Theorem faclim2 33093

Description: Another factorial limit due to Euler. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
faclim2.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀))))

Assertion

Ref	Expression
faclim2	⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝐹 ⇝ 1)

Distinct variable group:   𝑛,𝑀

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem faclim2

Dummy variables 𝑚 𝑎 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faclim2.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀))))
2		oveq2 7143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑛 + 1)↑𝑎) = ((𝑛 + 1)↑0))
3	2	oveq2d 7151	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) = ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)))
4		oveq2 7143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑛 + 𝑎) = (𝑛 + 0))
5	4	fveq2d 6649	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (!‘(𝑛 + 𝑎)) = (!‘(𝑛 + 0)))
6	3, 5	oveq12d 7153	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎))) = (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))
7	6	mpteq2dv 5126	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))))
8	7	breq1d 5040	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) ⇝ 1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ⇝ 1))
9		oveq2 7143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → ((𝑛 + 1)↑𝑎) = ((𝑛 + 1)↑𝑚))
10	9	oveq2d 7151	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) = ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)))
11		oveq2 7143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → (𝑛 + 𝑎) = (𝑛 + 𝑚))
12	11	fveq2d 6649	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → (!‘(𝑛 + 𝑎)) = (!‘(𝑛 + 𝑚)))
13	10, 12	oveq12d 7153	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎))) = (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))
14	13	mpteq2dv 5126	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))))
15	14	breq1d 5040	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) ⇝ 1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1))
16		oveq2 7143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑚 + 1) → ((𝑛 + 1)↑𝑎) = ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1)))
17	16	oveq2d 7151	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑚 + 1) → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) = ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))))
18		oveq2 7143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑚 + 1) → (𝑛 + 𝑎) = (𝑛 + (𝑚 + 1)))
19	18	fveq2d 6649	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑚 + 1) → (!‘(𝑛 + 𝑎)) = (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))
20	17, 19	oveq12d 7153	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑚 + 1) → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎))) = (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))
21	20	mpteq2dv 5126	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑚 + 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))))
22	21	breq1d 5040	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑚 + 1) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) ⇝ 1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ⇝ 1))
23		oveq2 7143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → ((𝑛 + 1)↑𝑎) = ((𝑛 + 1)↑𝑀))
24	23	oveq2d 7151	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) = ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)))
25		oveq2 7143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → (𝑛 + 𝑎) = (𝑛 + 𝑀))
26	25	fveq2d 6649	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → (!‘(𝑛 + 𝑎)) = (!‘(𝑛 + 𝑀)))
27	24, 26	oveq12d 7153	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎))) = (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀))))
28	27	mpteq2dv 5126	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀)))))
29	28	breq1d 5040	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) ⇝ 1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀)))) ⇝ 1))
30		nnuz 12269	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
31		1zzd 12001	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
32		nnex 11631	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
33	32	mptex 6963	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ∈ V)
35		1cnd 10625	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
36		fveq2 6645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (!‘𝑛) = (!‘𝑚))
37		oveq1 7142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 + 1) = (𝑚 + 1))
38	37	oveq1d 7150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 + 1)↑0) = ((𝑚 + 1)↑0))
39	36, 38	oveq12d 7153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) = ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)))
40		fvoveq1 7158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (!‘(𝑛 + 0)) = (!‘(𝑚 + 0)))
41	39, 40	oveq12d 7153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))) = (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) / (!‘(𝑚 + 0))))
42		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))
43		ovex 7168	. . . . . . . 8 ⊢ (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) / (!‘(𝑚 + 0))) ∈ V
44	41, 42, 43	fvmpt 6745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))‘𝑚) = (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) / (!‘(𝑚 + 0))))
45		peano2nn 11637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
46	45	nncnd 11641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℂ)
47	46	exp0d 13500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 + 1)↑0) = 1)
48	47	oveq2d 7151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) = ((!‘𝑚) · 1))
49		nnnn0 11892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
50		faccl 13639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘𝑚) ∈ ℕ)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (!‘𝑚) ∈ ℕ)
52	51	nncnd 11641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (!‘𝑚) ∈ ℂ)
53	52	mulid1d 10647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((!‘𝑚) · 1) = (!‘𝑚))
54	48, 53	eqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) = (!‘𝑚))
55		nncn 11633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
56	55	addid1d 10829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 0) = 𝑚)
57	56	fveq2d 6649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (!‘(𝑚 + 0)) = (!‘𝑚))
58	54, 57	oveq12d 7153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) / (!‘(𝑚 + 0))) = ((!‘𝑚) / (!‘𝑚)))
59	51	nnne0d 11675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (!‘𝑚) ≠ 0)
60	52, 59	dividd 11403	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((!‘𝑚) / (!‘𝑚)) = 1)
61	44, 58, 60	3eqtrd 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))‘𝑚) = 1)
62	61	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))‘𝑚) = 1)
63	30, 31, 34, 35, 62	climconst 14892	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ⇝ 1)
64	63	mptru 1545	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ⇝ 1
65		1zzd 12001	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → 1 ∈ ℤ)
66		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1)
67	32	mptex 6963	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ∈ V
68	67	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ∈ V)
69		1zzd 12001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
70		1cnd 10625	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
71		nn0p1nn 11924	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
72	71	nnzd 12074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
73	32	mptex 6963	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) ∈ V
74	73	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) ∈ V)
75		oveq1 7142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + 1) = (𝑘 + 1))
76		oveq1 7142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + (𝑚 + 1)) = (𝑘 + (𝑚 + 1)))
77	75, 76	oveq12d 7153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1))))
78		eqid 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))
79		ovex 7168	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1))) ∈ V
80	77, 78, 79	fvmpt 6745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1))))
81	80	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1))))
82	30, 69, 70, 72, 74, 81	divcnvlin 33077	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) ⇝ 1)
83	82	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) ⇝ 1)
84		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
85	84	nnnn0d 11943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
86		faccl 13639	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
88		peano2nn 11637	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
89		nnexpcl 13438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
90	88, 89	sylan 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
91	90	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
92	87, 91	nnmulcld 11678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) ∈ ℕ)
93	92	nnred 11640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) ∈ ℝ)
94		nnnn0addcl 11915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ)
95	94	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ)
96	95	nnnn0d 11943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0)
97		faccl 13639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑛 + 𝑚)) ∈ ℕ)
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (!‘(𝑛 + 𝑚)) ∈ ℕ)
99	93, 98	nndivred 11679	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))) ∈ ℝ)
100	99	recnd 10658	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))) ∈ ℂ)
101	100	fmpttd 6856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))):ℕ⟶ℂ)
102	101	ffvelrnda 6828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) ∈ ℂ)
103	102	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) ∈ ℂ)
104	88	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
105	104	nnred 11640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
106	71	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
107	84, 106	nnaddcld 11677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
108	105, 107	nndivred 11679	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))) ∈ ℝ)
109	108	recnd 10658	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))) ∈ ℂ)
110	109	fmpttd 6856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))):ℕ⟶ℂ)
111	110	ffvelrnda 6828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
112	111	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
113		peano2nn 11637	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
114	113	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
115	114	nncnd 11641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
116		simpl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ0)
117	115, 116	expp1d 13507	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1)) = (((𝑘 + 1)↑𝑚) · (𝑘 + 1)))
118	117	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) = ((!‘𝑘) · (((𝑘 + 1)↑𝑚) · (𝑘 + 1))))
119		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
120	119	nnnn0d 11943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
121		faccl 13639	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
122	120, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
123	122	nncnd 11641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
124		nnexpcl 13438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
125	113, 124	sylan 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
126	125	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
127	126	nncnd 11641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1)↑𝑚) ∈ ℂ)
128	123, 127, 115	mulassd 10653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) · (𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (((𝑘 + 1)↑𝑚) · (𝑘 + 1))))
129	118, 128	eqtr4d 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) · (𝑘 + 1)))
130	120, 116	nn0addcld 11947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℕ0)
131		facp1 13634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 + 𝑚) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑘 + 𝑚) + 1)) = ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · ((𝑘 + 𝑚) + 1)))
132	130, 131	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (!‘((𝑘 + 𝑚) + 1)) = ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · ((𝑘 + 𝑚) + 1)))
133	119	nncnd 11641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
134	116	nn0cnd 11945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
135		1cnd 10625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
136	133, 134, 135	addassd 10652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 𝑚) + 1) = (𝑘 + (𝑚 + 1)))
137	136	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (!‘((𝑘 + 𝑚) + 1)) = (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1))))
138	136	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · ((𝑘 + 𝑚) + 1)) = ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · (𝑘 + (𝑚 + 1))))
139	132, 137, 138	3eqtr3d 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1))) = ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · (𝑘 + (𝑚 + 1))))
140	129, 139	oveq12d 7153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) · (𝑘 + 1)) / ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
141	122, 126	nnmulcld 11678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) ∈ ℕ)
142	141	nncnd 11641	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) ∈ ℂ)
143		faccl 13639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 + 𝑚) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 𝑚)) ∈ ℕ)
144	130, 143	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (!‘(𝑘 + 𝑚)) ∈ ℕ)
145	144	nncnd 11641	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (!‘(𝑘 + 𝑚)) ∈ ℂ)
146	71	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
147	119, 146	nnaddcld 11677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
148	147	nncnd 11641	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + (𝑚 + 1)) ∈ ℂ)
149	144	nnne0d 11675	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (!‘(𝑘 + 𝑚)) ≠ 0)
150	147	nnne0d 11675	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + (𝑚 + 1)) ≠ 0)
151	142, 145, 115, 148, 149, 150	divmuldivd 11446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1)))) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) · (𝑘 + 1)) / ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
152	140, 151	eqtr4d 2836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
153		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
154	75	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1)))
155	153, 154	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) = ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))))
156		fvoveq1 7158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))) = (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1))))
157	155, 156	oveq12d 7153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))))
158		eqid 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))
159		ovex 7168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))) ∈ V
160	157, 158, 159	fvmpt 6745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))‘𝑘) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))))
161	160	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))‘𝑘) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))))
162	75	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + 1)↑𝑚) = ((𝑘 + 1)↑𝑚))
163	153, 162	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)))
164		fvoveq1 7158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘(𝑛 + 𝑚)) = (!‘(𝑘 + 𝑚)))
165	163, 164	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))))
166		eqid 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))
167		ovex 7168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) ∈ V
168	165, 166, 167	fvmpt 6745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))))
169	168, 80	oveq12d 7153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘)) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
170	169	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘)) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
171	152, 161, 170	3eqtr4d 2843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘)))
172	171	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘)))
173	30, 65, 66, 68, 83, 103, 112, 172	climmul 14981	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ⇝ (1 · 1))
174		1t1e1 11787	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
175	173, 174	breqtrdi 5071	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ⇝ 1)
176	175	ex 416	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ⇝ 1))
177	8, 15, 22, 29, 64, 176	nn0ind 12065	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀)))) ⇝ 1)
178	1, 177	eqbrtrid 5065	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝐹 ⇝ 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   / cdiv 11286  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ↑cexp 13425  !cfa 13629   ⇝ cli 14833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838

This theorem is referenced by: (None)