Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpexpmpt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mzpexpmpt 42230
Description: Raise a polynomial function to a (fixed) exponent. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpexpmpt (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝐷
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘₯)
Proof of Theorem mzpexpmpt
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7425 . . . . . 6 (π‘Ž = 0 β†’ (π΄β†‘π‘Ž) = (𝐴↑0))
21mpteq2dv 5250 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)))
32eleq1d 2810 . . . 4 (π‘Ž = 0 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)))
43imbi2d 339 . . 3 (π‘Ž = 0 β†’ (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) ↔ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))))
5 oveq2 7425 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π΄β†‘π‘Ž) = (𝐴↑𝑏))
65mpteq2dv 5250 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)))
76eleq1d 2810 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)))
87imbi2d 339 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) ↔ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))))
9 oveq2 7425 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (π΄β†‘π‘Ž) = (𝐴↑(𝑏 + 1)))
109mpteq2dv 5250 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))))
1110eleq1d 2810 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)))
1211imbi2d 339 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) ↔ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))))
13 oveq2 7425 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝐷 β†’ (π΄β†‘π‘Ž) = (𝐴↑𝐷))
1413mpteq2dv 5250 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐷 β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)))
1514eleq1d 2810 . . . 4 (π‘Ž = 𝐷 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)))
1615imbi2d 339 . . 3 (π‘Ž = 𝐷 β†’ (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (π΄β†‘π‘Ž)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) ↔ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))))
17 mzpf 42221 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€)
18 zsscn 12596 . . . . . . 7 β„€ βŠ† β„‚
19 fss 6737 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€ ∧ β„€ βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„‚)
2017, 18, 19sylancl 584 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„‚)
21 eqid 2725 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴)
2221fmpt 7117 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ↔ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„‚)
2320, 22sylibr 233 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚)
24 nfra1 3272 . . . . . 6 β„²π‘₯βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚
25 rspa 3236 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2625exp0d 14136 . . . . . 6 ((βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ (𝐴↑0) = 1)
2724, 26mpteq2da 5246 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 1))
2823, 27syl 17 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 1))
29 elfvex 6932 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ 𝑉 ∈ V)
30 1z 12622 . . . . 5 1 ∈ β„€
31 mzpconstmpt 42225 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 1) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
3229, 30, 31sylancl 584 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 1) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
3328, 32eqeltrd 2825 . . 3 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
34233ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚)
35 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
36 nfv 1909 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ 𝑏 ∈ β„•0
3724, 36nfan 1894 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„•0)
3825adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
39 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
4038, 39expp1d 14143 . . . . . . . 8 (((βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ (𝐴↑(𝑏 + 1)) = ((𝐴↑𝑏) Β· 𝐴))
4137, 40mpteq2da 5246 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) Β· 𝐴)))
4234, 35, 41syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) Β· 𝐴)))
43 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
44 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
45 mzpmulmpt 42227 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) Β· 𝐴)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
4643, 44, 45syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) Β· 𝐴)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
4742, 46eqeltrd 2825 . . . . 5 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
48473exp 1116 . . . 4 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))))
4948a2d 29 . . 3 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))))
504, 8, 12, 16, 33, 49nn0ind 12687 . 2 (𝐷 ∈ β„•0 β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)))
5150impcom 406 1 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463   βŠ† wss 3945   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6543  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417   ↑m cmap 8843  β„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143  β„•0cn0 12502  β„€cz 12588  β†‘cexp 14058  mzPolycmzp 42207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7683  df-om 7870  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 13999  df-exp 14059  df-mzpcl 42208  df-mzp 42209
This theorem is referenced by:  diophin  42257  rmydioph  42500  rmxdioph  42502  expdiophlem2  42508
  Copyright terms: Public domain W3C validator