Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  faclimlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclimlem2 32075
Description: Lemma for faclim 32077. Show a limit for the inductive step. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
faclimlem2 (𝑀 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) ⇝ (𝑀 + 1))
Distinct variable group:   𝑛,𝑀

Proof of Theorem faclimlem2
Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 faclimlem1 32074 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))))
2 nnuz 11923 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
3 1zzd 11655 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
4 1cnd 10288 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
5 nn0p1nn 11579 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
65nnzd 11728 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
7 nnex 11281 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
87mptex 6679 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) ∈ V)
10 oveq1 6849 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 + 1) = (𝑘 + 1))
11 oveq1 6849 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 + (𝑀 + 1)) = (𝑘 + (𝑀 + 1)))
1210, 11oveq12d 6860 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))
13 eqid 2765 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))
14 ovex 6874 . . . . . . 7 ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) ∈ V
1512, 13, 14fvmpt 6471 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))
1615adantl 473 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))
172, 3, 4, 6, 9, 16divcnvlin 32063 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) ⇝ 1)
185nncnd 11292 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
197mptex 6679 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ∈ V
2019a1i 11 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ∈ V)
21 peano2nn 11288 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
2221adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
2322nnred 11291 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
24 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
255adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
2624, 25nnaddcld 11324 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + (𝑀 + 1)) ∈ ℕ)
2723, 26nndivred 11326 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
2827recnd 10322 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
2928fmpttd 6575 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))):ℕ⟶ℂ)
3029ffvelrnda 6549 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
3112oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))))
32 eqid 2765 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))
33 ovex 6874 . . . . . . 7 ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))) ∈ V
3431, 32, 33fvmpt 6471 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))))
3515oveq2d 6858 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑀 + 1) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘)) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))))
3634, 35eqtr4d 2802 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘)))
3736adantl 473 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘)))
382, 3, 17, 18, 20, 30, 37climmulc2 14652 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ⇝ ((𝑀 + 1) · 1))
3918mulid1d 10311 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀 + 1) · 1) = (𝑀 + 1))
4038, 39breqtrd 4835 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ⇝ (𝑀 + 1))
411, 40eqbrtrd 4831 1 (𝑀 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) ⇝ (𝑀 + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  Vcvv 3350   class class class wbr 4809  cmpt 4888  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   / cdiv 10938  cn 11274  0cn0 11538  seqcseq 13008  cli 14500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-shft 14092  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-rlim 14505
This theorem is referenced by:  faclim  32077
  Copyright terms: Public domain W3C validator