Theorem mzpexpmpt 43195

Description: Raise a polynomial function to a (fixed) exponent. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpexpmpt	⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐷

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem mzpexpmpt

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑0))
2	1	mpteq2dv 5173	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)))
3	2	eleq1d 2825	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
4	3	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
5		oveq2 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝑏))
6	5	mpteq2dv 5173	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)))
7	6	eleq1d 2825	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
8	7	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
9		oveq2 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑(𝑏 + 1)))
10	9	mpteq2dv 5173	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))))
11	10	eleq1d 2825	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
12	11	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
13		oveq2 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝐷))
14	13	mpteq2dv 5173	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)))
15	14	eleq1d 2825	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
16	15	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
17		mzpf 43186	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
18		zsscn 12530	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
19		fss 6678	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℂ)
20	17, 18, 19	sylancl 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℂ)
21		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴)
22	21	fmpt 7058	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℂ)
23	20, 22	sylibr 235	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → ∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ)
24		nfra1 3264	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ
25		rspa 3229	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25	exp0d 14100	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝐴↑0) = 1)
27	24, 26	mpteq2da 5171	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 1))
28	23, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 1))
29		elfvex 6869	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
30		1z 12555	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
31		mzpconstmpt 43190	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘𝑉))
32	29, 30, 31	sylancl 592	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘𝑉))
33	28, 32	eqeltrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
34	23	3ad2ant2 1140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ)
35		simp1 1142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
36		nfv 1921	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑏 ∈ ℕ0
37	24, 36	nfan 1906	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)
38	25	adantlr 721	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝐴 ∈ ℂ)
39		simplr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
40	38, 39	expp1d 14107	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) = ((𝐴↑𝑏) · 𝐴))
41	37, 40	mpteq2da 5171	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) · 𝐴)))
42	34, 35, 41	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) · 𝐴)))
43		simp3 1144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
44		simp2 1143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉))
45		mzpmulmpt 43192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) · 𝐴)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
46	43, 44, 45	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) · 𝐴)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
47	42, 46	eqeltrd 2840	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉))
48	47	3exp 1125	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
49	48	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
50	4, 8, 12, 16, 33, 49	nn0ind 12622	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
51	50	impcom 408	1 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890   ↦ cmpt 5160  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ↑_m cmap 8770  ℂcc 11034  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ↑cexp 14021  mzPolycmzp 43172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-seq 13962  df-exp 14022  df-mzpcl 43173  df-mzp 43174

This theorem is referenced by:  diophin  43222  rmydioph  43460  rmxdioph  43462  expdiophlem2  43468