Theorem mzpnegmpt 38260

Description: Negation of a polynomial function. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpnegmpt	⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ -𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem mzpnegmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 10609	. . 3 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2	1	mpteq2i 4976	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ -𝐴) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (0 − 𝐴))
3		elfvex 6480	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
4		0z 11739	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		mzpconstmpt 38256	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 0) ∈ (mzPoly‘𝑉))
6	3, 4, 5	sylancl 580	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 0) ∈ (mzPoly‘𝑉))
7		mzpsubmpt 38259	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 0) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (0 − 𝐴)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
8	6, 7	mpancom 678	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (0 − 𝐴)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
9	2, 8	syl5eqel 2862	1 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ -𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  Vcvv 3397   ↦ cmpt 4965  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↑_𝑚 cmap 8140  0cc0 10272   − cmin 10606  -cneg 10607  ℤcz 11728  mzPolycmzp 38238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-mzpcl 38239  df-mzp 38240

This theorem is referenced by:  dvdsrabdioph  38327