Theorem nnrecred 12315

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrecre 12306	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  1c1 11129   / cdiv 11899  ℕcn 12261

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262

This theorem is used by:  trireciplem  15955  trirecip  15956  geo2sum  15966  geo2lim  15968  bpolydiflem  16146  ege2le3  16182  eftlub  16203  eirrlem  16298  prmreclem4  17017  prmreclem6  17019  lmnn  25497  bcthlem5  25562  opnmbllem  25835  mbfi1fseqlem4  25952  taylthlem2  26617  logtayl  26905  leibpi  27187  amgmlem  27234  emcllem1  27240  emcllem2  27241  emcllem3  27242  emcllem5  27244  harmoniclbnd  27253  harmonicubnd  27254  harmonicbnd4  27255  fsumharmonic  27256  lgamgulmlem1  27273  lgamgulmlem2  27274  lgamgulmlem3  27275  lgamgulmlem5  27277  lgamucov  27282  ftalem4  27320  ftalem5  27321  basellem6  27330  basellem7  27331  basellem9  27333  chpchtsum  27463  logfaclbnd  27466  rplogsumlem2  27729  rpvmasumlem  27731  dchrmusum2  27738  dchrvmasumlem3  27743  dchrisum0fno1  27755  mulogsumlem  27775  mulogsum  27776  mulog2sumlem1  27778  vmalogdivsum2  27782  logdivbnd  27800  pntrsumo1  27809  pntrlog2bndlem2  27822  pntrlog2bndlem5  27825  pntrlog2bndlem6  27827  pntpbnd2  27831  padicabvf  27875  nrt2irr  30961  minvecolem3  31365  minvecolem4  31369  subfacval3  35776  cvmliftlem13  35883  poimirlem29  38406  opnmbllem0  38413  heiborlem7  38575  fltne  43498  irrapxlem4  43674  hashnzfz2  45153  hashnzfzclim  45154  stoweidlem30  46866  stoweidlem38  46874  stoweidlem44  46880  vonioolem1  47516  smflimlem3  47609  amgmlemALT  50829