Theorem odlem2 19401

Description: Any positive annihilator of a group element is an upper bound on the (positive) order of the element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odlem2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...𝑁))

Proof of Theorem odlem2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝑦 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
2	1	eqeq1d 2734	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
3	2	elrab 3682	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
4		odcl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		odid.3	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6		odid.4	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
7		odcl.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
8		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }
9	4, 5, 6, 7, 8	odval 19396	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) = if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < )))
10		n0i 4332	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → ¬ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = ∅)
11	10	iffalsed 4538	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < )) = inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ))
12	9, 11	sylan9eq 2792	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → (𝑂‘𝐴) = inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ))
13		ssrab2 4076	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ⊆ ℕ
14		nnuz 12861	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
15	13, 14	sseqtri 4017	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ⊆ (ℤ≥‘1)
16		ne0i 4333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ≠ ∅)
17	16	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ≠ ∅)
18		infssuzcl 12912	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ≠ ∅) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 })
19	15, 17, 18	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 })
20	13, 19	sselid 3979	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ)
21		infssuzle 12911	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)
22	15, 21	mpan 688	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)
23	22	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)
24		elrabi 3676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → 𝑁 ∈ ℕ)
25	24	nnzd 12581	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → 𝑁 ∈ ℤ)
26		fznn 13565	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁) ↔ (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)))
27	25, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁) ↔ (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)))
28	27	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁) ↔ (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)))
29	20, 23, 28	mpbir2and 711	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁))
30	12, 29	eqeltrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...𝑁))
31	3, 30	sylan2br 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...𝑁))
32	31	3impb 1115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  {crab 3432   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  ifcif 4527   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  infcinf 9432  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   < clt 11244   ≤ cle 11245  ℕcn 12208  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818  ...cfz 13480  Basecbs 17140  0_gc0g 17381  ._gcmg 18944  odcod 19386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-od 19390

This theorem is referenced by:  mndodconglem  19403  oddvdsnn0  19406  odnncl  19407  oddvds  19409  od1  19421