Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpexpmpt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mzpexpmpt 42087
Description: Raise a polynomial function to a (fixed) exponent. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpexpmpt (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝐷
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘₯)
Proof of Theorem mzpexpmpt
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7422 . . . . . 6 (π‘Ž = 0 β†’ (π΄β†‘π‘Ž) = (𝐴↑0))
21mpteq2dv 5244 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)))
32eleq1d 2813 . . . 4 (π‘Ž = 0 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)))
43imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = 0 β†’ (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) ↔ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))))
5 oveq2 7422 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π΄β†‘π‘Ž) = (𝐴↑𝑏))
65mpteq2dv 5244 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)))
76eleq1d 2813 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)))
87imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) ↔ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))))
9 oveq2 7422 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (π΄β†‘π‘Ž) = (𝐴↑(𝑏 + 1)))
109mpteq2dv 5244 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))))
1110eleq1d 2813 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)))
1211imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) ↔ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))))
13 oveq2 7422 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝐷 β†’ (π΄β†‘π‘Ž) = (𝐴↑𝐷))
1413mpteq2dv 5244 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐷 β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)))
1514eleq1d 2813 . . . 4 (π‘Ž = 𝐷 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)))
1615imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = 𝐷 β†’ (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) ↔ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))))
17 mzpf 42078 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€)
18 zsscn 12588 . . . . . . 7 β„€ βŠ† β„‚
19 fss 6733 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ β„€ βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„‚)
2017, 18, 19sylancl 585 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„‚)
21 eqid 2727 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴)
2221fmpt 7114 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„‚)
2320, 22sylibr 233 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚)
24 nfra1 3276 . . . . . 6 β„²π‘₯βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚
25 rspa 3240 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2625exp0d 14128 . . . . . 6 ((βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ (𝐴↑0) = 1)
2724, 26mpteq2da 5240 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 1))
2823, 27syl 17 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 1))
29 elfvex 6929 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ 𝑉 ∈ V)
30 1z 12614 . . . . 5 1 ∈ β„€
31 mzpconstmpt 42082 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 1) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
3229, 30, 31sylancl 585 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 1) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
3328, 32eqeltrd 2828 . . 3 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
34233ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚)
35 simp1 1134 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
36 nfv 1910 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ 𝑏 ∈ β„•0
3724, 36nfan 1895 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„•0)
3825adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
39 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
4038, 39expp1d 14135 . . . . . . . 8 (((βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ (𝐴↑(𝑏 + 1)) = ((𝐴↑𝑏) Β· 𝐴))
4137, 40mpteq2da 5240 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) Β· 𝐴)))
4234, 35, 41syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) Β· 𝐴)))
43 simp3 1136 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
44 simp2 1135 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
45 mzpmulmpt 42084 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) Β· 𝐴)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
4643, 44, 45syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) Β· 𝐴)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
4742, 46eqeltrd 2828 . . . . 5 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
48473exp 1117 . . . 4 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))))
4948a2d 29 . . 3 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))))
504, 8, 12, 16, 33, 49nn0ind 12679 . 2 (𝐷 ∈ β„•0 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)))
5150impcom 407 1 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944   ↦ cmpt 5225  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8836  β„‚cc 11128  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   Β· cmul 11135  β„•0cn0 12494  β„€cz 12580  β†‘cexp 14050  mzPolycmzp 42064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-seq 13991  df-exp 14051  df-mzpcl 42065  df-mzp 42066
This theorem is referenced by:  diophin  42114  rmydioph  42357  rmxdioph  42359  expdiophlem2  42365
  Copyright terms: Public domain W3C validator