Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flt4lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flt4lem6 42668
Description: Remove shared factors in a solution to 𝐴↑4 + 𝐵↑4 = 𝐶↑2. (Contributed by SN, 24-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
flt4lem6.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem6.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem6.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem6.1 (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
Assertion
Ref Expression
flt4lem6 (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℕ) ∧ (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2)))

Proof of Theorem flt4lem6
StepHypRef Expression
1 flt4lem6.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 flt4lem6.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
32nnzd 12640 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
4 divgcdnn 16552 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
51, 3, 4syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
61nnzd 12640 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
7 divgcdnnr 16553 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
82, 6, 7syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
9 flt4lem6.1 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
10 gcdnncl 16544 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
111, 2, 10syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
1211nncnd 12282 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
1312flt4lem 42655 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑4) = (((𝐴 gcd 𝐵)↑2)↑2))
149, 13oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)) = ((𝐶↑2) / (((𝐴 gcd 𝐵)↑2)↑2)))
151nncnd 12282 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1611nnne0d 12316 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
17 4nn0 12545 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ0
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ∈ ℕ0)
1915, 12, 16, 18expdivd 14200 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) = ((𝐴↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)))
202nncnd 12282 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2120, 12, 16, 18expdivd 14200 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) = ((𝐵↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)))
2219, 21oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = (((𝐴↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)) + ((𝐵↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4))))
2315, 18expcld 14186 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
2420, 18expcld 14186 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵↑4) ∈ ℂ)
2512, 18expcld 14186 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑4) ∈ ℂ)
2611, 18nnexpcld 14284 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑4) ∈ ℕ)
2726nnne0d 12316 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑4) ≠ 0)
2823, 24, 25, 27divdird 12081 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)) = (((𝐴↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)) + ((𝐵↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4))))
2922, 28eqtr4d 2780 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = (((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)))
30 flt4lem6.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
3130nncnd 12282 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3211nnsqcld 14283 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ)
3332nncnd 12282 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
3432nnne0d 12316 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 0)
3531, 33, 34sqdivd 14199 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2) = ((𝐶↑2) / (((𝐴 gcd 𝐵)↑2)↑2)))
3614, 29, 353eqtr4d 2787 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2))
375, 18nnexpcld 14284 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) ∈ ℕ)
388, 18nnexpcld 14284 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) ∈ ℕ)
3937, 38nnaddcld 12318 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) ∈ ℕ)
4039nnzd 12640 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) ∈ ℤ)
4136, 40eqeltrrd 2842 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2) ∈ ℤ)
4230nnzd 12640 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
43 znq 12994 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ) → (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℚ)
4442, 32, 43syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℚ)
4530nnred 12281 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4632nnred 12281 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℝ)
4730nngt0d 12315 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 𝐶)
4832nngt0d 12315 . . . . 5 (𝜑 → 0 < ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))
4945, 46, 47, 48divgt0d 12203 . . . 4 (𝜑 → 0 < (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)))
5041, 44, 49posqsqznn 42371 . . 3 (𝜑 → (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℕ)
515, 8, 503jca 1129 . 2 (𝜑 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℕ))
5251, 36jca 511 1 (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℕ) ∧ (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  (class class class)co 7431   + caddc 11158   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  4c4 12323  0cn0 12526  cz 12613  cq 12990  cexp 14102   gcd cgcd 16531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-numer 16772  df-denom 16773
This theorem is referenced by:  nna4b4nsq  42670
  Copyright terms: Public domain W3C validator