Theorem flt4lem6 41400

Description: Remove shared factors in a solution to 𝐴↑4 + 𝐵↑4 = 𝐶↑2. (Contributed by SN, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem6.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem6.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem6.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem6.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem6	⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℕ) ∧ (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2)))

Proof of Theorem flt4lem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem6.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		flt4lem6.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
4		divgcdnn 16456	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
5	1, 3, 4	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
6	1	nnzd 12585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
7		divgcdnnr 16457	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
8	2, 6, 7	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
9		flt4lem6.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
10		gcdnncl 16448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
11	1, 2, 10	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
12	11	nncnd 12228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
13	12	flt4lem 41387	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑4) = (((𝐴 gcd 𝐵)↑2)↑2))
14	9, 13	oveq12d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)) = ((𝐶↑2) / (((𝐴 gcd 𝐵)↑2)↑2)))
15	1	nncnd 12228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	11	nnne0d 12262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
17		4nn0 12491	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ0
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℕ0)
19	15, 12, 16, 18	expdivd 14125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) = ((𝐴↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)))
20	2	nncnd 12228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20, 12, 16, 18	expdivd 14125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) = ((𝐵↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)))
22	19, 21	oveq12d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = (((𝐴↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)) + ((𝐵↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4))))
23	15, 18	expcld 14111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
24	20, 18	expcld 14111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑4) ∈ ℂ)
25	12, 18	expcld 14111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑4) ∈ ℂ)
26	11, 18	nnexpcld 14208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑4) ∈ ℕ)
27	26	nnne0d 12262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑4) ≠ 0)
28	23, 24, 25, 27	divdird 12028	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)) = (((𝐴↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)) + ((𝐵↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4))))
29	22, 28	eqtr4d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = (((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)))
30		flt4lem6.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
31	30	nncnd 12228	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
32	11	nnsqcld 14207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ)
33	32	nncnd 12228	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
34	32	nnne0d 12262	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 0)
35	31, 33, 34	sqdivd 14124	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2) = ((𝐶↑2) / (((𝐴 gcd 𝐵)↑2)↑2)))
36	14, 29, 35	3eqtr4d 2783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2))
37	5, 18	nnexpcld 14208	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) ∈ ℕ)
38	8, 18	nnexpcld 14208	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) ∈ ℕ)
39	37, 38	nnaddcld 12264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) ∈ ℕ)
40	39	nnzd 12585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) ∈ ℤ)
41	36, 40	eqeltrrd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2) ∈ ℤ)
42	30	nnzd 12585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
43		znq 12936	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ) → (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℚ)
44	42, 32, 43	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℚ)
45	30	nnred 12227	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
46	32	nnred 12227	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℝ)
47	30	nngt0d 12261	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
48	32	nngt0d 12261	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))
49	45, 46, 47, 48	divgt0d 12149	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)))
50	41, 44, 49	posqsqznn 41234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℕ)
51	5, 8, 50	3jca 1129	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℕ))
52	51, 36	jca 513	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℕ) ∧ (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409   + caddc 11113   / cdiv 11871  ℕcn 12212  2c2 12267  4c4 12269  ℕ₀cn0 12472  ℤcz 12558  ℚcq 12932  ↑cexp 14027   gcd cgcd 16435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-numer 16671  df-denom 16672

This theorem is referenced by:  nna4b4nsq  41402