Theorem faclimlem2 35945

Description: Lemma for faclim 35947. Show a limit for the inductive step. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
faclimlem2	⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) ⇝ (𝑀 + 1))

Distinct variable group:   𝑛,𝑀

Proof of Theorem faclimlem2

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faclimlem1 35944	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))))
2		nnuz 12821	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		1zzd 12552	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
4		1cnd 11133	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
5		nn0p1nn 12470	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
6	5	nnzd 12544	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
7		nnex 12174	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
8	7	mptex 7172	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) ∈ V)
10		oveq1 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 + 1) = (𝑘 + 1))
11		oveq1 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 + (𝑀 + 1)) = (𝑘 + (𝑀 + 1)))
12	10, 11	oveq12d 7379	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))
13		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))
14		ovex 7394	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) ∈ V
15	12, 13, 14	fvmpt 6942	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))
16	15	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))
17	2, 3, 4, 6, 9, 16	divcnvlin 35934	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) ⇝ 1)
18	5	nncnd 12184	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
19	7	mptex 7172	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ∈ V)
21		peano2nn 12180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
23	22	nnred 12183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
24		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
25	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
26	24, 25	nnaddcld 12223	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + (𝑀 + 1)) ∈ ℕ)
27	23, 26	nndivred 12225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
29	28	fmpttd 7062	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))):ℕ⟶ℂ)
30	29	ffvelcdmda 7031	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
31	12	oveq2d 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))))
32		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))
33		ovex 7394	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))) ∈ V
34	31, 32, 33	fvmpt 6942	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))))
35	15	oveq2d 7377	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑀 + 1) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘)) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))))
36	34, 35	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘)))
37	36	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘)))
38	2, 3, 17, 18, 20, 30, 37	climmulc2 15593	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ⇝ ((𝑀 + 1) · 1))
39	18	mulridd 11156	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀 + 1) · 1) = (𝑀 + 1))
40	38, 39	breqtrd 5112	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ⇝ (𝑀 + 1))
41	1, 40	eqbrtrd 5108	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) ⇝ (𝑀 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037   / cdiv 11801  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431  seqcseq 13957   ⇝ cli 15440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fl 13745  df-seq 13958  df-exp 14018  df-shft 15023  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-rlim 15445

This theorem is referenced by:  faclim  35947