MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pythagtriplem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pythagtriplem7 16782
Description: Lemma for pythagtrip 16794. Calculate (โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)). (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) = ((๐ถ + ๐ต) gcd ๐ด))

Proof of Theorem pythagtriplem7
StepHypRef Expression
1 simp3 1136 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
21nnzd 12607 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
3 simp2 1135 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
43nnzd 12607 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
52, 4zsubcld 12693 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
653ad2ant1 1131 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
71, 3nnaddcld 12286 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„•)
87nnnn0d 12554 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„•0)
983ad2ant1 1131 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„•0)
10 nnnn0 12501 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
11103ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
12113ad2ant1 1131 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
136, 9, 123jca 1126 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0))
14 pythagtriplem4 16779 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) = 1)
1514oveq1d 7429 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) gcd ๐ด) = (1 gcd ๐ด))
16 nnz 12601 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
17163ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
18173ad2ant1 1131 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
19 1gcd 16500 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (1 gcd ๐ด) = 1)
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (1 gcd ๐ด) = 1)
2115, 20eqtrd 2767 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) gcd ๐ด) = 1)
2213, 21jca 511 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) gcd ๐ด) = 1))
23 oveq1 7421 . . . . . 6 (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))
24233ad2ant2 1132 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))
25 nncn 12242 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
26253ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2726sqcld 14132 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
283nncnd 12250 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2928sqcld 14132 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3027, 29pncand 11594 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = (๐ดโ†‘2))
31303ad2ant1 1131 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = (๐ดโ†‘2))
321nncnd 12250 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
33 subsq 14197 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ถ + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
3432, 28, 33syl2anc 583 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ถ + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
357nncnd 12250 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
365zcnd 12689 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
3735, 36mulcomd 11257 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ + ๐ต)))
3834, 37eqtrd 2767 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ + ๐ต)))
39383ad2ant1 1131 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ + ๐ต)))
4024, 31, 393eqtr3d 2775 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ดโ†‘2) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ + ๐ต)))
41 coprimeprodsq2 16769 . . . 4 ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐ถ โˆ’ ๐ต) gcd (๐ถ + ๐ต)) gcd ๐ด) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท (๐ถ + ๐ต)) โ†’ (๐ถ + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ต) gcd ๐ด)โ†‘2)))
4222, 40, 41sylc 65 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ถ + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ต) gcd ๐ด)โ†‘2))
4342fveq2d 6895 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) = (โˆšโ€˜(((๐ถ + ๐ต) gcd ๐ด)โ†‘2)))
447nnzd 12607 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„ค)
45443ad2ant1 1131 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐ถ + ๐ต) โˆˆ โ„ค)
4645, 18gcdcld 16474 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) gcd ๐ด) โˆˆ โ„•0)
4746nn0red 12555 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐ถ + ๐ต) gcd ๐ด) โˆˆ โ„)
4846nn0ge0d 12557 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ถ + ๐ต) gcd ๐ด))
4947, 48sqrtsqd 15390 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (โˆšโ€˜(((๐ถ + ๐ต) gcd ๐ด)โ†‘2)) = ((๐ถ + ๐ต) gcd ๐ด))
5043, 49eqtrd 2767 1 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) = ((๐ถ + ๐ต) gcd ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135   โˆ’ cmin 11466  โ„•cn 12234  2c2 12289  โ„•0cn0 12494  โ„คcz 12580  โ†‘cexp 14050  โˆšcsqrt 15204   โˆฅ cdvds 16222   gcd cgcd 16460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-prm 16634
This theorem is referenced by:  pythagtriplem9  16784  pythagtriplem11  16785  pythagtriplem13  16787
  Copyright terms: Public domain W3C validator