Theorem nnrecred 11491

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrecre 11482	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2050  (class class class)co 6976  ℝcr 10334  1c1 10336   / cdiv 11098  ℕcn 11439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440

This theorem is referenced by:  trireciplem  15077  trirecip  15078  geo2sum  15089  geo2lim  15091  bpolydiflem  15268  ege2le3  15303  eftlub  15322  eirrlem  15417  prmreclem4  16111  prmreclem6  16113  lmnn  23569  bcthlem5  23634  opnmbllem  23905  mbfi1fseqlem4  24022  taylthlem2  24665  logtayl  24944  leibpi  25222  amgmlem  25269  emcllem1  25275  emcllem2  25276  emcllem3  25277  emcllem5  25279  harmoniclbnd  25288  harmonicubnd  25289  harmonicbnd4  25290  fsumharmonic  25291  lgamgulmlem1  25308  lgamgulmlem2  25309  lgamgulmlem3  25310  lgamgulmlem5  25312  lgamucov  25317  ftalem4  25355  ftalem5  25356  basellem6  25365  basellem7  25366  basellem9  25368  chpchtsum  25497  logfaclbnd  25500  rplogsumlem2  25763  rpvmasumlem  25765  dchrmusum2  25772  dchrvmasumlem3  25777  dchrisum0fno1  25789  mulogsumlem  25809  mulogsum  25810  mulog2sumlem1  25812  vmalogdivsum2  25816  logdivbnd  25834  pntrsumo1  25843  pntrlog2bndlem2  25856  pntrlog2bndlem5  25859  pntrlog2bndlem6  25861  pntpbnd2  25865  padicabvf  25909  minvecolem3  28431  minvecolem4  28435  subfacval3  32027  cvmliftlem13  32134  poimirlem29  34368  opnmbllem0  34375  heiborlem7  34543  fltne  38685  irrapxlem4  38824  hashnzfz2  40075  hashnzfzclim  40076  stoweidlem30  41752  stoweidlem38  41760  stoweidlem44  41766  vonioolem1  42399  smflimlem3  42486  amgmlemALT  44277