Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpexpmpt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mzpexpmpt 41785
Description: Raise a polynomial function to a (fixed) exponent. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpexpmpt (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝐷
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘₯)
Proof of Theorem mzpexpmpt
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7419 . . . . . 6 (π‘Ž = 0 β†’ (π΄β†‘π‘Ž) = (𝐴↑0))
21mpteq2dv 5249 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)))
32eleq1d 2816 . . . 4 (π‘Ž = 0 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)))
43imbi2d 339 . . 3 (π‘Ž = 0 β†’ (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) ↔ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))))
5 oveq2 7419 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π΄β†‘π‘Ž) = (𝐴↑𝑏))
65mpteq2dv 5249 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)))
76eleq1d 2816 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)))
87imbi2d 339 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) ↔ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))))
9 oveq2 7419 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (π΄β†‘π‘Ž) = (𝐴↑(𝑏 + 1)))
109mpteq2dv 5249 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))))
1110eleq1d 2816 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)))
1211imbi2d 339 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) ↔ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))))
13 oveq2 7419 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝐷 β†’ (π΄β†‘π‘Ž) = (𝐴↑𝐷))
1413mpteq2dv 5249 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐷 β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)))
1514eleq1d 2816 . . . 4 (π‘Ž = 𝐷 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)))
1615imbi2d 339 . . 3 (π‘Ž = 𝐷 β†’ (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) ↔ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))))
17 mzpf 41776 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€)
18 zsscn 12570 . . . . . . 7 β„€ βŠ† β„‚
19 fss 6733 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ β„€ βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„‚)
2017, 18, 19sylancl 584 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„‚)
21 eqid 2730 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴)
2221fmpt 7110 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„‚)
2320, 22sylibr 233 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚)
24 nfra1 3279 . . . . . 6 β„²π‘₯βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚
25 rspa 3243 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2625exp0d 14109 . . . . . 6 ((βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ (𝐴↑0) = 1)
2724, 26mpteq2da 5245 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 1))
2823, 27syl 17 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 1))
29 elfvex 6928 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ 𝑉 ∈ V)
30 1z 12596 . . . . 5 1 ∈ β„€
31 mzpconstmpt 41780 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 1) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
3229, 30, 31sylancl 584 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 1) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
3328, 32eqeltrd 2831 . . 3 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
34233ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚)
35 simp1 1134 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
36 nfv 1915 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ 𝑏 ∈ β„•0
3724, 36nfan 1900 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„•0)
3825adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
39 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
4038, 39expp1d 14116 . . . . . . . 8 (((βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ (𝐴↑(𝑏 + 1)) = ((𝐴↑𝑏) Β· 𝐴))
4137, 40mpteq2da 5245 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) Β· 𝐴)))
4234, 35, 41syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) Β· 𝐴)))
43 simp3 1136 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
44 simp2 1135 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
45 mzpmulmpt 41782 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) Β· 𝐴)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
4643, 44, 45syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) Β· 𝐴)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
4742, 46eqeltrd 2831 . . . . 5 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
48473exp 1117 . . . 4 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))))
4948a2d 29 . . 3 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))))
504, 8, 12, 16, 33, 49nn0ind 12661 . 2 (𝐷 ∈ β„•0 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)))
5150impcom 406 1 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β†‘cexp 14031  mzPolycmzp 41762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13971  df-exp 14032  df-mzpcl 41763  df-mzp 41764
This theorem is referenced by:  diophin  41812  rmydioph  42055  rmxdioph  42057  expdiophlem2  42063
  Copyright terms: Public domain W3C validator