Theorem faclim2 36098

Description: Another factorial limit due to Euler. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
faclim2.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀))))

Assertion

Ref	Expression
faclim2	⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝐹 ⇝ 1)

Distinct variable group:   𝑛,𝑀

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem faclim2

Dummy variables 𝑚 𝑎 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faclim2.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀))))
2		oveq2 7404	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑛 + 1)↑𝑎) = ((𝑛 + 1)↑0))
3	2	oveq2d 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) = ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)))
4		oveq2 7404	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑛 + 𝑎) = (𝑛 + 0))
5	4	fveq2d 6871	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (!‘(𝑛 + 𝑎)) = (!‘(𝑛 + 0)))
6	3, 5	oveq12d 7414	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎))) = (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))
7	6	mpteq2dv 5194	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))))
8	7	breq1d 5110	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) ⇝ 1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ⇝ 1))
9		oveq2 7404	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → ((𝑛 + 1)↑𝑎) = ((𝑛 + 1)↑𝑚))
10	9	oveq2d 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) = ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)))
11		oveq2 7404	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → (𝑛 + 𝑎) = (𝑛 + 𝑚))
12	11	fveq2d 6871	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → (!‘(𝑛 + 𝑎)) = (!‘(𝑛 + 𝑚)))
13	10, 12	oveq12d 7414	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎))) = (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))
14	13	mpteq2dv 5194	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))))
15	14	breq1d 5110	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) ⇝ 1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1))
16		oveq2 7404	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑚 + 1) → ((𝑛 + 1)↑𝑎) = ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1)))
17	16	oveq2d 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑚 + 1) → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) = ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))))
18		oveq2 7404	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑚 + 1) → (𝑛 + 𝑎) = (𝑛 + (𝑚 + 1)))
19	18	fveq2d 6871	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑚 + 1) → (!‘(𝑛 + 𝑎)) = (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))
20	17, 19	oveq12d 7414	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑚 + 1) → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎))) = (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))
21	20	mpteq2dv 5194	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑚 + 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))))
22	21	breq1d 5110	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑚 + 1) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) ⇝ 1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ⇝ 1))
23		oveq2 7404	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → ((𝑛 + 1)↑𝑎) = ((𝑛 + 1)↑𝑀))
24	23	oveq2d 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) = ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)))
25		oveq2 7404	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → (𝑛 + 𝑎) = (𝑛 + 𝑀))
26	25	fveq2d 6871	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → (!‘(𝑛 + 𝑎)) = (!‘(𝑛 + 𝑀)))
27	24, 26	oveq12d 7414	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎))) = (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀))))
28	27	mpteq2dv 5194	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀)))))
29	28	breq1d 5110	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) ⇝ 1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀)))) ⇝ 1))
30		nnuz 12878	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
31		1zzd 12602	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
32		nnex 12216	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
33	32	mptex 7207	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ∈ V)
35		1cnd 11175	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
36		fveq2 6867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (!‘𝑛) = (!‘𝑚))
37		oveq1 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 + 1) = (𝑚 + 1))
38	37	oveq1d 7411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 + 1)↑0) = ((𝑚 + 1)↑0))
39	36, 38	oveq12d 7414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) = ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)))
40		fvoveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (!‘(𝑛 + 0)) = (!‘(𝑚 + 0)))
41	39, 40	oveq12d 7414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))) = (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) / (!‘(𝑚 + 0))))
42		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))
43		ovex 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) / (!‘(𝑚 + 0))) ∈ V
44	41, 42, 43	fvmpt 6975	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))‘𝑚) = (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) / (!‘(𝑚 + 0))))
45		peano2nn 12222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
46	45	nncnd 12226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℂ)
47	46	exp0d 14153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 + 1)↑0) = 1)
48	47	oveq2d 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) = ((!‘𝑚) · 1))
49		nnnn0 12488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
50		faccl 14296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘𝑚) ∈ ℕ)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (!‘𝑚) ∈ ℕ)
52	51	nncnd 12226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (!‘𝑚) ∈ ℂ)
53	52	mulridd 11199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((!‘𝑚) · 1) = (!‘𝑚))
54	48, 53	eqtrd 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) = (!‘𝑚))
55		nncn 12218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
56	55	addridd 11383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 0) = 𝑚)
57	56	fveq2d 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (!‘(𝑚 + 0)) = (!‘𝑚))
58	54, 57	oveq12d 7414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) / (!‘(𝑚 + 0))) = ((!‘𝑚) / (!‘𝑚)))
59	51	nnne0d 12263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (!‘𝑚) ≠ 0)
60	52, 59	dividd 11965	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((!‘𝑚) / (!‘𝑚)) = 1)
61	44, 58, 60	3eqtrd 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))‘𝑚) = 1)
62	61	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))‘𝑚) = 1)
63	30, 31, 34, 35, 62	climconst 15570	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ⇝ 1)
64	63	mptru 1567	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ⇝ 1
65		1zzd 12602	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → 1 ∈ ℤ)
66		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1)
67	32	mptex 7207	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ∈ V
68	67	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ∈ V)
69		1zzd 12602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
70		1cnd 11175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
71		nn0p1nn 12520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
72	71	nnzd 12594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
73	32	mptex 7207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) ∈ V
74	73	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) ∈ V)
75		oveq1 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + 1) = (𝑘 + 1))
76		oveq1 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + (𝑚 + 1)) = (𝑘 + (𝑚 + 1)))
77	75, 76	oveq12d 7414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1))))
78		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))
79		ovex 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1))) ∈ V
80	77, 78, 79	fvmpt 6975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1))))
81	80	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1))))
82	30, 69, 70, 72, 74, 81	divcnvlin 36083	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) ⇝ 1)
83	82	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) ⇝ 1)
84		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
85	84	nnnn0d 12542	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
86		faccl 14296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
88		peano2nn 12222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
89		nnexpcl 14087	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
90	88, 89	sylan 589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
91	90	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
92	87, 91	nnmulcld 12266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) ∈ ℕ)
93	92	nnred 12225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) ∈ ℝ)
94		nnnn0addcl 12511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ)
95	94	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ)
96	95	nnnn0d 12542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0)
97		faccl 14296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑛 + 𝑚)) ∈ ℕ)
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (!‘(𝑛 + 𝑚)) ∈ ℕ)
99	93, 98	nndivred 12267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))) ∈ ℝ)
100	99	recnd 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))) ∈ ℂ)
101	100	fmpttd 7096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))):ℕ⟶ℂ)
102	101	ffvelcdmda 7065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) ∈ ℂ)
103	102	adantlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) ∈ ℂ)
104	88	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
105	104	nnred 12225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
106	71	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
107	84, 106	nnaddcld 12265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
108	105, 107	nndivred 12267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))) ∈ ℝ)
109	108	recnd 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))) ∈ ℂ)
110	109	fmpttd 7096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))):ℕ⟶ℂ)
111	110	ffvelcdmda 7065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
112	111	adantlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
113		peano2nn 12222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
114	113	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
115	114	nncnd 12226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
116		simpl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ0)
117	115, 116	expp1d 14160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1)) = (((𝑘 + 1)↑𝑚) · (𝑘 + 1)))
118	117	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) = ((!‘𝑘) · (((𝑘 + 1)↑𝑚) · (𝑘 + 1))))
119		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
120	119	nnnn0d 12542	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
121		faccl 14296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
122	120, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
123	122	nncnd 12226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
124		nnexpcl 14087	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
125	113, 124	sylan 589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
126	125	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
127	126	nncnd 12226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1)↑𝑚) ∈ ℂ)
128	123, 127, 115	mulassd 11205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) · (𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (((𝑘 + 1)↑𝑚) · (𝑘 + 1))))
129	118, 128	eqtr4d 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) · (𝑘 + 1)))
130	120, 116	nn0addcld 12546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℕ0)
131		facp1 14291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 + 𝑚) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑘 + 𝑚) + 1)) = ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · ((𝑘 + 𝑚) + 1)))
132	130, 131	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (!‘((𝑘 + 𝑚) + 1)) = ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · ((𝑘 + 𝑚) + 1)))
133	119	nncnd 12226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
134	116	nn0cnd 12544	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
135		1cnd 11175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
136	133, 134, 135	addassd 11204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 𝑚) + 1) = (𝑘 + (𝑚 + 1)))
137	136	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (!‘((𝑘 + 𝑚) + 1)) = (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1))))
138	136	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · ((𝑘 + 𝑚) + 1)) = ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · (𝑘 + (𝑚 + 1))))
139	132, 137, 138	3eqtr3d 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1))) = ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · (𝑘 + (𝑚 + 1))))
140	129, 139	oveq12d 7414	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) · (𝑘 + 1)) / ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
141	122, 126	nnmulcld 12266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) ∈ ℕ)
142	141	nncnd 12226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) ∈ ℂ)
143		faccl 14296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 + 𝑚) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 𝑚)) ∈ ℕ)
144	130, 143	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (!‘(𝑘 + 𝑚)) ∈ ℕ)
145	144	nncnd 12226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (!‘(𝑘 + 𝑚)) ∈ ℂ)
146	71	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
147	119, 146	nnaddcld 12265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
148	147	nncnd 12226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + (𝑚 + 1)) ∈ ℂ)
149	144	nnne0d 12263	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (!‘(𝑘 + 𝑚)) ≠ 0)
150	147	nnne0d 12263	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + (𝑚 + 1)) ≠ 0)
151	142, 145, 115, 148, 149, 150	divmuldivd 12008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1)))) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) · (𝑘 + 1)) / ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
152	140, 151	eqtr4d 2800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
153		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
154	75	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1)))
155	153, 154	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) = ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))))
156		fvoveq1 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))) = (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1))))
157	155, 156	oveq12d 7414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))))
158		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))
159		ovex 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))) ∈ V
160	157, 158, 159	fvmpt 6975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))‘𝑘) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))))
161	160	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))‘𝑘) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))))
162	75	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + 1)↑𝑚) = ((𝑘 + 1)↑𝑚))
163	153, 162	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)))
164		fvoveq1 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘(𝑛 + 𝑚)) = (!‘(𝑘 + 𝑚)))
165	163, 164	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))))
166		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))
167		ovex 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) ∈ V
168	165, 166, 167	fvmpt 6975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))))
169	168, 80	oveq12d 7414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘)) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
170	169	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘)) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
171	152, 161, 170	3eqtr4d 2807	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘)))
172	171	adantlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘)))
173	30, 65, 66, 68, 83, 103, 112, 172	climmul 15660	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ⇝ (1 · 1))
174		1t1e1 12379	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
175	173, 174	breqtrdi 5141	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ⇝ 1)
176	175	ex 416	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ⇝ 1))
177	8, 15, 22, 29, 64, 176	nn0ind 12668	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀)))) ⇝ 1)
178	1, 177	eqbrtrid 5135	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝐹 ⇝ 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560  ⊤wtru 1561   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078   / cdiv 11844  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481  ↑cexp 14074  !cfa 14286   ⇝ cli 15511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fl 13802  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-shft 15080  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515  df-rlim 15516

This theorem is referenced by: (None)