Theorem nnrecred 12196

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrecre 12187	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  1c1 11027   / cdiv 11794  ℕcn 12145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146

This theorem is referenced by:  trireciplem  15785  trirecip  15786  geo2sum  15796  geo2lim  15798  bpolydiflem  15977  ege2le3  16013  eftlub  16034  eirrlem  16129  prmreclem4  16847  prmreclem6  16849  lmnn  25219  bcthlem5  25284  opnmbllem  25558  mbfi1fseqlem4  25675  taylthlem2  26338  taylthlem2OLD  26339  logtayl  26625  leibpi  26908  amgmlem  26956  emcllem1  26962  emcllem2  26963  emcllem3  26964  emcllem5  26966  harmoniclbnd  26975  harmonicubnd  26976  harmonicbnd4  26977  fsumharmonic  26978  lgamgulmlem1  26995  lgamgulmlem2  26996  lgamgulmlem3  26997  lgamgulmlem5  26999  lgamucov  27004  ftalem4  27042  ftalem5  27043  basellem6  27052  basellem7  27053  basellem9  27055  chpchtsum  27186  logfaclbnd  27189  rplogsumlem2  27452  rpvmasumlem  27454  dchrmusum2  27461  dchrvmasumlem3  27466  dchrisum0fno1  27478  mulogsumlem  27498  mulogsum  27499  mulog2sumlem1  27501  vmalogdivsum2  27505  logdivbnd  27523  pntrsumo1  27532  pntrlog2bndlem2  27545  pntrlog2bndlem5  27548  pntrlog2bndlem6  27550  pntpbnd2  27554  padicabvf  27598  nrt2irr  30548  minvecolem3  30951  minvecolem4  30955  subfacval3  35383  cvmliftlem13  35490  poimirlem29  37850  opnmbllem0  37857  heiborlem7  38018  fltne  42887  irrapxlem4  43067  hashnzfz2  44562  hashnzfzclim  44563  stoweidlem30  46274  stoweidlem38  46282  stoweidlem44  46288  vonioolem1  46924  smflimlem3  47017  amgmlemALT  50048