Theorem mzpexpmpt 43832

Description: Raise a polynomial function to a (fixed) exponent. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpexpmpt	⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐷

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem mzpexpmpt

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑0))
2	1	mpteq2dv 5198	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)))
3	2	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
4	3	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
5		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝑏))
6	5	mpteq2dv 5198	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)))
7	6	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
8	7	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
9		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑(𝑏 + 1)))
10	9	mpteq2dv 5198	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))))
11	10	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
12	11	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
13		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝐷))
14	13	mpteq2dv 5198	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)))
15	14	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
16	15	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
17		mzpf 43823	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
18		zsscn 12702	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
19		fss 6726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℂ)
20	17, 18, 19	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℂ)
21		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴)
22	21	fmpt 7110	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℂ)
23	20, 22	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → ∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ)
24		nfra1 3286	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ
25		rspa 3251	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25	exp0d 14284	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝐴↑0) = 1)
27	24, 26	mpteq2da 5196	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 1))
28	23, 27	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 1))
29		elfvex 6920	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
30		1z 12727	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
31		mzpconstmpt 43827	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘𝑉))
32	29, 30, 31	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘𝑉))
33	28, 32	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
34	23	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ)
35		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
36		nfv 1946	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑏 ∈ ℕ0
37	24, 36	nfan 1931	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)
38	25	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝐴 ∈ ℂ)
39		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
40	38, 39	expp1d 14291	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) = ((𝐴↑𝑏) · 𝐴))
41	37, 40	mpteq2da 5196	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) · 𝐴)))
42	34, 35, 41	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) · 𝐴)))
43		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
44		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉))
45		mzpmulmpt 43829	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) · 𝐴)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
46	43, 44, 45	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) · 𝐴)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
47	42, 46	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉))
48	47	3exp 1137	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
49	48	a2d 30	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
50	4, 8, 12, 16, 33, 49	nn0ind 12795	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
51	50	impcom 413	1 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8848  ℂcc 11199  0cc0 11201  1c1 11202   + caddc 11204   · cmul 11206  ℕ₀cn0 12607  ℤcz 12694  ↑cexp 14205  mzPolycmzp 43809

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-map 8850  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-seq 14146  df-exp 14206  df-mzpcl 43810  df-mzp 43811

This theorem is used by:  diophin  43859  rmydioph  44097  rmxdioph  44099  expdiophlem2  44105