Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpexpmpt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mzpexpmpt 41483
Description: Raise a polynomial function to a (fixed) exponent. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpexpmpt (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝐷
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘₯)
Proof of Theorem mzpexpmpt
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7417 . . . . . 6 (π‘Ž = 0 β†’ (π΄β†‘π‘Ž) = (𝐴↑0))
21mpteq2dv 5251 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)))
32eleq1d 2819 . . . 4 (π‘Ž = 0 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)))
43imbi2d 341 . . 3 (π‘Ž = 0 β†’ (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) ↔ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))))
5 oveq2 7417 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π΄β†‘π‘Ž) = (𝐴↑𝑏))
65mpteq2dv 5251 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)))
76eleq1d 2819 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)))
87imbi2d 341 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) ↔ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))))
9 oveq2 7417 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (π΄β†‘π‘Ž) = (𝐴↑(𝑏 + 1)))
109mpteq2dv 5251 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))))
1110eleq1d 2819 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)))
1211imbi2d 341 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) ↔ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))))
13 oveq2 7417 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝐷 β†’ (π΄β†‘π‘Ž) = (𝐴↑𝐷))
1413mpteq2dv 5251 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐷 β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)))
1514eleq1d 2819 . . . 4 (π‘Ž = 𝐷 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)))
1615imbi2d 341 . . 3 (π‘Ž = 𝐷 β†’ (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) ↔ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))))
17 mzpf 41474 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€)
18 zsscn 12566 . . . . . . 7 β„€ βŠ† β„‚
19 fss 6735 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ β„€ βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„‚)
2017, 18, 19sylancl 587 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„‚)
21 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴)
2221fmpt 7110 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„‚)
2320, 22sylibr 233 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚)
24 nfra1 3282 . . . . . 6 β„²π‘₯βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚
25 rspa 3246 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2625exp0d 14105 . . . . . 6 ((βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ (𝐴↑0) = 1)
2724, 26mpteq2da 5247 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 1))
2823, 27syl 17 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 1))
29 elfvex 6930 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ 𝑉 ∈ V)
30 1z 12592 . . . . 5 1 ∈ β„€
31 mzpconstmpt 41478 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 1) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
3229, 30, 31sylancl 587 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 1) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
3328, 32eqeltrd 2834 . . 3 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
34233ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚)
35 simp1 1137 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
36 nfv 1918 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ 𝑏 ∈ β„•0
3724, 36nfan 1903 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„•0)
3825adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
39 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
4038, 39expp1d 14112 . . . . . . . 8 (((βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ (𝐴↑(𝑏 + 1)) = ((𝐴↑𝑏) Β· 𝐴))
4137, 40mpteq2da 5247 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) Β· 𝐴)))
4234, 35, 41syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) Β· 𝐴)))
43 simp3 1139 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
44 simp2 1138 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
45 mzpmulmpt 41480 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) Β· 𝐴)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
4643, 44, 45syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) Β· 𝐴)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
4742, 46eqeltrd 2834 . . . . 5 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
48473exp 1120 . . . 4 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))))
4948a2d 29 . . 3 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))))
504, 8, 12, 16, 33, 49nn0ind 12657 . 2 (𝐷 ∈ β„•0 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)))
5150impcom 409 1 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β†‘cexp 14027  mzPolycmzp 41460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028  df-mzpcl 41461  df-mzp 41462
This theorem is referenced by:  diophin  41510  rmydioph  41753  rmxdioph  41755  expdiophlem2  41761
  Copyright terms: Public domain W3C validator