Theorem nnrecred 12305

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrecre 12296	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  1c1 11119   / cdiv 11889  ℕcn 12251

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252

This theorem is used by:  trireciplem  15942  trirecip  15943  geo2sum  15953  geo2lim  15955  bpolydiflem  16133  ege2le3  16169  eftlub  16190  eirrlem  16285  prmreclem4  17004  prmreclem6  17006  lmnn  25459  bcthlem5  25524  opnmbllem  25797  mbfi1fseqlem4  25914  taylthlem2  26574  logtayl  26862  leibpi  27144  amgmlem  27191  emcllem1  27197  emcllem2  27198  emcllem3  27199  emcllem5  27201  harmoniclbnd  27210  harmonicubnd  27211  harmonicbnd4  27212  fsumharmonic  27213  lgamgulmlem1  27230  lgamgulmlem2  27231  lgamgulmlem3  27232  lgamgulmlem5  27234  lgamucov  27239  ftalem4  27277  ftalem5  27278  basellem6  27287  basellem7  27288  basellem9  27290  chpchtsum  27420  logfaclbnd  27423  rplogsumlem2  27686  rpvmasumlem  27688  dchrmusum2  27695  dchrvmasumlem3  27700  dchrisum0fno1  27712  mulogsumlem  27732  mulogsum  27733  mulog2sumlem1  27735  vmalogdivsum2  27739  logdivbnd  27757  pntrsumo1  27766  pntrlog2bndlem2  27779  pntrlog2bndlem5  27782  pntrlog2bndlem6  27784  pntpbnd2  27788  padicabvf  27832  nrt2irr  30861  minvecolem3  31265  minvecolem4  31269  subfacval3  35702  cvmliftlem13  35809  poimirlem29  38341  opnmbllem0  38348  heiborlem7  38509  fltne  43417  irrapxlem4  43593  hashnzfz2  45072  hashnzfzclim  45073  stoweidlem30  46785  stoweidlem38  46793  stoweidlem44  46799  vonioolem1  47435  smflimlem3  47528  amgmlemALT  50692