Theorem mzpexpmpt 42738

Description: Raise a polynomial function to a (fixed) exponent. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpexpmpt	⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐷

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem mzpexpmpt

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7357	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑0))
2	1	mpteq2dv 5186	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)))
3	2	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
4	3	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
5		oveq2 7357	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝑏))
6	5	mpteq2dv 5186	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)))
7	6	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
8	7	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
9		oveq2 7357	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑(𝑏 + 1)))
10	9	mpteq2dv 5186	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))))
11	10	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
13		oveq2 7357	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝐷))
14	13	mpteq2dv 5186	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)))
15	14	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
16	15	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
17		mzpf 42729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
18		zsscn 12479	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
19		fss 6668	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℂ)
20	17, 18, 19	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℂ)
21		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴)
22	21	fmpt 7044	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℂ)
23	20, 22	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → ∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ)
24		nfra1 3253	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ
25		rspa 3218	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25	exp0d 14047	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝐴↑0) = 1)
27	24, 26	mpteq2da 5184	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 1))
28	23, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 1))
29		elfvex 6858	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
30		1z 12505	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
31		mzpconstmpt 42733	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘𝑉))
32	29, 30, 31	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘𝑉))
33	28, 32	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
34	23	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ)
35		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
36		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑏 ∈ ℕ0
37	24, 36	nfan 1899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)
38	25	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝐴 ∈ ℂ)
39		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
40	38, 39	expp1d 14054	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) = ((𝐴↑𝑏) · 𝐴))
41	37, 40	mpteq2da 5184	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) · 𝐴)))
42	34, 35, 41	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) · 𝐴)))
43		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
44		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉))
45		mzpmulmpt 42735	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) · 𝐴)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
46	43, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) · 𝐴)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
47	42, 46	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉))
48	47	3exp 1119	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
49	48	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
50	4, 8, 12, 16, 33, 49	nn0ind 12571	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
51	50	impcom 407	1 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903   ↦ cmpt 5173  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ↑_m cmap 8753  ℂcc 11007  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  ↑cexp 13968  mzPolycmzp 42715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-seq 13909  df-exp 13969  df-mzpcl 42716  df-mzp 42717

This theorem is referenced by:  diophin  42765  rmydioph  43007  rmxdioph  43009  expdiophlem2  43015