Theorem odlem2 19407

Description: Any positive annihilator of a group element is an upper bound on the (positive) order of the element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odlem2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...𝑁))

Proof of Theorem odlem2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝑦 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
2	1	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
3	2	elrab 3684	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
4		odcl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		odid.3	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6		odid.4	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
7		odcl.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
8		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }
9	4, 5, 6, 7, 8	odval 19402	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) = if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < )))
10		n0i 4334	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → ¬ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = ∅)
11	10	iffalsed 4540	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < )) = inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ))
12	9, 11	sylan9eq 2793	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → (𝑂‘𝐴) = inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ))
13		ssrab2 4078	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ⊆ ℕ
14		nnuz 12865	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
15	13, 14	sseqtri 4019	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ⊆ (ℤ≥‘1)
16		ne0i 4335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ≠ ∅)
17	16	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ≠ ∅)
18		infssuzcl 12916	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ≠ ∅) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 })
19	15, 17, 18	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 })
20	13, 19	sselid 3981	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ)
21		infssuzle 12915	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)
22	15, 21	mpan 689	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)
23	22	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)
24		elrabi 3678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → 𝑁 ∈ ℕ)
25	24	nnzd 12585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → 𝑁 ∈ ℤ)
26		fznn 13569	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁) ↔ (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)))
27	25, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁) ↔ (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)))
28	27	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁) ↔ (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)))
29	20, 23, 28	mpbir2and 712	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁))
30	12, 29	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...𝑁))
31	3, 30	sylan2br 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...𝑁))
32	31	3impb 1116	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  {crab 3433   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  ifcif 4529   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  infcinf 9436  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   < clt 11248   ≤ cle 11249  ℕcn 12212  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822  ...cfz 13484  Basecbs 17144  0_gc0g 17385  ._gcmg 18950  odcod 19392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-od 19396

This theorem is referenced by:  mndodconglem  19409  oddvdsnn0  19412  odnncl  19413  oddvds  19415  od1  19427