Theorem nnrecred 12370

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrecre 12361	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  1c1 11182   / cdiv 11954  ℕcn 12316

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317

This theorem is used by:  trireciplem  16011  trirecip  16012  geo2sum  16022  geo2lim  16024  bpolydiflem  16200  ege2le3  16236  eftlub  16257  eirrlem  16352  prmreclem4  17077  prmreclem6  17079  lmnn  25564  bcthlem5  25629  opnmbllem  25902  mbfi1fseqlem4  26019  taylthlem2  26683  logtayl  26970  leibpi  27252  amgmlem  27299  emcllem1  27305  emcllem2  27306  emcllem3  27307  emcllem5  27309  harmoniclbnd  27318  harmonicubnd  27319  harmonicbnd4  27320  fsumharmonic  27321  lgamgulmlem1  27338  lgamgulmlem2  27339  lgamgulmlem3  27340  lgamgulmlem5  27342  lgamucov  27347  ftalem4  27385  ftalem5  27386  basellem6  27395  basellem7  27396  basellem9  27398  chpchtsum  27528  logfaclbnd  27531  rplogsumlem2  27794  rpvmasumlem  27796  dchrmusum2  27803  dchrvmasumlem3  27808  dchrisum0fno1  27820  mulogsumlem  27840  mulogsum  27841  mulog2sumlem1  27843  vmalogdivsum2  27847  logdivbnd  27865  pntrsumo1  27874  pntrlog2bndlem2  27887  pntrlog2bndlem5  27890  pntrlog2bndlem6  27892  pntpbnd2  27896  padicabvf  27940  fltne  27957  nrt2irr  31056  minvecolem3  31460  minvecolem4  31464  subfacval3  35923  cvmliftlem13  36030  poimirlem29  38535  opnmbllem0  38542  heiborlem7  38719  irrapxlem4  43785  hashnzfz2  45264  hashnzfzclim  45265  stoweidlem30  46984  stoweidlem38  46992  stoweidlem44  46998  vonioolem1  47634  smflimlem3  47727  amgmlemALT  50932