Theorem faclimlem2 35972

Description: Lemma for faclim 35974. Show a limit for the inductive step. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
faclimlem2	⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) ⇝ (𝑀 + 1))

Distinct variable group:   𝑛,𝑀

Proof of Theorem faclimlem2

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faclimlem1 35971	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))))
2		nnuz 12818	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		1zzd 12549	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
4		1cnd 11130	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
5		nn0p1nn 12467	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
6	5	nnzd 12541	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
7		nnex 12171	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
8	7	mptex 7167	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) ∈ V)
10		oveq1 7363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 + 1) = (𝑘 + 1))
11		oveq1 7363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 + (𝑀 + 1)) = (𝑘 + (𝑀 + 1)))
12	10, 11	oveq12d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))
13		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))
14		ovex 7389	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) ∈ V
15	12, 13, 14	fvmpt 6935	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))
16	15	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))
17	2, 3, 4, 6, 9, 16	divcnvlin 35961	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) ⇝ 1)
18	5	nncnd 12181	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
19	7	mptex 7167	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ∈ V)
21		peano2nn 12177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
22	21	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
23	22	nnred 12180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
24		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
25	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
26	24, 25	nnaddcld 12220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + (𝑀 + 1)) ∈ ℕ)
27	23, 26	nndivred 12222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11164	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
29	28	fmpttd 7056	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))):ℕ⟶ℂ)
30	29	ffvelcdmda 7025	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
31	12	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))))
32		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))
33		ovex 7389	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))) ∈ V
34	31, 32, 33	fvmpt 6935	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))))
35	15	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑀 + 1) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘)) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))))
36	34, 35	eqtr4d 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘)))
37	36	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘)))
38	2, 3, 17, 18, 20, 30, 37	climmulc2 15590	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ⇝ ((𝑀 + 1) · 1))
39	18	mulridd 11153	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀 + 1) · 1) = (𝑀 + 1))
40	38, 39	breqtrd 5098	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ⇝ (𝑀 + 1))
41	1, 40	eqbrtrd 5094	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) ⇝ (𝑀 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   / cdiv 11798  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  seqcseq 13954   ⇝ cli 15437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-rlim 15442

This theorem is referenced by:  faclim  35974