Theorem nnrecred 12262

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrecre 12253	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7402  ℝcr 11106  1c1 11108   / cdiv 11870  ℕcn 12211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212

This theorem is referenced by:  trireciplem  15810  trirecip  15811  geo2sum  15821  geo2lim  15823  bpolydiflem  16000  ege2le3  16036  eftlub  16055  eirrlem  16150  prmreclem4  16857  prmreclem6  16859  lmnn  25135  bcthlem5  25200  opnmbllem  25474  mbfi1fseqlem4  25592  taylthlem2  26250  logtayl  26534  leibpi  26814  amgmlem  26862  emcllem1  26868  emcllem2  26869  emcllem3  26870  emcllem5  26872  harmoniclbnd  26881  harmonicubnd  26882  harmonicbnd4  26883  fsumharmonic  26884  lgamgulmlem1  26901  lgamgulmlem2  26902  lgamgulmlem3  26903  lgamgulmlem5  26905  lgamucov  26910  ftalem4  26948  ftalem5  26949  basellem6  26958  basellem7  26959  basellem9  26961  chpchtsum  27092  logfaclbnd  27095  rplogsumlem2  27358  rpvmasumlem  27360  dchrmusum2  27367  dchrvmasumlem3  27372  dchrisum0fno1  27384  mulogsumlem  27404  mulogsum  27405  mulog2sumlem1  27407  vmalogdivsum2  27411  logdivbnd  27429  pntrsumo1  27438  pntrlog2bndlem2  27451  pntrlog2bndlem5  27454  pntrlog2bndlem6  27456  pntpbnd2  27460  padicabvf  27504  nrt2irr  30220  minvecolem3  30623  minvecolem4  30627  subfacval3  34697  cvmliftlem13  34804  gg-taylthlem2  35683  poimirlem29  37020  opnmbllem0  37027  heiborlem7  37188  fltne  41936  irrapxlem4  42113  hashnzfz2  43629  hashnzfzclim  43630  stoweidlem30  45291  stoweidlem38  45299  stoweidlem44  45305  vonioolem1  45941  smflimlem3  46034  amgmlemALT  48097