Theorem nnnn0modprm0 16784

Description: For a positive integer and a nonnegative integer both less than a given prime number there is always a second nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of this second nonnegative integer multiplied with the positive integer and the first nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nnnn0modprm0	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)

Distinct variable groups:   𝑗,𝐼   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗

Proof of Theorem nnnn0modprm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16651	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3		fzo0sn0fzo1 13723	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (0..^𝑃) = ({0} ∪ (1..^𝑃)))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (0..^𝑃) = ({0} ∪ (1..^𝑃)))
5	4	eleq2d 2815	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^𝑃) ↔ 𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑃))))
6		elun 4119	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑃)) ↔ (𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)))
7		elsni 4609	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ {0} → 𝐼 = 0)
8		lbfzo0 13667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑃) ↔ 𝑃 ∈ ℕ)
9	1, 8	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 0 ∈ (0..^𝑃))
10		elfzoelz 13627	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → 𝑁 ∈ ℤ)
11		zcn 12541	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
12		mul02 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (0 · 𝑁) = 0)
13	12	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (0 + (0 · 𝑁)) = (0 + 0))
14		00id 11356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 + 0) = 0
15	13, 14	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (0 + (0 · 𝑁)) = 0)
16	10, 11, 15	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → (0 + (0 · 𝑁)) = 0)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (0 + (0 · 𝑁)) = 0)
18	17	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((0 + (0 · 𝑁)) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
19		nnrp 12970	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
20		0mod 13871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
21	1, 19, 20	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (0 mod 𝑃) = 0)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (0 mod 𝑃) = 0)
23	18, 22	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((0 + (0 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
24		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑗 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
25	24	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 0 → (0 + (𝑗 · 𝑁)) = (0 + (0 · 𝑁)))
26	25	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 0 → ((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = ((0 + (0 · 𝑁)) mod 𝑃))
27	26	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 0 → (((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ((0 + (0 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
28	27	rspcev 3591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑃) ∧ ((0 + (0 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
29	9, 23, 28	syl2an2r 685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
30	29	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 = 0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
31		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 = 0 → (𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) = (0 + (𝑗 · 𝑁)))
32	31	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 = 0 → ((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = ((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃))
33	32	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = 0 → (((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 = 0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
35	34	rexbidv 3158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 = 0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → (∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
36	30, 35	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 = 0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
37	36	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 = 0 → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
38	7, 37	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ {0} → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
39		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
40	39	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (1..^𝑃) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑃 ∈ ℙ)
41		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (1..^𝑃) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑁 ∈ (1..^𝑃))
42		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (1..^𝑃) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 ∈ (1..^𝑃))
43		modprm0 16783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
44	40, 41, 42, 43	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ (1..^𝑃) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
45	44	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
46	38, 45	jaoi 857	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
47	6, 46	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑃)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
48	47	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
49	5, 48	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^𝑃) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
50	49	3impia 1117	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   ∪ cun 3915  {csn 4592  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080  ℕcn 12193  ℤcz 12536  ℝ⁺crp 12958  ..^cfzo 13622   mod cmo 13838  ℙcprime 16648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-gcd 16472  df-prm 16649  df-phi 16743

This theorem is referenced by:  modprmn0modprm0  16785