MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrecred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnrecred 12212
Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnrecred (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nnrecre 12203 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  (class class class)co 7361  cr 11058  1c1 11060   / cdiv 11820  cn 12161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162
This theorem is referenced by:  trireciplem  15755  trirecip  15756  geo2sum  15766  geo2lim  15768  bpolydiflem  15945  ege2le3  15980  eftlub  15999  eirrlem  16094  prmreclem4  16799  prmreclem6  16801  lmnn  24650  bcthlem5  24715  opnmbllem  24988  mbfi1fseqlem4  25106  taylthlem2  25756  logtayl  26038  leibpi  26315  amgmlem  26362  emcllem1  26368  emcllem2  26369  emcllem3  26370  emcllem5  26372  harmoniclbnd  26381  harmonicubnd  26382  harmonicbnd4  26383  fsumharmonic  26384  lgamgulmlem1  26401  lgamgulmlem2  26402  lgamgulmlem3  26403  lgamgulmlem5  26405  lgamucov  26410  ftalem4  26448  ftalem5  26449  basellem6  26458  basellem7  26459  basellem9  26461  chpchtsum  26590  logfaclbnd  26593  rplogsumlem2  26856  rpvmasumlem  26858  dchrmusum2  26865  dchrvmasumlem3  26870  dchrisum0fno1  26882  mulogsumlem  26902  mulogsum  26903  mulog2sumlem1  26905  vmalogdivsum2  26909  logdivbnd  26927  pntrsumo1  26936  pntrlog2bndlem2  26949  pntrlog2bndlem5  26952  pntrlog2bndlem6  26954  pntpbnd2  26958  padicabvf  27002  minvecolem3  29867  minvecolem4  29871  subfacval3  33847  cvmliftlem13  33954  poimirlem29  36157  opnmbllem0  36164  heiborlem7  36326  fltne  41029  irrapxlem4  41195  hashnzfz2  42693  hashnzfzclim  42694  stoweidlem30  44361  stoweidlem38  44369  stoweidlem44  44375  vonioolem1  45011  smflimlem3  45104  amgmlemALT  47340
  Copyright terms: Public domain W3C validator