MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsqrlem2 26698
Description: Lemma for lgsqr 26702. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y ๐‘Œ = (โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘ƒ)
lgsqr.s ๐‘† = (Poly1โ€˜๐‘Œ)
lgsqr.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
lgsqr.d ๐ท = ( deg1 โ€˜๐‘Œ)
lgsqr.o ๐‘‚ = (eval1โ€˜๐‘Œ)
lgsqr.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘†))
lgsqr.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘Œ)
lgsqr.m โˆ’ = (-gโ€˜๐‘†)
lgsqr.u 1 = (1rโ€˜๐‘†)
lgsqr.t ๐‘‡ = ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†‘ ๐‘‹) โˆ’ 1 )
lgsqr.l ๐ฟ = (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)
lgsqr.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
lgsqr.g ๐บ = (๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ (๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)))
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:(1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ€“1-1โ†’(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘‡) โ€œ {(0gโ€˜๐‘Œ)}))
Distinct variable groups:   ๐‘ฆ,๐‘‚   ๐‘ฆ,๐‘ƒ   ๐œ‘,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐‘‡   ๐‘ฆ,๐ฟ   ๐‘ฆ,๐‘Œ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฆ)   ๐ท(๐‘ฆ)   ๐‘†(๐‘ฆ)   1 (๐‘ฆ)   โ†‘ (๐‘ฆ)   ๐บ(๐‘ฆ)   โˆ’ (๐‘ฆ)   ๐‘‹(๐‘ฆ)

Proof of Theorem lgsqrlem2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgsqr.1 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
21eldifad 3923 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
3 lgsqr.y . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘Œ = (โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘ƒ)
43znfld 20970 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Field)
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Field)
6 fldidom 20778 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ โˆˆ Field โ†’ ๐‘Œ โˆˆ IDomn)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ IDomn)
8 isidom 20777 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ โˆˆ IDomn โ†” (๐‘Œ โˆˆ CRing โˆง ๐‘Œ โˆˆ Domn))
98simplbi 499 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ โˆˆ IDomn โ†’ ๐‘Œ โˆˆ CRing)
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ CRing)
11 crngring 19977 . . . . . . . . 9 (๐‘Œ โˆˆ CRing โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
13 lgsqr.l . . . . . . . . 9 ๐ฟ = (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)
1413zrhrhm 20915 . . . . . . . 8 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ ๐ฟ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘Œ))
1512, 14syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘Œ))
16 zringbas 20878 . . . . . . . 8 โ„ค = (Baseโ€˜โ„คring)
17 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐‘Œ) = (Baseโ€˜๐‘Œ)
1816, 17rhmf 20159 . . . . . . 7 (๐ฟ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘Œ) โ†’ ๐ฟ:โ„คโŸถ(Baseโ€˜๐‘Œ))
1915, 18syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ:โ„คโŸถ(Baseโ€˜๐‘Œ))
2019adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐ฟ:โ„คโŸถ(Baseโ€˜๐‘Œ))
21 elfzelz 13442 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
2221adantl 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
23 zsqcl 14035 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2520, 24ffvelcdmd 7037 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
26 lgsqr.s . . . . 5 ๐‘† = (Poly1โ€˜๐‘Œ)
27 lgsqr.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
28 lgsqr.d . . . . 5 ๐ท = ( deg1 โ€˜๐‘Œ)
29 lgsqr.o . . . . 5 ๐‘‚ = (eval1โ€˜๐‘Œ)
30 lgsqr.e . . . . 5 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘†))
31 lgsqr.x . . . . 5 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘Œ)
32 lgsqr.m . . . . 5 โˆ’ = (-gโ€˜๐‘†)
33 lgsqr.u . . . . 5 1 = (1rโ€˜๐‘†)
34 lgsqr.t . . . . 5 ๐‘‡ = ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†‘ ๐‘‹) โˆ’ 1 )
351adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
36 elfznn 13471 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
3736adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
3837nncnd 12170 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
39 oddprm 16683 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
401, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
4140nnnn0d 12474 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0)
4241adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0)
43 2nn0 12431 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•0
4443a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
4538, 42, 44expmuld 14055 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ฆโ†‘(2 ยท ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) = ((๐‘ฆโ†‘2)โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
46 prmnn 16551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
472, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
4847nnred 12169 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
49 peano2rem 11469 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
5150recnd 11184 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
52 2cnd 12232 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
53 2ne0 12258 . . . . . . . . . . . . 13 2 โ‰  0
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
5551, 52, 54divcan2d 11934 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
56 phiprm 16650 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
572, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
5855, 57eqtr4d 2780 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = (ฯ•โ€˜๐‘ƒ))
5958adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (2 ยท ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = (ฯ•โ€˜๐‘ƒ))
6059oveq2d 7374 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ฆโ†‘(2 ยท ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) = (๐‘ฆโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)))
6145, 60eqtr3d 2779 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ฆโ†‘2)โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘ฆโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)))
6261oveq1d 7373 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (((๐‘ฆโ†‘2)โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ฆโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ))
632adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
6463, 46syl 17 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
6547nnzd 12527 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
6665adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
6722, 66gcdcomd 16395 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ฆ gcd ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ gcd ๐‘ฆ))
6837nnred 12169 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
6950rehalfcld 12401 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„)
7069adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„)
7148adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
72 elfzle2 13446 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ฆ โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
7372adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฆ โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
74 prmuz2 16573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
752, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
76 uz2m1nn 12849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
7877nnrpd 12956 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
79 rphalflt 12945 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) < (๐‘ƒ โˆ’ 1))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) < (๐‘ƒ โˆ’ 1))
8148ltm1d 12088 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < ๐‘ƒ)
8269, 50, 48, 80, 81lttrd 11317 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) < ๐‘ƒ)
8382adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) < ๐‘ƒ)
8468, 70, 71, 73, 83lelttrd 11314 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฆ < ๐‘ƒ)
8568, 71ltnled 11303 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ฆ < ๐‘ƒ โ†” ยฌ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฆ))
8684, 85mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฆ)
87 dvdsle 16193 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฆ))
8866, 37, 87syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฆ))
8986, 88mtod 197 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ)
90 coprm 16588 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘ฆ) = 1))
9163, 22, 90syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘ฆ) = 1))
9289, 91mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ gcd ๐‘ฆ) = 1)
9367, 92eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ฆ gcd ๐‘ƒ) = 1)
94 eulerth 16656 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐‘ฆโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ))
9564, 22, 93, 94syl3anc 1372 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ฆโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ))
9662, 95eqtrd 2777 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (((๐‘ฆโ†‘2)โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ))
973, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 13, 35, 24, 96lgsqrlem1 26697 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘‡)โ€˜(๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2))) = (0gโ€˜๐‘Œ))
98 eqid 2737 . . . . . . . 8 (๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ)) = (๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ))
99 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜(๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ))) = (Baseโ€˜(๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ)))
100 fvexd 6858 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆˆ V)
10129, 26, 98, 17evl1rhm 21701 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ โˆˆ CRing โ†’ ๐‘‚ โˆˆ (๐‘† RingHom (๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ))))
10210, 101syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‚ โˆˆ (๐‘† RingHom (๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ))))
10327, 99rhmf 20159 . . . . . . . . . 10 (๐‘‚ โˆˆ (๐‘† RingHom (๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ))) โ†’ ๐‘‚:๐ตโŸถ(Baseโ€˜(๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ))))
104102, 103syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‚:๐ตโŸถ(Baseโ€˜(๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ))))
10526ply1ring 21622 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘† โˆˆ Ring)
10612, 105syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Ring)
107 ringgrp 19970 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘† โˆˆ Ring โ†’ ๐‘† โˆˆ Grp)
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Grp)
109 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (mulGrpโ€˜๐‘†) = (mulGrpโ€˜๐‘†)
110109, 27mgpbas 19903 . . . . . . . . . . . 12 ๐ต = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘†))
111109ringmgp 19971 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘† โˆˆ Ring โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘†) โˆˆ Mnd)
112106, 111syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘†) โˆˆ Mnd)
11331, 26, 27vr1cl 21591 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
11412, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
115110, 30, 112, 41, 114mulgnn0cld 18898 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
11627, 33ringidcl 19990 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘† โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
117106, 116syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
11827, 32grpsubcl 18828 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘† โˆˆ Grp โˆง (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โ†’ ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†‘ ๐‘‹) โˆ’ 1 ) โˆˆ ๐ต)
119108, 115, 117, 118syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†‘ ๐‘‹) โˆ’ 1 ) โˆˆ ๐ต)
12034, 119eqeltrid 2842 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)
121104, 120ffvelcdmd 7037 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘‡) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ))))
12298, 17, 99, 5, 100, 121pwselbas 17372 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘‡):(Baseโ€˜๐‘Œ)โŸถ(Baseโ€˜๐‘Œ))
123122ffnd 6670 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘‡) Fn (Baseโ€˜๐‘Œ))
124123adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘‡) Fn (Baseโ€˜๐‘Œ))
125 fniniseg 7011 . . . . 5 ((๐‘‚โ€˜๐‘‡) Fn (Baseโ€˜๐‘Œ) โ†’ ((๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ (โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘‡) โ€œ {(0gโ€˜๐‘Œ)}) โ†” ((๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘‡)โ€˜(๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2))) = (0gโ€˜๐‘Œ))))
126124, 125syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ (โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘‡) โ€œ {(0gโ€˜๐‘Œ)}) โ†” ((๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘‡)โ€˜(๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2))) = (0gโ€˜๐‘Œ))))
12725, 97, 126mpbir2and 712 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ (โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘‡) โ€œ {(0gโ€˜๐‘Œ)}))
128 lgsqr.g . . 3 ๐บ = (๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ (๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)))
129127, 128fmptd 7063 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:(1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โŸถ(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘‡) โ€œ {(0gโ€˜๐‘Œ)}))
130 fvoveq1 7381 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)) = (๐ฟโ€˜(๐‘ฅโ†‘2)))
131 fvex 6856 . . . . . . . 8 (๐ฟโ€˜(๐‘ฅโ†‘2)) โˆˆ V
132130, 128, 131fvmpt 6949 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฅ) = (๐ฟโ€˜(๐‘ฅโ†‘2)))
133132ad2antrl 727 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฅ) = (๐ฟโ€˜(๐‘ฅโ†‘2)))
134 fvoveq1 7381 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ (๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)) = (๐ฟโ€˜(๐‘งโ†‘2)))
135 fvex 6856 . . . . . . . 8 (๐ฟโ€˜(๐‘งโ†‘2)) โˆˆ V
136134, 128, 135fvmpt 6949 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ง) = (๐ฟโ€˜(๐‘งโ†‘2)))
137136ad2antll 728 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ง) = (๐ฟโ€˜(๐‘งโ†‘2)))
138133, 137eqeq12d 2753 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘ฅ) = (๐บโ€˜๐‘ง) โ†” (๐ฟโ€˜(๐‘ฅโ†‘2)) = (๐ฟโ€˜(๐‘งโ†‘2))))
13947nnnn0d 12474 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
140139adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
141 elfzelz 13442 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
142141ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
143 zsqcl 14035 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
144142, 143syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
145 elfzelz 13442 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
146145ad2antll 728 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
147 zsqcl 14035 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘งโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
148146, 147syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘งโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
1493, 13zndvds 20959 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘งโ†‘2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ฟโ€˜(๐‘ฅโ†‘2)) = (๐ฟโ€˜(๐‘งโ†‘2)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ฅโ†‘2) โˆ’ (๐‘งโ†‘2))))
150140, 144, 148, 149syl3anc 1372 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐ฟโ€˜(๐‘ฅโ†‘2)) = (๐ฟโ€˜(๐‘งโ†‘2)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ฅโ†‘2) โˆ’ (๐‘งโ†‘2))))
151 elfznn 13471 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
152151ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
153152nncnd 12170 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
154 elfznn 13471 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•)
155154ad2antll 728 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•)
156155nncnd 12170 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
157 subsq 14115 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) โˆ’ (๐‘งโ†‘2)) = ((๐‘ฅ + ๐‘ง) ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง)))
158153, 156, 157syl2anc 585 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) โˆ’ (๐‘งโ†‘2)) = ((๐‘ฅ + ๐‘ง) ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง)))
159158breq2d 5118 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ฅโ†‘2) โˆ’ (๐‘งโ†‘2)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง))))
160138, 150, 1593bitrd 305 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘ฅ) = (๐บโ€˜๐‘ง) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง))))
1612adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
162142, 146zaddcld 12612 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
163142, 146zsubcld 12613 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
164 euclemma 16590 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง))))
165161, 162, 163, 164syl3anc 1372 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง))))
166161, 46syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
167166nnzd 12527 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
168152, 155nnaddcld 12206 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆˆ โ„•)
169 dvdsle 16193 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘ฅ + ๐‘ง)))
170167, 168, 169syl2anc 585 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘ฅ + ๐‘ง)))
171168nnred 12169 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆˆ โ„)
172166nnred 12169 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
173172, 49syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
174152nnred 12169 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
175155nnred 12169 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
17669adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„)
177 elfzle2 13446 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
178177ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
179 elfzle2 13446 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ง โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
180179ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ง โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
181174, 175, 176, 176, 178, 180le2addd 11775 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โ‰ค (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) + ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
18251adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
1831822halvesd 12400 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) + ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
184181, 183breqtrd 5132 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))
185172ltm1d 12088 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < ๐‘ƒ)
186171, 173, 172, 184, 185lelttrd 11314 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ง) < ๐‘ƒ)
187171, 172ltnled 11303 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) < ๐‘ƒ โ†” ยฌ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘ฅ + ๐‘ง)))
188186, 187mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘ฅ + ๐‘ง))
189188pm2.21d 121 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค (๐‘ฅ + ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
190170, 189syld 47 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
191 moddvds 16148 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ mod ๐‘ƒ) = (๐‘ง mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง)))
192166, 142, 146, 191syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐‘ฅ mod ๐‘ƒ) = (๐‘ง mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง)))
193166nnrpd 12956 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
194152nnnn0d 12474 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0)
195194nn0ge0d 12477 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
19682adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) < ๐‘ƒ)
197174, 176, 172, 178, 196lelttrd 11314 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ฅ < ๐‘ƒ)
198 modid 13802 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ) = ๐‘ฅ)
199174, 193, 195, 197, 198syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ) = ๐‘ฅ)
200155nnnn0d 12474 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•0)
201200nn0ge0d 12477 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ง)
202175, 176, 172, 180, 196lelttrd 11314 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ง < ๐‘ƒ)
203 modid 13802 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐‘ง โˆง ๐‘ง < ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ง mod ๐‘ƒ) = ๐‘ง)
204175, 193, 201, 202, 203syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ง mod ๐‘ƒ) = ๐‘ง)
205199, 204eqeq12d 2753 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐‘ฅ mod ๐‘ƒ) = (๐‘ง mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ง))
206192, 205bitr3d 281 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง) โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ง))
207206biimpd 228 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
208190, 207jaod 858 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
209165, 208sylbid 239 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
210160, 209sylbid 239 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘ฅ) = (๐บโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
211210ralrimivva 3198 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โˆ€๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))((๐บโ€˜๐‘ฅ) = (๐บโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
212 dff13 7203 . 2 (๐บ:(1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ€“1-1โ†’(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘‡) โ€œ {(0gโ€˜๐‘Œ)}) โ†” (๐บ:(1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โŸถ(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘‡) โ€œ {(0gโ€˜๐‘Œ)}) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โˆ€๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))((๐บโ€˜๐‘ฅ) = (๐บโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง)))
213129, 211, 212sylanbrc 584 1 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:(1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ€“1-1โ†’(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘‡) โ€œ {(0gโ€˜๐‘Œ)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆ€wral 3065  Vcvv 3446   โˆ– cdif 3908  {csn 4587   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ—กccnv 5633   โ€œ cima 5637   Fn wfn 6492  โŸถwf 6493  โ€“1-1โ†’wf1 6494  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  โ„cr 11051  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   ยท cmul 11057   < clt 11190   โ‰ค cle 11191   โˆ’ cmin 11386   / cdiv 11813  โ„•cn 12154  2c2 12209  โ„•0cn0 12414  โ„คcz 12500  โ„คโ‰ฅcuz 12764  โ„+crp 12916  ...cfz 13425   mod cmo 13775  โ†‘cexp 13968   โˆฅ cdvds 16137   gcd cgcd 16375  โ„™cprime 16548  ฯ•cphi 16637  Basecbs 17084  0gc0g 17322   โ†‘s cpws 17329  Mndcmnd 18557  Grpcgrp 18749  -gcsg 18751  .gcmg 18873  mulGrpcmgp 19897  1rcur 19914  Ringcrg 19965  CRingccrg 19966   RingHom crh 20144  Fieldcfield 20187  Domncdomn 20753  IDomncidom 20754  โ„คringczring 20872  โ„คRHomczrh 20903  โ„ค/nโ„คczn 20906  var1cv1 21550  Poly1cpl1 21551  eval1ce1 21683   deg1 cdg1 25419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-addf 11131  ax-mulf 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8649  df-ec 8651  df-qs 8655  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9307  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-dvds 16138  df-gcd 16376  df-prm 16549  df-phi 16639  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-hom 17158  df-cco 17159  df-0g 17324  df-gsum 17325  df-prds 17330  df-pws 17332  df-imas 17391  df-qus 17392  df-mre 17467  df-mrc 17468  df-acs 17470  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-mhm 18602  df-submnd 18603  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-mulg 18874  df-subg 18926  df-nsg 18927  df-eqg 18928  df-ghm 19007  df-cntz 19098  df-cmn 19565  df-abl 19566  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-srg 19919  df-ring 19967  df-cring 19968  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-invr 20102  df-dvr 20113  df-rnghom 20147  df-drng 20188  df-field 20189  df-subrg 20223  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-lsp 20436  df-sra 20636  df-rgmod 20637  df-lidl 20638  df-rsp 20639  df-2idl 20705  df-nzr 20731  df-rlreg 20756  df-domn 20757  df-idom 20758  df-cnfld 20800  df-zring 20873  df-zrh 20907  df-zn 20910  df-assa 21262  df-asp 21263  df-ascl 21264  df-psr 21314  df-mvr 21315  df-mpl 21316  df-opsr 21318  df-evls 21485  df-evl 21486  df-psr1 21554  df-vr1 21555  df-ply1 21556  df-evl1 21685
This theorem is referenced by:  lgsqrlem4  26700
  Copyright terms: Public domain W3C validator