Theorem odlem2 19746

Description: Any positive annihilator of a group element is an upper bound on the (positive) order of the element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odlem2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...𝑁))

Proof of Theorem odlem2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝑦 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
2	1	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
3	2	elrab 3645	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
4		odcl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		odid.3	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6		odid.4	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
7		odcl.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
8		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }
9	4, 5, 6, 7, 8	odval 19741	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) = if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < )))
10		n0i 4286	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → ¬ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = ∅)
11	10	iffalsed 4493	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < )) = inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ))
12	9, 11	sylan9eq 2816	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → (𝑂‘𝐴) = inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ))
13		ssrab2 4028	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ⊆ ℕ
14		nnuz 12997	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
15	13, 14	sseqtri 3979	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ⊆ (ℤ≥‘1)
16		ne0i 4287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ≠ ∅)
17	16	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ≠ ∅)
18		infssuzcl 13052	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ≠ ∅) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 })
19	15, 17, 18	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 })
20	13, 19	sselid 3929	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ)
21		infssuzle 13051	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)
22	15, 21	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)
23	22	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)
24		elrabi 3641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → 𝑁 ∈ ℕ)
25	24	nnzd 12712	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → 𝑁 ∈ ℤ)
26		fznn 13719	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁) ↔ (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)))
27	25, 26	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁) ↔ (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)))
28	27	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁) ↔ (inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ≤ 𝑁)))
29	20, 23, 28	mpbir2and 726	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }, ℝ, < ) ∈ (1...𝑁))
30	12, 29	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...𝑁))
31	3, 30	sylan2br 607	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...𝑁))
32	31	3impb 1132	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  {crab 3413   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ifcif 4482   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  infcinf 9426  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   < clt 11336   ≤ cle 11337  ℕcn 12328  ℤcz 12686  ℤ_≥cuz 12958  ...cfz 13632  Basecbs 17380  0_gc0g 17603  ._gcmg 19270  odcod 19731

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-od 19735

This theorem is used by:  mndodconglem  19748  oddvdsnn0  19751  odnncl  19752  oddvds  19754  od1  19766