Theorem nnrecred 12257

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrecre 12248	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7390  ℝcr 11065  1c1 11067   / cdiv 11837  ℕcn 12203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204

This theorem is referenced by:  trireciplem  15882  trirecip  15883  geo2sum  15893  geo2lim  15895  bpolydiflem  16074  ege2le3  16110  eftlub  16131  eirrlem  16226  prmreclem4  16945  prmreclem6  16947  lmnn  25312  bcthlem5  25377  opnmbllem  25650  mbfi1fseqlem4  25767  taylthlem2  26424  logtayl  26712  leibpi  26994  amgmlem  27041  emcllem1  27047  emcllem2  27048  emcllem3  27049  emcllem5  27051  harmoniclbnd  27060  harmonicubnd  27061  harmonicbnd4  27062  fsumharmonic  27063  lgamgulmlem1  27080  lgamgulmlem2  27081  lgamgulmlem3  27082  lgamgulmlem5  27084  lgamucov  27089  ftalem4  27127  ftalem5  27128  basellem6  27137  basellem7  27138  basellem9  27140  chpchtsum  27270  logfaclbnd  27273  rplogsumlem2  27536  rpvmasumlem  27538  dchrmusum2  27545  dchrvmasumlem3  27550  dchrisum0fno1  27562  mulogsumlem  27582  mulogsum  27583  mulog2sumlem1  27585  vmalogdivsum2  27589  logdivbnd  27607  pntrsumo1  27616  pntrlog2bndlem2  27629  pntrlog2bndlem5  27632  pntrlog2bndlem6  27634  pntpbnd2  27638  padicabvf  27682  nrt2irr  30631  minvecolem3  31035  minvecolem4  31039  subfacval3  35499  cvmliftlem13  35606  poimirlem29  38108  opnmbllem0  38115  heiborlem7  38276  fltne  43186  irrapxlem4  43362  hashnzfz2  44857  hashnzfzclim  44858  stoweidlem30  46564  stoweidlem38  46572  stoweidlem44  46578  vonioolem1  47214  smflimlem3  47307  amgmlemALT  50384