MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsqrlem2 27298
Description: Lemma for lgsqr 27302. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y ๐‘Œ = (โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘ƒ)
lgsqr.s ๐‘† = (Poly1โ€˜๐‘Œ)
lgsqr.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
lgsqr.d ๐ท = ( deg1 โ€˜๐‘Œ)
lgsqr.o ๐‘‚ = (eval1โ€˜๐‘Œ)
lgsqr.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘†))
lgsqr.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘Œ)
lgsqr.m โˆ’ = (-gโ€˜๐‘†)
lgsqr.u 1 = (1rโ€˜๐‘†)
lgsqr.t ๐‘‡ = ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†‘ ๐‘‹) โˆ’ 1 )
lgsqr.l ๐ฟ = (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)
lgsqr.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
lgsqr.g ๐บ = (๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ (๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)))
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:(1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ€“1-1โ†’(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘‡) โ€œ {(0gโ€˜๐‘Œ)}))
Distinct variable groups:   ๐‘ฆ,๐‘‚   ๐‘ฆ,๐‘ƒ   ๐œ‘,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐‘‡   ๐‘ฆ,๐ฟ   ๐‘ฆ,๐‘Œ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฆ)   ๐ท(๐‘ฆ)   ๐‘†(๐‘ฆ)   1 (๐‘ฆ)   โ†‘ (๐‘ฆ)   ๐บ(๐‘ฆ)   โˆ’ (๐‘ฆ)   ๐‘‹(๐‘ฆ)

Proof of Theorem lgsqrlem2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgsqr.1 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
21eldifad 3951 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
3 lgsqr.y . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘Œ = (โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘ƒ)
43znfld 21498 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Field)
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Field)
6 fldidom 21262 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ โˆˆ Field โ†’ ๐‘Œ โˆˆ IDomn)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ IDomn)
8 isidom 21258 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ โˆˆ IDomn โ†” (๐‘Œ โˆˆ CRing โˆง ๐‘Œ โˆˆ Domn))
98simplbi 496 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ โˆˆ IDomn โ†’ ๐‘Œ โˆˆ CRing)
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ CRing)
11 crngring 20189 . . . . . . . . 9 (๐‘Œ โˆˆ CRing โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
13 lgsqr.l . . . . . . . . 9 ๐ฟ = (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)
1413zrhrhm 21441 . . . . . . . 8 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ ๐ฟ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘Œ))
1512, 14syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘Œ))
16 zringbas 21383 . . . . . . . 8 โ„ค = (Baseโ€˜โ„คring)
17 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐‘Œ) = (Baseโ€˜๐‘Œ)
1816, 17rhmf 20428 . . . . . . 7 (๐ฟ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘Œ) โ†’ ๐ฟ:โ„คโŸถ(Baseโ€˜๐‘Œ))
1915, 18syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ:โ„คโŸถ(Baseโ€˜๐‘Œ))
2019adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐ฟ:โ„คโŸถ(Baseโ€˜๐‘Œ))
21 elfzelz 13533 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
2221adantl 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
23 zsqcl 14125 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2520, 24ffvelcdmd 7090 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
26 lgsqr.s . . . . 5 ๐‘† = (Poly1โ€˜๐‘Œ)
27 lgsqr.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
28 lgsqr.d . . . . 5 ๐ท = ( deg1 โ€˜๐‘Œ)
29 lgsqr.o . . . . 5 ๐‘‚ = (eval1โ€˜๐‘Œ)
30 lgsqr.e . . . . 5 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘†))
31 lgsqr.x . . . . 5 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘Œ)
32 lgsqr.m . . . . 5 โˆ’ = (-gโ€˜๐‘†)
33 lgsqr.u . . . . 5 1 = (1rโ€˜๐‘†)
34 lgsqr.t . . . . 5 ๐‘‡ = ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†‘ ๐‘‹) โˆ’ 1 )
351adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
36 elfznn 13562 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
3736adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
3837nncnd 12258 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
39 oddprm 16778 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
401, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
4140nnnn0d 12562 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0)
4241adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0)
43 2nn0 12519 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•0
4443a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
4538, 42, 44expmuld 14145 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ฆโ†‘(2 ยท ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) = ((๐‘ฆโ†‘2)โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
46 prmnn 16644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
472, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
4847nnred 12257 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
49 peano2rem 11557 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
5150recnd 11272 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
52 2cnd 12320 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
53 2ne0 12346 . . . . . . . . . . . . 13 2 โ‰  0
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
5551, 52, 54divcan2d 12022 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
56 phiprm 16745 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
572, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
5855, 57eqtr4d 2768 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = (ฯ•โ€˜๐‘ƒ))
5958adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (2 ยท ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = (ฯ•โ€˜๐‘ƒ))
6059oveq2d 7432 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ฆโ†‘(2 ยท ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) = (๐‘ฆโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)))
6145, 60eqtr3d 2767 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ฆโ†‘2)โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘ฆโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)))
6261oveq1d 7431 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (((๐‘ฆโ†‘2)โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ฆโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ))
632adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
6463, 46syl 17 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
6547nnzd 12615 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
6665adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
6722, 66gcdcomd 16488 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ฆ gcd ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ gcd ๐‘ฆ))
6837nnred 12257 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
6950rehalfcld 12489 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„)
7069adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„)
7148adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
72 elfzle2 13537 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ฆ โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
7372adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฆ โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
74 prmuz2 16666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
752, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
76 uz2m1nn 12937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
7877nnrpd 13046 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
79 rphalflt 13035 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) < (๐‘ƒ โˆ’ 1))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) < (๐‘ƒ โˆ’ 1))
8148ltm1d 12176 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < ๐‘ƒ)
8269, 50, 48, 80, 81lttrd 11405 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) < ๐‘ƒ)
8382adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) < ๐‘ƒ)
8468, 70, 71, 73, 83lelttrd 11402 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฆ < ๐‘ƒ)
8568, 71ltnled 11391 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ฆ < ๐‘ƒ โ†” ยฌ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฆ))
8684, 85mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฆ)
87 dvdsle 16286 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฆ))
8866, 37, 87syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฆ))
8986, 88mtod 197 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ)
90 coprm 16681 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘ฆ) = 1))
9163, 22, 90syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘ฆ) = 1))
9289, 91mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ gcd ๐‘ฆ) = 1)
9367, 92eqtrd 2765 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ฆ gcd ๐‘ƒ) = 1)
94 eulerth 16751 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐‘ฆโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ))
9564, 22, 93, 94syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ฆโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ))
9662, 95eqtrd 2765 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (((๐‘ฆโ†‘2)โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ))
973, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 13, 35, 24, 96lgsqrlem1 27297 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘‡)โ€˜(๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2))) = (0gโ€˜๐‘Œ))
98 eqid 2725 . . . . . . . 8 (๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ)) = (๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ))
99 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜(๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ))) = (Baseโ€˜(๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ)))
100 fvexd 6907 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆˆ V)
10129, 26, 98, 17evl1rhm 22260 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ โˆˆ CRing โ†’ ๐‘‚ โˆˆ (๐‘† RingHom (๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ))))
10210, 101syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‚ โˆˆ (๐‘† RingHom (๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ))))
10327, 99rhmf 20428 . . . . . . . . . 10 (๐‘‚ โˆˆ (๐‘† RingHom (๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ))) โ†’ ๐‘‚:๐ตโŸถ(Baseโ€˜(๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ))))
104102, 103syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‚:๐ตโŸถ(Baseโ€˜(๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ))))
10526ply1ring 22175 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘† โˆˆ Ring)
10612, 105syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Ring)
107 ringgrp 20182 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘† โˆˆ Ring โ†’ ๐‘† โˆˆ Grp)
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Grp)
109 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (mulGrpโ€˜๐‘†) = (mulGrpโ€˜๐‘†)
110109, 27mgpbas 20084 . . . . . . . . . . . 12 ๐ต = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘†))
111109ringmgp 20183 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘† โˆˆ Ring โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘†) โˆˆ Mnd)
112106, 111syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘†) โˆˆ Mnd)
11331, 26, 27vr1cl 22145 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
11412, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
115110, 30, 112, 41, 114mulgnn0cld 19054 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
11627, 33ringidcl 20206 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘† โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
117106, 116syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
11827, 32grpsubcl 18980 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘† โˆˆ Grp โˆง (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โ†’ ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†‘ ๐‘‹) โˆ’ 1 ) โˆˆ ๐ต)
119108, 115, 117, 118syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†‘ ๐‘‹) โˆ’ 1 ) โˆˆ ๐ต)
12034, 119eqeltrid 2829 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)
121104, 120ffvelcdmd 7090 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘‡) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ))))
12298, 17, 99, 5, 100, 121pwselbas 17470 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘‡):(Baseโ€˜๐‘Œ)โŸถ(Baseโ€˜๐‘Œ))
123122ffnd 6718 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘‡) Fn (Baseโ€˜๐‘Œ))
124123adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘‡) Fn (Baseโ€˜๐‘Œ))
125 fniniseg 7064 . . . . 5 ((๐‘‚โ€˜๐‘‡) Fn (Baseโ€˜๐‘Œ) โ†’ ((๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ (โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘‡) โ€œ {(0gโ€˜๐‘Œ)}) โ†” ((๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘‡)โ€˜(๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2))) = (0gโ€˜๐‘Œ))))
126124, 125syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ (โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘‡) โ€œ {(0gโ€˜๐‘Œ)}) โ†” ((๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘‡)โ€˜(๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2))) = (0gโ€˜๐‘Œ))))
12725, 97, 126mpbir2and 711 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ (โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘‡) โ€œ {(0gโ€˜๐‘Œ)}))
128 lgsqr.g . . 3 ๐บ = (๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ (๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)))
129127, 128fmptd 7119 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:(1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โŸถ(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘‡) โ€œ {(0gโ€˜๐‘Œ)}))
130 fvoveq1 7439 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)) = (๐ฟโ€˜(๐‘ฅโ†‘2)))
131 fvex 6905 . . . . . . . 8 (๐ฟโ€˜(๐‘ฅโ†‘2)) โˆˆ V
132130, 128, 131fvmpt 7000 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฅ) = (๐ฟโ€˜(๐‘ฅโ†‘2)))
133132ad2antrl 726 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฅ) = (๐ฟโ€˜(๐‘ฅโ†‘2)))
134 fvoveq1 7439 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ (๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)) = (๐ฟโ€˜(๐‘งโ†‘2)))
135 fvex 6905 . . . . . . . 8 (๐ฟโ€˜(๐‘งโ†‘2)) โˆˆ V
136134, 128, 135fvmpt 7000 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ง) = (๐ฟโ€˜(๐‘งโ†‘2)))
137136ad2antll 727 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ง) = (๐ฟโ€˜(๐‘งโ†‘2)))
138133, 137eqeq12d 2741 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘ฅ) = (๐บโ€˜๐‘ง) โ†” (๐ฟโ€˜(๐‘ฅโ†‘2)) = (๐ฟโ€˜(๐‘งโ†‘2))))
13947nnnn0d 12562 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
140139adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
141 elfzelz 13533 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
142141ad2antrl 726 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
143 zsqcl 14125 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
144142, 143syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
145 elfzelz 13533 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
146145ad2antll 727 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
147 zsqcl 14125 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘งโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
148146, 147syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘งโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
1493, 13zndvds 21487 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘งโ†‘2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ฟโ€˜(๐‘ฅโ†‘2)) = (๐ฟโ€˜(๐‘งโ†‘2)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ฅโ†‘2) โˆ’ (๐‘งโ†‘2))))
150140, 144, 148, 149syl3anc 1368 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐ฟโ€˜(๐‘ฅโ†‘2)) = (๐ฟโ€˜(๐‘งโ†‘2)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ฅโ†‘2) โˆ’ (๐‘งโ†‘2))))
151 elfznn 13562 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
152151ad2antrl 726 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
153152nncnd 12258 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
154 elfznn 13562 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•)
155154ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•)
156155nncnd 12258 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
157 subsq 14205 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) โˆ’ (๐‘งโ†‘2)) = ((๐‘ฅ + ๐‘ง) ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง)))
158153, 156, 157syl2anc 582 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) โˆ’ (๐‘งโ†‘2)) = ((๐‘ฅ + ๐‘ง) ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง)))
159158breq2d 5155 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ฅโ†‘2) โˆ’ (๐‘งโ†‘2)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง))))
160138, 150, 1593bitrd 304 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘ฅ) = (๐บโ€˜๐‘ง) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง))))
1612adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
162142, 146zaddcld 12700 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
163142, 146zsubcld 12701 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
164 euclemma 16683 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง))))
165161, 162, 163, 164syl3anc 1368 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง))))
166161, 46syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
167166nnzd 12615 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
168152, 155nnaddcld 12294 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆˆ โ„•)
169 dvdsle 16286 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘ฅ + ๐‘ง)))
170167, 168, 169syl2anc 582 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘ฅ + ๐‘ง)))
171168nnred 12257 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆˆ โ„)
172166nnred 12257 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
173172, 49syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
174152nnred 12257 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
175155nnred 12257 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
17669adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„)
177 elfzle2 13537 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
178177ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
179 elfzle2 13537 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ง โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
180179ad2antll 727 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ง โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
181174, 175, 176, 176, 178, 180le2addd 11863 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โ‰ค (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) + ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
18251adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
1831822halvesd 12488 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) + ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
184181, 183breqtrd 5169 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))
185172ltm1d 12176 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < ๐‘ƒ)
186171, 173, 172, 184, 185lelttrd 11402 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ง) < ๐‘ƒ)
187171, 172ltnled 11391 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) < ๐‘ƒ โ†” ยฌ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘ฅ + ๐‘ง)))
188186, 187mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘ฅ + ๐‘ง))
189188pm2.21d 121 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค (๐‘ฅ + ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
190170, 189syld 47 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
191 moddvds 16241 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ mod ๐‘ƒ) = (๐‘ง mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง)))
192166, 142, 146, 191syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐‘ฅ mod ๐‘ƒ) = (๐‘ง mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง)))
193166nnrpd 13046 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
194152nnnn0d 12562 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0)
195194nn0ge0d 12565 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
19682adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) < ๐‘ƒ)
197174, 176, 172, 178, 196lelttrd 11402 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ฅ < ๐‘ƒ)
198 modid 13893 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ) = ๐‘ฅ)
199174, 193, 195, 197, 198syl22anc 837 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ) = ๐‘ฅ)
200155nnnn0d 12562 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•0)
201200nn0ge0d 12565 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ง)
202175, 176, 172, 180, 196lelttrd 11402 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ง < ๐‘ƒ)
203 modid 13893 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐‘ง โˆง ๐‘ง < ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ง mod ๐‘ƒ) = ๐‘ง)
204175, 193, 201, 202, 203syl22anc 837 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ง mod ๐‘ƒ) = ๐‘ง)
205199, 204eqeq12d 2741 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐‘ฅ mod ๐‘ƒ) = (๐‘ง mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ง))
206192, 205bitr3d 280 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง) โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ง))
207206biimpd 228 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
208190, 207jaod 857 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
209165, 208sylbid 239 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
210160, 209sylbid 239 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘ฅ) = (๐บโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
211210ralrimivva 3191 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โˆ€๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))((๐บโ€˜๐‘ฅ) = (๐บโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
212 dff13 7261 . 2 (๐บ:(1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ€“1-1โ†’(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘‡) โ€œ {(0gโ€˜๐‘Œ)}) โ†” (๐บ:(1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โŸถ(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘‡) โ€œ {(0gโ€˜๐‘Œ)}) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โˆ€๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))((๐บโ€˜๐‘ฅ) = (๐บโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง)))
213129, 211, 212sylanbrc 581 1 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:(1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ€“1-1โ†’(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘‡) โ€œ {(0gโ€˜๐‘Œ)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โˆ€wral 3051  Vcvv 3463   โˆ– cdif 3936  {csn 4624   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226  โ—กccnv 5671   โ€œ cima 5675   Fn wfn 6538  โŸถwf 6539  โ€“1-1โ†’wf1 6540  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143   < clt 11278   โ‰ค cle 11279   โˆ’ cmin 11474   / cdiv 11901  โ„•cn 12242  2c2 12297  โ„•0cn0 12502  โ„คcz 12588  โ„คโ‰ฅcuz 12852  โ„+crp 13006  ...cfz 13516   mod cmo 13866  โ†‘cexp 14058   โˆฅ cdvds 16230   gcd cgcd 16468  โ„™cprime 16641  ฯ•cphi 16732  Basecbs 17179  0gc0g 17420   โ†‘s cpws 17427  Mndcmnd 18693  Grpcgrp 18894  -gcsg 18896  .gcmg 19027  mulGrpcmgp 20078  1rcur 20125  Ringcrg 20177  CRingccrg 20178   RingHom crh 20412  Fieldcfield 20629  Domncdomn 21231  IDomncidom 21232  โ„คringczring 21376  โ„คRHomczrh 21429  โ„ค/nโ„คczn 21432  var1cv1 22103  Poly1cpl1 22104  eval1ce1 22242   deg1 cdg1 26005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8723  df-ec 8725  df-qs 8729  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-prm 16642  df-phi 16734  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-imas 17489  df-qus 17490  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-nsg 19083  df-eqg 19084  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-srg 20131  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-rhm 20415  df-nzr 20456  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-drng 20630  df-field 20631  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-lidl 21108  df-rsp 21109  df-2idl 21148  df-rlreg 21234  df-domn 21235  df-idom 21236  df-cnfld 21284  df-zring 21377  df-zrh 21433  df-zn 21436  df-assa 21791  df-asp 21792  df-ascl 21793  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-evls 22025  df-evl 22026  df-psr1 22107  df-vr1 22108  df-ply1 22109  df-evl1 22244
This theorem is referenced by:  lgsqrlem4  27300
  Copyright terms: Public domain W3C validator