MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odlem2 19448
Description: Any positive annihilator of a group element is an upper bound on the (positive) order of the element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 5-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
odcl.2 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
odid.3 ยท = (.gโ€˜๐บ)
odid.4 0 = (0gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
odlem2 ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ (1...๐‘))

Proof of Theorem odlem2
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7418 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = (๐‘ ยท ๐ด))
21eqeq1d 2734 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
32elrab 3683 . . 3 (๐‘ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 } โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
4 odcl.1 . . . . . 6 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
5 odid.3 . . . . . 6 ยท = (.gโ€˜๐บ)
6 odid.4 . . . . . 6 0 = (0gโ€˜๐บ)
7 odcl.2 . . . . . 6 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
8 eqid 2732 . . . . . 6 {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 } = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }
94, 5, 6, 7, 8odval 19443 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) = if({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 } = โˆ…, 0, inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }, โ„, < )))
10 n0i 4333 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 } โ†’ ยฌ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 } = โˆ…)
1110iffalsed 4539 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 } โ†’ if({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 } = โˆ…, 0, inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }, โ„, < )) = inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }, โ„, < ))
129, 11sylan9eq 2792 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) = inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }, โ„, < ))
13 ssrab2 4077 . . . . . 6 {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 } โŠ† โ„•
14 nnuz 12869 . . . . . . . 8 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
1513, 14sseqtri 4018 . . . . . . 7 {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 } โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
16 ne0i 4334 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 } โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 } โ‰  โˆ…)
1716adantl 482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }) โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 } โ‰  โˆ…)
18 infssuzcl 12920 . . . . . . 7 (({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 } โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 } โ‰  โˆ…) โ†’ inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }, โ„, < ) โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 })
1915, 17, 18sylancr 587 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }) โ†’ inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }, โ„, < ) โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 })
2013, 19sselid 3980 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }) โ†’ inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }, โ„, < ) โˆˆ โ„•)
21 infssuzle 12919 . . . . . . 7 (({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 } โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐‘ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }) โ†’ inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }, โ„, < ) โ‰ค ๐‘)
2215, 21mpan 688 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 } โ†’ inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }, โ„, < ) โ‰ค ๐‘)
2322adantl 482 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }) โ†’ inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }, โ„, < ) โ‰ค ๐‘)
24 elrabi 3677 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 } โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2524nnzd 12589 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 } โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
26 fznn 13573 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }, โ„, < ) โˆˆ (1...๐‘) โ†” (inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }, โ„, < ) โˆˆ โ„• โˆง inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }, โ„, < ) โ‰ค ๐‘)))
2725, 26syl 17 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 } โ†’ (inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }, โ„, < ) โˆˆ (1...๐‘) โ†” (inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }, โ„, < ) โˆˆ โ„• โˆง inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }, โ„, < ) โ‰ค ๐‘)))
2827adantl 482 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }) โ†’ (inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }, โ„, < ) โˆˆ (1...๐‘) โ†” (inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }, โ„, < ) โˆˆ โ„• โˆง inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }, โ„, < ) โ‰ค ๐‘)))
2920, 23, 28mpbir2and 711 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }) โ†’ inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }, โ„, < ) โˆˆ (1...๐‘))
3012, 29eqeltrd 2833 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ (1...๐‘))
313, 30sylan2br 595 . 2 ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ (1...๐‘))
32313impb 1115 1 ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ (1...๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  {crab 3432   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322  ifcif 4528   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  infcinf 9438  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   < clt 11252   โ‰ค cle 11253  โ„•cn 12216  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13488  Basecbs 17148  0gc0g 17389  .gcmg 18986  odcod 19433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-od 19437
This theorem is referenced by:  mndodconglem  19450  oddvdsnn0  19453  odnncl  19454  oddvds  19456  od1  19468
  Copyright terms: Public domain W3C validator