MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrecred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnrecred 11676
Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnrecred (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nnrecre 11667 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  (class class class)co 7145  cr 10524  1c1 10526   / cdiv 11285  cn 11626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627
This theorem is referenced by:  trireciplem  15205  trirecip  15206  geo2sum  15217  geo2lim  15219  bpolydiflem  15396  ege2le3  15431  eftlub  15450  eirrlem  15545  prmreclem4  16243  prmreclem6  16245  lmnn  23793  bcthlem5  23858  opnmbllem  24129  mbfi1fseqlem4  24246  taylthlem2  24889  logtayl  25170  leibpi  25447  amgmlem  25494  emcllem1  25500  emcllem2  25501  emcllem3  25502  emcllem5  25504  harmoniclbnd  25513  harmonicubnd  25514  harmonicbnd4  25515  fsumharmonic  25516  lgamgulmlem1  25533  lgamgulmlem2  25534  lgamgulmlem3  25535  lgamgulmlem5  25537  lgamucov  25542  ftalem4  25580  ftalem5  25581  basellem6  25590  basellem7  25591  basellem9  25593  chpchtsum  25722  logfaclbnd  25725  rplogsumlem2  25988  rpvmasumlem  25990  dchrmusum2  25997  dchrvmasumlem3  26002  dchrisum0fno1  26014  mulogsumlem  26034  mulogsum  26035  mulog2sumlem1  26037  vmalogdivsum2  26041  logdivbnd  26059  pntrsumo1  26068  pntrlog2bndlem2  26081  pntrlog2bndlem5  26084  pntrlog2bndlem6  26086  pntpbnd2  26090  padicabvf  26134  minvecolem3  28580  minvecolem4  28584  subfacval3  32333  cvmliftlem13  32440  poimirlem29  34802  opnmbllem0  34809  heiborlem7  34976  fltne  39150  irrapxlem4  39300  hashnzfz2  40530  hashnzfzclim  40531  stoweidlem30  42192  stoweidlem38  42200  stoweidlem44  42206  vonioolem1  42839  smflimlem3  42926  amgmlemALT  44832
  Copyright terms: Public domain W3C validator