Theorem nnrecred 12185

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrecre 12176	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7354  ℝcr 11014  1c1 11016   / cdiv 11783  ℕcn 12134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135

This theorem is referenced by:  trireciplem  15773  trirecip  15774  geo2sum  15784  geo2lim  15786  bpolydiflem  15965  ege2le3  16001  eftlub  16022  eirrlem  16117  prmreclem4  16835  prmreclem6  16837  lmnn  25193  bcthlem5  25258  opnmbllem  25532  mbfi1fseqlem4  25649  taylthlem2  26312  taylthlem2OLD  26313  logtayl  26599  leibpi  26882  amgmlem  26930  emcllem1  26936  emcllem2  26937  emcllem3  26938  emcllem5  26940  harmoniclbnd  26949  harmonicubnd  26950  harmonicbnd4  26951  fsumharmonic  26952  lgamgulmlem1  26969  lgamgulmlem2  26970  lgamgulmlem3  26971  lgamgulmlem5  26973  lgamucov  26978  ftalem4  27016  ftalem5  27017  basellem6  27026  basellem7  27027  basellem9  27029  chpchtsum  27160  logfaclbnd  27163  rplogsumlem2  27426  rpvmasumlem  27428  dchrmusum2  27435  dchrvmasumlem3  27440  dchrisum0fno1  27452  mulogsumlem  27472  mulogsum  27473  mulog2sumlem1  27475  vmalogdivsum2  27479  logdivbnd  27497  pntrsumo1  27506  pntrlog2bndlem2  27519  pntrlog2bndlem5  27522  pntrlog2bndlem6  27524  pntpbnd2  27528  padicabvf  27572  nrt2irr  30457  minvecolem3  30860  minvecolem4  30864  subfacval3  35256  cvmliftlem13  35363  poimirlem29  37712  opnmbllem0  37719  heiborlem7  37880  fltne  42765  irrapxlem4  42945  hashnzfz2  44441  hashnzfzclim  44442  stoweidlem30  46155  stoweidlem38  46163  stoweidlem44  46169  vonioolem1  46805  smflimlem3  46898  amgmlemALT  49931