Theorem mzpexpmpt 43274

Description: Raise a polynomial function to a (fixed) exponent. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpexpmpt	⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐷

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem mzpexpmpt

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7393	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑0))
2	1	mpteq2dv 5188	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)))
3	2	eleq1d 2841	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
4	3	imbi2d 342	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
5		oveq2 7393	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝑏))
6	5	mpteq2dv 5188	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)))
7	6	eleq1d 2841	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
8	7	imbi2d 342	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
9		oveq2 7393	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑(𝑏 + 1)))
10	9	mpteq2dv 5188	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))))
11	10	eleq1d 2841	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
12	11	imbi2d 342	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
13		oveq2 7393	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝐷))
14	13	mpteq2dv 5188	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)))
15	14	eleq1d 2841	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
16	15	imbi2d 342	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
17		mzpf 43265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
18		zsscn 12566	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
19		fss 6697	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℂ)
20	17, 18, 19	sylancl 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℂ)
21		eqid 2756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴)
22	21	fmpt 7080	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℂ)
23	20, 22	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → ∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ)
24		nfra1 3280	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ
25		rspa 3245	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25	exp0d 14143	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝐴↑0) = 1)
27	24, 26	mpteq2da 5186	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 1))
28	23, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 1))
29		elfvex 6891	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
30		1z 12591	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
31		mzpconstmpt 43269	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘𝑉))
32	29, 30, 31	sylancl 594	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘𝑉))
33	28, 32	eqeltrd 2856	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
34	23	3ad2ant2 1143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ)
35		simp1 1145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
36		nfv 1928	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑏 ∈ ℕ0
37	24, 36	nfan 1913	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)
38	25	adantlr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝐴 ∈ ℂ)
39		simplr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
40	38, 39	expp1d 14150	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) = ((𝐴↑𝑏) · 𝐴))
41	37, 40	mpteq2da 5186	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) · 𝐴)))
42	34, 35, 41	syl2anc 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) · 𝐴)))
43		simp3 1147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
44		simp2 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉))
45		mzpmulmpt 43271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) · 𝐴)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
46	43, 44, 45	syl2anc 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) · 𝐴)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
47	42, 46	eqeltrd 2856	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉))
48	47	3exp 1128	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
49	48	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
50	4, 8, 12, 16, 33, 49	nn0ind 12658	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
51	50	impcom 410	1 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ∀wral 3070  Vcvv 3448   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5175  ⟶wf 6506  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385   ↑_m cmap 8796  ℂcc 11061  0cc0 11063  1c1 11064   + caddc 11066   · cmul 11068  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12558  ↑cexp 14064  mzPolycmzp 43251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-of 7649  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-map 8798  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-seq 14005  df-exp 14065  df-mzpcl 43252  df-mzp 43253

This theorem is referenced by:  diophin  43301  rmydioph  43539  rmxdioph  43541  expdiophlem2  43547