Theorem lgsqrlem2 25484

Description: Lemma for lgsqr 25488. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsqr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
lgsqr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑌)
lgsqr.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
lgsqr.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
lgsqr.m	⊢ − = (-g‘𝑆)
lgsqr.u	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
lgsqr.t	⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
lgsqr.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqr.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))

Assertion

Ref	Expression
lgsqrlem2	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑂   𝑦,𝑃   𝜑,𝑦   𝑦,𝑇   𝑦,𝐿   𝑦,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦)   𝑆(𝑦)   1 (𝑦)   ↑ (𝑦)   𝐺(𝑦)   − (𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem lgsqrlem2

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsqr.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2	1	eldifad 3809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
3		lgsqr.y	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
4	3	znfld 20267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Field)
6		fldidom 19665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ IDomn)
8		isidom 19664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
9	8	simplbi 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
11		crngring 18911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
13		lgsqr.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
14	13	zrhrhm 20219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
15	12, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
16		zringbas 20183	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
17		eqid 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
18	16, 17	rhmf 19081	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
19	15, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
20	19	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
21		elfzelz 12634	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑦 ∈ ℤ)
22	21	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ∈ ℤ)
23		zsqcl 13227	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦↑2) ∈ ℤ)
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦↑2) ∈ ℤ)
25	20, 24	ffvelrnd 6608	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ (Base‘𝑌))
26		lgsqr.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
27		lgsqr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
28		lgsqr.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑌)
29		lgsqr.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
30		lgsqr.e	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
31		lgsqr.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
32		lgsqr.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑆)
33		lgsqr.u	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
34		lgsqr.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
35	1	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
36		elfznn 12662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑦 ∈ ℕ)
37	36	adantl 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ∈ ℕ)
38	37	nncnd 11367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ∈ ℂ)
39		oddprm 15885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
40	1, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
41	40	nnnn0d 11677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
42	41	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
43		2nn0 11636	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
44	43	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈ ℕ0)
45	38, 42, 44	expmuld 13304	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦↑(2 · ((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑦↑2)↑((𝑃 − 1) / 2)))
46		prmnn 15759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
47	2, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
48	47	nnred 11366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
49		peano2rem 10668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
51	50	recnd 10384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
52		2cnd 11428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
53		2ne0 11461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
55	51, 52, 54	divcan2d 11128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − 1))
56		phiprm 15852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
57	2, 56	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
58	55, 57	eqtr4d 2863	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑃 − 1) / 2)) = (ϕ‘𝑃))
59	58	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · ((𝑃 − 1) / 2)) = (ϕ‘𝑃))
60	59	oveq2d 6920	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦↑(2 · ((𝑃 − 1) / 2))) = (𝑦↑(ϕ‘𝑃)))
61	45, 60	eqtr3d 2862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑦↑2)↑((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑦↑(ϕ‘𝑃)))
62	61	oveq1d 6919	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((𝑦↑2)↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((𝑦↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃))
63	2	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℙ)
64	63, 46	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℕ)
65	47	nnzd 11808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
66	65	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℤ)
67		gcdcom 15607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑦 gcd 𝑃) = (𝑃 gcd 𝑦))
68	22, 66, 67	syl2anc 581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦 gcd 𝑃) = (𝑃 gcd 𝑦))
69	37	nnred 11366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ∈ ℝ)
70	50	rehalfcld 11604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
71	70	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
72	48	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℝ)
73		elfzle2 12637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
74	73	adantl 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
75		prmuz2 15779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
76	2, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
77		uz2m1nn 12045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
79	78	nnrpd 12153	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ+)
80		rphalflt 12142	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 − 1) ∈ ℝ+ → ((𝑃 − 1) / 2) < (𝑃 − 1))
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) < (𝑃 − 1))
82	48	ltm1d 11285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) < 𝑃)
83	70, 50, 48, 81, 82	lttrd 10516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
84	83	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
85	69, 71, 72, 74, 84	lelttrd 10513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 < 𝑃)
86	69, 72	ltnled 10502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦 < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ 𝑦))
87	85, 86	mpbid 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑦)
88		dvdsle 15408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ 𝑦 → 𝑃 ≤ 𝑦))
89	66, 37, 88	syl2anc 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ 𝑦 → 𝑃 ≤ 𝑦))
90	87, 89	mtod 190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑦)
91		coprm 15793	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑦 ↔ (𝑃 gcd 𝑦) = 1))
92	63, 22, 91	syl2anc 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑦 ↔ (𝑃 gcd 𝑦) = 1))
93	90, 92	mpbid 224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 gcd 𝑦) = 1)
94	68, 93	eqtrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦 gcd 𝑃) = 1)
95		eulerth 15858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦 gcd 𝑃) = 1) → ((𝑦↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
96	64, 22, 94, 95	syl3anc 1496	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑦↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
97	62, 96	eqtrd 2860	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((𝑦↑2)↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
98	3, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 13, 35, 24, 97	lgsqrlem1 25483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘(𝑦↑2))) = (0g‘𝑌))
99		eqid 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ↑s (Base‘𝑌)) = (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))
100		eqid 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))) = (Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌)))
101		fvexd 6447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) ∈ V)
102	29, 26, 99, 17	evl1rhm 20055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
103	10, 102	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
104	27, 100	rhmf 19081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
105	103, 104	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
106	26	ply1ring 19977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Ring)
107	12, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
108		ringgrp 18905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
109	107, 108	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
110		eqid 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
111	110	ringmgp 18906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
112	107, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
113	31, 26, 27	vr1cl 19946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
114	12, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
115	110, 27	mgpbas 18848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
116	115, 30	mulgnn0cl 17910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
117	112, 41, 114, 116	syl3anc 1496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
118	27, 33	ringidcl 18921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
119	107, 118	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
120	27, 32	grpsubcl 17848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵)
121	109, 117, 119, 120	syl3anc 1496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵)
122	34, 121	syl5eqel 2909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
123	105, 122	ffvelrnd 6608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑇) ∈ (Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
124	99, 17, 100, 5, 101, 123	pwselbas 16501	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑇):(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌))
125	124	ffnd 6278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑇) Fn (Base‘𝑌))
126	125	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑂‘𝑇) Fn (Base‘𝑌))
127		fniniseg 6586	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘𝑇) Fn (Base‘𝑌) → ((𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ↔ ((𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘(𝑦↑2))) = (0g‘𝑌))))
128	126, 127	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ↔ ((𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘(𝑦↑2))) = (0g‘𝑌))))
129	25, 98, 128	mpbir2and 706	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
130		lgsqr.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
131	129, 130	fmptd 6632	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
132		fvoveq1 6927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐿‘(𝑦↑2)) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
133		fvex 6445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿‘(𝑥↑2)) ∈ V
134	132, 130, 133	fvmpt 6528	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝐺‘𝑥) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
135	134	ad2antrl 721	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝐺‘𝑥) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
136		fvoveq1 6927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐿‘(𝑦↑2)) = (𝐿‘(𝑧↑2)))
137		fvex 6445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿‘(𝑧↑2)) ∈ V
138	136, 130, 137	fvmpt 6528	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝐺‘𝑧) = (𝐿‘(𝑧↑2)))
139	138	ad2antll 722	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝐺‘𝑧) = (𝐿‘(𝑧↑2)))
140	135, 139	eqeq12d 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑧) ↔ (𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘(𝑧↑2))))
141	47	nnnn0d 11677	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
142	141	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
143		elfzelz 12634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℤ)
144	143	ad2antrl 721	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
145		zsqcl 13227	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
146	144, 145	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
147		elfzelz 12634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑧 ∈ ℤ)
148	147	ad2antll 722	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℤ)
149		zsqcl 13227	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧↑2) ∈ ℤ)
150	148, 149	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑧↑2) ∈ ℤ)
151	3, 13	zndvds 20256	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑧↑2) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘(𝑧↑2)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − (𝑧↑2))))
152	142, 146, 150, 151	syl3anc 1496	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘(𝑧↑2)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − (𝑧↑2))))
153		elfznn 12662	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℕ)
154	153	ad2antrl 721	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℕ)
155	154	nncnd 11367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
156		elfznn 12662	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑧 ∈ ℕ)
157	156	ad2antll 722	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℕ)
158	157	nncnd 11367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
159		subsq 13265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) − (𝑧↑2)) = ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥 − 𝑧)))
160	155, 158, 159	syl2anc 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑥↑2) − (𝑧↑2)) = ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥 − 𝑧)))
161	160	breq2d 4884	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − (𝑧↑2)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥 − 𝑧))))
162	140, 152, 161	3bitrd 297	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑧) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥 − 𝑧))))
163	2	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℙ)
164	144, 148	zaddcld 11813	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℤ)
165	144, 148	zsubcld 11814	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℤ)
166		euclemma 15795	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 + 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 𝑧) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥 − 𝑧)) ↔ (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 𝑧))))
167	163, 164, 165, 166	syl3anc 1496	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥 − 𝑧)) ↔ (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 𝑧))))
168	163, 46	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℕ)
169	168	nnzd 11808	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℤ)
170	154, 157	nnaddcld 11402	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ)
171		dvdsle 15408	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧)))
172	169, 170, 171	syl2anc 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧)))
173	170	nnred 11366	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℝ)
174	168	nnred 11366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℝ)
175	174, 49	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
176	154	nnred 11366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
177	157	nnred 11366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
178	70	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
179		elfzle2 12637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
180	179	ad2antrl 721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
181		elfzle2 12637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑧 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
182	181	ad2antll 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
183	176, 177, 178, 178, 180, 182	le2addd 10970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) + ((𝑃 − 1) / 2)))
184	51	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
185	184	2halvesd 11603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((𝑃 − 1) / 2) + ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − 1))
186	183, 185	breqtrd 4898	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ≤ (𝑃 − 1))
187	174	ltm1d 11285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 − 1) < 𝑃)
188	173, 175, 174, 186, 187	lelttrd 10513	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) < 𝑃)
189	173, 174	ltnled 10502	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑥 + 𝑧) < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧)))
190	188, 189	mpbid 224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧))
191	190	pm2.21d 119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
192	172, 191	syld 47	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
193		moddvds 15367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑥 mod 𝑃) = (𝑧 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝑥 − 𝑧)))
194	168, 144, 148, 193	syl3anc 1496	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑥 mod 𝑃) = (𝑧 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝑥 − 𝑧)))
195	168	nnrpd 12153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
196	154	nnnn0d 11677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
197	196	nn0ge0d 11680	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 0 ≤ 𝑥)
198	83	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
199	176, 178, 174, 180, 198	lelttrd 10513	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 < 𝑃)
200		modid 12989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑃)) → (𝑥 mod 𝑃) = 𝑥)
201	176, 195, 197, 199, 200	syl22anc 874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 mod 𝑃) = 𝑥)
202	157	nnnn0d 11677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℕ0)
203	202	nn0ge0d 11680	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 0 ≤ 𝑧)
204	177, 178, 174, 182, 198	lelttrd 10513	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 < 𝑃)
205		modid 12989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃)) → (𝑧 mod 𝑃) = 𝑧)
206	177, 195, 203, 204, 205	syl22anc 874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑧 mod 𝑃) = 𝑧)
207	201, 206	eqeq12d 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑥 mod 𝑃) = (𝑧 mod 𝑃) ↔ 𝑥 = 𝑧))
208	194, 207	bitr3d 273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑥 − 𝑧) ↔ 𝑥 = 𝑧))
209	208	biimpd 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑥 − 𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
210	192, 209	jaod 892	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 𝑧)) → 𝑥 = 𝑧))
211	167, 210	sylbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥 − 𝑧)) → 𝑥 = 𝑧))
212	162, 211	sylbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
213	212	ralrimivva 3179	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))∀𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
214		dff13 6766	. 2 ⊢ (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ↔ (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))∀𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑧) → 𝑥 = 𝑧)))
215	131, 213, 214	sylanbrc 580	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 880   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2998  ∀wral 3116  Vcvv 3413   ∖ cdif 3794  {csn 4396   class class class wbr 4872   ↦ cmpt 4951  ^◡ccnv 5340   “ cima 5344   Fn wfn 6117  ⟶wf 6118  –1-1→wf1 6119  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904  ℂcc 10249  ℝcr 10250  0cc0 10251  1c1 10252   + caddc 10254   · cmul 10256   < clt 10390   ≤ cle 10391   − cmin 10584   / cdiv 11008  ℕcn 11349  2c2 11405  ℕ₀cn0 11617  ℤcz 11703  ℤ_≥cuz 11967  ℝ⁺crp 12111  ...cfz 12618   mod cmo 12962  ↑cexp 13153   ∥ cdvds 15356   gcd cgcd 15588  ℙcprime 15756  ϕcphi 15839  Basecbs 16221  0_gc0g 16452   ↑_s cpws 16459  Mndcmnd 17646  Grpcgrp 17775  -_gcsg 17777  ._gcmg 17893  mulGrpcmgp 18842  1_rcur 18854  Ringcrg 18900  CRingccrg 18901   RingHom crh 19067  Fieldcfield 19103  Domncdomn 19640  IDomncidom 19641  var₁cv1 19905  Poly₁cpl1 19906  eval₁ce1 20038  ℤ_ringzring 20177  ℤRHomczrh 20207  ℤ/nℤczn 20210   deg₁ cdg1 24212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329  ax-addf 10330  ax-mulf 10331

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-ofr 7157  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-supp 7559  df-tpos 7616  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-2o 7826  df-oadd 7829  df-er 8008  df-ec 8010  df-qs 8014  df-map 8123  df-pm 8124  df-ixp 8175  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-fsupp 8544  df-sup 8616  df-inf 8617  df-oi 8683  df-card 9077  df-cda 9304  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-xnn0 11690  df-z 11704  df-dec 11821  df-uz 11968  df-rp 12112  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-fl 12887  df-mod 12963  df-seq 13095  df-exp 13154  df-hash 13410  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-dvds 15357  df-gcd 15589  df-prm 15757  df-phi 15841  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-starv 16319  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-ip 16322  df-tset 16323  df-ple 16324  df-ds 16326  df-unif 16327  df-hom 16328  df-cco 16329  df-0g 16454  df-gsum 16455  df-prds 16460  df-pws 16462  df-imas 16520  df-qus 16521  df-mre 16598  df-mrc 16599  df-acs 16601  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-mhm 17687  df-submnd 17688  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-sbg 17780  df-mulg 17894  df-subg 17941  df-nsg 17942  df-eqg 17943  df-ghm 18008  df-cntz 18099  df-cmn 18547  df-abl 18548  df-mgp 18843  df-ur 18855  df-srg 18859  df-ring 18902  df-cring 18903  df-oppr 18976  df-dvdsr 18994  df-unit 18995  df-invr 19025  df-dvr 19036  df-rnghom 19070  df-drng 19104  df-field 19105  df-subrg 19133  df-lmod 19220  df-lss 19288  df-lsp 19330  df-sra 19532  df-rgmod 19533  df-lidl 19534  df-rsp 19535  df-2idl 19592  df-nzr 19618  df-rlreg 19643  df-domn 19644  df-idom 19645  df-assa 19672  df-asp 19673  df-ascl 19674  df-psr 19716  df-mvr 19717  df-mpl 19718  df-opsr 19720  df-evls 19865  df-evl 19866  df-psr1 19909  df-vr1 19910  df-ply1 19911  df-evl1 20040  df-cnfld 20106  df-zring 20178  df-zrh 20211  df-zn 20214

This theorem is referenced by:  lgsqrlem4  25486