Theorem faclimlem2 33089

Description: Lemma for faclim 33091. Show a limit for the inductive step. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
faclimlem2	⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) ⇝ (𝑀 + 1))

Distinct variable group:   𝑛,𝑀

Proof of Theorem faclimlem2

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faclimlem1 33088	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))))
2		nnuz 12269	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		1zzd 12001	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
4		1cnd 10625	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
5		nn0p1nn 11924	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
6	5	nnzd 12074	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
7		nnex 11631	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
8	7	mptex 6963	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) ∈ V)
10		oveq1 7142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 + 1) = (𝑘 + 1))
11		oveq1 7142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 + (𝑀 + 1)) = (𝑘 + (𝑀 + 1)))
12	10, 11	oveq12d 7153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))
13		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))
14		ovex 7168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) ∈ V
15	12, 13, 14	fvmpt 6745	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))
16	15	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))
17	2, 3, 4, 6, 9, 16	divcnvlin 33077	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) ⇝ 1)
18	5	nncnd 11641	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
19	7	mptex 6963	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ∈ V)
21		peano2nn 11637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
22	21	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
23	22	nnred 11640	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
24		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
25	5	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
26	24, 25	nnaddcld 11677	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + (𝑀 + 1)) ∈ ℕ)
27	23, 26	nndivred 11679	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
28	27	recnd 10658	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
29	28	fmpttd 6856	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))):ℕ⟶ℂ)
30	29	ffvelrnda 6828	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
31	12	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))))
32		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))
33		ovex 7168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))) ∈ V
34	31, 32, 33	fvmpt 6745	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))))
35	15	oveq2d 7151	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑀 + 1) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘)) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))))
36	34, 35	eqtr4d 2836	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘)))
37	36	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘)))
38	2, 3, 17, 18, 20, 30, 37	climmulc2 14985	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ⇝ ((𝑀 + 1) · 1))
39	18	mulid1d 10647	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀 + 1) · 1) = (𝑀 + 1))
40	38, 39	breqtrd 5056	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ⇝ (𝑀 + 1))
41	1, 40	eqbrtrd 5052	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) ⇝ (𝑀 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   / cdiv 11286  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  seqcseq 13364   ⇝ cli 14833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838

This theorem is referenced by:  faclim  33091