357  cz 11711  +crp 12119  ..^cfzo 12767   mod cmo 12970  cprime 15764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-inf 8624  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-xnn0 11698  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-mod 12971  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-dvds 15365  df-gcd 15597  df-prm 15765  df-phi 15849
This theorem is referenced by:  modprmn0modprm0  15890
  Copyright terms: Public domain W3C validator