Theorem nnrecred 12296

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrecre 12287	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  1c1 11135   / cdiv 11899  ℕcn 12245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246

This theorem is referenced by:  trireciplem  15883  trirecip  15884  geo2sum  15894  geo2lim  15896  bpolydiflem  16075  ege2le3  16111  eftlub  16132  eirrlem  16227  prmreclem4  16944  prmreclem6  16946  lmnn  25220  bcthlem5  25285  opnmbllem  25559  mbfi1fseqlem4  25676  taylthlem2  26339  taylthlem2OLD  26340  logtayl  26626  leibpi  26909  amgmlem  26957  emcllem1  26963  emcllem2  26964  emcllem3  26965  emcllem5  26967  harmoniclbnd  26976  harmonicubnd  26977  harmonicbnd4  26978  fsumharmonic  26979  lgamgulmlem1  26996  lgamgulmlem2  26997  lgamgulmlem3  26998  lgamgulmlem5  27000  lgamucov  27005  ftalem4  27043  ftalem5  27044  basellem6  27053  basellem7  27054  basellem9  27056  chpchtsum  27187  logfaclbnd  27190  rplogsumlem2  27453  rpvmasumlem  27455  dchrmusum2  27462  dchrvmasumlem3  27467  dchrisum0fno1  27479  mulogsumlem  27499  mulogsum  27500  mulog2sumlem1  27502  vmalogdivsum2  27506  logdivbnd  27524  pntrsumo1  27533  pntrlog2bndlem2  27546  pntrlog2bndlem5  27549  pntrlog2bndlem6  27551  pntpbnd2  27555  padicabvf  27599  nrt2irr  30459  minvecolem3  30862  minvecolem4  30866  subfacval3  35216  cvmliftlem13  35323  poimirlem29  37678  opnmbllem0  37685  heiborlem7  37846  fltne  42642  irrapxlem4  42823  hashnzfz2  44320  hashnzfzclim  44321  stoweidlem30  46039  stoweidlem38  46047  stoweidlem44  46053  vonioolem1  46689  smflimlem3  46782  amgmlemALT  49647