Theorem nnrecred 12262

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrecre 12253	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7408  ℝcr 11108  1c1 11110   / cdiv 11870  ℕcn 12211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212

This theorem is referenced by:  trireciplem  15807  trirecip  15808  geo2sum  15818  geo2lim  15820  bpolydiflem  15997  ege2le3  16032  eftlub  16051  eirrlem  16146  prmreclem4  16851  prmreclem6  16853  lmnn  24779  bcthlem5  24844  opnmbllem  25117  mbfi1fseqlem4  25235  taylthlem2  25885  logtayl  26167  leibpi  26444  amgmlem  26491  emcllem1  26497  emcllem2  26498  emcllem3  26499  emcllem5  26501  harmoniclbnd  26510  harmonicubnd  26511  harmonicbnd4  26512  fsumharmonic  26513  lgamgulmlem1  26530  lgamgulmlem2  26531  lgamgulmlem3  26532  lgamgulmlem5  26534  lgamucov  26539  ftalem4  26577  ftalem5  26578  basellem6  26587  basellem7  26588  basellem9  26590  chpchtsum  26719  logfaclbnd  26722  rplogsumlem2  26985  rpvmasumlem  26987  dchrmusum2  26994  dchrvmasumlem3  26999  dchrisum0fno1  27011  mulogsumlem  27031  mulogsum  27032  mulog2sumlem1  27034  vmalogdivsum2  27038  logdivbnd  27056  pntrsumo1  27065  pntrlog2bndlem2  27078  pntrlog2bndlem5  27081  pntrlog2bndlem6  27083  pntpbnd2  27087  padicabvf  27131  minvecolem3  30124  minvecolem4  30128  subfacval3  34175  cvmliftlem13  34282  poimirlem29  36512  opnmbllem0  36519  heiborlem7  36680  fltne  41387  irrapxlem4  41553  hashnzfz2  43070  hashnzfzclim  43071  stoweidlem30  44736  stoweidlem38  44744  stoweidlem44  44750  vonioolem1  45386  smflimlem3  45479  amgmlemALT  47840