Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  faclim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclim2 32011
Description: Another factorial limit due to Euler. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
faclim2.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀))))
Assertion
Ref Expression
faclim2 (𝑀 ∈ ℕ0𝐹 ⇝ 1)
Distinct variable group:   𝑛,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem faclim2
Dummy variables 𝑚 𝑎 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 faclim2.1 . 2 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀))))
2 oveq2 6850 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → ((𝑛 + 1)↑𝑎) = ((𝑛 + 1)↑0))
32oveq2d 6858 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) = ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)))
4 oveq2 6850 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → (𝑛 + 𝑎) = (𝑛 + 0))
54fveq2d 6379 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (!‘(𝑛 + 𝑎)) = (!‘(𝑛 + 0)))
63, 5oveq12d 6860 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎))) = (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))
76mpteq2dv 4904 . . . 4 (𝑎 = 0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))))
87breq1d 4819 . . 3 (𝑎 = 0 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) ⇝ 1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ⇝ 1))
9 oveq2 6850 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑚 → ((𝑛 + 1)↑𝑎) = ((𝑛 + 1)↑𝑚))
109oveq2d 6858 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑚 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) = ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)))
11 oveq2 6850 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑚 → (𝑛 + 𝑎) = (𝑛 + 𝑚))
1211fveq2d 6379 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑚 → (!‘(𝑛 + 𝑎)) = (!‘(𝑛 + 𝑚)))
1310, 12oveq12d 6860 . . . . 5 (𝑎 = 𝑚 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎))) = (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))
1413mpteq2dv 4904 . . . 4 (𝑎 = 𝑚 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))))
1514breq1d 4819 . . 3 (𝑎 = 𝑚 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) ⇝ 1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1))
16 oveq2 6850 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑚 + 1) → ((𝑛 + 1)↑𝑎) = ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1)))
1716oveq2d 6858 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑚 + 1) → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) = ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))))
18 oveq2 6850 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑚 + 1) → (𝑛 + 𝑎) = (𝑛 + (𝑚 + 1)))
1918fveq2d 6379 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑚 + 1) → (!‘(𝑛 + 𝑎)) = (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))
2017, 19oveq12d 6860 . . . . 5 (𝑎 = (𝑚 + 1) → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎))) = (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))
2120mpteq2dv 4904 . . . 4 (𝑎 = (𝑚 + 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))))
2221breq1d 4819 . . 3 (𝑎 = (𝑚 + 1) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) ⇝ 1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ⇝ 1))
23 oveq2 6850 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑀 → ((𝑛 + 1)↑𝑎) = ((𝑛 + 1)↑𝑀))
2423oveq2d 6858 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑀 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) = ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)))
25 oveq2 6850 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑀 → (𝑛 + 𝑎) = (𝑛 + 𝑀))
2625fveq2d 6379 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑀 → (!‘(𝑛 + 𝑎)) = (!‘(𝑛 + 𝑀)))
2724, 26oveq12d 6860 . . . . 5 (𝑎 = 𝑀 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎))) = (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀))))
2827mpteq2dv 4904 . . . 4 (𝑎 = 𝑀 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀)))))
2928breq1d 4819 . . 3 (𝑎 = 𝑀 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) ⇝ 1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀)))) ⇝ 1))
30 nnuz 11923 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
31 1zzd 11655 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
32 nnex 11281 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
3332mptex 6679 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ∈ V
3433a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ∈ V)
35 1cnd 10288 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
36 fveq2 6375 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (!‘𝑛) = (!‘𝑚))
37 oveq1 6849 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 + 1) = (𝑚 + 1))
3837oveq1d 6857 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 + 1)↑0) = ((𝑚 + 1)↑0))
3936, 38oveq12d 6860 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) = ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)))
40 fvoveq1 6865 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (!‘(𝑛 + 0)) = (!‘(𝑚 + 0)))
4139, 40oveq12d 6860 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))) = (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) / (!‘(𝑚 + 0))))
42 eqid 2765 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))
43 ovex 6874 . . . . . . . 8 (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) / (!‘(𝑚 + 0))) ∈ V
4441, 42, 43fvmpt 6471 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))‘𝑚) = (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) / (!‘(𝑚 + 0))))
45 peano2nn 11288 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
4645nncnd 11292 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℂ)
4746exp0d 13209 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 + 1)↑0) = 1)
4847oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) = ((!‘𝑚) · 1))
49 nnnn0 11546 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
50 faccl 13274 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘𝑚) ∈ ℕ)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → (!‘𝑚) ∈ ℕ)
5251nncnd 11292 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → (!‘𝑚) ∈ ℂ)
5352mulid1d 10311 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → ((!‘𝑚) · 1) = (!‘𝑚))
5448, 53eqtrd 2799 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) = (!‘𝑚))
55 nncn 11283 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
5655addid1d 10490 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 0) = 𝑚)
5756fveq2d 6379 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → (!‘(𝑚 + 0)) = (!‘𝑚))
5854, 57oveq12d 6860 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) / (!‘(𝑚 + 0))) = ((!‘𝑚) / (!‘𝑚)))
5951nnne0d 11322 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → (!‘𝑚) ≠ 0)
6052, 59dividd 11053 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → ((!‘𝑚) / (!‘𝑚)) = 1)
6144, 58, 603eqtrd 2803 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))‘𝑚) = 1)
6261adantl 473 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))‘𝑚) = 1)
6330, 31, 34, 35, 62climconst 14561 . . . 4 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ⇝ 1)
6463mptru 1660 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ⇝ 1
65 1zzd 11655 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → 1 ∈ ℤ)
66 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1)
6732mptex 6679 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ∈ V
6867a1i 11 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ∈ V)
69 1zzd 11655 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
70 1cnd 10288 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
71 nn0p1nn 11579 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
7271nnzd 11728 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
7332mptex 6679 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) ∈ V
7473a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) ∈ V)
75 oveq1 6849 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + 1) = (𝑘 + 1))
76 oveq1 6849 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + (𝑚 + 1)) = (𝑘 + (𝑚 + 1)))
7775, 76oveq12d 6860 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1))))
78 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))
79 ovex 6874 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1))) ∈ V
8077, 78, 79fvmpt 6471 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1))))
8180adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1))))
8230, 69, 70, 72, 74, 81divcnvlin 31995 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) ⇝ 1)
8382adantr 472 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) ⇝ 1)
84 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
8584nnnn0d 11598 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
86 faccl 13274 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
88 peano2nn 11288 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
89 nnexpcl 13080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
9088, 89sylan 575 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
9190ancoms 450 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
9287, 91nnmulcld 11325 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) ∈ ℕ)
9392nnred 11291 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) ∈ ℝ)
94 nnnn0addcl 11570 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ)
9594ancoms 450 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ)
9695nnnn0d 11598 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0)
97 faccl 13274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑛 + 𝑚)) ∈ ℕ)
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (!‘(𝑛 + 𝑚)) ∈ ℕ)
9993, 98nndivred 11326 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))) ∈ ℝ)
10099recnd 10322 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))) ∈ ℂ)
101100fmpttd 6575 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))):ℕ⟶ℂ)
102101ffvelrnda 6549 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) ∈ ℂ)
103102adantlr 706 . . . . . 6 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) ∈ ℂ)
10488adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
105104nnred 11291 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
10671adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
10784, 106nnaddcld 11324 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
108105, 107nndivred 11326 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))) ∈ ℝ)
109108recnd 10322 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))) ∈ ℂ)
110109fmpttd 6575 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))):ℕ⟶ℂ)
111110ffvelrnda 6549 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
112111adantlr 706 . . . . . 6 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
113 peano2nn 11288 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
114113adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
115114nncnd 11292 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
116 simpl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ0)
117115, 116expp1d 13216 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1)) = (((𝑘 + 1)↑𝑚) · (𝑘 + 1)))
118117oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) = ((!‘𝑘) · (((𝑘 + 1)↑𝑚) · (𝑘 + 1))))
119 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
120119nnnn0d 11598 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
121 faccl 13274 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
123122nncnd 11292 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
124 nnexpcl 13080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
125113, 124sylan 575 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
126125ancoms 450 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
127126nncnd 11292 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1)↑𝑚) ∈ ℂ)
128123, 127, 115mulassd 10317 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) · (𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (((𝑘 + 1)↑𝑚) · (𝑘 + 1))))
129118, 128eqtr4d 2802 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) · (𝑘 + 1)))
130120, 116nn0addcld 11602 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℕ0)
131 facp1 13269 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 + 𝑚) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑘 + 𝑚) + 1)) = ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · ((𝑘 + 𝑚) + 1)))
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (!‘((𝑘 + 𝑚) + 1)) = ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · ((𝑘 + 𝑚) + 1)))
133119nncnd 11292 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
134116nn0cnd 11600 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
135 1cnd 10288 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
136133, 134, 135addassd 10316 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 𝑚) + 1) = (𝑘 + (𝑚 + 1)))
137136fveq2d 6379 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (!‘((𝑘 + 𝑚) + 1)) = (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1))))
138136oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · ((𝑘 + 𝑚) + 1)) = ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · (𝑘 + (𝑚 + 1))))
139132, 137, 1383eqtr3d 2807 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1))) = ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · (𝑘 + (𝑚 + 1))))
140129, 139oveq12d 6860 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) · (𝑘 + 1)) / ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
141122, 126nnmulcld 11325 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) ∈ ℕ)
142141nncnd 11292 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) ∈ ℂ)
143 faccl 13274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 + 𝑚) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 𝑚)) ∈ ℕ)
144130, 143syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (!‘(𝑘 + 𝑚)) ∈ ℕ)
145144nncnd 11292 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (!‘(𝑘 + 𝑚)) ∈ ℂ)
14671adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
147119, 146nnaddcld 11324 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
148147nncnd 11292 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + (𝑚 + 1)) ∈ ℂ)
149144nnne0d 11322 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (!‘(𝑘 + 𝑚)) ≠ 0)
150147nnne0d 11322 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + (𝑚 + 1)) ≠ 0)
151142, 145, 115, 148, 149, 150divmuldivd 11096 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1)))) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) · (𝑘 + 1)) / ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
152140, 151eqtr4d 2802 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
153 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
15475oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1)))
155153, 154oveq12d 6860 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) = ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))))
156 fvoveq1 6865 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))) = (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1))))
157155, 156oveq12d 6860 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))))
158 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))
159 ovex 6874 . . . . . . . . . 10 (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))) ∈ V
160157, 158, 159fvmpt 6471 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))‘𝑘) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))))
161160adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))‘𝑘) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))))
16275oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + 1)↑𝑚) = ((𝑘 + 1)↑𝑚))
163153, 162oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)))
164 fvoveq1 6865 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (!‘(𝑛 + 𝑚)) = (!‘(𝑘 + 𝑚)))
165163, 164oveq12d 6860 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))))
166 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))
167 ovex 6874 . . . . . . . . . . 11 (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) ∈ V
168165, 166, 167fvmpt 6471 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))))
169168, 80oveq12d 6860 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘)) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
170169adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘)) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
171152, 161, 1703eqtr4d 2809 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘)))
172171adantlr 706 . . . . . 6 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘)))
17330, 65, 66, 68, 83, 103, 112, 172climmul 14650 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ⇝ (1 · 1))
174 1t1e1 11440 . . . . 5 (1 · 1) = 1
175173, 174syl6breq 4850 . . . 4 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ⇝ 1)
176175ex 401 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ⇝ 1))
1778, 15, 22, 29, 64, 176nn0ind 11719 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀)))) ⇝ 1)
1781, 177syl5eqbr 4844 1 (𝑀 ∈ ℕ0𝐹 ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wtru 1653  wcel 2155  Vcvv 3350   class class class wbr 4809  cmpt 4888  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   / cdiv 10938  cn 11274  0cn0 11538  cexp 13067  !cfa 13264  cli 14502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-shft 14094  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-rlim 14507
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator