Theorem nnrecred 12226

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrecre 12217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  1c1 11037   / cdiv 11805  ℕcn 12172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173

This theorem is referenced by:  trireciplem  15825  trirecip  15826  geo2sum  15836  geo2lim  15838  bpolydiflem  16017  ege2le3  16053  eftlub  16074  eirrlem  16169  prmreclem4  16888  prmreclem6  16890  lmnn  25255  bcthlem5  25320  opnmbllem  25593  mbfi1fseqlem4  25710  taylthlem2  26364  logtayl  26649  leibpi  26931  amgmlem  26978  emcllem1  26984  emcllem2  26985  emcllem3  26986  emcllem5  26988  harmoniclbnd  26997  harmonicubnd  26998  harmonicbnd4  26999  fsumharmonic  27000  lgamgulmlem1  27017  lgamgulmlem2  27018  lgamgulmlem3  27019  lgamgulmlem5  27021  lgamucov  27026  ftalem4  27064  ftalem5  27065  basellem6  27074  basellem7  27075  basellem9  27077  chpchtsum  27207  logfaclbnd  27210  rplogsumlem2  27473  rpvmasumlem  27475  dchrmusum2  27482  dchrvmasumlem3  27487  dchrisum0fno1  27499  mulogsumlem  27519  mulogsum  27520  mulog2sumlem1  27522  vmalogdivsum2  27526  logdivbnd  27544  pntrsumo1  27553  pntrlog2bndlem2  27566  pntrlog2bndlem5  27569  pntrlog2bndlem6  27571  pntpbnd2  27575  padicabvf  27619  nrt2irr  30568  minvecolem3  30972  minvecolem4  30976  subfacval3  35424  cvmliftlem13  35531  poimirlem29  38023  opnmbllem0  38030  heiborlem7  38191  fltne  43101  irrapxlem4  43277  hashnzfz2  44772  hashnzfzclim  44773  stoweidlem30  46480  stoweidlem38  46488  stoweidlem44  46494  vonioolem1  47130  smflimlem3  47223  amgmlemALT  50300