Theorem faclim2 35942

Description: Another factorial limit due to Euler. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
faclim2.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀))))

Assertion

Ref	Expression
faclim2	⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝐹 ⇝ 1)

Distinct variable group:   𝑛,𝑀

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem faclim2

Dummy variables 𝑚 𝑎 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faclim2.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀))))
2		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑛 + 1)↑𝑎) = ((𝑛 + 1)↑0))
3	2	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) = ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)))
4		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑛 + 𝑎) = (𝑛 + 0))
5	4	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (!‘(𝑛 + 𝑎)) = (!‘(𝑛 + 0)))
6	3, 5	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎))) = (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))
7	6	mpteq2dv 5192	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))))
8	7	breq1d 5108	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) ⇝ 1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ⇝ 1))
9		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → ((𝑛 + 1)↑𝑎) = ((𝑛 + 1)↑𝑚))
10	9	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) = ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)))
11		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → (𝑛 + 𝑎) = (𝑛 + 𝑚))
12	11	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → (!‘(𝑛 + 𝑎)) = (!‘(𝑛 + 𝑚)))
13	10, 12	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎))) = (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))
14	13	mpteq2dv 5192	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))))
15	14	breq1d 5108	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) ⇝ 1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1))
16		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑚 + 1) → ((𝑛 + 1)↑𝑎) = ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1)))
17	16	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑚 + 1) → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) = ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))))
18		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑚 + 1) → (𝑛 + 𝑎) = (𝑛 + (𝑚 + 1)))
19	18	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑚 + 1) → (!‘(𝑛 + 𝑎)) = (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))
20	17, 19	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑚 + 1) → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎))) = (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))
21	20	mpteq2dv 5192	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑚 + 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))))
22	21	breq1d 5108	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑚 + 1) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) ⇝ 1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ⇝ 1))
23		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → ((𝑛 + 1)↑𝑎) = ((𝑛 + 1)↑𝑀))
24	23	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) = ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)))
25		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → (𝑛 + 𝑎) = (𝑛 + 𝑀))
26	25	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → (!‘(𝑛 + 𝑎)) = (!‘(𝑛 + 𝑀)))
27	24, 26	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎))) = (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀))))
28	27	mpteq2dv 5192	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀)))))
29	28	breq1d 5108	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) ⇝ 1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀)))) ⇝ 1))
30		nnuz 12790	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
31		1zzd 12522	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
32		nnex 12151	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
33	32	mptex 7169	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ∈ V)
35		1cnd 11127	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
36		fveq2 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (!‘𝑛) = (!‘𝑚))
37		oveq1 7365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 + 1) = (𝑚 + 1))
38	37	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 + 1)↑0) = ((𝑚 + 1)↑0))
39	36, 38	oveq12d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) = ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)))
40		fvoveq1 7381	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (!‘(𝑛 + 0)) = (!‘(𝑚 + 0)))
41	39, 40	oveq12d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))) = (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) / (!‘(𝑚 + 0))))
42		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))
43		ovex 7391	. . . . . . . 8 ⊢ (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) / (!‘(𝑚 + 0))) ∈ V
44	41, 42, 43	fvmpt 6941	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))‘𝑚) = (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) / (!‘(𝑚 + 0))))
45		peano2nn 12157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
46	45	nncnd 12161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℂ)
47	46	exp0d 14063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 + 1)↑0) = 1)
48	47	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) = ((!‘𝑚) · 1))
49		nnnn0 12408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
50		faccl 14206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘𝑚) ∈ ℕ)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (!‘𝑚) ∈ ℕ)
52	51	nncnd 12161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (!‘𝑚) ∈ ℂ)
53	52	mulridd 11149	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((!‘𝑚) · 1) = (!‘𝑚))
54	48, 53	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) = (!‘𝑚))
55		nncn 12153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
56	55	addridd 11333	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 0) = 𝑚)
57	56	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (!‘(𝑚 + 0)) = (!‘𝑚))
58	54, 57	oveq12d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) / (!‘(𝑚 + 0))) = ((!‘𝑚) / (!‘𝑚)))
59	51	nnne0d 12195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (!‘𝑚) ≠ 0)
60	52, 59	dividd 11915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((!‘𝑚) / (!‘𝑚)) = 1)
61	44, 58, 60	3eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))‘𝑚) = 1)
62	61	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))‘𝑚) = 1)
63	30, 31, 34, 35, 62	climconst 15466	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ⇝ 1)
64	63	mptru 1548	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ⇝ 1
65		1zzd 12522	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → 1 ∈ ℤ)
66		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1)
67	32	mptex 7169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ∈ V
68	67	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ∈ V)
69		1zzd 12522	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
70		1cnd 11127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
71		nn0p1nn 12440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
72	71	nnzd 12514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
73	32	mptex 7169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) ∈ V
74	73	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) ∈ V)
75		oveq1 7365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + 1) = (𝑘 + 1))
76		oveq1 7365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + (𝑚 + 1)) = (𝑘 + (𝑚 + 1)))
77	75, 76	oveq12d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1))))
78		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))
79		ovex 7391	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1))) ∈ V
80	77, 78, 79	fvmpt 6941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1))))
81	80	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1))))
82	30, 69, 70, 72, 74, 81	divcnvlin 35927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) ⇝ 1)
83	82	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) ⇝ 1)
84		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
85	84	nnnn0d 12462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
86		faccl 14206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
88		peano2nn 12157	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
89		nnexpcl 13997	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
90	88, 89	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
91	90	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
92	87, 91	nnmulcld 12198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) ∈ ℕ)
93	92	nnred 12160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) ∈ ℝ)
94		nnnn0addcl 12431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ)
95	94	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ)
96	95	nnnn0d 12462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0)
97		faccl 14206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑛 + 𝑚)) ∈ ℕ)
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (!‘(𝑛 + 𝑚)) ∈ ℕ)
99	93, 98	nndivred 12199	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))) ∈ ℝ)
100	99	recnd 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))) ∈ ℂ)
101	100	fmpttd 7060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))):ℕ⟶ℂ)
102	101	ffvelcdmda 7029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) ∈ ℂ)
103	102	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) ∈ ℂ)
104	88	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
105	104	nnred 12160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
106	71	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
107	84, 106	nnaddcld 12197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
108	105, 107	nndivred 12199	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))) ∈ ℝ)
109	108	recnd 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))) ∈ ℂ)
110	109	fmpttd 7060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))):ℕ⟶ℂ)
111	110	ffvelcdmda 7029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
112	111	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
113		peano2nn 12157	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
114	113	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
115	114	nncnd 12161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
116		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ0)
117	115, 116	expp1d 14070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1)) = (((𝑘 + 1)↑𝑚) · (𝑘 + 1)))
118	117	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) = ((!‘𝑘) · (((𝑘 + 1)↑𝑚) · (𝑘 + 1))))
119		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
120	119	nnnn0d 12462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
121		faccl 14206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
122	120, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
123	122	nncnd 12161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
124		nnexpcl 13997	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
125	113, 124	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
126	125	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
127	126	nncnd 12161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1)↑𝑚) ∈ ℂ)
128	123, 127, 115	mulassd 11155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) · (𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (((𝑘 + 1)↑𝑚) · (𝑘 + 1))))
129	118, 128	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) · (𝑘 + 1)))
130	120, 116	nn0addcld 12466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℕ0)
131		facp1 14201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 + 𝑚) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑘 + 𝑚) + 1)) = ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · ((𝑘 + 𝑚) + 1)))
132	130, 131	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (!‘((𝑘 + 𝑚) + 1)) = ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · ((𝑘 + 𝑚) + 1)))
133	119	nncnd 12161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
134	116	nn0cnd 12464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
135		1cnd 11127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
136	133, 134, 135	addassd 11154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 𝑚) + 1) = (𝑘 + (𝑚 + 1)))
137	136	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (!‘((𝑘 + 𝑚) + 1)) = (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1))))
138	136	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · ((𝑘 + 𝑚) + 1)) = ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · (𝑘 + (𝑚 + 1))))
139	132, 137, 138	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1))) = ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · (𝑘 + (𝑚 + 1))))
140	129, 139	oveq12d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) · (𝑘 + 1)) / ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
141	122, 126	nnmulcld 12198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) ∈ ℕ)
142	141	nncnd 12161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) ∈ ℂ)
143		faccl 14206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 + 𝑚) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 𝑚)) ∈ ℕ)
144	130, 143	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (!‘(𝑘 + 𝑚)) ∈ ℕ)
145	144	nncnd 12161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (!‘(𝑘 + 𝑚)) ∈ ℂ)
146	71	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
147	119, 146	nnaddcld 12197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
148	147	nncnd 12161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + (𝑚 + 1)) ∈ ℂ)
149	144	nnne0d 12195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (!‘(𝑘 + 𝑚)) ≠ 0)
150	147	nnne0d 12195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + (𝑚 + 1)) ≠ 0)
151	142, 145, 115, 148, 149, 150	divmuldivd 11958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1)))) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) · (𝑘 + 1)) / ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
152	140, 151	eqtr4d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
153		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
154	75	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1)))
155	153, 154	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) = ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))))
156		fvoveq1 7381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))) = (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1))))
157	155, 156	oveq12d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))))
158		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))
159		ovex 7391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))) ∈ V
160	157, 158, 159	fvmpt 6941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))‘𝑘) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))))
161	160	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))‘𝑘) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))))
162	75	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + 1)↑𝑚) = ((𝑘 + 1)↑𝑚))
163	153, 162	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)))
164		fvoveq1 7381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘(𝑛 + 𝑚)) = (!‘(𝑘 + 𝑚)))
165	163, 164	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))))
166		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))
167		ovex 7391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) ∈ V
168	165, 166, 167	fvmpt 6941	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))))
169	168, 80	oveq12d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘)) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
170	169	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘)) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
171	152, 161, 170	3eqtr4d 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘)))
172	171	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘)))
173	30, 65, 66, 68, 83, 103, 112, 172	climmul 15556	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ⇝ (1 · 1))
174		1t1e1 12302	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
175	173, 174	breqtrdi 5139	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ⇝ 1)
176	175	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ⇝ 1))
177	8, 15, 22, 29, 64, 176	nn0ind 12587	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀)))) ⇝ 1)
178	1, 177	eqbrtrid 5133	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝐹 ⇝ 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   / cdiv 11794  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ↑cexp 13984  !cfa 14196   ⇝ cli 15407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-rlim 15412

This theorem is referenced by: (None)