MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odlem2 19572
Description: Any positive annihilator of a group element is an upper bound on the (positive) order of the element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 5-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3 · = (.g𝐺)
odid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
odlem2 ((𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑂𝐴) ∈ (1...𝑁))

Proof of Theorem odlem2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑦 = 𝑁 → (𝑦 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
21eqeq1d 2737 . . . 4 (𝑦 = 𝑁 → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
32elrab 3695 . . 3 (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
4 odcl.1 . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
5 odid.3 . . . . . 6 · = (.g𝐺)
6 odid.4 . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
7 odcl.2 . . . . . 6 𝑂 = (od‘𝐺)
8 eqid 2735 . . . . . 6 {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }
94, 5, 6, 7, 8odval 19567 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) = if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < )))
10 n0i 4346 . . . . . 6 (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → ¬ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = ∅)
1110iffalsed 4542 . . . . 5 (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < )) = inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ))
129, 11sylan9eq 2795 . . . 4 ((𝐴𝑋𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → (𝑂𝐴) = inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ))
13 ssrab2 4090 . . . . . 6 {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ⊆ ℕ
14 nnuz 12919 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
1513, 14sseqtri 4032 . . . . . . 7 {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ⊆ (ℤ‘1)
16 ne0i 4347 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ≠ ∅)
1716adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ≠ ∅)
18 infssuzcl 12972 . . . . . . 7 (({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ≠ ∅) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 })
1915, 17, 18sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 })
2013, 19sselid 3993 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ)
21 infssuzle 12971 . . . . . . 7 (({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)
2215, 21mpan 690 . . . . . 6 (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)
2322adantl 481 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)
24 elrabi 3690 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → 𝑁 ∈ ℕ)
2524nnzd 12638 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → 𝑁 ∈ ℤ)
26 fznn 13629 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁) ↔ (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)))
2725, 26syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁) ↔ (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)))
2827adantl 481 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁) ↔ (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)))
2920, 23, 28mpbir2and 713 . . . 4 ((𝐴𝑋𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁))
3012, 29eqeltrd 2839 . . 3 ((𝐴𝑋𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → (𝑂𝐴) ∈ (1...𝑁))
313, 30sylan2br 595 . 2 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂𝐴) ∈ (1...𝑁))
32313impb 1114 1 ((𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑂𝐴) ∈ (1...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {crab 3433  wss 3963  c0 4339  ifcif 4531   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  infcinf 9479  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   < clt 11293  cle 11294  cn 12264  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  Basecbs 17245  0gc0g 17486  .gcmg 19098  odcod 19557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-od 19561
This theorem is referenced by:  mndodconglem  19574  oddvdsnn0  19577  odnncl  19578  oddvds  19580  od1  19592
  Copyright terms: Public domain W3C validator