MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrecred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnrecred 11268
Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnrecred (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nnrecre 11259 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2145  (class class class)co 6792  cr 10137  1c1 10139   / cdiv 10886  cn 11222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223
This theorem is referenced by:  trireciplem  14797  trirecip  14798  geo2sum  14807  geo2lim  14809  bpolydiflem  14987  ege2le3  15022  eftlub  15041  eirrlem  15134  prmreclem6  15828  lmnn  23276  bcthlem5  23340  opnmbllem  23585  mbfi1fseqlem4  23701  taylthlem2  24344  logtayl  24623  leibpi  24886  amgmlem  24933  emcllem1  24939  emcllem2  24940  emcllem3  24941  emcllem5  24943  harmoniclbnd  24952  harmonicubnd  24953  harmonicbnd4  24954  fsumharmonic  24955  lgamgulmlem1  24972  lgamgulmlem2  24973  lgamgulmlem3  24974  lgamgulmlem5  24976  lgamucov  24981  ftalem4  25019  ftalem5  25020  basellem6  25029  basellem7  25030  basellem9  25032  chpchtsum  25161  logfaclbnd  25164  rplogsumlem2  25391  rpvmasumlem  25393  dchrmusum2  25400  dchrvmasumlem3  25405  dchrisum0fno1  25417  mulogsumlem  25437  mulogsum  25438  mulog2sumlem1  25440  vmalogdivsum2  25444  logdivbnd  25462  pntrsumo1  25471  pntrlog2bndlem2  25484  pntrlog2bndlem5  25487  pntrlog2bndlem6  25489  pntpbnd2  25493  padicabvf  25537  minvecolem3  28068  minvecolem4  28072  subfacval3  31505  cvmliftlem13  31612  poimirlem29  33767  opnmbllem0  33774  heiborlem7  33944  irrapxlem4  37912  hashnzfz2  39043  hashnzfzclim  39044  stoweidlem30  40761  stoweidlem38  40769  stoweidlem44  40775  vonioolem1  41411  smflimlem3  41498  amgmlemALT  43077
  Copyright terms: Public domain W3C validator