MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsqrlem2 25363
Description: Lemma for lgsqr 25367. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s 𝑆 = (Poly1𝑌)
lgsqr.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d 𝐷 = ( deg1𝑌)
lgsqr.o 𝑂 = (eval1𝑌)
lgsqr.e = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x 𝑋 = (var1𝑌)
lgsqr.m = (-g𝑆)
lgsqr.u 1 = (1r𝑆)
lgsqr.t 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
lgsqr.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqr.g 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem2 (𝜑𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑂   𝑦,𝑃   𝜑,𝑦   𝑦,𝑇   𝑦,𝐿   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦)   𝑆(𝑦)   1 (𝑦)   (𝑦)   𝐺(𝑦)   (𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem lgsqrlem2
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgsqr.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
21eldifad 3744 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
3 lgsqr.y . . . . . . . . . . . . 13 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
43znfld 20181 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ Field)
6 fldidom 19579 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ IDomn)
8 isidom 19578 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
98simplbi 491 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
11 crngring 18825 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
13 lgsqr.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
1413zrhrhm 20133 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
1512, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
16 zringbas 20097 . . . . . . . 8 ℤ = (Base‘ℤring)
17 eqid 2765 . . . . . . . 8 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
1816, 17rhmf 18995 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
1915, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
2019adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
21 elfzelz 12549 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑦 ∈ ℤ)
2221adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ∈ ℤ)
23 zsqcl 13141 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦↑2) ∈ ℤ)
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦↑2) ∈ ℤ)
2520, 24ffvelrnd 6550 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ (Base‘𝑌))
26 lgsqr.s . . . . 5 𝑆 = (Poly1𝑌)
27 lgsqr.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
28 lgsqr.d . . . . 5 𝐷 = ( deg1𝑌)
29 lgsqr.o . . . . 5 𝑂 = (eval1𝑌)
30 lgsqr.e . . . . 5 = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
31 lgsqr.x . . . . 5 𝑋 = (var1𝑌)
32 lgsqr.m . . . . 5 = (-g𝑆)
33 lgsqr.u . . . . 5 1 = (1r𝑆)
34 lgsqr.t . . . . 5 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
351adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
36 elfznn 12577 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑦 ∈ ℕ)
3736adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ∈ ℕ)
3837nncnd 11292 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ∈ ℂ)
39 oddprm 15796 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
401, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
4140nnnn0d 11598 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
4241adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
43 2nn0 11557 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
4443a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈ ℕ0)
4538, 42, 44expmuld 13218 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦↑(2 · ((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑦↑2)↑((𝑃 − 1) / 2)))
46 prmnn 15670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
472, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
4847nnred 11291 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
49 peano2rem 10602 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
5150recnd 10322 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
52 2cnd 11350 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
53 2ne0 11383 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≠ 0)
5551, 52, 54divcan2d 11057 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − 1))
56 phiprm 15763 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
572, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
5855, 57eqtr4d 2802 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · ((𝑃 − 1) / 2)) = (ϕ‘𝑃))
5958adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · ((𝑃 − 1) / 2)) = (ϕ‘𝑃))
6059oveq2d 6858 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦↑(2 · ((𝑃 − 1) / 2))) = (𝑦↑(ϕ‘𝑃)))
6145, 60eqtr3d 2801 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑦↑2)↑((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑦↑(ϕ‘𝑃)))
6261oveq1d 6857 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((𝑦↑2)↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((𝑦↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃))
632adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℙ)
6463, 46syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℕ)
6547nnzd 11728 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
6665adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℤ)
67 gcdcom 15518 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑦 gcd 𝑃) = (𝑃 gcd 𝑦))
6822, 66, 67syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦 gcd 𝑃) = (𝑃 gcd 𝑦))
6937nnred 11291 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ∈ ℝ)
7050rehalfcld 11525 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
7170adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
7248adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℝ)
73 elfzle2 12552 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
7473adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
75 prmuz2 15690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
762, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘2))
77 uz2m1nn 11964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
7978nnrpd 12068 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ+)
80 rphalflt 12058 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 − 1) ∈ ℝ+ → ((𝑃 − 1) / 2) < (𝑃 − 1))
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) < (𝑃 − 1))
8248ltm1d 11210 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 − 1) < 𝑃)
8370, 50, 48, 81, 82lttrd 10452 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
8483adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
8569, 71, 72, 74, 84lelttrd 10449 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 < 𝑃)
8669, 72ltnled 10438 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦 < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃𝑦))
8785, 86mpbid 223 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃𝑦)
88 dvdsle 15319 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃𝑦𝑃𝑦))
8966, 37, 88syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃𝑦𝑃𝑦))
9087, 89mtod 189 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃𝑦)
91 coprm 15704 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑦 ↔ (𝑃 gcd 𝑦) = 1))
9263, 22, 91syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (¬ 𝑃𝑦 ↔ (𝑃 gcd 𝑦) = 1))
9390, 92mpbid 223 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 gcd 𝑦) = 1)
9468, 93eqtrd 2799 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦 gcd 𝑃) = 1)
95 eulerth 15769 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦 gcd 𝑃) = 1) → ((𝑦↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
9664, 22, 94, 95syl3anc 1490 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑦↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
9762, 96eqtrd 2799 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((𝑦↑2)↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
983, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 13, 35, 24, 97lgsqrlem1 25362 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑂𝑇)‘(𝐿‘(𝑦↑2))) = (0g𝑌))
99 eqid 2765 . . . . . . . 8 (𝑌s (Base‘𝑌)) = (𝑌s (Base‘𝑌))
100 eqid 2765 . . . . . . . 8 (Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))) = (Base‘(𝑌s (Base‘𝑌)))
101 fvexd 6390 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝑌) ∈ V)
10229, 26, 99, 17evl1rhm 19969 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌s (Base‘𝑌))))
10310, 102syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌s (Base‘𝑌))))
10427, 100rhmf 18995 . . . . . . . . . 10 (𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌s (Base‘𝑌))) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))))
10626ply1ring 19891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Ring)
10712, 106syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
108 ringgrp 18819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
110 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
111110ringmgp 18820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
112107, 111syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
11331, 26, 27vr1cl 19860 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
11412, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝐵)
115110, 27mgpbas 18762 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
116115, 30mulgnn0cl 17826 . . . . . . . . . . . 12 (((mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵)
117112, 41, 114, 116syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵)
11827, 33ringidcl 18835 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Ring → 1𝐵)
119107, 118syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑1𝐵)
12027, 32grpsubcl 17764 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵1𝐵) → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵)
121109, 117, 119, 120syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵)
12234, 121syl5eqel 2848 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇𝐵)
123105, 122ffvelrnd 6550 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂𝑇) ∈ (Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))))
12499, 17, 100, 5, 101, 123pwselbas 16417 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂𝑇):(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌))
125124ffnd 6224 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑇) Fn (Base‘𝑌))
126125adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑂𝑇) Fn (Base‘𝑌))
127 fniniseg 6528 . . . . 5 ((𝑂𝑇) Fn (Base‘𝑌) → ((𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ ((𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂𝑇)‘(𝐿‘(𝑦↑2))) = (0g𝑌))))
128126, 127syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ ((𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂𝑇)‘(𝐿‘(𝑦↑2))) = (0g𝑌))))
12925, 98, 128mpbir2and 704 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
130 lgsqr.g . . 3 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
131129, 130fmptd 6574 . 2 (𝜑𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
132 fvoveq1 6865 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝐿‘(𝑦↑2)) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
133 fvex 6388 . . . . . . . 8 (𝐿‘(𝑥↑2)) ∈ V
134132, 130, 133fvmpt 6471 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝐺𝑥) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
135134ad2antrl 719 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝐺𝑥) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
136 fvoveq1 6865 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝐿‘(𝑦↑2)) = (𝐿‘(𝑧↑2)))
137 fvex 6388 . . . . . . . 8 (𝐿‘(𝑧↑2)) ∈ V
138136, 130, 137fvmpt 6471 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝐺𝑧) = (𝐿‘(𝑧↑2)))
139138ad2antll 720 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝐺𝑧) = (𝐿‘(𝑧↑2)))
140135, 139eqeq12d 2780 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝐺𝑥) = (𝐺𝑧) ↔ (𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘(𝑧↑2))))
14147nnnn0d 11598 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
142141adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
143 elfzelz 12549 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℤ)
144143ad2antrl 719 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
145 zsqcl 13141 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
146144, 145syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
147 elfzelz 12549 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑧 ∈ ℤ)
148147ad2antll 720 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℤ)
149 zsqcl 13141 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧↑2) ∈ ℤ)
150148, 149syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑧↑2) ∈ ℤ)
1513, 13zndvds 20170 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑧↑2) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘(𝑧↑2)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − (𝑧↑2))))
152142, 146, 150, 151syl3anc 1490 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘(𝑧↑2)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − (𝑧↑2))))
153 elfznn 12577 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℕ)
154153ad2antrl 719 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℕ)
155154nncnd 11292 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
156 elfznn 12577 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑧 ∈ ℕ)
157156ad2antll 720 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℕ)
158157nncnd 11292 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
159 subsq 13179 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) − (𝑧↑2)) = ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧)))
160155, 158, 159syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑥↑2) − (𝑧↑2)) = ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧)))
161160breq2d 4821 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − (𝑧↑2)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧))))
162140, 152, 1613bitrd 296 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝐺𝑥) = (𝐺𝑧) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧))))
1632adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℙ)
164144, 148zaddcld 11733 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℤ)
165144, 148zsubcld 11734 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥𝑧) ∈ ℤ)
166 euclemma 15706 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 + 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑥𝑧) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧)) ↔ (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ (𝑥𝑧))))
167163, 164, 165, 166syl3anc 1490 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧)) ↔ (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ (𝑥𝑧))))
168163, 46syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℕ)
169168nnzd 11728 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℤ)
170154, 157nnaddcld 11324 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ)
171 dvdsle 15319 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧)))
172169, 170, 171syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧)))
173170nnred 11291 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℝ)
174168nnred 11291 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℝ)
175174, 49syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
176154nnred 11291 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
177157nnred 11291 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
17870adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
179 elfzle2 12552 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
180179ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
181 elfzle2 12552 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑧 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
182181ad2antll 720 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
183176, 177, 178, 178, 180, 182le2addd 10900 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) + ((𝑃 − 1) / 2)))
18451adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
1851842halvesd 11524 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((𝑃 − 1) / 2) + ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − 1))
186183, 185breqtrd 4835 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ≤ (𝑃 − 1))
187174ltm1d 11210 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 − 1) < 𝑃)
188173, 175, 174, 186, 187lelttrd 10449 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) < 𝑃)
189173, 174ltnled 10438 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑥 + 𝑧) < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧)))
190188, 189mpbid 223 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧))
191190pm2.21d 119 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
192172, 191syld 47 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
193 moddvds 15278 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑥 mod 𝑃) = (𝑧 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝑥𝑧)))
194168, 144, 148, 193syl3anc 1490 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑥 mod 𝑃) = (𝑧 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝑥𝑧)))
195168nnrpd 12068 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
196154nnnn0d 11598 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
197196nn0ge0d 11601 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 0 ≤ 𝑥)
19883adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
199176, 178, 174, 180, 198lelttrd 10449 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 < 𝑃)
200 modid 12903 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑃)) → (𝑥 mod 𝑃) = 𝑥)
201176, 195, 197, 199, 200syl22anc 867 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 mod 𝑃) = 𝑥)
202157nnnn0d 11598 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℕ0)
203202nn0ge0d 11601 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 0 ≤ 𝑧)
204177, 178, 174, 182, 198lelttrd 10449 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 < 𝑃)
205 modid 12903 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑧𝑧 < 𝑃)) → (𝑧 mod 𝑃) = 𝑧)
206177, 195, 203, 204, 205syl22anc 867 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑧 mod 𝑃) = 𝑧)
207201, 206eqeq12d 2780 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑥 mod 𝑃) = (𝑧 mod 𝑃) ↔ 𝑥 = 𝑧))
208194, 207bitr3d 272 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑥𝑧) ↔ 𝑥 = 𝑧))
209208biimpd 220 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑥𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
210192, 209jaod 885 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ (𝑥𝑧)) → 𝑥 = 𝑧))
211167, 210sylbid 231 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧)) → 𝑥 = 𝑧))
212162, 211sylbid 231 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝐺𝑥) = (𝐺𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
213212ralrimivva 3118 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))∀𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((𝐺𝑥) = (𝐺𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
214 dff13 6704 . 2 (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))∀𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((𝐺𝑥) = (𝐺𝑧) → 𝑥 = 𝑧)))
215131, 213, 214sylanbrc 578 1 (𝜑𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  Vcvv 3350  cdif 3729  {csn 4334   class class class wbr 4809  cmpt 4888  ccnv 5276  cima 5280   Fn wfn 6063  wf 6064  1-1wf1 6065  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  0cn0 11538  cz 11624  cuz 11886  +crp 12028  ...cfz 12533   mod cmo 12876  cexp 13067  cdvds 15267   gcd cgcd 15499  cprime 15667  ϕcphi 15750  Basecbs 16132  0gc0g 16368  s cpws 16375  Mndcmnd 17562  Grpcgrp 17691  -gcsg 17693  .gcmg 17809  mulGrpcmgp 18756  1rcur 18768  Ringcrg 18814  CRingccrg 18815   RingHom crh 18981  Fieldcfield 19017  Domncdomn 19554  IDomncidom 19555  var1cv1 19819  Poly1cpl1 19820  eval1ce1 19952  ringzring 20091  ℤRHomczrh 20121  ℤ/nczn 20124   deg1 cdg1 24105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-ec 7949  df-qs 7953  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-dvds 15268  df-gcd 15500  df-prm 15668  df-phi 15752  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-prds 16376  df-pws 16378  df-imas 16436  df-qus 16437  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-mhm 17603  df-submnd 17604  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-sbg 17696  df-mulg 17810  df-subg 17857  df-nsg 17858  df-eqg 17859  df-ghm 17924  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-srg 18773  df-ring 18816  df-cring 18817  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-dvr 18950  df-rnghom 18984  df-drng 19018  df-field 19019  df-subrg 19047  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-lsp 19244  df-sra 19446  df-rgmod 19447  df-lidl 19448  df-rsp 19449  df-2idl 19506  df-nzr 19532  df-rlreg 19557  df-domn 19558  df-idom 19559  df-assa 19586  df-asp 19587  df-ascl 19588  df-psr 19630  df-mvr 19631  df-mpl 19632  df-opsr 19634  df-evls 19779  df-evl 19780  df-psr1 19823  df-vr1 19824  df-ply1 19825  df-evl1 19954  df-cnfld 20020  df-zring 20092  df-zrh 20125  df-zn 20128
This theorem is referenced by:  lgsqrlem4  25365
  Copyright terms: Public domain W3C validator