Theorem flt4lem6 42653

Description: Remove shared factors in a solution to 𝐴↑4 + 𝐵↑4 = 𝐶↑2. (Contributed by SN, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem6.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem6.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem6.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem6.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem6	⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℕ) ∧ (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2)))

Proof of Theorem flt4lem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem6.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		flt4lem6.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12563	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
4		divgcdnn 16492	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
5	1, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
6	1	nnzd 12563	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
7		divgcdnnr 16493	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
8	2, 6, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
9		flt4lem6.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
10		gcdnncl 16484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
11	1, 2, 10	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
12	11	nncnd 12209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
13	12	flt4lem 42640	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑4) = (((𝐴 gcd 𝐵)↑2)↑2))
14	9, 13	oveq12d 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)) = ((𝐶↑2) / (((𝐴 gcd 𝐵)↑2)↑2)))
15	1	nncnd 12209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	11	nnne0d 12243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
17		4nn0 12468	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ0
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℕ0)
19	15, 12, 16, 18	expdivd 14132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) = ((𝐴↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)))
20	2	nncnd 12209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20, 12, 16, 18	expdivd 14132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) = ((𝐵↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)))
22	19, 21	oveq12d 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = (((𝐴↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)) + ((𝐵↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4))))
23	15, 18	expcld 14118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
24	20, 18	expcld 14118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑4) ∈ ℂ)
25	12, 18	expcld 14118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑4) ∈ ℂ)
26	11, 18	nnexpcld 14217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑4) ∈ ℕ)
27	26	nnne0d 12243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑4) ≠ 0)
28	23, 24, 25, 27	divdird 12003	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)) = (((𝐴↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)) + ((𝐵↑4) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4))))
29	22, 28	eqtr4d 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = (((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑4)))
30		flt4lem6.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
31	30	nncnd 12209	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
32	11	nnsqcld 14216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ)
33	32	nncnd 12209	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
34	32	nnne0d 12243	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ≠ 0)
35	31, 33, 34	sqdivd 14131	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2) = ((𝐶↑2) / (((𝐴 gcd 𝐵)↑2)↑2)))
36	14, 29, 35	3eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2))
37	5, 18	nnexpcld 14217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) ∈ ℕ)
38	8, 18	nnexpcld 14217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) ∈ ℕ)
39	37, 38	nnaddcld 12245	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) ∈ ℕ)
40	39	nnzd 12563	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) ∈ ℤ)
41	36, 40	eqeltrrd 2830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2) ∈ ℤ)
42	30	nnzd 12563	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
43		znq 12918	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℕ) → (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℚ)
44	42, 32, 43	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℚ)
45	30	nnred 12208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
46	32	nnred 12208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) ∈ ℝ)
47	30	nngt0d 12242	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
48	32	nngt0d 12242	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))
49	45, 46, 47, 48	divgt0d 12125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)))
50	41, 44, 49	posqsqznn 42331	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℕ)
51	5, 8, 50	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℕ))
52	51, 36	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2)) ∈ ℕ) ∧ (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑4)) = ((𝐶 / ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390   + caddc 11078   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248  4c4 12250  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ℚcq 12914  ↑cexp 14033   gcd cgcd 16471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-gcd 16472  df-numer 16712  df-denom 16713

This theorem is referenced by:  nna4b4nsq  42655