MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsqrlem2 26695
Description: Lemma for lgsqr 26699. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s 𝑆 = (Poly1𝑌)
lgsqr.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d 𝐷 = ( deg1𝑌)
lgsqr.o 𝑂 = (eval1𝑌)
lgsqr.e = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x 𝑋 = (var1𝑌)
lgsqr.m = (-g𝑆)
lgsqr.u 1 = (1r𝑆)
lgsqr.t 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
lgsqr.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqr.g 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem2 (𝜑𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑂   𝑦,𝑃   𝜑,𝑦   𝑦,𝑇   𝑦,𝐿   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦)   𝑆(𝑦)   1 (𝑦)   (𝑦)   𝐺(𝑦)   (𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem lgsqrlem2
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgsqr.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
21eldifad 3922 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
3 lgsqr.y . . . . . . . . . . . . 13 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
43znfld 20967 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ Field)
6 fldidom 20775 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ IDomn)
8 isidom 20774 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
98simplbi 498 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
11 crngring 19976 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
13 lgsqr.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
1413zrhrhm 20912 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
1512, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
16 zringbas 20875 . . . . . . . 8 ℤ = (Base‘ℤring)
17 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
1816, 17rhmf 20158 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
1915, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
2019adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
21 elfzelz 13441 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑦 ∈ ℤ)
2221adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ∈ ℤ)
23 zsqcl 14034 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦↑2) ∈ ℤ)
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦↑2) ∈ ℤ)
2520, 24ffvelcdmd 7036 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ (Base‘𝑌))
26 lgsqr.s . . . . 5 𝑆 = (Poly1𝑌)
27 lgsqr.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
28 lgsqr.d . . . . 5 𝐷 = ( deg1𝑌)
29 lgsqr.o . . . . 5 𝑂 = (eval1𝑌)
30 lgsqr.e . . . . 5 = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
31 lgsqr.x . . . . 5 𝑋 = (var1𝑌)
32 lgsqr.m . . . . 5 = (-g𝑆)
33 lgsqr.u . . . . 5 1 = (1r𝑆)
34 lgsqr.t . . . . 5 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
351adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
36 elfznn 13470 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑦 ∈ ℕ)
3736adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ∈ ℕ)
3837nncnd 12169 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ∈ ℂ)
39 oddprm 16682 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
401, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
4140nnnn0d 12473 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
4241adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
43 2nn0 12430 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
4443a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈ ℕ0)
4538, 42, 44expmuld 14054 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦↑(2 · ((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑦↑2)↑((𝑃 − 1) / 2)))
46 prmnn 16550 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
472, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
4847nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
49 peano2rem 11468 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
5150recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
52 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
53 2ne0 12257 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≠ 0)
5551, 52, 54divcan2d 11933 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − 1))
56 phiprm 16649 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
572, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
5855, 57eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · ((𝑃 − 1) / 2)) = (ϕ‘𝑃))
5958adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · ((𝑃 − 1) / 2)) = (ϕ‘𝑃))
6059oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦↑(2 · ((𝑃 − 1) / 2))) = (𝑦↑(ϕ‘𝑃)))
6145, 60eqtr3d 2778 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑦↑2)↑((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑦↑(ϕ‘𝑃)))
6261oveq1d 7372 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((𝑦↑2)↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((𝑦↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃))
632adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℙ)
6463, 46syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℕ)
6547nnzd 12526 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
6665adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℤ)
6722, 66gcdcomd 16394 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦 gcd 𝑃) = (𝑃 gcd 𝑦))
6837nnred 12168 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ∈ ℝ)
6950rehalfcld 12400 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
7069adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
7148adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℝ)
72 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
7372adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
74 prmuz2 16572 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
752, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘2))
76 uz2m1nn 12848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
7877nnrpd 12955 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ+)
79 rphalflt 12944 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 − 1) ∈ ℝ+ → ((𝑃 − 1) / 2) < (𝑃 − 1))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) < (𝑃 − 1))
8148ltm1d 12087 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 − 1) < 𝑃)
8269, 50, 48, 80, 81lttrd 11316 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
8382adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
8468, 70, 71, 73, 83lelttrd 11313 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 < 𝑃)
8568, 71ltnled 11302 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦 < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃𝑦))
8684, 85mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃𝑦)
87 dvdsle 16192 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃𝑦𝑃𝑦))
8866, 37, 87syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃𝑦𝑃𝑦))
8986, 88mtod 197 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃𝑦)
90 coprm 16587 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑦 ↔ (𝑃 gcd 𝑦) = 1))
9163, 22, 90syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (¬ 𝑃𝑦 ↔ (𝑃 gcd 𝑦) = 1))
9289, 91mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 gcd 𝑦) = 1)
9367, 92eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦 gcd 𝑃) = 1)
94 eulerth 16655 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦 gcd 𝑃) = 1) → ((𝑦↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
9564, 22, 93, 94syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑦↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
9662, 95eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((𝑦↑2)↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
973, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 13, 35, 24, 96lgsqrlem1 26694 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑂𝑇)‘(𝐿‘(𝑦↑2))) = (0g𝑌))
98 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑌s (Base‘𝑌)) = (𝑌s (Base‘𝑌))
99 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))) = (Base‘(𝑌s (Base‘𝑌)))
100 fvexd 6857 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝑌) ∈ V)
10129, 26, 98, 17evl1rhm 21698 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌s (Base‘𝑌))))
10210, 101syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌s (Base‘𝑌))))
10327, 99rhmf 20158 . . . . . . . . . 10 (𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌s (Base‘𝑌))) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))))
104102, 103syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))))
10526ply1ring 21619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Ring)
10612, 105syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
107 ringgrp 19969 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
109 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
110109, 27mgpbas 19902 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
111109ringmgp 19970 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
112106, 111syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
11331, 26, 27vr1cl 21588 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
11412, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝐵)
115110, 30, 112, 41, 114mulgnn0cld 18897 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵)
11627, 33ringidcl 19989 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Ring → 1𝐵)
117106, 116syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑1𝐵)
11827, 32grpsubcl 18827 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵1𝐵) → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵)
119108, 115, 117, 118syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵)
12034, 119eqeltrid 2842 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇𝐵)
121104, 120ffvelcdmd 7036 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂𝑇) ∈ (Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))))
12298, 17, 99, 5, 100, 121pwselbas 17371 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂𝑇):(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌))
123122ffnd 6669 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑇) Fn (Base‘𝑌))
124123adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑂𝑇) Fn (Base‘𝑌))
125 fniniseg 7010 . . . . 5 ((𝑂𝑇) Fn (Base‘𝑌) → ((𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ ((𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂𝑇)‘(𝐿‘(𝑦↑2))) = (0g𝑌))))
126124, 125syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ ((𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂𝑇)‘(𝐿‘(𝑦↑2))) = (0g𝑌))))
12725, 97, 126mpbir2and 711 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
128 lgsqr.g . . 3 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
129127, 128fmptd 7062 . 2 (𝜑𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
130 fvoveq1 7380 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝐿‘(𝑦↑2)) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
131 fvex 6855 . . . . . . . 8 (𝐿‘(𝑥↑2)) ∈ V
132130, 128, 131fvmpt 6948 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝐺𝑥) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
133132ad2antrl 726 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝐺𝑥) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
134 fvoveq1 7380 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝐿‘(𝑦↑2)) = (𝐿‘(𝑧↑2)))
135 fvex 6855 . . . . . . . 8 (𝐿‘(𝑧↑2)) ∈ V
136134, 128, 135fvmpt 6948 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝐺𝑧) = (𝐿‘(𝑧↑2)))
137136ad2antll 727 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝐺𝑧) = (𝐿‘(𝑧↑2)))
138133, 137eqeq12d 2752 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝐺𝑥) = (𝐺𝑧) ↔ (𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘(𝑧↑2))))
13947nnnn0d 12473 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
140139adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
141 elfzelz 13441 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℤ)
142141ad2antrl 726 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
143 zsqcl 14034 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
144142, 143syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
145 elfzelz 13441 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑧 ∈ ℤ)
146145ad2antll 727 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℤ)
147 zsqcl 14034 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧↑2) ∈ ℤ)
148146, 147syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑧↑2) ∈ ℤ)
1493, 13zndvds 20956 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑧↑2) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘(𝑧↑2)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − (𝑧↑2))))
150140, 144, 148, 149syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘(𝑧↑2)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − (𝑧↑2))))
151 elfznn 13470 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℕ)
152151ad2antrl 726 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℕ)
153152nncnd 12169 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
154 elfznn 13470 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑧 ∈ ℕ)
155154ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℕ)
156155nncnd 12169 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
157 subsq 14114 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) − (𝑧↑2)) = ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧)))
158153, 156, 157syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑥↑2) − (𝑧↑2)) = ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧)))
159158breq2d 5117 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − (𝑧↑2)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧))))
160138, 150, 1593bitrd 304 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝐺𝑥) = (𝐺𝑧) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧))))
1612adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℙ)
162142, 146zaddcld 12611 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℤ)
163142, 146zsubcld 12612 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥𝑧) ∈ ℤ)
164 euclemma 16589 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 + 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑥𝑧) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧)) ↔ (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ (𝑥𝑧))))
165161, 162, 163, 164syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧)) ↔ (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ (𝑥𝑧))))
166161, 46syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℕ)
167166nnzd 12526 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℤ)
168152, 155nnaddcld 12205 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ)
169 dvdsle 16192 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧)))
170167, 168, 169syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧)))
171168nnred 12168 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℝ)
172166nnred 12168 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℝ)
173172, 49syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
174152nnred 12168 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
175155nnred 12168 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
17669adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
177 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
178177ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
179 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑧 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
180179ad2antll 727 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
181174, 175, 176, 176, 178, 180le2addd 11774 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) + ((𝑃 − 1) / 2)))
18251adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
1831822halvesd 12399 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((𝑃 − 1) / 2) + ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − 1))
184181, 183breqtrd 5131 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ≤ (𝑃 − 1))
185172ltm1d 12087 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 − 1) < 𝑃)
186171, 173, 172, 184, 185lelttrd 11313 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) < 𝑃)
187171, 172ltnled 11302 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑥 + 𝑧) < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧)))
188186, 187mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧))
189188pm2.21d 121 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
190170, 189syld 47 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
191 moddvds 16147 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑥 mod 𝑃) = (𝑧 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝑥𝑧)))
192166, 142, 146, 191syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑥 mod 𝑃) = (𝑧 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝑥𝑧)))
193166nnrpd 12955 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
194152nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
195194nn0ge0d 12476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 0 ≤ 𝑥)
19682adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
197174, 176, 172, 178, 196lelttrd 11313 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 < 𝑃)
198 modid 13801 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑃)) → (𝑥 mod 𝑃) = 𝑥)
199174, 193, 195, 197, 198syl22anc 837 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 mod 𝑃) = 𝑥)
200155nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℕ0)
201200nn0ge0d 12476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 0 ≤ 𝑧)
202175, 176, 172, 180, 196lelttrd 11313 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 < 𝑃)
203 modid 13801 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑧𝑧 < 𝑃)) → (𝑧 mod 𝑃) = 𝑧)
204175, 193, 201, 202, 203syl22anc 837 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑧 mod 𝑃) = 𝑧)
205199, 204eqeq12d 2752 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑥 mod 𝑃) = (𝑧 mod 𝑃) ↔ 𝑥 = 𝑧))
206192, 205bitr3d 280 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑥𝑧) ↔ 𝑥 = 𝑧))
207206biimpd 228 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑥𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
208190, 207jaod 857 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ (𝑥𝑧)) → 𝑥 = 𝑧))
209165, 208sylbid 239 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧)) → 𝑥 = 𝑧))
210160, 209sylbid 239 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝐺𝑥) = (𝐺𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
211210ralrimivva 3197 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))∀𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((𝐺𝑥) = (𝐺𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
212 dff13 7202 . 2 (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))∀𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((𝐺𝑥) = (𝐺𝑧) → 𝑥 = 𝑧)))
213129, 211, 212sylanbrc 583 1 (𝜑𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  cdif 3907  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ccnv 5632  cima 5636   Fn wfn 6491  wf 6492  1-1wf1 6493  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  ...cfz 13424   mod cmo 13774  cexp 13967  cdvds 16136   gcd cgcd 16374  cprime 16547  ϕcphi 16636  Basecbs 17083  0gc0g 17321  s cpws 17328  Mndcmnd 18556  Grpcgrp 18748  -gcsg 18750  .gcmg 18872  mulGrpcmgp 19896  1rcur 19913  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965   RingHom crh 20143  Fieldcfield 20186  Domncdomn 20750  IDomncidom 20751  ringczring 20869  ℤRHomczrh 20900  ℤ/nczn 20903  var1cv1 21547  Poly1cpl1 21548  eval1ce1 21680   deg1 cdg1 25416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-phi 16638  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-imas 17390  df-qus 17391  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-eqg 18927  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-srg 19918  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-field 20188  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-rsp 20636  df-2idl 20702  df-nzr 20728  df-rlreg 20753  df-domn 20754  df-idom 20755  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-zn 20907  df-assa 21259  df-asp 21260  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-evls 21482  df-evl 21483  df-psr1 21551  df-vr1 21552  df-ply1 21553  df-evl1 21682
This theorem is referenced by:  lgsqrlem4  26697
  Copyright terms: Public domain W3C validator