Theorem flt4lem6 43390

Description: Remove shared factors in a solution to 𝐴↑4 + 𝐵↑4 = 𝐶↑2. (Contributed by SN, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem6.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem6.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem6.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem6.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem6	⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℕ) ∧ (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2)))

Proof of Theorem flt4lem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem6.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		flt4lem6.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12612	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
4		divgcdnn 16568	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
5	1, 3, 4	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
6	1	nnzd 12612	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
7		divgcdnnr 16569	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
8	2, 6, 7	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
9		flt4lem6.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
10		gcdnncl 16560	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
11	1, 2, 10	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
12	11	nncnd 12244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
13	12	flt4lem 43377	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑4) = (((𝐴 gcd 𝐵)↑2)↑2))
14	9, 13	oveq12d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)) = ((𝐶↑2) / (((𝐴 gcd 𝐵)↑2)↑2)))
15	1	nncnd 12244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	11	nnne0d 12281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
17		4nn0 12518	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ0
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℕ0)
19	15, 12, 16, 18	expdivd 14192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) = ((𝐴↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)))
20	2	nncnd 12244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20, 12, 16, 18	expdivd 14192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) = ((𝐵↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)))
22	19, 21	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = (((𝐴↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)) + ((𝐵↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4))))
23	15, 18	expcld 14178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
24	20, 18	expcld 14178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑4) ∈ ℂ)
25	12, 18	expcld 14178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑4) ∈ ℂ)
26	11, 18	nnexpcld 14277	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑4) ∈ ℕ)
27	26	nnne0d 12281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑4) ≠ 0)
28	23, 24, 25, 27	divdird 12024	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)) = (((𝐴↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)) + ((𝐵↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4))))
29	22, 28	eqtr4d 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = (((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)))
30		flt4lem6.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
31	30	nncnd 12244	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
32	11	nnsqcld 14276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ)
33	32	nncnd 12244	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
34	32	nnne0d 12281	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 0)
35	31, 33, 34	sqdivd 14191	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2) = ((𝐶↑2) / (((𝐴 gcd 𝐵)↑2)↑2)))
36	14, 29, 35	3eqtr4d 2808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2))
37	5, 18	nnexpcld 14277	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) ∈ ℕ)
38	8, 18	nnexpcld 14277	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) ∈ ℕ)
39	37, 38	nnaddcld 12283	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) ∈ ℕ)
40	39	nnzd 12612	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) ∈ ℤ)
41	36, 40	eqeltrrd 2864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2) ∈ ℤ)
42	30	nnzd 12612	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
43		znq 12971	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ) → (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℚ)
44	42, 32, 43	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℚ)
45	30	nnred 12243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
46	32	nnred 12243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℝ)
47	30	nngt0d 12280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
48	32	nngt0d 12280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))
49	45, 46, 47, 48	divgt0d 12145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)))
50	41, 44, 49	posqsqznn 43097	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℕ)
51	5, 8, 50	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℕ))
52	51, 36	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℕ) ∧ (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410   + caddc 11098   / cdiv 11866  ℕcn 12228  2c2 12290  4c4 12292  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ℚcq 12967  ↑cexp 14093   gcd cgcd 16547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306  df-gcd 16548  df-numer 16789  df-denom 16790

This theorem is referenced by:  nna4b4nsq  43392