Theorem ramtub 16565

Description: The Ramsey number is a lower bound on the set of all numbers with the Ramsey number property. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ramval.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
ramval.t	⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))}

Assertion

Ref	Expression
ramtub	⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝑥,𝐶   𝑛,𝑐,𝑠,𝐹,𝑓,𝑥   𝑎,𝑏,𝑐,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,𝑥,𝑀   𝐴,𝑎,𝑖,𝑥   𝑅,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,𝑥   𝑉,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,𝑛,𝑠,𝑏,𝑐)   𝐶(𝑖,𝑛,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑇(𝑥,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,𝑎,𝑏,𝑐)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem ramtub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ramval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2		ramval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))}
3	1, 2	ramcl2lem 16562	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )))
4		n0i 4248	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑇 → ¬ 𝑇 = ∅)
5	4	iffalsed 4450	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑇 → if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) = inf(𝑇, ℝ, < ))
6	3, 5	sylan9eq 2798	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ))
7	2	ssrab3 3995	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ⊆ ℕ0
8		nn0uz 12476	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
9	7, 8	sseqtri 3937	. . . 4 ⊢ 𝑇 ⊆ (ℤ≥‘0)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝑇 ⊆ (ℤ≥‘0))
11		infssuzle 12527	. . 3 ⊢ ((𝑇 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
12	10, 11	sylan 583	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
13	6, 12	eqbrtrd 5075	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089  ∀wal 1541   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3408   ⊆ wss 3866  ∅c0 4237  ifcif 4439  𝒫 cpw 4513  {csn 4541   class class class wbr 5053  ^◡ccnv 5550   “ cima 5554  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   ∈ cmpo 7215   ↑_m cmap 8508  infcinf 9057  ℝcr 10728  0cc0 10729  +∞cpnf 10864   < clt 10867   ≤ cle 10868  ℕ₀cn0 12090  ℤ_≥cuz 12438  ♯chash 13896   Ramsey cram 16552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-ram 16554

This theorem is referenced by:  ramub  16566