Theorem clwwlknnn 30413

Description: The length of a closed walk of a fixed length as word is a positive integer. (Contributed by AV, 22-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknnn	⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem clwwlknnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4293	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ¬ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
2		df-nel 3067	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∉ ℕ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℕ)
3	2	biimpri 231	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∉ ℕ)
4	3	olcd 888	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ → (𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ))
5		clwwlkneq0 30409	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
7	1, 6	nsyl2 142	1 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∉ wnel 3066  Vcvv 3457  ∅c0 4286  (class class class)co 7416  ℕcn 12244   ClWWalksN cclwwlkn 30404

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-uz 12874  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-hash 14380  df-word 14564  df-clwwlk 30362  df-clwwlkn 30405

This theorem is used by:  clwwlknp  30417  clwwlknwwlksn  30418  clwwlknwwlkncl  30433  clwwlkext2edg  30436  erclwwlknref  30449  clwwlknon  30470  clwwlknonccat  30476