MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramtub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramtub 16927
Description: The Ramsey number is a lower bound on the set of all numbers with the Ramsey number property. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ramval.c 𝐢 = (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})
ramval.t 𝑇 = {𝑛 ∈ β„•0 ∣ βˆ€π‘ (𝑛 ≀ (β™―β€˜π‘ ) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐢𝑀))βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))}
Assertion
Ref Expression
ramtub (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,π‘₯,𝐢   𝑛,𝑐,𝑠,𝐹,𝑓,π‘₯   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,π‘₯,𝑀   𝐴,π‘Ž,𝑖,π‘₯   𝑅,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,π‘₯   𝑉,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,𝑛,𝑠,𝑏,𝑐)   𝐢(𝑖,𝑛,𝑠,π‘Ž,𝑏)   𝑅(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝑇(π‘₯,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,π‘Ž,𝑏,𝑐)   𝐹(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝑉(𝑖,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem ramtub
StepHypRef Expression
1 ramval.c . . . 4 𝐢 = (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})
2 ramval.t . . . 4 𝑇 = {𝑛 ∈ β„•0 ∣ βˆ€π‘ (𝑛 ≀ (β™―β€˜π‘ ) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐢𝑀))βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯𝐢𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))}
31, 2ramcl2lem 16924 . . 3 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )))
4 n0i 4329 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑇 β†’ Β¬ 𝑇 = βˆ…)
54iffalsed 4533 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑇 β†’ if(𝑇 = βˆ…, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) = inf(𝑇, ℝ, < ))
63, 5sylan9eq 2791 . 2 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ))
72ssrab3 4076 . . . . 5 𝑇 βŠ† β„•0
8 nn0uz 12846 . . . . 5 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
97, 8sseqtri 4014 . . . 4 𝑇 βŠ† (β„€β‰₯β€˜0)
109a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) β†’ 𝑇 βŠ† (β„€β‰₯β€˜0))
11 infssuzle 12897 . . 3 ((𝑇 βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ inf(𝑇, ℝ, < ) ≀ 𝐴)
1210, 11sylan 580 . 2 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ inf(𝑇, ℝ, < ) ≀ 𝐴)
136, 12eqbrtrd 5163 1 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  βˆ€wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  ifcif 4522  π’« cpw 4596  {csn 4622   class class class wbr 5141  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672  βŸΆwf 6528  β€˜cfv 6532  (class class class)co 7393   ∈ cmpo 7395   ↑m cmap 8803  infcinf 9418  β„cr 11091  0cc0 11092  +∞cpnf 11227   < clt 11230   ≀ cle 11231  β„•0cn0 12454  β„€β‰₯cuz 12804  β™―chash 14272   Ramsey cram 16914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-ram 16916
This theorem is referenced by:  ramub  16928
  Copyright terms: Public domain W3C validator