Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  faclimlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem faclimlem2 34437
Description: Lemma for faclim 34439. Show a limit for the inductive step. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
faclimlem2 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) ⇝ (𝑀 + 1))
Distinct variable group:   𝑛,𝑀
Proof of Theorem faclimlem2
Dummy variables π‘˜ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 faclimlem1 34436 . 2 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))))))
2 nnuz 12830 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
3 1zzd 12558 . . . 4 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„€)
4 1cnd 11174 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„‚)
5 nn0p1nn 12476 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•)
65nnzd 12550 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„€)
7 nnex 12183 . . . . . . 7 β„• ∈ V
87mptex 7193 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1)))) ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1)))) ∈ V)
10 oveq1 7384 . . . . . . . 8 (π‘š = π‘˜ β†’ (π‘š + 1) = (π‘˜ + 1))
11 oveq1 7384 . . . . . . . 8 (π‘š = π‘˜ β†’ (π‘š + (𝑀 + 1)) = (π‘˜ + (𝑀 + 1)))
1210, 11oveq12d 7395 . . . . . . 7 (π‘š = π‘˜ β†’ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))) = ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))))
13 eqid 2731 . . . . . . 7 (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1)))) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))))
14 ovex 7410 . . . . . . 7 ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))) ∈ V
1512, 13, 14fvmpt 6968 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))))
1615adantl 482 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1))))
172, 3, 4, 6, 9, 16divcnvlin 34425 . . . 4 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1)))) ⇝ 1)
185nncnd 12193 . . . 4 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„‚)
197mptex 7193 . . . . 5 (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))))) ∈ V
2019a1i 11 . . . 4 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))))) ∈ V)
21 peano2nn 12189 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ β„• β†’ (π‘š + 1) ∈ β„•)
2221adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘š + 1) ∈ β„•)
2322nnred 12192 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘š + 1) ∈ ℝ)
24 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„•)
255adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•)
2624, 25nnaddcld 12229 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘š + (𝑀 + 1)) ∈ β„•)
2723, 26nndivred 12231 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
2827recnd 11207 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))) ∈ β„‚)
2928fmpttd 7083 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1)))):β„•βŸΆβ„‚)
3029ffvelcdmda 7055 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3112oveq2d 7393 . . . . . . 7 (π‘š = π‘˜ β†’ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1)))) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))))
32 eqid 2731 . . . . . . 7 (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))))) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1)))))
33 ovex 7410 . . . . . . 7 ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))) ∈ V
3431, 32, 33fvmpt 6968 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1)))))β€˜π‘˜) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))))
3515oveq2d 7393 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))))β€˜π‘˜)) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘˜ + 1) / (π‘˜ + (𝑀 + 1)))))
3634, 35eqtr4d 2774 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1)))))β€˜π‘˜) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))))β€˜π‘˜)))
3736adantl 482 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1)))))β€˜π‘˜) = ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))))β€˜π‘˜)))
382, 3, 17, 18, 20, 30, 37climmulc2 15546 . . 3 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))))) ⇝ ((𝑀 + 1) Β· 1))
3918mulridd 11196 . . 3 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((𝑀 + 1) Β· 1) = (𝑀 + 1))
4038, 39breqtrd 5151 . 2 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝑀 + 1) Β· ((π‘š + 1) / (π‘š + (𝑀 + 1))))) ⇝ (𝑀 + 1))
411, 40eqbrtrd 5147 1 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) Β· (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) ⇝ (𝑀 + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3459   class class class wbr 5125   ↦ cmpt 5208  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  β„‚cc 11073  1c1 11076   + caddc 11078   Β· cmul 11080   / cdiv 11836  β„•cn 12177  β„•0cn0 12437  seqcseq 13931   ⇝ cli 15393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-pm 8790  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-rp 12940  df-fl 13722  df-seq 13932  df-exp 13993  df-shft 14979  df-cj 15011  df-re 15012  df-im 15013  df-sqrt 15147  df-abs 15148  df-clim 15397  df-rlim 15398
This theorem is referenced by:  faclim  34439
  Copyright terms: Public domain W3C validator