Theorem nnrecred 12270

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrecre 12261	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7412  ℝcr 11115  1c1 11117   / cdiv 11878  ℕcn 12219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220

This theorem is referenced by:  trireciplem  15815  trirecip  15816  geo2sum  15826  geo2lim  15828  bpolydiflem  16005  ege2le3  16040  eftlub  16059  eirrlem  16154  prmreclem4  16859  prmreclem6  16861  lmnn  25111  bcthlem5  25176  opnmbllem  25450  mbfi1fseqlem4  25568  taylthlem2  26225  logtayl  26508  leibpi  26788  amgmlem  26835  emcllem1  26841  emcllem2  26842  emcllem3  26843  emcllem5  26845  harmoniclbnd  26854  harmonicubnd  26855  harmonicbnd4  26856  fsumharmonic  26857  lgamgulmlem1  26874  lgamgulmlem2  26875  lgamgulmlem3  26876  lgamgulmlem5  26878  lgamucov  26883  ftalem4  26921  ftalem5  26922  basellem6  26931  basellem7  26932  basellem9  26934  chpchtsum  27065  logfaclbnd  27068  rplogsumlem2  27331  rpvmasumlem  27333  dchrmusum2  27340  dchrvmasumlem3  27345  dchrisum0fno1  27357  mulogsumlem  27377  mulogsum  27378  mulog2sumlem1  27380  vmalogdivsum2  27384  logdivbnd  27402  pntrsumo1  27411  pntrlog2bndlem2  27424  pntrlog2bndlem5  27427  pntrlog2bndlem6  27429  pntpbnd2  27433  padicabvf  27477  nrt2irr  30159  minvecolem3  30562  minvecolem4  30566  subfacval3  34644  cvmliftlem13  34751  poimirlem29  36981  opnmbllem0  36988  heiborlem7  37149  fltne  41849  irrapxlem4  42026  hashnzfz2  43543  hashnzfzclim  43544  stoweidlem30  45205  stoweidlem38  45213  stoweidlem44  45219  vonioolem1  45855  smflimlem3  45948  amgmlemALT  48012