MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrecred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnrecred 11677
Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnrecred (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nnrecre 11668 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  (class class class)co 7145  cr 10525  1c1 10527   / cdiv 11286  cn 11627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628
This theorem is referenced by:  trireciplem  15207  trirecip  15208  geo2sum  15219  geo2lim  15221  bpolydiflem  15398  ege2le3  15433  eftlub  15452  eirrlem  15547  prmreclem4  16245  prmreclem6  16247  lmnn  23795  bcthlem5  23860  opnmbllem  24131  mbfi1fseqlem4  24248  taylthlem2  24891  logtayl  25170  leibpi  25448  amgmlem  25495  emcllem1  25501  emcllem2  25502  emcllem3  25503  emcllem5  25505  harmoniclbnd  25514  harmonicubnd  25515  harmonicbnd4  25516  fsumharmonic  25517  lgamgulmlem1  25534  lgamgulmlem2  25535  lgamgulmlem3  25536  lgamgulmlem5  25538  lgamucov  25543  ftalem4  25581  ftalem5  25582  basellem6  25591  basellem7  25592  basellem9  25594  chpchtsum  25723  logfaclbnd  25726  rplogsumlem2  25989  rpvmasumlem  25991  dchrmusum2  25998  dchrvmasumlem3  26003  dchrisum0fno1  26015  mulogsumlem  26035  mulogsum  26036  mulog2sumlem1  26038  vmalogdivsum2  26042  logdivbnd  26060  pntrsumo1  26069  pntrlog2bndlem2  26082  pntrlog2bndlem5  26085  pntrlog2bndlem6  26087  pntpbnd2  26091  padicabvf  26135  minvecolem3  28581  minvecolem4  28585  subfacval3  32334  cvmliftlem13  32441  poimirlem29  34803  opnmbllem0  34810  heiborlem7  34978  fltne  39152  irrapxlem4  39302  hashnzfz2  40533  hashnzfzclim  40534  stoweidlem30  42196  stoweidlem38  42204  stoweidlem44  42210  vonioolem1  42843  smflimlem3  42930  amgmlemALT  44802
  Copyright terms: Public domain W3C validator