Theorem nnrecred 12176

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrecre 12167	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  1c1 11007   / cdiv 11774  ℕcn 12125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126

This theorem is referenced by:  trireciplem  15769  trirecip  15770  geo2sum  15780  geo2lim  15782  bpolydiflem  15961  ege2le3  15997  eftlub  16018  eirrlem  16113  prmreclem4  16831  prmreclem6  16833  lmnn  25191  bcthlem5  25256  opnmbllem  25530  mbfi1fseqlem4  25647  taylthlem2  26310  taylthlem2OLD  26311  logtayl  26597  leibpi  26880  amgmlem  26928  emcllem1  26934  emcllem2  26935  emcllem3  26936  emcllem5  26938  harmoniclbnd  26947  harmonicubnd  26948  harmonicbnd4  26949  fsumharmonic  26950  lgamgulmlem1  26967  lgamgulmlem2  26968  lgamgulmlem3  26969  lgamgulmlem5  26971  lgamucov  26976  ftalem4  27014  ftalem5  27015  basellem6  27024  basellem7  27025  basellem9  27027  chpchtsum  27158  logfaclbnd  27161  rplogsumlem2  27424  rpvmasumlem  27426  dchrmusum2  27433  dchrvmasumlem3  27438  dchrisum0fno1  27450  mulogsumlem  27470  mulogsum  27471  mulog2sumlem1  27473  vmalogdivsum2  27477  logdivbnd  27495  pntrsumo1  27504  pntrlog2bndlem2  27517  pntrlog2bndlem5  27520  pntrlog2bndlem6  27522  pntpbnd2  27526  padicabvf  27570  nrt2irr  30451  minvecolem3  30854  minvecolem4  30858  subfacval3  35231  cvmliftlem13  35338  poimirlem29  37695  opnmbllem0  37702  heiborlem7  37863  fltne  42683  irrapxlem4  42864  hashnzfz2  44360  hashnzfzclim  44361  stoweidlem30  46074  stoweidlem38  46082  stoweidlem44  46088  vonioolem1  46724  smflimlem3  46817  amgmlemALT  49841