MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnnn0modprm0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnnn0modprm0 16244
Description: For a positive integer and a nonnegative integer both less than a given prime number there is always a second nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of this second nonnegative integer multiplied with the positive integer and the first nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
nnnn0modprm0 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
Distinct variable groups:   𝑗,𝐼   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗

Proof of Theorem nnnn0modprm0
StepHypRef Expression
1 prmnn 16116 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21adantr 484 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3 fzo0sn0fzo1 13218 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → (0..^𝑃) = ({0} ∪ (1..^𝑃)))
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (0..^𝑃) = ({0} ∪ (1..^𝑃)))
54eleq2d 2818 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^𝑃) ↔ 𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑃))))
6 elun 4040 . . . . 5 (𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑃)) ↔ (𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)))
7 elsni 4534 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ {0} → 𝐼 = 0)
8 lbfzo0 13169 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0..^𝑃) ↔ 𝑃 ∈ ℕ)
91, 8sylibr 237 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℙ → 0 ∈ (0..^𝑃))
10 elfzoelz 13130 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → 𝑁 ∈ ℤ)
11 zcn 12068 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
12 mul02 10897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℂ → (0 · 𝑁) = 0)
1312oveq2d 7187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℂ → (0 + (0 · 𝑁)) = (0 + 0))
14 00id 10894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + 0) = 0
1513, 14eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℂ → (0 + (0 · 𝑁)) = 0)
1610, 11, 153syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → (0 + (0 · 𝑁)) = 0)
1716adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (0 + (0 · 𝑁)) = 0)
1817oveq1d 7186 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((0 + (0 · 𝑁)) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
19 nnrp 12484 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
20 0mod 13362 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
211, 19, 203syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → (0 mod 𝑃) = 0)
2221adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (0 mod 𝑃) = 0)
2318, 22eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((0 + (0 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
24 oveq1 7178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 0 → (𝑗 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
2524oveq2d 7187 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 0 → (0 + (𝑗 · 𝑁)) = (0 + (0 · 𝑁)))
2625oveq1d 7186 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 0 → ((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = ((0 + (0 · 𝑁)) mod 𝑃))
2726eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 0 → (((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ((0 + (0 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
2827rspcev 3527 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ (0..^𝑃) ∧ ((0 + (0 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
299, 23, 28syl2an2r 685 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
3029adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝐼 = 0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
31 oveq1 7178 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 = 0 → (𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) = (0 + (𝑗 · 𝑁)))
3231oveq1d 7186 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 = 0 → ((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = ((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃))
3332eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = 0 → (((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
3433adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 = 0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
3534rexbidv 3207 . . . . . . . . 9 ((𝐼 = 0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → (∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
3630, 35mpbird 260 . . . . . . . 8 ((𝐼 = 0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
3736ex 416 . . . . . . 7 (𝐼 = 0 → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
387, 37syl 17 . . . . . 6 (𝐼 ∈ {0} → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
39 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
4039adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (1..^𝑃) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑃 ∈ ℙ)
41 simprr 773 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (1..^𝑃) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑁 ∈ (1..^𝑃))
42 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (1..^𝑃) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 ∈ (1..^𝑃))
43 modprm0 16243 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
4440, 41, 42, 43syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (1..^𝑃) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
4544ex 416 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
4638, 45jaoi 856 . . . . 5 ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
476, 46sylbi 220 . . . 4 (𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑃)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
4847com12 32 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
495, 48sylbid 243 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^𝑃) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
50493impia 1118 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wrex 3054  cun 3842  {csn 4517  (class class class)co 7171  cc 10614  0cc0 10616  1c1 10617   + caddc 10619   · cmul 10621  cn 11717  cz 12063  +crp 12473  ..^cfzo 13125   mod cmo 13329  cprime 16113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693  ax-pre-sup 10694
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-1o 8132  df-2o 8133  df-oadd 8136  df-er 8321  df-map 8440  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-fin 8560  df-sup 8980  df-inf 8981  df-dju 9404  df-card 9442  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-div 11377  df-nn 11718  df-2 11780  df-3 11781  df-n0 11978  df-xnn0 12050  df-z 12064  df-uz 12326  df-rp 12474  df-fz 12983  df-fzo 13126  df-fl 13254  df-mod 13330  df-seq 13462  df-exp 13523  df-hash 13784  df-cj 14549  df-re 14550  df-im 14551  df-sqrt 14685  df-abs 14686  df-dvds 15701  df-gcd 15939  df-prm 16114  df-phi 16204
This theorem is referenced by:  modprmn0modprm0  16245
  Copyright terms: Public domain W3C validator