Theorem faclimlem2 36094

Description: Lemma for faclim 36096. Show a limit for the inductive step. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
faclimlem2	⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) ⇝ (𝑀 + 1))

Distinct variable group:   𝑛,𝑀

Proof of Theorem faclimlem2

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faclimlem1 36093	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))))
2		nnuz 12878	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		1zzd 12602	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
4		1cnd 11175	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
5		nn0p1nn 12520	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
6	5	nnzd 12594	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
7		nnex 12216	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
8	7	mptex 7207	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) ∈ V)
10		oveq1 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 + 1) = (𝑘 + 1))
11		oveq1 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 + (𝑀 + 1)) = (𝑘 + (𝑀 + 1)))
12	10, 11	oveq12d 7414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))
13		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))
14		ovex 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) ∈ V
15	12, 13, 14	fvmpt 6975	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))
16	15	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))
17	2, 3, 4, 6, 9, 16	divcnvlin 36083	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) ⇝ 1)
18	5	nncnd 12226	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
19	7	mptex 7207	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ∈ V)
21		peano2nn 12222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
22	21	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
23	22	nnred 12225	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
24		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
25	5	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
26	24, 25	nnaddcld 12265	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + (𝑀 + 1)) ∈ ℕ)
27	23, 26	nndivred 12267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11210	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
29	28	fmpttd 7096	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))):ℕ⟶ℂ)
30	29	ffvelcdmda 7065	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
31	12	oveq2d 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))))
32		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))
33		ovex 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))) ∈ V
34	31, 32, 33	fvmpt 6975	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))))
35	15	oveq2d 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑀 + 1) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘)) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))))
36	34, 35	eqtr4d 2800	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘)))
37	36	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘)))
38	2, 3, 17, 18, 20, 30, 37	climmulc2 15664	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ⇝ ((𝑀 + 1) · 1))
39	18	mulridd 11199	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀 + 1) · 1) = (𝑀 + 1))
40	38, 39	breqtrd 5126	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ⇝ (𝑀 + 1))
41	1, 40	eqbrtrd 5122	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) ⇝ (𝑀 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078   / cdiv 11844  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481  seqcseq 14014   ⇝ cli 15511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fl 13802  df-seq 14015  df-exp 14075  df-shft 15080  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515  df-rlim 15516

This theorem is referenced by:  faclim  36096