Theorem flt4lem6 42634

Description: Remove shared factors in a solution to 𝐴↑4 + 𝐵↑4 = 𝐶↑2. (Contributed by SN, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem6.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem6.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem6.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem6.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem6	⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℕ) ∧ (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2)))

Proof of Theorem flt4lem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem6.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		flt4lem6.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12516	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
4		divgcdnn 16444	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
5	1, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
6	1	nnzd 12516	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
7		divgcdnnr 16445	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
8	2, 6, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
9		flt4lem6.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
10		gcdnncl 16436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
11	1, 2, 10	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
12	11	nncnd 12162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
13	12	flt4lem 42621	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑4) = (((𝐴 gcd 𝐵)↑2)↑2))
14	9, 13	oveq12d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)) = ((𝐶↑2) / (((𝐴 gcd 𝐵)↑2)↑2)))
15	1	nncnd 12162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	11	nnne0d 12196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
17		4nn0 12421	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ0
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℕ0)
19	15, 12, 16, 18	expdivd 14085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) = ((𝐴↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)))
20	2	nncnd 12162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20, 12, 16, 18	expdivd 14085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) = ((𝐵↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)))
22	19, 21	oveq12d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = (((𝐴↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)) + ((𝐵↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4))))
23	15, 18	expcld 14071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
24	20, 18	expcld 14071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑4) ∈ ℂ)
25	12, 18	expcld 14071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑4) ∈ ℂ)
26	11, 18	nnexpcld 14170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑4) ∈ ℕ)
27	26	nnne0d 12196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑4) ≠ 0)
28	23, 24, 25, 27	divdird 11956	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)) = (((𝐴↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)) + ((𝐵↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4))))
29	22, 28	eqtr4d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = (((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)))
30		flt4lem6.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
31	30	nncnd 12162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
32	11	nnsqcld 14169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ)
33	32	nncnd 12162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
34	32	nnne0d 12196	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 0)
35	31, 33, 34	sqdivd 14084	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2) = ((𝐶↑2) / (((𝐴 gcd 𝐵)↑2)↑2)))
36	14, 29, 35	3eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2))
37	5, 18	nnexpcld 14170	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) ∈ ℕ)
38	8, 18	nnexpcld 14170	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) ∈ ℕ)
39	37, 38	nnaddcld 12198	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) ∈ ℕ)
40	39	nnzd 12516	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) ∈ ℤ)
41	36, 40	eqeltrrd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2) ∈ ℤ)
42	30	nnzd 12516	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
43		znq 12871	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ) → (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℚ)
44	42, 32, 43	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℚ)
45	30	nnred 12161	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
46	32	nnred 12161	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℝ)
47	30	nngt0d 12195	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
48	32	nngt0d 12195	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))
49	45, 46, 47, 48	divgt0d 12078	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)))
50	41, 44, 49	posqsqznn 42312	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℕ)
51	5, 8, 50	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℕ))
52	51, 36	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℕ) ∧ (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353   + caddc 11031   / cdiv 11795  ℕcn 12146  2c2 12201  4c4 12203  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ℚcq 12867  ↑cexp 13986   gcd cgcd 16423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-numer 16664  df-denom 16665

This theorem is referenced by:  nna4b4nsq  42636