MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnnn0modprm0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnnn0modprm0 16766
Description: For a positive integer and a nonnegative integer both less than a given prime number there is always a second nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of this second nonnegative integer multiplied with the positive integer and the first nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
nnnn0modprm0 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
Distinct variable groups:   ๐‘—,๐ผ   ๐‘—,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘—

Proof of Theorem nnnn0modprm0
StepHypRef Expression
1 prmnn 16636 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
21adantr 480 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
3 fzo0sn0fzo1 13745 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (0..^๐‘ƒ) = ({0} โˆช (1..^๐‘ƒ)))
42, 3syl 17 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (0..^๐‘ƒ) = ({0} โˆช (1..^๐‘ƒ)))
54eleq2d 2814 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘ƒ) โ†” ๐ผ โˆˆ ({0} โˆช (1..^๐‘ƒ))))
6 elun 4144 . . . . 5 (๐ผ โˆˆ ({0} โˆช (1..^๐‘ƒ)) โ†” (๐ผ โˆˆ {0} โˆจ ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)))
7 elsni 4641 . . . . . . 7 (๐ผ โˆˆ {0} โ†’ ๐ผ = 0)
8 lbfzo0 13696 . . . . . . . . . . . 12 (0 โˆˆ (0..^๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
91, 8sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 0 โˆˆ (0..^๐‘ƒ))
10 elfzoelz 13656 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
11 zcn 12585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
12 mul02 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 ยท ๐‘) = 0)
1312oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + (0 ยท ๐‘)) = (0 + 0))
14 00id 11411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + 0) = 0
1513, 14eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + (0 ยท ๐‘)) = 0)
1610, 11, 153syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ (0 + (0 ยท ๐‘)) = 0)
1716adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (0 + (0 ยท ๐‘)) = 0)
1817oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((0 + (0 ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ))
19 nnrp 13009 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
20 0mod 13891 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„+ โ†’ (0 mod ๐‘ƒ) = 0)
211, 19, 203syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (0 mod ๐‘ƒ) = 0)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (0 mod ๐‘ƒ) = 0)
2318, 22eqtrd 2767 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((0 + (0 ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
24 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘— = 0 โ†’ (๐‘— ยท ๐‘) = (0 ยท ๐‘))
2524oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— = 0 โ†’ (0 + (๐‘— ยท ๐‘)) = (0 + (0 ยท ๐‘)))
2625oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— = 0 โ†’ ((0 + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = ((0 + (0 ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ))
2726eqeq1d 2729 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = 0 โ†’ (((0 + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0 โ†” ((0 + (0 ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
2827rspcev 3607 . . . . . . . . . . 11 ((0 โˆˆ (0..^๐‘ƒ) โˆง ((0 + (0 ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((0 + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
299, 23, 28syl2an2r 684 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((0 + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
3029adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐ผ = 0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((0 + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
31 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ผ = 0 โ†’ (๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) = (0 + (๐‘— ยท ๐‘)))
3231oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (๐ผ = 0 โ†’ ((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = ((0 + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ))
3332eqeq1d 2729 . . . . . . . . . . 11 (๐ผ = 0 โ†’ (((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0 โ†” ((0 + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
3433adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐ผ = 0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0 โ†” ((0 + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
3534rexbidv 3173 . . . . . . . . 9 ((๐ผ = 0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0 โ†” โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((0 + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
3630, 35mpbird 257 . . . . . . . 8 ((๐ผ = 0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
3736ex 412 . . . . . . 7 (๐ผ = 0 โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
387, 37syl 17 . . . . . 6 (๐ผ โˆˆ {0} โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
39 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
4039adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
41 simprr 772 . . . . . . . 8 ((๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))
42 simpl 482 . . . . . . . 8 ((๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))
43 modprm0 16765 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
4440, 41, 42, 43syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
4544ex 412 . . . . . 6 (๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
4638, 45jaoi 856 . . . . 5 ((๐ผ โˆˆ {0} โˆจ ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
476, 46sylbi 216 . . . 4 (๐ผ โˆˆ ({0} โˆช (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
4847com12 32 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (๐ผ โˆˆ ({0} โˆช (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
495, 48sylbid 239 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘ƒ) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
50493impia 1115 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆƒwrex 3065   โˆช cun 3942  {csn 4624  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135  โ„•cn 12234  โ„คcz 12580  โ„+crp 12998  ..^cfzo 13651   mod cmo 13858  โ„™cprime 16633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-prm 16634  df-phi 16726
This theorem is referenced by:  modprmn0modprm0  16767
  Copyright terms: Public domain W3C validator