MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsqrlem2 25922
Description: Lemma for lgsqr 25926. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s 𝑆 = (Poly1𝑌)
lgsqr.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d 𝐷 = ( deg1𝑌)
lgsqr.o 𝑂 = (eval1𝑌)
lgsqr.e = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x 𝑋 = (var1𝑌)
lgsqr.m = (-g𝑆)
lgsqr.u 1 = (1r𝑆)
lgsqr.t 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
lgsqr.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqr.g 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem2 (𝜑𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑂   𝑦,𝑃   𝜑,𝑦   𝑦,𝑇   𝑦,𝐿   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦)   𝑆(𝑦)   1 (𝑦)   (𝑦)   𝐺(𝑦)   (𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem lgsqrlem2
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgsqr.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
21eldifad 3947 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
3 lgsqr.y . . . . . . . . . . . . 13 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
43znfld 20706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ Field)
6 fldidom 20077 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ IDomn)
8 isidom 20076 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
98simplbi 500 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
11 crngring 19307 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
13 lgsqr.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
1413zrhrhm 20658 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
1512, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
16 zringbas 20622 . . . . . . . 8 ℤ = (Base‘ℤring)
17 eqid 2821 . . . . . . . 8 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
1816, 17rhmf 19477 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
1915, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
2019adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
21 elfzelz 12907 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑦 ∈ ℤ)
2221adantl 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ∈ ℤ)
23 zsqcl 13493 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦↑2) ∈ ℤ)
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦↑2) ∈ ℤ)
2520, 24ffvelrnd 6851 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ (Base‘𝑌))
26 lgsqr.s . . . . 5 𝑆 = (Poly1𝑌)
27 lgsqr.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
28 lgsqr.d . . . . 5 𝐷 = ( deg1𝑌)
29 lgsqr.o . . . . 5 𝑂 = (eval1𝑌)
30 lgsqr.e . . . . 5 = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
31 lgsqr.x . . . . 5 𝑋 = (var1𝑌)
32 lgsqr.m . . . . 5 = (-g𝑆)
33 lgsqr.u . . . . 5 1 = (1r𝑆)
34 lgsqr.t . . . . 5 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
351adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
36 elfznn 12935 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑦 ∈ ℕ)
3736adantl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ∈ ℕ)
3837nncnd 11653 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ∈ ℂ)
39 oddprm 16146 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
401, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
4140nnnn0d 11954 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
4241adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
43 2nn0 11913 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
4443a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈ ℕ0)
4538, 42, 44expmuld 13512 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦↑(2 · ((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑦↑2)↑((𝑃 − 1) / 2)))
46 prmnn 16017 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
472, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
4847nnred 11652 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
49 peano2rem 10952 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
5150recnd 10668 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
52 2cnd 11714 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
53 2ne0 11740 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≠ 0)
5551, 52, 54divcan2d 11417 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − 1))
56 phiprm 16113 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
572, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
5855, 57eqtr4d 2859 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · ((𝑃 − 1) / 2)) = (ϕ‘𝑃))
5958adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · ((𝑃 − 1) / 2)) = (ϕ‘𝑃))
6059oveq2d 7171 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦↑(2 · ((𝑃 − 1) / 2))) = (𝑦↑(ϕ‘𝑃)))
6145, 60eqtr3d 2858 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑦↑2)↑((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑦↑(ϕ‘𝑃)))
6261oveq1d 7170 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((𝑦↑2)↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((𝑦↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃))
632adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℙ)
6463, 46syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℕ)
6547nnzd 12085 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
6665adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℤ)
67 gcdcom 15861 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑦 gcd 𝑃) = (𝑃 gcd 𝑦))
6822, 66, 67syl2anc 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦 gcd 𝑃) = (𝑃 gcd 𝑦))
6937nnred 11652 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ∈ ℝ)
7050rehalfcld 11883 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
7170adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
7248adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℝ)
73 elfzle2 12910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
7473adantl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
75 prmuz2 16039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
762, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘2))
77 uz2m1nn 12322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
7978nnrpd 12428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ+)
80 rphalflt 12417 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 − 1) ∈ ℝ+ → ((𝑃 − 1) / 2) < (𝑃 − 1))
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) < (𝑃 − 1))
8248ltm1d 11571 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 − 1) < 𝑃)
8370, 50, 48, 81, 82lttrd 10800 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
8483adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
8569, 71, 72, 74, 84lelttrd 10797 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 < 𝑃)
8669, 72ltnled 10786 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦 < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃𝑦))
8785, 86mpbid 234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃𝑦)
88 dvdsle 15659 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃𝑦𝑃𝑦))
8966, 37, 88syl2anc 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃𝑦𝑃𝑦))
9087, 89mtod 200 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃𝑦)
91 coprm 16054 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑦 ↔ (𝑃 gcd 𝑦) = 1))
9263, 22, 91syl2anc 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (¬ 𝑃𝑦 ↔ (𝑃 gcd 𝑦) = 1))
9390, 92mpbid 234 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 gcd 𝑦) = 1)
9468, 93eqtrd 2856 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦 gcd 𝑃) = 1)
95 eulerth 16119 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦 gcd 𝑃) = 1) → ((𝑦↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
9664, 22, 94, 95syl3anc 1367 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑦↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
9762, 96eqtrd 2856 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((𝑦↑2)↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
983, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 13, 35, 24, 97lgsqrlem1 25921 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑂𝑇)‘(𝐿‘(𝑦↑2))) = (0g𝑌))
99 eqid 2821 . . . . . . . 8 (𝑌s (Base‘𝑌)) = (𝑌s (Base‘𝑌))
100 eqid 2821 . . . . . . . 8 (Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))) = (Base‘(𝑌s (Base‘𝑌)))
101 fvexd 6684 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝑌) ∈ V)
10229, 26, 99, 17evl1rhm 20494 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌s (Base‘𝑌))))
10310, 102syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌s (Base‘𝑌))))
10427, 100rhmf 19477 . . . . . . . . . 10 (𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌s (Base‘𝑌))) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))))
10626ply1ring 20415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Ring)
10712, 106syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
108 ringgrp 19301 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
110 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
111110ringmgp 19302 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
112107, 111syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
11331, 26, 27vr1cl 20384 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
11412, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝐵)
115110, 27mgpbas 19244 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
116115, 30mulgnn0cl 18243 . . . . . . . . . . . 12 (((mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵)
117112, 41, 114, 116syl3anc 1367 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵)
11827, 33ringidcl 19317 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Ring → 1𝐵)
119107, 118syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑1𝐵)
12027, 32grpsubcl 18178 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵1𝐵) → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵)
121109, 117, 119, 120syl3anc 1367 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵)
12234, 121eqeltrid 2917 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇𝐵)
123105, 122ffvelrnd 6851 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂𝑇) ∈ (Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))))
12499, 17, 100, 5, 101, 123pwselbas 16761 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂𝑇):(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌))
125124ffnd 6514 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑇) Fn (Base‘𝑌))
126125adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑂𝑇) Fn (Base‘𝑌))
127 fniniseg 6829 . . . . 5 ((𝑂𝑇) Fn (Base‘𝑌) → ((𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ ((𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂𝑇)‘(𝐿‘(𝑦↑2))) = (0g𝑌))))
128126, 127syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ ((𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂𝑇)‘(𝐿‘(𝑦↑2))) = (0g𝑌))))
12925, 98, 128mpbir2and 711 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
130 lgsqr.g . . 3 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
131129, 130fmptd 6877 . 2 (𝜑𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
132 fvoveq1 7178 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝐿‘(𝑦↑2)) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
133 fvex 6682 . . . . . . . 8 (𝐿‘(𝑥↑2)) ∈ V
134132, 130, 133fvmpt 6767 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝐺𝑥) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
135134ad2antrl 726 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝐺𝑥) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
136 fvoveq1 7178 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝐿‘(𝑦↑2)) = (𝐿‘(𝑧↑2)))
137 fvex 6682 . . . . . . . 8 (𝐿‘(𝑧↑2)) ∈ V
138136, 130, 137fvmpt 6767 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝐺𝑧) = (𝐿‘(𝑧↑2)))
139138ad2antll 727 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝐺𝑧) = (𝐿‘(𝑧↑2)))
140135, 139eqeq12d 2837 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝐺𝑥) = (𝐺𝑧) ↔ (𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘(𝑧↑2))))
14147nnnn0d 11954 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
142141adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
143 elfzelz 12907 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℤ)
144143ad2antrl 726 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
145 zsqcl 13493 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
146144, 145syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
147 elfzelz 12907 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑧 ∈ ℤ)
148147ad2antll 727 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℤ)
149 zsqcl 13493 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧↑2) ∈ ℤ)
150148, 149syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑧↑2) ∈ ℤ)
1513, 13zndvds 20695 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑧↑2) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘(𝑧↑2)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − (𝑧↑2))))
152142, 146, 150, 151syl3anc 1367 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘(𝑧↑2)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − (𝑧↑2))))
153 elfznn 12935 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℕ)
154153ad2antrl 726 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℕ)
155154nncnd 11653 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
156 elfznn 12935 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑧 ∈ ℕ)
157156ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℕ)
158157nncnd 11653 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
159 subsq 13571 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) − (𝑧↑2)) = ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧)))
160155, 158, 159syl2anc 586 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑥↑2) − (𝑧↑2)) = ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧)))
161160breq2d 5077 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − (𝑧↑2)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧))))
162140, 152, 1613bitrd 307 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝐺𝑥) = (𝐺𝑧) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧))))
1632adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℙ)
164144, 148zaddcld 12090 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℤ)
165144, 148zsubcld 12091 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥𝑧) ∈ ℤ)
166 euclemma 16056 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 + 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑥𝑧) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧)) ↔ (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ (𝑥𝑧))))
167163, 164, 165, 166syl3anc 1367 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧)) ↔ (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ (𝑥𝑧))))
168163, 46syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℕ)
169168nnzd 12085 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℤ)
170154, 157nnaddcld 11688 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ)
171 dvdsle 15659 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧)))
172169, 170, 171syl2anc 586 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧)))
173170nnred 11652 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℝ)
174168nnred 11652 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℝ)
175174, 49syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
176154nnred 11652 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
177157nnred 11652 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
17870adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
179 elfzle2 12910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
180179ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
181 elfzle2 12910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑧 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
182181ad2antll 727 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
183176, 177, 178, 178, 180, 182le2addd 11258 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) + ((𝑃 − 1) / 2)))
18451adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
1851842halvesd 11882 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((𝑃 − 1) / 2) + ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − 1))
186183, 185breqtrd 5091 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ≤ (𝑃 − 1))
187174ltm1d 11571 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 − 1) < 𝑃)
188173, 175, 174, 186, 187lelttrd 10797 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) < 𝑃)
189173, 174ltnled 10786 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑥 + 𝑧) < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧)))
190188, 189mpbid 234 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧))
191190pm2.21d 121 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
192172, 191syld 47 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
193 moddvds 15617 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑥 mod 𝑃) = (𝑧 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝑥𝑧)))
194168, 144, 148, 193syl3anc 1367 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑥 mod 𝑃) = (𝑧 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝑥𝑧)))
195168nnrpd 12428 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
196154nnnn0d 11954 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
197196nn0ge0d 11957 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 0 ≤ 𝑥)
19883adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
199176, 178, 174, 180, 198lelttrd 10797 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 < 𝑃)
200 modid 13263 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑃)) → (𝑥 mod 𝑃) = 𝑥)
201176, 195, 197, 199, 200syl22anc 836 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 mod 𝑃) = 𝑥)
202157nnnn0d 11954 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℕ0)
203202nn0ge0d 11957 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 0 ≤ 𝑧)
204177, 178, 174, 182, 198lelttrd 10797 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 < 𝑃)
205 modid 13263 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑧𝑧 < 𝑃)) → (𝑧 mod 𝑃) = 𝑧)
206177, 195, 203, 204, 205syl22anc 836 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑧 mod 𝑃) = 𝑧)
207201, 206eqeq12d 2837 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑥 mod 𝑃) = (𝑧 mod 𝑃) ↔ 𝑥 = 𝑧))
208194, 207bitr3d 283 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑥𝑧) ↔ 𝑥 = 𝑧))
209208biimpd 231 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑥𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
210192, 209jaod 855 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ (𝑥𝑧)) → 𝑥 = 𝑧))
211167, 210sylbid 242 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧)) → 𝑥 = 𝑧))
212162, 211sylbid 242 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝐺𝑥) = (𝐺𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
213212ralrimivva 3191 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))∀𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((𝐺𝑥) = (𝐺𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
214 dff13 7012 . 2 (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))∀𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((𝐺𝑥) = (𝐺𝑧) → 𝑥 = 𝑧)))
215131, 213, 214sylanbrc 585 1 (𝜑𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  wral 3138  Vcvv 3494  cdif 3932  {csn 4566   class class class wbr 5065  cmpt 5145  ccnv 5553  cima 5557   Fn wfn 6349  wf 6350  1-1wf1 6351  cfv 6354  (class class class)co 7155  cc 10534  cr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541   < clt 10674  cle 10675  cmin 10869   / cdiv 11296  cn 11637  2c2 11691  0cn0 11896  cz 11980  cuz 12242  +crp 12388  ...cfz 12891   mod cmo 13236  cexp 13428  cdvds 15606   gcd cgcd 15842  cprime 16014  ϕcphi 16100  Basecbs 16482  0gc0g 16712  s cpws 16719  Mndcmnd 17910  Grpcgrp 18102  -gcsg 18104  .gcmg 18223  mulGrpcmgp 19238  1rcur 19250  Ringcrg 19296  CRingccrg 19297   RingHom crh 19463  Fieldcfield 19502  Domncdomn 20052  IDomncidom 20053  var1cv1 20343  Poly1cpl1 20344  eval1ce1 20476  ringzring 20616  ℤRHomczrh 20646  ℤ/nczn 20649   deg1 cdg1 24647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-ofr 7409  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-tpos 7891  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-ec 8290  df-qs 8294  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-dvds 15607  df-gcd 15843  df-prm 16015  df-phi 16102  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-prds 16720  df-pws 16722  df-imas 16780  df-qus 16781  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-mhm 17955  df-submnd 17956  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-mulg 18224  df-subg 18275  df-nsg 18276  df-eqg 18277  df-ghm 18355  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-abl 18908  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-srg 19255  df-ring 19298  df-cring 19299  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-rnghom 19466  df-drng 19503  df-field 19504  df-subrg 19532  df-lmod 19635  df-lss 19703  df-lsp 19743  df-sra 19943  df-rgmod 19944  df-lidl 19945  df-rsp 19946  df-2idl 20004  df-nzr 20030  df-rlreg 20055  df-domn 20056  df-idom 20057  df-assa 20084  df-asp 20085  df-ascl 20086  df-psr 20135  df-mvr 20136  df-mpl 20137  df-opsr 20139  df-evls 20285  df-evl 20286  df-psr1 20347  df-vr1 20348  df-ply1 20349  df-evl1 20478  df-cnfld 20545  df-zring 20617  df-zrh 20650  df-zn 20653
This theorem is referenced by:  lgsqrlem4  25924
  Copyright terms: Public domain W3C validator