Theorem flt4lem6 41401

Description: Remove shared factors in a solution to 𝐴↑4 + 𝐵↑4 = 𝐶↑2. (Contributed by SN, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem6.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem6.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem6.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem6.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem6	⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℕ) ∧ (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2)))

Proof of Theorem flt4lem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem6.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		flt4lem6.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
4		divgcdnn 16455	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
5	1, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
6	1	nnzd 12584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
7		divgcdnnr 16456	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
8	2, 6, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
9		flt4lem6.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
10		gcdnncl 16447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
11	1, 2, 10	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
12	11	nncnd 12227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
13	12	flt4lem 41388	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑4) = (((𝐴 gcd 𝐵)↑2)↑2))
14	9, 13	oveq12d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)) = ((𝐶↑2) / (((𝐴 gcd 𝐵)↑2)↑2)))
15	1	nncnd 12227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	11	nnne0d 12261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
17		4nn0 12490	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ0
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℕ0)
19	15, 12, 16, 18	expdivd 14124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) = ((𝐴↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)))
20	2	nncnd 12227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20, 12, 16, 18	expdivd 14124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) = ((𝐵↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)))
22	19, 21	oveq12d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = (((𝐴↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)) + ((𝐵↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4))))
23	15, 18	expcld 14110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
24	20, 18	expcld 14110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑4) ∈ ℂ)
25	12, 18	expcld 14110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑4) ∈ ℂ)
26	11, 18	nnexpcld 14207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑4) ∈ ℕ)
27	26	nnne0d 12261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑4) ≠ 0)
28	23, 24, 25, 27	divdird 12027	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)) = (((𝐴↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)) + ((𝐵↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4))))
29	22, 28	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = (((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)))
30		flt4lem6.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
31	30	nncnd 12227	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
32	11	nnsqcld 14206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ)
33	32	nncnd 12227	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
34	32	nnne0d 12261	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 0)
35	31, 33, 34	sqdivd 14123	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2) = ((𝐶↑2) / (((𝐴 gcd 𝐵)↑2)↑2)))
36	14, 29, 35	3eqtr4d 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2))
37	5, 18	nnexpcld 14207	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) ∈ ℕ)
38	8, 18	nnexpcld 14207	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) ∈ ℕ)
39	37, 38	nnaddcld 12263	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) ∈ ℕ)
40	39	nnzd 12584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) ∈ ℤ)
41	36, 40	eqeltrrd 2834	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2) ∈ ℤ)
42	30	nnzd 12584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
43		znq 12935	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ) → (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℚ)
44	42, 32, 43	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℚ)
45	30	nnred 12226	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
46	32	nnred 12226	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℝ)
47	30	nngt0d 12260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
48	32	nngt0d 12260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))
49	45, 46, 47, 48	divgt0d 12148	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)))
50	41, 44, 49	posqsqznn 41234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℕ)
51	5, 8, 50	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℕ))
52	51, 36	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℕ) ∧ (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7408   + caddc 11112   / cdiv 11870  ℕcn 12211  2c2 12266  4c4 12268  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12557  ℚcq 12931  ↑cexp 14026   gcd cgcd 16434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-numer 16670  df-denom 16671

This theorem is referenced by:  nna4b4nsq  41403