Theorem nnrecred 12419

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrecre 12410	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7446  ℝcr 11229  1c1 11231   / cdiv 12003  ℕcn 12365

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366

This theorem is used by:  trireciplem  16063  trirecip  16064  geo2sum  16074  geo2lim  16076  bpolydiflem  16252  ege2le3  16288  eftlub  16309  eirrlem  16404  prmreclem4  17129  prmreclem6  17131  lmnn  25617  bcthlem5  25682  opnmbllem  25955  mbfi1fseqlem4  26072  taylthlem2  26734  logtayl  27021  leibpi  27303  amgmlem  27350  emcllem1  27356  emcllem2  27357  emcllem3  27358  emcllem5  27360  harmoniclbnd  27369  harmonicubnd  27370  harmonicbnd4  27371  fsumharmonic  27372  lgamgulmlem1  27389  lgamgulmlem2  27390  lgamgulmlem3  27391  lgamgulmlem5  27393  lgamucov  27398  ftalem4  27436  ftalem5  27437  basellem6  27446  basellem7  27447  basellem9  27449  chpchtsum  27579  logfaclbnd  27582  rplogsumlem2  27845  rpvmasumlem  27847  dchrmusum2  27854  dchrvmasumlem3  27859  dchrisum0fno1  27871  mulogsumlem  27891  mulogsum  27892  mulog2sumlem1  27894  vmalogdivsum2  27898  logdivbnd  27916  pntrsumo1  27925  pntrlog2bndlem2  27938  pntrlog2bndlem5  27941  pntrlog2bndlem6  27943  pntpbnd2  27947  padicabvf  27991  fltne  28008  nrt2irr  31107  minvecolem3  31511  minvecolem4  31515  subfacval3  36134  cvmliftlem13  36241  poimirlem29  38772  opnmbllem0  38779  heiborlem7  38954  irrapxlem4  44036  hashnzfz2  45508  hashnzfzclim  45509  stoweidlem30  47255  stoweidlem38  47263  stoweidlem44  47269  vonioolem1  47905  smflimlem3  47998  amgmlemALT  51300