Theorem nnrecred 12024

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrecre 12015	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  1c1 10872   / cdiv 11632  ℕcn 11973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974

This theorem is referenced by:  trireciplem  15574  trirecip  15575  geo2sum  15585  geo2lim  15587  bpolydiflem  15764  ege2le3  15799  eftlub  15818  eirrlem  15913  prmreclem4  16620  prmreclem6  16622  lmnn  24427  bcthlem5  24492  opnmbllem  24765  mbfi1fseqlem4  24883  taylthlem2  25533  logtayl  25815  leibpi  26092  amgmlem  26139  emcllem1  26145  emcllem2  26146  emcllem3  26147  emcllem5  26149  harmoniclbnd  26158  harmonicubnd  26159  harmonicbnd4  26160  fsumharmonic  26161  lgamgulmlem1  26178  lgamgulmlem2  26179  lgamgulmlem3  26180  lgamgulmlem5  26182  lgamucov  26187  ftalem4  26225  ftalem5  26226  basellem6  26235  basellem7  26236  basellem9  26238  chpchtsum  26367  logfaclbnd  26370  rplogsumlem2  26633  rpvmasumlem  26635  dchrmusum2  26642  dchrvmasumlem3  26647  dchrisum0fno1  26659  mulogsumlem  26679  mulogsum  26680  mulog2sumlem1  26682  vmalogdivsum2  26686  logdivbnd  26704  pntrsumo1  26713  pntrlog2bndlem2  26726  pntrlog2bndlem5  26729  pntrlog2bndlem6  26731  pntpbnd2  26735  padicabvf  26779  minvecolem3  29238  minvecolem4  29242  subfacval3  33151  cvmliftlem13  33258  poimirlem29  35806  opnmbllem0  35813  heiborlem7  35975  fltne  40481  irrapxlem4  40647  hashnzfz2  41939  hashnzfzclim  41940  stoweidlem30  43571  stoweidlem38  43579  stoweidlem44  43585  vonioolem1  44218  smflimlem3  44308  amgmlemALT  46507