Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  faclimlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem faclimlem2 35209
Description: Lemma for faclim 35211. Show a limit for the inductive step. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
faclimlem2 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) ⇝ (𝑀 + 1))
Distinct variable group:   𝑛,𝑀
Proof of Theorem faclimlem2
Dummy variables π‘˜ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 faclimlem1 35208 . 2 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))))))
2 nnuz 12862 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
3 1zzd 12590 . . . 4 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„€)
4 1cnd 11206 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„‚)
5 nn0p1nn 12508 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•)
65nnzd 12582 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„€)
7 nnex 12215 . . . . . . 7 β„• ∈ V
87mptex 7216 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1)))) ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1)))) ∈ V)
10 oveq1 7408 . . . . . . . 8 (π‘š = π‘˜ β†’ (π‘š + 1) = (π‘˜ + 1))
11 oveq1 7408 . . . . . . . 8 (π‘š = π‘˜ β†’ (π‘š + (𝑀 + 1)) = (π‘˜ + (𝑀 + 1)))
1210, 11oveq12d 7419 . . . . . . 7 (π‘š = π‘˜ β†’ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))) = ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))))
13 eqid 2724 . . . . . . 7 (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1)))) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))))
14 ovex 7434 . . . . . . 7 ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) ∈ V
1512, 13, 14fvmpt 6988 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))))
1615adantl 481 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))))
172, 3, 4, 6, 9, 16divcnvlin 35197 . . . 4 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1)))) ⇝ 1)
185nncnd 12225 . . . 4 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„‚)
197mptex 7216 . . . . 5 (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))))) ∈ V
2019a1i 11 . . . 4 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))))) ∈ V)
21 peano2nn 12221 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ β„• β†’ (π‘š + 1) ∈ β„•)
2221adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘š + 1) ∈ β„•)
2322nnred 12224 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘š + 1) ∈ ℝ)
24 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„•)
255adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•)
2624, 25nnaddcld 12261 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘š + (𝑀 + 1)) ∈ β„•)
2723, 26nndivred 12263 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
2827recnd 11239 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))) ∈ β„‚)
2928fmpttd 7106 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1)))):β„•βŸΆβ„‚)
3029ffvelcdmda 7076 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3112oveq2d 7417 . . . . . . 7 (π‘š = π‘˜ β†’ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1)))) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))))
32 eqid 2724 . . . . . . 7 (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))))) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1)))))
33 ovex 7434 . . . . . . 7 ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))) ∈ V
3431, 32, 33fvmpt 6988 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1)))))β€˜π‘˜) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))))
3515oveq2d 7417 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))))β€˜π‘˜)) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))))
3634, 35eqtr4d 2767 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1)))))β€˜π‘˜) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))))β€˜π‘˜)))
3736adantl 481 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1)))))β€˜π‘˜) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))))β€˜π‘˜)))
382, 3, 17, 18, 20, 30, 37climmulc2 15578 . . 3 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))))) ⇝ ((𝑀 + 1) Β· 1))
3918mulridd 11228 . . 3 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((𝑀 + 1) Β· 1) = (𝑀 + 1))
4038, 39breqtrd 5164 . 2 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))))) ⇝ (𝑀 + 1))
411, 40eqbrtrd 5160 1 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) ⇝ (𝑀 + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  β„‚cc 11104  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   / cdiv 11868  β„•cn 12209  β„•0cn0 12469  seqcseq 13963   ⇝ cli 15425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-rlim 15430
This theorem is referenced by:  faclim  35211
  Copyright terms: Public domain W3C validator