Theorem nnrecred 12275

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrecre 12266	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  1c1 11089   / cdiv 11859  ℕcn 12221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222

This theorem is referenced by:  trireciplem  15904  trirecip  15905  geo2sum  15915  geo2lim  15917  bpolydiflem  16096  ege2le3  16132  eftlub  16153  eirrlem  16248  prmreclem4  16967  prmreclem6  16969  lmnn  25379  bcthlem5  25444  opnmbllem  25717  mbfi1fseqlem4  25834  taylthlem2  26491  logtayl  26779  leibpi  27061  amgmlem  27108  emcllem1  27114  emcllem2  27115  emcllem3  27116  emcllem5  27118  harmoniclbnd  27127  harmonicubnd  27128  harmonicbnd4  27129  fsumharmonic  27130  lgamgulmlem1  27147  lgamgulmlem2  27148  lgamgulmlem3  27149  lgamgulmlem5  27151  lgamucov  27156  ftalem4  27194  ftalem5  27195  basellem6  27204  basellem7  27205  basellem9  27207  chpchtsum  27337  logfaclbnd  27340  rplogsumlem2  27603  rpvmasumlem  27605  dchrmusum2  27612  dchrvmasumlem3  27617  dchrisum0fno1  27629  mulogsumlem  27649  mulogsum  27650  mulog2sumlem1  27652  vmalogdivsum2  27656  logdivbnd  27674  pntrsumo1  27683  pntrlog2bndlem2  27696  pntrlog2bndlem5  27699  pntrlog2bndlem6  27701  pntpbnd2  27705  padicabvf  27749  nrt2irr  30729  minvecolem3  31133  minvecolem4  31137  subfacval3  35547  cvmliftlem13  35654  poimirlem29  38155  opnmbllem0  38162  heiborlem7  38323  fltne  43233  irrapxlem4  43409  hashnzfz2  44890  hashnzfzclim  44891  stoweidlem30  46603  stoweidlem38  46611  stoweidlem44  46617  vonioolem1  47253  smflimlem3  47346  amgmlemALT  50433