Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  faclimlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclimlem2 33286
Description: Lemma for faclim 33288. Show a limit for the inductive step. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
faclimlem2 (𝑀 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) ⇝ (𝑀 + 1))
Distinct variable group:   𝑛,𝑀

Proof of Theorem faclimlem2
Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 faclimlem1 33285 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))))
2 nnuz 12366 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
3 1zzd 12097 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
4 1cnd 10717 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
5 nn0p1nn 12018 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
65nnzd 12170 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
7 nnex 11725 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
87mptex 6999 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) ∈ V)
10 oveq1 7180 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 + 1) = (𝑘 + 1))
11 oveq1 7180 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 + (𝑀 + 1)) = (𝑘 + (𝑀 + 1)))
1210, 11oveq12d 7191 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))
13 eqid 2739 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))
14 ovex 7206 . . . . . . 7 ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) ∈ V
1512, 13, 14fvmpt 6778 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))
1615adantl 485 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))
172, 3, 4, 6, 9, 16divcnvlin 33274 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) ⇝ 1)
185nncnd 11735 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
197mptex 6999 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ∈ V
2019a1i 11 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ∈ V)
21 peano2nn 11731 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
2221adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
2322nnred 11734 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
24 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
255adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
2624, 25nnaddcld 11771 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + (𝑀 + 1)) ∈ ℕ)
2723, 26nndivred 11773 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
2827recnd 10750 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
2928fmpttd 6892 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))):ℕ⟶ℂ)
3029ffvelrnda 6864 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
3112oveq2d 7189 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))))
32 eqid 2739 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))
33 ovex 7206 . . . . . . 7 ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))) ∈ V
3431, 32, 33fvmpt 6778 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))))
3515oveq2d 7189 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑀 + 1) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘)) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))))
3634, 35eqtr4d 2777 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘)))
3736adantl 485 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘)))
382, 3, 17, 18, 20, 30, 37climmulc2 15087 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ⇝ ((𝑀 + 1) · 1))
3918mulid1d 10739 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀 + 1) · 1) = (𝑀 + 1))
4038, 39breqtrd 5057 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ⇝ (𝑀 + 1))
411, 40eqbrtrd 5053 1 (𝑀 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) ⇝ (𝑀 + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  Vcvv 3399   class class class wbr 5031  cmpt 5111  cfv 6340  (class class class)co 7173  cc 10616  1c1 10619   + caddc 10621   · cmul 10623   / cdiv 11378  cn 11719  0cn0 11979  seqcseq 13463  cli 14934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695  ax-pre-sup 10696
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-er 8323  df-pm 8443  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-sup 8982  df-inf 8983  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-div 11379  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-n0 11980  df-z 12066  df-uz 12328  df-rp 12476  df-fl 13256  df-seq 13464  df-exp 13525  df-shft 14519  df-cj 14551  df-re 14552  df-im 14553  df-sqrt 14687  df-abs 14688  df-clim 14938  df-rlim 14939
This theorem is referenced by:  faclim  33288
  Copyright terms: Public domain W3C validator