MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrecred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnrecred 11685
Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnrecred (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nnrecre 11676 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115  (class class class)co 7149  cr 10534  1c1 10536   / cdiv 11295  cn 11634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635
This theorem is referenced by:  trireciplem  15217  trirecip  15218  geo2sum  15229  geo2lim  15231  bpolydiflem  15408  ege2le3  15443  eftlub  15462  eirrlem  15557  prmreclem4  16253  prmreclem6  16255  lmnn  23870  bcthlem5  23935  opnmbllem  24208  mbfi1fseqlem4  24325  taylthlem2  24972  logtayl  25254  leibpi  25531  amgmlem  25578  emcllem1  25584  emcllem2  25585  emcllem3  25586  emcllem5  25588  harmoniclbnd  25597  harmonicubnd  25598  harmonicbnd4  25599  fsumharmonic  25600  lgamgulmlem1  25617  lgamgulmlem2  25618  lgamgulmlem3  25619  lgamgulmlem5  25621  lgamucov  25626  ftalem4  25664  ftalem5  25665  basellem6  25674  basellem7  25675  basellem9  25677  chpchtsum  25806  logfaclbnd  25809  rplogsumlem2  26072  rpvmasumlem  26074  dchrmusum2  26081  dchrvmasumlem3  26086  dchrisum0fno1  26098  mulogsumlem  26118  mulogsum  26119  mulog2sumlem1  26121  vmalogdivsum2  26125  logdivbnd  26143  pntrsumo1  26152  pntrlog2bndlem2  26165  pntrlog2bndlem5  26168  pntrlog2bndlem6  26170  pntpbnd2  26174  padicabvf  26218  minvecolem3  28662  minvecolem4  28666  subfacval3  32493  cvmliftlem13  32600  poimirlem29  35031  opnmbllem0  35038  heiborlem7  35200  3lexlogpow5ineq2  39290  fltne  39532  irrapxlem4  39682  hashnzfz2  40945  hashnzfzclim  40946  stoweidlem30  42598  stoweidlem38  42606  stoweidlem44  42612  vonioolem1  43245  smflimlem3  43332  amgmlemALT  45257
  Copyright terms: Public domain W3C validator