Theorem nnrecred 12237

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrecre 12228	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  1c1 11069   / cdiv 11835  ℕcn 12186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187

This theorem is referenced by:  trireciplem  15828  trirecip  15829  geo2sum  15839  geo2lim  15841  bpolydiflem  16020  ege2le3  16056  eftlub  16077  eirrlem  16172  prmreclem4  16890  prmreclem6  16892  lmnn  25163  bcthlem5  25228  opnmbllem  25502  mbfi1fseqlem4  25619  taylthlem2  26282  taylthlem2OLD  26283  logtayl  26569  leibpi  26852  amgmlem  26900  emcllem1  26906  emcllem2  26907  emcllem3  26908  emcllem5  26910  harmoniclbnd  26919  harmonicubnd  26920  harmonicbnd4  26921  fsumharmonic  26922  lgamgulmlem1  26939  lgamgulmlem2  26940  lgamgulmlem3  26941  lgamgulmlem5  26943  lgamucov  26948  ftalem4  26986  ftalem5  26987  basellem6  26996  basellem7  26997  basellem9  26999  chpchtsum  27130  logfaclbnd  27133  rplogsumlem2  27396  rpvmasumlem  27398  dchrmusum2  27405  dchrvmasumlem3  27410  dchrisum0fno1  27422  mulogsumlem  27442  mulogsum  27443  mulog2sumlem1  27445  vmalogdivsum2  27449  logdivbnd  27467  pntrsumo1  27476  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem5  27492  pntrlog2bndlem6  27494  pntpbnd2  27498  padicabvf  27542  nrt2irr  30402  minvecolem3  30805  minvecolem4  30809  subfacval3  35176  cvmliftlem13  35283  poimirlem29  37643  opnmbllem0  37650  heiborlem7  37811  fltne  42632  irrapxlem4  42813  hashnzfz2  44310  hashnzfzclim  44311  stoweidlem30  46028  stoweidlem38  46036  stoweidlem44  46042  vonioolem1  46678  smflimlem3  46771  amgmlemALT  49792