Theorem nnrecred 12393

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrecre 12384	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  1c1 11205   / cdiv 11977  ℕcn 12339

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340

This theorem is used by:  trireciplem  16037  trirecip  16038  geo2sum  16048  geo2lim  16050  bpolydiflem  16226  ege2le3  16262  eftlub  16283  eirrlem  16378  prmreclem4  17103  prmreclem6  17105  lmnn  25590  bcthlem5  25655  opnmbllem  25928  mbfi1fseqlem4  26045  taylthlem2  26707  logtayl  26994  leibpi  27276  amgmlem  27323  emcllem1  27329  emcllem2  27330  emcllem3  27331  emcllem5  27333  harmoniclbnd  27342  harmonicubnd  27343  harmonicbnd4  27344  fsumharmonic  27345  lgamgulmlem1  27362  lgamgulmlem2  27363  lgamgulmlem3  27364  lgamgulmlem5  27366  lgamucov  27371  ftalem4  27409  ftalem5  27410  basellem6  27419  basellem7  27420  basellem9  27422  chpchtsum  27552  logfaclbnd  27555  rplogsumlem2  27818  rpvmasumlem  27820  dchrmusum2  27827  dchrvmasumlem3  27832  dchrisum0fno1  27844  mulogsumlem  27864  mulogsum  27865  mulog2sumlem1  27867  vmalogdivsum2  27871  logdivbnd  27889  pntrsumo1  27898  pntrlog2bndlem2  27911  pntrlog2bndlem5  27914  pntrlog2bndlem6  27916  pntpbnd2  27920  padicabvf  27964  fltne  27981  nrt2irr  31080  minvecolem3  31484  minvecolem4  31488  subfacval3  36041  cvmliftlem13  36148  poimirlem29  38661  opnmbllem0  38668  heiborlem7  38845  irrapxlem4  43926  hashnzfz2  45399  hashnzfzclim  45400  stoweidlem30  47134  stoweidlem38  47142  stoweidlem44  47148  vonioolem1  47784  smflimlem3  47877  amgmlemALT  51157