Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  faclim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclim2 35188
Description: Another factorial limit due to Euler. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
faclim2.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀))))
Assertion
Ref Expression
faclim2 (𝑀 ∈ ℕ0𝐹 ⇝ 1)
Distinct variable group:   𝑛,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem faclim2
Dummy variables 𝑚 𝑎 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 faclim2.1 . 2 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀))))
2 oveq2 7420 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → ((𝑛 + 1)↑𝑎) = ((𝑛 + 1)↑0))
32oveq2d 7428 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) = ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)))
4 oveq2 7420 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → (𝑛 + 𝑎) = (𝑛 + 0))
54fveq2d 6895 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (!‘(𝑛 + 𝑎)) = (!‘(𝑛 + 0)))
63, 5oveq12d 7430 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎))) = (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))
76mpteq2dv 5250 . . . 4 (𝑎 = 0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))))
87breq1d 5158 . . 3 (𝑎 = 0 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) ⇝ 1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ⇝ 1))
9 oveq2 7420 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑚 → ((𝑛 + 1)↑𝑎) = ((𝑛 + 1)↑𝑚))
109oveq2d 7428 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑚 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) = ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)))
11 oveq2 7420 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑚 → (𝑛 + 𝑎) = (𝑛 + 𝑚))
1211fveq2d 6895 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑚 → (!‘(𝑛 + 𝑎)) = (!‘(𝑛 + 𝑚)))
1310, 12oveq12d 7430 . . . . 5 (𝑎 = 𝑚 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎))) = (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))
1413mpteq2dv 5250 . . . 4 (𝑎 = 𝑚 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))))
1514breq1d 5158 . . 3 (𝑎 = 𝑚 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) ⇝ 1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1))
16 oveq2 7420 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑚 + 1) → ((𝑛 + 1)↑𝑎) = ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1)))
1716oveq2d 7428 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑚 + 1) → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) = ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))))
18 oveq2 7420 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑚 + 1) → (𝑛 + 𝑎) = (𝑛 + (𝑚 + 1)))
1918fveq2d 6895 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑚 + 1) → (!‘(𝑛 + 𝑎)) = (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))
2017, 19oveq12d 7430 . . . . 5 (𝑎 = (𝑚 + 1) → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎))) = (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))
2120mpteq2dv 5250 . . . 4 (𝑎 = (𝑚 + 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))))
2221breq1d 5158 . . 3 (𝑎 = (𝑚 + 1) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) ⇝ 1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ⇝ 1))
23 oveq2 7420 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑀 → ((𝑛 + 1)↑𝑎) = ((𝑛 + 1)↑𝑀))
2423oveq2d 7428 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑀 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) = ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)))
25 oveq2 7420 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑀 → (𝑛 + 𝑎) = (𝑛 + 𝑀))
2625fveq2d 6895 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑀 → (!‘(𝑛 + 𝑎)) = (!‘(𝑛 + 𝑀)))
2724, 26oveq12d 7430 . . . . 5 (𝑎 = 𝑀 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎))) = (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀))))
2827mpteq2dv 5250 . . . 4 (𝑎 = 𝑀 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀)))))
2928breq1d 5158 . . 3 (𝑎 = 𝑀 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑎)) / (!‘(𝑛 + 𝑎)))) ⇝ 1 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀)))) ⇝ 1))
30 nnuz 12872 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
31 1zzd 12600 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
32 nnex 12225 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
3332mptex 7227 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ∈ V
3433a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ∈ V)
35 1cnd 11216 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
36 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (!‘𝑛) = (!‘𝑚))
37 oveq1 7419 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 + 1) = (𝑚 + 1))
3837oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 + 1)↑0) = ((𝑚 + 1)↑0))
3936, 38oveq12d 7430 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) = ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)))
40 fvoveq1 7435 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (!‘(𝑛 + 0)) = (!‘(𝑚 + 0)))
4139, 40oveq12d 7430 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))) = (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) / (!‘(𝑚 + 0))))
42 eqid 2731 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))
43 ovex 7445 . . . . . . . 8 (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) / (!‘(𝑚 + 0))) ∈ V
4441, 42, 43fvmpt 6998 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))‘𝑚) = (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) / (!‘(𝑚 + 0))))
45 peano2nn 12231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
4645nncnd 12235 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℂ)
4746exp0d 14112 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 + 1)↑0) = 1)
4847oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) = ((!‘𝑚) · 1))
49 nnnn0 12486 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
50 faccl 14250 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘𝑚) ∈ ℕ)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → (!‘𝑚) ∈ ℕ)
5251nncnd 12235 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → (!‘𝑚) ∈ ℂ)
5352mulridd 11238 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → ((!‘𝑚) · 1) = (!‘𝑚))
5448, 53eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) = (!‘𝑚))
55 nncn 12227 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
5655addridd 11421 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 0) = 𝑚)
5756fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → (!‘(𝑚 + 0)) = (!‘𝑚))
5854, 57oveq12d 7430 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1)↑0)) / (!‘(𝑚 + 0))) = ((!‘𝑚) / (!‘𝑚)))
5951nnne0d 12269 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → (!‘𝑚) ≠ 0)
6052, 59dividd 11995 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → ((!‘𝑚) / (!‘𝑚)) = 1)
6144, 58, 603eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))‘𝑚) = 1)
6261adantl 481 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0))))‘𝑚) = 1)
6330, 31, 34, 35, 62climconst 15494 . . . 4 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ⇝ 1)
6463mptru 1547 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑0)) / (!‘(𝑛 + 0)))) ⇝ 1
65 1zzd 12600 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → 1 ∈ ℤ)
66 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1)
6732mptex 7227 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ∈ V
6867a1i 11 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ∈ V)
69 1zzd 12600 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
70 1cnd 11216 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
71 nn0p1nn 12518 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
7271nnzd 12592 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
7332mptex 7227 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) ∈ V
7473a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) ∈ V)
75 oveq1 7419 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + 1) = (𝑘 + 1))
76 oveq1 7419 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + (𝑚 + 1)) = (𝑘 + (𝑚 + 1)))
7775, 76oveq12d 7430 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1))))
78 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))
79 ovex 7445 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1))) ∈ V
8077, 78, 79fvmpt 6998 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1))))
8180adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1))))
8230, 69, 70, 72, 74, 81divcnvlin 35172 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) ⇝ 1)
8382adantr 480 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))) ⇝ 1)
84 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
8584nnnn0d 12539 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
86 faccl 14250 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
88 peano2nn 12231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
89 nnexpcl 14047 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
9088, 89sylan 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
9190ancoms 458 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
9287, 91nnmulcld 12272 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) ∈ ℕ)
9392nnred 12234 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) ∈ ℝ)
94 nnnn0addcl 12509 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ)
9594ancoms 458 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ)
9695nnnn0d 12539 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0)
97 faccl 14250 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑛 + 𝑚)) ∈ ℕ)
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (!‘(𝑛 + 𝑚)) ∈ ℕ)
9993, 98nndivred 12273 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))) ∈ ℝ)
10099recnd 11249 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))) ∈ ℂ)
101100fmpttd 7116 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))):ℕ⟶ℂ)
102101ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) ∈ ℂ)
103102adantlr 712 . . . . . 6 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) ∈ ℂ)
10488adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
105104nnred 12234 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
10671adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
10784, 106nnaddcld 12271 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
108105, 107nndivred 12273 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))) ∈ ℝ)
109108recnd 11249 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))) ∈ ℂ)
110109fmpttd 7116 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1)))):ℕ⟶ℂ)
111110ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
112111adantlr 712 . . . . . 6 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
113 peano2nn 12231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
114113adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
115114nncnd 12235 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
116 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ0)
117115, 116expp1d 14119 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1)) = (((𝑘 + 1)↑𝑚) · (𝑘 + 1)))
118117oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) = ((!‘𝑘) · (((𝑘 + 1)↑𝑚) · (𝑘 + 1))))
119 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
120119nnnn0d 12539 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
121 faccl 14250 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
123122nncnd 12235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
124 nnexpcl 14047 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
125113, 124sylan 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
126125ancoms 458 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1)↑𝑚) ∈ ℕ)
127126nncnd 12235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1)↑𝑚) ∈ ℂ)
128123, 127, 115mulassd 11244 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) · (𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (((𝑘 + 1)↑𝑚) · (𝑘 + 1))))
129118, 128eqtr4d 2774 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) · (𝑘 + 1)))
130120, 116nn0addcld 12543 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℕ0)
131 facp1 14245 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 + 𝑚) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑘 + 𝑚) + 1)) = ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · ((𝑘 + 𝑚) + 1)))
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (!‘((𝑘 + 𝑚) + 1)) = ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · ((𝑘 + 𝑚) + 1)))
133119nncnd 12235 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
134116nn0cnd 12541 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
135 1cnd 11216 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
136133, 134, 135addassd 11243 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 𝑚) + 1) = (𝑘 + (𝑚 + 1)))
137136fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (!‘((𝑘 + 𝑚) + 1)) = (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1))))
138136oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · ((𝑘 + 𝑚) + 1)) = ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · (𝑘 + (𝑚 + 1))))
139132, 137, 1383eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1))) = ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · (𝑘 + (𝑚 + 1))))
140129, 139oveq12d 7430 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) · (𝑘 + 1)) / ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
141122, 126nnmulcld 12272 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) ∈ ℕ)
142141nncnd 12235 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) ∈ ℂ)
143 faccl 14250 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 + 𝑚) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 𝑚)) ∈ ℕ)
144130, 143syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (!‘(𝑘 + 𝑚)) ∈ ℕ)
145144nncnd 12235 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (!‘(𝑘 + 𝑚)) ∈ ℂ)
14671adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
147119, 146nnaddcld 12271 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + (𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
148147nncnd 12235 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + (𝑚 + 1)) ∈ ℂ)
149144nnne0d 12269 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (!‘(𝑘 + 𝑚)) ≠ 0)
150147nnne0d 12269 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + (𝑚 + 1)) ≠ 0)
151142, 145, 115, 148, 149, 150divmuldivd 12038 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1)))) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) · (𝑘 + 1)) / ((!‘(𝑘 + 𝑚)) · (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
152140, 151eqtr4d 2774 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
153 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
15475oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1)))
155153, 154oveq12d 7430 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) = ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))))
156 fvoveq1 7435 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))) = (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1))))
157155, 156oveq12d 7430 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))))
158 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))
159 ovex 7445 . . . . . . . . . 10 (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))) ∈ V
160157, 158, 159fvmpt 6998 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))‘𝑘) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))))
161160adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))‘𝑘) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑘 + (𝑚 + 1)))))
16275oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + 1)↑𝑚) = ((𝑘 + 1)↑𝑚))
163153, 162oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)))
164 fvoveq1 7435 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (!‘(𝑛 + 𝑚)) = (!‘(𝑘 + 𝑚)))
165163, 164oveq12d 7430 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))))
166 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))
167 ovex 7445 . . . . . . . . . . 11 (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) ∈ V
168165, 166, 167fvmpt 6998 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) = (((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))))
169168, 80oveq12d 7430 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘)) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
170169adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘)) = ((((!‘𝑘) · ((𝑘 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑘 + 𝑚))) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑚 + 1)))))
171152, 161, 1703eqtr4d 2781 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘)))
172171adantlr 712 . . . . . 6 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1)))))‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 + 1) / (𝑛 + (𝑚 + 1))))‘𝑘)))
17330, 65, 66, 68, 83, 103, 112, 172climmul 15584 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ⇝ (1 · 1))
174 1t1e1 12381 . . . . 5 (1 · 1) = 1
175173, 174breqtrdi 5189 . . . 4 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ⇝ 1)
176175ex 412 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑚)) / (!‘(𝑛 + 𝑚)))) ⇝ 1 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑(𝑚 + 1))) / (!‘(𝑛 + (𝑚 + 1))))) ⇝ 1))
1778, 15, 22, 29, 64, 176nn0ind 12664 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((!‘𝑛) · ((𝑛 + 1)↑𝑀)) / (!‘(𝑛 + 𝑀)))) ⇝ 1)
1781, 177eqbrtrid 5183 1 (𝑀 ∈ ℕ0𝐹 ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2105  Vcvv 3473   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11114  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121   / cdiv 11878  cn 12219  0cn0 12479  cexp 14034  !cfa 14240  cli 15435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-rlim 15440
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator