Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  faclim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclim2 34321
Description: Another factorial limit due to Euler. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
faclim2.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀))))
Assertion
Ref Expression
faclim2 (𝑀 ∈ ℕ0𝐹 ⇝ 1)
Distinct variable group:   𝑛,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem faclim2
Dummy variables 𝑚 𝑎 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 faclim2.1 . 2 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀))))
2 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → ((𝑛 + 1)↑𝑎) = ((𝑛 + 1)↑0))
32oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) = ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)))
4 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → (𝑛 + 𝑎) = (𝑛 + 0))
54fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (!‘(𝑛 + 𝑎)) = (!‘(𝑛 + 0)))
63, 5oveq12d 7375 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎))) = (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))
76mpteq2dv 5207 . . . 4 (𝑎 = 0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))))
87breq1d 5115 . . 3 (𝑎 = 0 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) ⇝ 1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ⇝ 1))
9 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑚 → ((𝑛 + 1)↑𝑎) = ((𝑛 + 1)↑𝑚))
109oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑚 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) = ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)))
11 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑚 → (𝑛 + 𝑎) = (𝑛 + 𝑚))
1211fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑚 → (!‘(𝑛 + 𝑎)) = (!‘(𝑛 + 𝑚)))
1310, 12oveq12d 7375 . . . . 5 (𝑎 = 𝑚 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎))) = (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))
1413mpteq2dv 5207 . . . 4 (𝑎 = 𝑚 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))))
1514breq1d 5115 . . 3 (𝑎 = 𝑚 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) ⇝ 1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1))
16 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑚 + 1) → ((𝑛 + 1)↑𝑎) = ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1)))
1716oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑚 + 1) → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) = ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))))
18 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑚 + 1) → (𝑛 + 𝑎) = (𝑛 + (𝑚 + 1)))
1918fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑚 + 1) → (!‘(𝑛 + 𝑎)) = (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))
2017, 19oveq12d 7375 . . . . 5 (𝑎 = (𝑚 + 1) → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎))) = (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))
2120mpteq2dv 5207 . . . 4 (𝑎 = (𝑚 + 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))))
2221breq1d 5115 . . 3 (𝑎 = (𝑚 + 1) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) ⇝ 1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ⇝ 1))
23 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑀 → ((𝑛 + 1)↑𝑎) = ((𝑛 + 1)↑𝑀))
2423oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑀 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) = ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)))
25 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑀 → (𝑛 + 𝑎) = (𝑛 + 𝑀))
2625fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑀 → (!‘(𝑛 + 𝑎)) = (!‘(𝑛 + 𝑀)))
2724, 26oveq12d 7375 . . . . 5 (𝑎 = 𝑀 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎))) = (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀))))
2827mpteq2dv 5207 . . . 4 (𝑎 = 𝑀 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀)))))
2928breq1d 5115 . . 3 (𝑎 = 𝑀 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) ⇝ 1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀)))) ⇝ 1))
30 nnuz 12806 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
31 1zzd 12534 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
32 nnex 12159 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
3332mptex 7173 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ∈ V
3433a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ∈ V)
35 1cnd 11150 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
36 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (!‘𝑛) = (!‘𝑚))
37 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 + 1) = (𝑚 + 1))
3837oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 + 1)↑0) = ((𝑚 + 1)↑0))
3936, 38oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) = ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)))
40 fvoveq1 7380 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (!‘(𝑛 + 0)) = (!‘(𝑚 + 0)))
4139, 40oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))) = (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) / (!‘(𝑚 + 0))))
42 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))
43 ovex 7390 . . . . . . . 8 (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) / (!‘(𝑚 + 0))) ∈ V
4441, 42, 43fvmpt 6948 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))‘𝑚) = (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) / (!‘(𝑚 + 0))))
45 peano2nn 12165 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
4645nncnd 12169 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℂ)
4746exp0d 14045 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 + 1)↑0) = 1)
4847oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) = ((!‘𝑚) · 1))
49 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
50 faccl 14183 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘𝑚) ∈ ℕ)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → (!‘𝑚) ∈ ℕ)
5251nncnd 12169 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → (!‘𝑚) ∈ ℂ)
5352mulid1d 11172 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → ((!‘𝑚) · 1) = (!‘𝑚))
5448, 53eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) = (!‘𝑚))
55 nncn 12161 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
5655addid1d 11355 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 0) = 𝑚)
5756fveq2d 6846 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → (!‘(𝑚 + 0)) = (!‘𝑚))
5854, 57oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) / (!‘(𝑚 + 0))) = ((!‘𝑚) / (!‘𝑚)))
5951nnne0d 12203 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → (!‘𝑚) ≠ 0)
6052, 59dividd 11929 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → ((!‘𝑚) / (!‘𝑚)) = 1)
6144, 58, 603eqtrd 2780 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))‘𝑚) = 1)
6261adantl 482 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))‘𝑚) = 1)
6330, 31, 34, 35, 62climconst 15425 . . . 4 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ⇝ 1)
6463mptru 1548 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ⇝ 1
65 1zzd 12534 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → 1 ∈ ℤ)
66 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1)
6732mptex 7173 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ∈ V
6867a1i 11 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ∈ V)
69 1zzd 12534 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
70 1cnd 11150 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
71 nn0p1nn 12452 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
7271nnzd 12526 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
7332mptex 7173 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) ∈ V
7473a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) ∈ V)
75 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + 1) = (𝑘 + 1))
76 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + (𝑚 + 1)) = (𝑘 + (𝑚 + 1)))
7775, 76oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1))))
78 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))
79 ovex 7390 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1))) ∈ V
8077, 78, 79fvmpt 6948 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1))))
8180adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1))))
8230, 69, 70, 72, 74, 81divcnvlin 34305 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) ⇝ 1)
8382adantr 481 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) ⇝ 1)
84 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
8584nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
86 faccl 14183 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
88 peano2nn 12165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
89 nnexpcl 13980 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
9088, 89sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
9190ancoms 459 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
9287, 91nnmulcld 12206 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) ∈ ℕ)
9392nnred 12168 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) ∈ ℝ)
94 nnnn0addcl 12443 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ)
9594ancoms 459 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ)
9695nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0)
97 faccl 14183 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑛 + 𝑚)) ∈ ℕ)
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (!‘(𝑛 + 𝑚)) ∈ ℕ)
9993, 98nndivred 12207 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))) ∈ ℝ)
10099recnd 11183 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))) ∈ ℂ)
101100fmpttd 7063 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))):ℕ⟶ℂ)
102101ffvelcdmda 7035 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) ∈ ℂ)
103102adantlr 713 . . . . . 6 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) ∈ ℂ)
10488adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
105104nnred 12168 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
10671adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
10784, 106nnaddcld 12205 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
108105, 107nndivred 12207 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))) ∈ ℝ)
109108recnd 11183 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))) ∈ ℂ)
110109fmpttd 7063 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))):ℕ⟶ℂ)
111110ffvelcdmda 7035 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
112111adantlr 713 . . . . . 6 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
113 peano2nn 12165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
114113adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
115114nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
116 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ0)
117115, 116expp1d 14052 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1)) = (((𝑘 + 1)↑𝑚) · (𝑘 + 1)))
118117oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) = ((!‘𝑘) · (((𝑘 + 1)↑𝑚) · (𝑘 + 1))))
119 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
120119nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
121 faccl 14183 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
123122nncnd 12169 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
124 nnexpcl 13980 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
125113, 124sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
126125ancoms 459 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
127126nncnd 12169 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1)↑𝑚) ∈ ℂ)
128123, 127, 115mulassd 11178 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) · (𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (((𝑘 + 1)↑𝑚) · (𝑘 + 1))))
129118, 128eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) · (𝑘 + 1)))
130120, 116nn0addcld 12477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℕ0)
131 facp1 14178 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 + 𝑚) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑘 + 𝑚) + 1)) = ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · ((𝑘 + 𝑚) + 1)))
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (!‘((𝑘 + 𝑚) + 1)) = ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · ((𝑘 + 𝑚) + 1)))
133119nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
134116nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
135 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
136133, 134, 135addassd 11177 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 𝑚) + 1) = (𝑘 + (𝑚 + 1)))
137136fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (!‘((𝑘 + 𝑚) + 1)) = (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1))))
138136oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · ((𝑘 + 𝑚) + 1)) = ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · (𝑘 + (𝑚 + 1))))
139132, 137, 1383eqtr3d 2784 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1))) = ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · (𝑘 + (𝑚 + 1))))
140129, 139oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) · (𝑘 + 1)) / ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
141122, 126nnmulcld 12206 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) ∈ ℕ)
142141nncnd 12169 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) ∈ ℂ)
143 faccl 14183 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 + 𝑚) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 𝑚)) ∈ ℕ)
144130, 143syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (!‘(𝑘 + 𝑚)) ∈ ℕ)
145144nncnd 12169 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (!‘(𝑘 + 𝑚)) ∈ ℂ)
14671adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
147119, 146nnaddcld 12205 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
148147nncnd 12169 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + (𝑚 + 1)) ∈ ℂ)
149144nnne0d 12203 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (!‘(𝑘 + 𝑚)) ≠ 0)
150147nnne0d 12203 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + (𝑚 + 1)) ≠ 0)
151142, 145, 115, 148, 149, 150divmuldivd 11972 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1)))) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) · (𝑘 + 1)) / ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
152140, 151eqtr4d 2779 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
153 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
15475oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1)))
155153, 154oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) = ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))))
156 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))) = (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1))))
157155, 156oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))))
158 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))
159 ovex 7390 . . . . . . . . . 10 (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))) ∈ V
160157, 158, 159fvmpt 6948 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))‘𝑘) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))))
161160adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))‘𝑘) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))))
16275oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + 1)↑𝑚) = ((𝑘 + 1)↑𝑚))
163153, 162oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)))
164 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (!‘(𝑛 + 𝑚)) = (!‘(𝑘 + 𝑚)))
165163, 164oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))))
166 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))
167 ovex 7390 . . . . . . . . . . 11 (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) ∈ V
168165, 166, 167fvmpt 6948 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))))
169168, 80oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘)) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
170169adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘)) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
171152, 161, 1703eqtr4d 2786 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘)))
172171adantlr 713 . . . . . 6 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘)))
17330, 65, 66, 68, 83, 103, 112, 172climmul 15515 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ⇝ (1 · 1))
174 1t1e1 12315 . . . . 5 (1 · 1) = 1
175173, 174breqtrdi 5146 . . . 4 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ⇝ 1)
176175ex 413 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ⇝ 1))
1778, 15, 22, 29, 64, 176nn0ind 12598 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀)))) ⇝ 1)
1781, 177eqbrtrid 5140 1 (𝑀 ∈ ℕ0𝐹 ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  Vcvv 3445   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cexp 13967  !cfa 14173  cli 15366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator