Theorem nnrecred 11954

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrecre 11945	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  1c1 10803   / cdiv 11562  ℕcn 11903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904

This theorem is referenced by:  trireciplem  15502  trirecip  15503  geo2sum  15513  geo2lim  15515  bpolydiflem  15692  ege2le3  15727  eftlub  15746  eirrlem  15841  prmreclem4  16548  prmreclem6  16550  lmnn  24332  bcthlem5  24397  opnmbllem  24670  mbfi1fseqlem4  24788  taylthlem2  25438  logtayl  25720  leibpi  25997  amgmlem  26044  emcllem1  26050  emcllem2  26051  emcllem3  26052  emcllem5  26054  harmoniclbnd  26063  harmonicubnd  26064  harmonicbnd4  26065  fsumharmonic  26066  lgamgulmlem1  26083  lgamgulmlem2  26084  lgamgulmlem3  26085  lgamgulmlem5  26087  lgamucov  26092  ftalem4  26130  ftalem5  26131  basellem6  26140  basellem7  26141  basellem9  26143  chpchtsum  26272  logfaclbnd  26275  rplogsumlem2  26538  rpvmasumlem  26540  dchrmusum2  26547  dchrvmasumlem3  26552  dchrisum0fno1  26564  mulogsumlem  26584  mulogsum  26585  mulog2sumlem1  26587  vmalogdivsum2  26591  logdivbnd  26609  pntrsumo1  26618  pntrlog2bndlem2  26631  pntrlog2bndlem5  26634  pntrlog2bndlem6  26636  pntpbnd2  26640  padicabvf  26684  minvecolem3  29139  minvecolem4  29143  subfacval3  33051  cvmliftlem13  33158  poimirlem29  35733  opnmbllem0  35740  heiborlem7  35902  fltne  40397  irrapxlem4  40563  hashnzfz2  41828  hashnzfzclim  41829  stoweidlem30  43461  stoweidlem38  43469  stoweidlem44  43475  vonioolem1  44108  smflimlem3  44195  amgmlemALT  46393