MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnnn0modprm0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnnn0modprm0 16739
Description: For a positive integer and a nonnegative integer both less than a given prime number there is always a second nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of this second nonnegative integer multiplied with the positive integer and the first nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
nnnn0modprm0 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
Distinct variable groups:   ๐‘—,๐ผ   ๐‘—,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘—

Proof of Theorem nnnn0modprm0
StepHypRef Expression
1 prmnn 16611 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
21adantr 482 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
3 fzo0sn0fzo1 13721 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (0..^๐‘ƒ) = ({0} โˆช (1..^๐‘ƒ)))
42, 3syl 17 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (0..^๐‘ƒ) = ({0} โˆช (1..^๐‘ƒ)))
54eleq2d 2820 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘ƒ) โ†” ๐ผ โˆˆ ({0} โˆช (1..^๐‘ƒ))))
6 elun 4149 . . . . 5 (๐ผ โˆˆ ({0} โˆช (1..^๐‘ƒ)) โ†” (๐ผ โˆˆ {0} โˆจ ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)))
7 elsni 4646 . . . . . . 7 (๐ผ โˆˆ {0} โ†’ ๐ผ = 0)
8 lbfzo0 13672 . . . . . . . . . . . 12 (0 โˆˆ (0..^๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
91, 8sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 0 โˆˆ (0..^๐‘ƒ))
10 elfzoelz 13632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
11 zcn 12563 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
12 mul02 11392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 ยท ๐‘) = 0)
1312oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + (0 ยท ๐‘)) = (0 + 0))
14 00id 11389 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + 0) = 0
1513, 14eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + (0 ยท ๐‘)) = 0)
1610, 11, 153syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ (0 + (0 ยท ๐‘)) = 0)
1716adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (0 + (0 ยท ๐‘)) = 0)
1817oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((0 + (0 ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ))
19 nnrp 12985 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
20 0mod 13867 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„+ โ†’ (0 mod ๐‘ƒ) = 0)
211, 19, 203syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (0 mod ๐‘ƒ) = 0)
2221adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (0 mod ๐‘ƒ) = 0)
2318, 22eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((0 + (0 ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
24 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘— = 0 โ†’ (๐‘— ยท ๐‘) = (0 ยท ๐‘))
2524oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— = 0 โ†’ (0 + (๐‘— ยท ๐‘)) = (0 + (0 ยท ๐‘)))
2625oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— = 0 โ†’ ((0 + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = ((0 + (0 ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ))
2726eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = 0 โ†’ (((0 + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0 โ†” ((0 + (0 ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
2827rspcev 3613 . . . . . . . . . . 11 ((0 โˆˆ (0..^๐‘ƒ) โˆง ((0 + (0 ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((0 + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
299, 23, 28syl2an2r 684 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((0 + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
3029adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐ผ = 0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((0 + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
31 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ผ = 0 โ†’ (๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) = (0 + (๐‘— ยท ๐‘)))
3231oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (๐ผ = 0 โ†’ ((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = ((0 + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ))
3332eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . 11 (๐ผ = 0 โ†’ (((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0 โ†” ((0 + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
3433adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐ผ = 0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0 โ†” ((0 + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
3534rexbidv 3179 . . . . . . . . 9 ((๐ผ = 0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0 โ†” โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((0 + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
3630, 35mpbird 257 . . . . . . . 8 ((๐ผ = 0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
3736ex 414 . . . . . . 7 (๐ผ = 0 โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
387, 37syl 17 . . . . . 6 (๐ผ โˆˆ {0} โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
39 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
4039adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
41 simprr 772 . . . . . . . 8 ((๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))
42 simpl 484 . . . . . . . 8 ((๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))
43 modprm0 16738 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
4440, 41, 42, 43syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
4544ex 414 . . . . . 6 (๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
4638, 45jaoi 856 . . . . 5 ((๐ผ โˆˆ {0} โˆจ ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
476, 46sylbi 216 . . . 4 (๐ผ โˆˆ ({0} โˆช (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
4847com12 32 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (๐ผ โˆˆ ({0} โˆช (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
495, 48sylbid 239 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘ƒ) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
50493impia 1118 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3071   โˆช cun 3947  {csn 4629  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115  โ„•cn 12212  โ„คcz 12558  โ„+crp 12974  ..^cfzo 13627   mod cmo 13834  โ„™cprime 16608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-phi 16699
This theorem is referenced by:  modprmn0modprm0  16740
  Copyright terms: Public domain W3C validator