Theorem nnrecred 12228

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrecre 12219	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  1c1 11039   / cdiv 11807  ℕcn 12174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175

This theorem is referenced by:  trireciplem  15827  trirecip  15828  geo2sum  15838  geo2lim  15840  bpolydiflem  16019  ege2le3  16055  eftlub  16076  eirrlem  16171  prmreclem4  16890  prmreclem6  16892  lmnn  25230  bcthlem5  25295  opnmbllem  25568  mbfi1fseqlem4  25685  taylthlem2  26339  logtayl  26624  leibpi  26906  amgmlem  26953  emcllem1  26959  emcllem2  26960  emcllem3  26961  emcllem5  26963  harmoniclbnd  26972  harmonicubnd  26973  harmonicbnd4  26974  fsumharmonic  26975  lgamgulmlem1  26992  lgamgulmlem2  26993  lgamgulmlem3  26994  lgamgulmlem5  26996  lgamucov  27001  ftalem4  27039  ftalem5  27040  basellem6  27049  basellem7  27050  basellem9  27052  chpchtsum  27182  logfaclbnd  27185  rplogsumlem2  27448  rpvmasumlem  27450  dchrmusum2  27457  dchrvmasumlem3  27462  dchrisum0fno1  27474  mulogsumlem  27494  mulogsum  27495  mulog2sumlem1  27497  vmalogdivsum2  27501  logdivbnd  27519  pntrsumo1  27528  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem5  27544  pntrlog2bndlem6  27546  pntpbnd2  27550  padicabvf  27594  nrt2irr  30543  minvecolem3  30947  minvecolem4  30951  subfacval3  35371  cvmliftlem13  35478  poimirlem29  37970  opnmbllem0  37977  heiborlem7  38138  fltne  43077  irrapxlem4  43253  hashnzfz2  44748  hashnzfzclim  44749  stoweidlem30  46458  stoweidlem38  46466  stoweidlem44  46472  vonioolem1  47108  smflimlem3  47201  amgmlemALT  50278