Theorem mzpconstmpt 38084

Description: A constant function expressed in maps-to notation is polynomial. This theorem and the several that follow (mzpaddmpt 38085, mzpmulmpt 38086, mzpnegmpt 38088, mzpsubmpt 38087, mzpexpmpt 38089) can be used to build proofs that functions which are "manifestly polynomial", in the sense of being a maps-to containing constants, projections, and simple arithmetic operations, are actually polynomial functions. There is no mzpprojmpt because mzpproj 38081 is already expressed using maps-to notation. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpconstmpt	⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐶) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐶

Proof of Theorem mzpconstmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 5369	. 2 ⊢ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝐶}) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐶)
2		mzpconst 38079	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝐶}) ∈ (mzPoly‘𝑉))
3	1, 2	syl5eqelr 2884	1 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐶) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∈ wcel 2157  Vcvv 3386  {csn 4369   ↦ cmpt 4923   × cxp 5311  ‘cfv 6102  (class class class)co 6879   ↑_𝑚 cmap 8096  ℤcz 11665  mzPolycmzp 38066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-of 7132  df-om 7301  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-er 7983  df-map 8098  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-n0 11580  df-z 11666  df-mzpcl 38067  df-mzp 38068

This theorem is referenced by:  mzpsubmpt  38087  mzpnegmpt  38088  mzpexpmpt  38089  mzpsubst  38092  0dioph  38123  vdioph  38124  eluzrabdioph  38151  rmydioph  38361  rmxdioph  38363  expdiophlem2  38369  expdioph  38370