Theorem lgsqrlem2 25931

Description: Lemma for lgsqr 25935. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsqr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
lgsqr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑌)
lgsqr.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
lgsqr.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
lgsqr.m	⊢ − = (-g‘𝑆)
lgsqr.u	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
lgsqr.t	⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
lgsqr.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqr.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))

Assertion

Ref	Expression
lgsqrlem2	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑂   𝑦,𝑃   𝜑,𝑦   𝑦,𝑇   𝑦,𝐿   𝑦,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦)   𝑆(𝑦)   1 (𝑦)   ↑ (𝑦)   𝐺(𝑦)   − (𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem lgsqrlem2

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsqr.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2	1	eldifad 3893	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
3		lgsqr.y	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
4	3	znfld 20252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Field)
6		fldidom 20071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ IDomn)
8		isidom 20070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
9	8	simplbi 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
11		crngring 19302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
13		lgsqr.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
14	13	zrhrhm 20205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
15	12, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
16		zringbas 20169	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
17		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
18	16, 17	rhmf 19474	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
19	15, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
20	19	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
21		elfzelz 12902	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑦 ∈ ℤ)
22	21	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ∈ ℤ)
23		zsqcl 13490	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦↑2) ∈ ℤ)
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦↑2) ∈ ℤ)
25	20, 24	ffvelrnd 6829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ (Base‘𝑌))
26		lgsqr.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
27		lgsqr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
28		lgsqr.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑌)
29		lgsqr.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
30		lgsqr.e	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
31		lgsqr.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
32		lgsqr.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑆)
33		lgsqr.u	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
34		lgsqr.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
35	1	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
36		elfznn 12931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑦 ∈ ℕ)
37	36	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ∈ ℕ)
38	37	nncnd 11641	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ∈ ℂ)
39		oddprm 16137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
40	1, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
41	40	nnnn0d 11943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
42	41	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
43		2nn0 11902	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
44	43	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈ ℕ0)
45	38, 42, 44	expmuld 13509	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦↑(2 · ((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑦↑2)↑((𝑃 − 1) / 2)))
46		prmnn 16008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
47	2, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
48	47	nnred 11640	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
49		peano2rem 10942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
51	50	recnd 10658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
52		2cnd 11703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
53		2ne0 11729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
55	51, 52, 54	divcan2d 11407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − 1))
56		phiprm 16104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
57	2, 56	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
58	55, 57	eqtr4d 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑃 − 1) / 2)) = (ϕ‘𝑃))
59	58	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · ((𝑃 − 1) / 2)) = (ϕ‘𝑃))
60	59	oveq2d 7151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦↑(2 · ((𝑃 − 1) / 2))) = (𝑦↑(ϕ‘𝑃)))
61	45, 60	eqtr3d 2835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑦↑2)↑((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑦↑(ϕ‘𝑃)))
62	61	oveq1d 7150	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((𝑦↑2)↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((𝑦↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃))
63	2	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℙ)
64	63, 46	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℕ)
65	47	nnzd 12074	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
66	65	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℤ)
67		gcdcom 15852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑦 gcd 𝑃) = (𝑃 gcd 𝑦))
68	22, 66, 67	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦 gcd 𝑃) = (𝑃 gcd 𝑦))
69	37	nnred 11640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ∈ ℝ)
70	50	rehalfcld 11872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
71	70	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
72	48	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℝ)
73		elfzle2 12906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
74	73	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
75		prmuz2 16030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
76	2, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
77		uz2m1nn 12311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
79	78	nnrpd 12417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ+)
80		rphalflt 12406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 − 1) ∈ ℝ+ → ((𝑃 − 1) / 2) < (𝑃 − 1))
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) < (𝑃 − 1))
82	48	ltm1d 11561	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) < 𝑃)
83	70, 50, 48, 81, 82	lttrd 10790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
84	83	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
85	69, 71, 72, 74, 84	lelttrd 10787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 < 𝑃)
86	69, 72	ltnled 10776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦 < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ 𝑦))
87	85, 86	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑦)
88		dvdsle 15652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ 𝑦 → 𝑃 ≤ 𝑦))
89	66, 37, 88	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ 𝑦 → 𝑃 ≤ 𝑦))
90	87, 89	mtod 201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑦)
91		coprm 16045	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑦 ↔ (𝑃 gcd 𝑦) = 1))
92	63, 22, 91	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑦 ↔ (𝑃 gcd 𝑦) = 1))
93	90, 92	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 gcd 𝑦) = 1)
94	68, 93	eqtrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦 gcd 𝑃) = 1)
95		eulerth 16110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦 gcd 𝑃) = 1) → ((𝑦↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
96	64, 22, 94, 95	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑦↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
97	62, 96	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((𝑦↑2)↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
98	3, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 13, 35, 24, 97	lgsqrlem1 25930	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘(𝑦↑2))) = (0g‘𝑌))
99		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ↑s (Base‘𝑌)) = (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))
100		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))) = (Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌)))
101		fvexd 6660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) ∈ V)
102	29, 26, 99, 17	evl1rhm 20956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
103	10, 102	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
104	27, 100	rhmf 19474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
105	103, 104	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
106	26	ply1ring 20877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Ring)
107	12, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
108		ringgrp 19295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
109	107, 108	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
110		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
111	110	ringmgp 19296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
112	107, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
113	31, 26, 27	vr1cl 20846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
114	12, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
115	110, 27	mgpbas 19238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
116	115, 30	mulgnn0cl 18236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
117	112, 41, 114, 116	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
118	27, 33	ringidcl 19314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
119	107, 118	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
120	27, 32	grpsubcl 18171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵)
121	109, 117, 119, 120	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵)
122	34, 121	eqeltrid 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
123	105, 122	ffvelrnd 6829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑇) ∈ (Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
124	99, 17, 100, 5, 101, 123	pwselbas 16754	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑇):(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌))
125	124	ffnd 6488	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑇) Fn (Base‘𝑌))
126	125	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑂‘𝑇) Fn (Base‘𝑌))
127		fniniseg 6807	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘𝑇) Fn (Base‘𝑌) → ((𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ↔ ((𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘(𝑦↑2))) = (0g‘𝑌))))
128	126, 127	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ↔ ((𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘(𝑦↑2))) = (0g‘𝑌))))
129	25, 98, 128	mpbir2and 712	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
130		lgsqr.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
131	129, 130	fmptd 6855	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
132		fvoveq1 7158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐿‘(𝑦↑2)) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
133		fvex 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿‘(𝑥↑2)) ∈ V
134	132, 130, 133	fvmpt 6745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝐺‘𝑥) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
135	134	ad2antrl 727	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝐺‘𝑥) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
136		fvoveq1 7158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐿‘(𝑦↑2)) = (𝐿‘(𝑧↑2)))
137		fvex 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿‘(𝑧↑2)) ∈ V
138	136, 130, 137	fvmpt 6745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝐺‘𝑧) = (𝐿‘(𝑧↑2)))
139	138	ad2antll 728	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝐺‘𝑧) = (𝐿‘(𝑧↑2)))
140	135, 139	eqeq12d 2814	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑧) ↔ (𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘(𝑧↑2))))
141	47	nnnn0d 11943	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
142	141	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
143		elfzelz 12902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℤ)
144	143	ad2antrl 727	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
145		zsqcl 13490	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
146	144, 145	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
147		elfzelz 12902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑧 ∈ ℤ)
148	147	ad2antll 728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℤ)
149		zsqcl 13490	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧↑2) ∈ ℤ)
150	148, 149	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑧↑2) ∈ ℤ)
151	3, 13	zndvds 20241	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑧↑2) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘(𝑧↑2)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − (𝑧↑2))))
152	142, 146, 150, 151	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘(𝑧↑2)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − (𝑧↑2))))
153		elfznn 12931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℕ)
154	153	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℕ)
155	154	nncnd 11641	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
156		elfznn 12931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑧 ∈ ℕ)
157	156	ad2antll 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℕ)
158	157	nncnd 11641	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
159		subsq 13568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) − (𝑧↑2)) = ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥 − 𝑧)))
160	155, 158, 159	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑥↑2) − (𝑧↑2)) = ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥 − 𝑧)))
161	160	breq2d 5042	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − (𝑧↑2)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥 − 𝑧))))
162	140, 152, 161	3bitrd 308	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑧) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥 − 𝑧))))
163	2	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℙ)
164	144, 148	zaddcld 12079	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℤ)
165	144, 148	zsubcld 12080	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℤ)
166		euclemma 16047	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 + 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 𝑧) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥 − 𝑧)) ↔ (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 𝑧))))
167	163, 164, 165, 166	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥 − 𝑧)) ↔ (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 𝑧))))
168	163, 46	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℕ)
169	168	nnzd 12074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℤ)
170	154, 157	nnaddcld 11677	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ)
171		dvdsle 15652	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧)))
172	169, 170, 171	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧)))
173	170	nnred 11640	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℝ)
174	168	nnred 11640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℝ)
175	174, 49	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
176	154	nnred 11640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
177	157	nnred 11640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
178	70	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
179		elfzle2 12906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
180	179	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
181		elfzle2 12906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑧 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
182	181	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
183	176, 177, 178, 178, 180, 182	le2addd 11248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) + ((𝑃 − 1) / 2)))
184	51	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
185	184	2halvesd 11871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((𝑃 − 1) / 2) + ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − 1))
186	183, 185	breqtrd 5056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ≤ (𝑃 − 1))
187	174	ltm1d 11561	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 − 1) < 𝑃)
188	173, 175, 174, 186, 187	lelttrd 10787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) < 𝑃)
189	173, 174	ltnled 10776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑥 + 𝑧) < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧)))
190	188, 189	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧))
191	190	pm2.21d 121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
192	172, 191	syld 47	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
193		moddvds 15610	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑥 mod 𝑃) = (𝑧 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝑥 − 𝑧)))
194	168, 144, 148, 193	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑥 mod 𝑃) = (𝑧 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝑥 − 𝑧)))
195	168	nnrpd 12417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
196	154	nnnn0d 11943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
197	196	nn0ge0d 11946	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 0 ≤ 𝑥)
198	83	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
199	176, 178, 174, 180, 198	lelttrd 10787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 < 𝑃)
200		modid 13259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑃)) → (𝑥 mod 𝑃) = 𝑥)
201	176, 195, 197, 199, 200	syl22anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 mod 𝑃) = 𝑥)
202	157	nnnn0d 11943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℕ0)
203	202	nn0ge0d 11946	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 0 ≤ 𝑧)
204	177, 178, 174, 182, 198	lelttrd 10787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 < 𝑃)
205		modid 13259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃)) → (𝑧 mod 𝑃) = 𝑧)
206	177, 195, 203, 204, 205	syl22anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑧 mod 𝑃) = 𝑧)
207	201, 206	eqeq12d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑥 mod 𝑃) = (𝑧 mod 𝑃) ↔ 𝑥 = 𝑧))
208	194, 207	bitr3d 284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑥 − 𝑧) ↔ 𝑥 = 𝑧))
209	208	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑥 − 𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
210	192, 209	jaod 856	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 𝑧)) → 𝑥 = 𝑧))
211	167, 210	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥 − 𝑧)) → 𝑥 = 𝑧))
212	162, 211	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
213	212	ralrimivva 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))∀𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
214		dff13 6991	. 2 ⊢ (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ↔ (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))∀𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑧) → 𝑥 = 𝑧)))
215	131, 213, 214	sylanbrc 586	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878  {csn 4525   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ^◡ccnv 5518   “ cima 5522   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  –1-1→wf1 6321  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859   / cdiv 11286  ℕcn 11625  2c2 11680  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ℝ⁺crp 12377  ...cfz 12885   mod cmo 13232  ↑cexp 13425   ∥ cdvds 15599   gcd cgcd 15833  ℙcprime 16005  ϕcphi 16091  Basecbs 16475  0_gc0g 16705   ↑_s cpws 16712  Mndcmnd 17903  Grpcgrp 18095  -_gcsg 18097  ._gcmg 18216  mulGrpcmgp 19232  1_rcur 19244  Ringcrg 19290  CRingccrg 19291   RingHom crh 19460  Fieldcfield 19496  Domncdomn 20046  IDomncidom 20047  ℤ_ringzring 20163  ℤRHomczrh 20193  ℤ/nℤczn 20196  var₁cv1 20805  Poly₁cpl1 20806  eval₁ce1 20938   deg₁ cdg1 24655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-ofr 7390  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-ec 8274  df-qs 8278  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-gcd 15834  df-prm 16006  df-phi 16093  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-imas 16773  df-qus 16774  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-nsg 18269  df-eqg 18270  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-srg 19249  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-rnghom 19463  df-drng 19497  df-field 19498  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-lidl 19939  df-rsp 19940  df-2idl 19998  df-nzr 20024  df-rlreg 20049  df-domn 20050  df-idom 20051  df-cnfld 20092  df-zring 20164  df-zrh 20197  df-zn 20200  df-assa 20542  df-asp 20543  df-ascl 20544  df-psr 20594  df-mvr 20595  df-mpl 20596  df-opsr 20598  df-evls 20745  df-evl 20746  df-psr1 20809  df-vr1 20810  df-ply1 20811  df-evl1 20940

This theorem is referenced by:  lgsqrlem4  25933