Theorem nnrecred 12344

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrecre 12335	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  1c1 11185   / cdiv 11947  ℕcn 12293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294

This theorem is referenced by:  trireciplem  15910  trirecip  15911  geo2sum  15921  geo2lim  15923  bpolydiflem  16102  ege2le3  16138  eftlub  16157  eirrlem  16252  prmreclem4  16966  prmreclem6  16968  lmnn  25316  bcthlem5  25381  opnmbllem  25655  mbfi1fseqlem4  25773  taylthlem2  26434  taylthlem2OLD  26435  logtayl  26720  leibpi  27003  amgmlem  27051  emcllem1  27057  emcllem2  27058  emcllem3  27059  emcllem5  27061  harmoniclbnd  27070  harmonicubnd  27071  harmonicbnd4  27072  fsumharmonic  27073  lgamgulmlem1  27090  lgamgulmlem2  27091  lgamgulmlem3  27092  lgamgulmlem5  27094  lgamucov  27099  ftalem4  27137  ftalem5  27138  basellem6  27147  basellem7  27148  basellem9  27150  chpchtsum  27281  logfaclbnd  27284  rplogsumlem2  27547  rpvmasumlem  27549  dchrmusum2  27556  dchrvmasumlem3  27561  dchrisum0fno1  27573  mulogsumlem  27593  mulogsum  27594  mulog2sumlem1  27596  vmalogdivsum2  27600  logdivbnd  27618  pntrsumo1  27627  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem5  27643  pntrlog2bndlem6  27645  pntpbnd2  27649  padicabvf  27693  nrt2irr  30505  minvecolem3  30908  minvecolem4  30912  subfacval3  35157  cvmliftlem13  35264  poimirlem29  37609  opnmbllem0  37616  heiborlem7  37777  fltne  42599  irrapxlem4  42781  hashnzfz2  44290  hashnzfzclim  44291  stoweidlem30  45951  stoweidlem38  45959  stoweidlem44  45965  vonioolem1  46601  smflimlem3  46694  amgmlemALT  48897