Theorem nnrecred 12318

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrecre 12309	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7432  ℝcr 11155  1c1 11157   / cdiv 11921  ℕcn 12267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268

This theorem is referenced by:  trireciplem  15899  trirecip  15900  geo2sum  15910  geo2lim  15912  bpolydiflem  16091  ege2le3  16127  eftlub  16146  eirrlem  16241  prmreclem4  16958  prmreclem6  16960  lmnn  25298  bcthlem5  25363  opnmbllem  25637  mbfi1fseqlem4  25754  taylthlem2  26417  taylthlem2OLD  26418  logtayl  26703  leibpi  26986  amgmlem  27034  emcllem1  27040  emcllem2  27041  emcllem3  27042  emcllem5  27044  harmoniclbnd  27053  harmonicubnd  27054  harmonicbnd4  27055  fsumharmonic  27056  lgamgulmlem1  27073  lgamgulmlem2  27074  lgamgulmlem3  27075  lgamgulmlem5  27077  lgamucov  27082  ftalem4  27120  ftalem5  27121  basellem6  27130  basellem7  27131  basellem9  27133  chpchtsum  27264  logfaclbnd  27267  rplogsumlem2  27530  rpvmasumlem  27532  dchrmusum2  27539  dchrvmasumlem3  27544  dchrisum0fno1  27556  mulogsumlem  27576  mulogsum  27577  mulog2sumlem1  27579  vmalogdivsum2  27583  logdivbnd  27601  pntrsumo1  27610  pntrlog2bndlem2  27623  pntrlog2bndlem5  27626  pntrlog2bndlem6  27628  pntpbnd2  27632  padicabvf  27676  nrt2irr  30493  minvecolem3  30896  minvecolem4  30900  subfacval3  35195  cvmliftlem13  35302  poimirlem29  37657  opnmbllem0  37664  heiborlem7  37825  fltne  42659  irrapxlem4  42841  hashnzfz2  44345  hashnzfzclim  44346  stoweidlem30  46050  stoweidlem38  46058  stoweidlem44  46064  vonioolem1  46700  smflimlem3  46793  amgmlemALT  49377