MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsqrlem2 27235
Description: Lemma for lgsqr 27239. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y ๐‘Œ = (โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘ƒ)
lgsqr.s ๐‘† = (Poly1โ€˜๐‘Œ)
lgsqr.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
lgsqr.d ๐ท = ( deg1 โ€˜๐‘Œ)
lgsqr.o ๐‘‚ = (eval1โ€˜๐‘Œ)
lgsqr.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘†))
lgsqr.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘Œ)
lgsqr.m โˆ’ = (-gโ€˜๐‘†)
lgsqr.u 1 = (1rโ€˜๐‘†)
lgsqr.t ๐‘‡ = ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†‘ ๐‘‹) โˆ’ 1 )
lgsqr.l ๐ฟ = (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)
lgsqr.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
lgsqr.g ๐บ = (๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ (๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)))
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:(1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ€“1-1โ†’(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘‡) โ€œ {(0gโ€˜๐‘Œ)}))
Distinct variable groups:   ๐‘ฆ,๐‘‚   ๐‘ฆ,๐‘ƒ   ๐œ‘,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐‘‡   ๐‘ฆ,๐ฟ   ๐‘ฆ,๐‘Œ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฆ)   ๐ท(๐‘ฆ)   ๐‘†(๐‘ฆ)   1 (๐‘ฆ)   โ†‘ (๐‘ฆ)   ๐บ(๐‘ฆ)   โˆ’ (๐‘ฆ)   ๐‘‹(๐‘ฆ)

Proof of Theorem lgsqrlem2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgsqr.1 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
21eldifad 3955 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
3 lgsqr.y . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘Œ = (โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘ƒ)
43znfld 21455 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Field)
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Field)
6 fldidom 21219 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ โˆˆ Field โ†’ ๐‘Œ โˆˆ IDomn)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ IDomn)
8 isidom 21216 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ โˆˆ IDomn โ†” (๐‘Œ โˆˆ CRing โˆง ๐‘Œ โˆˆ Domn))
98simplbi 497 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ โˆˆ IDomn โ†’ ๐‘Œ โˆˆ CRing)
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ CRing)
11 crngring 20150 . . . . . . . . 9 (๐‘Œ โˆˆ CRing โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
13 lgsqr.l . . . . . . . . 9 ๐ฟ = (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)
1413zrhrhm 21398 . . . . . . . 8 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ ๐ฟ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘Œ))
1512, 14syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘Œ))
16 zringbas 21340 . . . . . . . 8 โ„ค = (Baseโ€˜โ„คring)
17 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐‘Œ) = (Baseโ€˜๐‘Œ)
1816, 17rhmf 20387 . . . . . . 7 (๐ฟ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘Œ) โ†’ ๐ฟ:โ„คโŸถ(Baseโ€˜๐‘Œ))
1915, 18syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ:โ„คโŸถ(Baseโ€˜๐‘Œ))
2019adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐ฟ:โ„คโŸถ(Baseโ€˜๐‘Œ))
21 elfzelz 13507 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
2221adantl 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
23 zsqcl 14099 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2520, 24ffvelcdmd 7081 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
26 lgsqr.s . . . . 5 ๐‘† = (Poly1โ€˜๐‘Œ)
27 lgsqr.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
28 lgsqr.d . . . . 5 ๐ท = ( deg1 โ€˜๐‘Œ)
29 lgsqr.o . . . . 5 ๐‘‚ = (eval1โ€˜๐‘Œ)
30 lgsqr.e . . . . 5 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘†))
31 lgsqr.x . . . . 5 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘Œ)
32 lgsqr.m . . . . 5 โˆ’ = (-gโ€˜๐‘†)
33 lgsqr.u . . . . 5 1 = (1rโ€˜๐‘†)
34 lgsqr.t . . . . 5 ๐‘‡ = ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†‘ ๐‘‹) โˆ’ 1 )
351adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
36 elfznn 13536 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
3736adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
3837nncnd 12232 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
39 oddprm 16752 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
401, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
4140nnnn0d 12536 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0)
4241adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0)
43 2nn0 12493 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•0
4443a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
4538, 42, 44expmuld 14119 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ฆโ†‘(2 ยท ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) = ((๐‘ฆโ†‘2)โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
46 prmnn 16618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
472, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
4847nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
49 peano2rem 11531 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
5150recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
52 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
53 2ne0 12320 . . . . . . . . . . . . 13 2 โ‰  0
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
5551, 52, 54divcan2d 11996 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
56 phiprm 16719 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
572, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
5855, 57eqtr4d 2769 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = (ฯ•โ€˜๐‘ƒ))
5958adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (2 ยท ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = (ฯ•โ€˜๐‘ƒ))
6059oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ฆโ†‘(2 ยท ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) = (๐‘ฆโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)))
6145, 60eqtr3d 2768 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ฆโ†‘2)โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘ฆโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)))
6261oveq1d 7420 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (((๐‘ฆโ†‘2)โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ฆโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ))
632adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
6463, 46syl 17 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
6547nnzd 12589 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
6665adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
6722, 66gcdcomd 16462 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ฆ gcd ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ gcd ๐‘ฆ))
6837nnred 12231 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
6950rehalfcld 12463 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„)
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„)
7148adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
72 elfzle2 13511 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ฆ โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
7372adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฆ โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
74 prmuz2 16640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
752, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
76 uz2m1nn 12911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
7877nnrpd 13020 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
79 rphalflt 13009 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) < (๐‘ƒ โˆ’ 1))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) < (๐‘ƒ โˆ’ 1))
8148ltm1d 12150 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < ๐‘ƒ)
8269, 50, 48, 80, 81lttrd 11379 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) < ๐‘ƒ)
8382adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) < ๐‘ƒ)
8468, 70, 71, 73, 83lelttrd 11376 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฆ < ๐‘ƒ)
8568, 71ltnled 11365 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ฆ < ๐‘ƒ โ†” ยฌ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฆ))
8684, 85mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฆ)
87 dvdsle 16260 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฆ))
8866, 37, 87syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฆ))
8986, 88mtod 197 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ)
90 coprm 16655 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘ฆ) = 1))
9163, 22, 90syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘ฆ) = 1))
9289, 91mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ gcd ๐‘ฆ) = 1)
9367, 92eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ฆ gcd ๐‘ƒ) = 1)
94 eulerth 16725 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐‘ฆโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ))
9564, 22, 93, 94syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ฆโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ))
9662, 95eqtrd 2766 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (((๐‘ฆโ†‘2)โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ))
973, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 13, 35, 24, 96lgsqrlem1 27234 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘‡)โ€˜(๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2))) = (0gโ€˜๐‘Œ))
98 eqid 2726 . . . . . . . 8 (๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ)) = (๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ))
99 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜(๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ))) = (Baseโ€˜(๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ)))
100 fvexd 6900 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆˆ V)
10129, 26, 98, 17evl1rhm 22206 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ โˆˆ CRing โ†’ ๐‘‚ โˆˆ (๐‘† RingHom (๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ))))
10210, 101syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‚ โˆˆ (๐‘† RingHom (๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ))))
10327, 99rhmf 20387 . . . . . . . . . 10 (๐‘‚ โˆˆ (๐‘† RingHom (๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ))) โ†’ ๐‘‚:๐ตโŸถ(Baseโ€˜(๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ))))
104102, 103syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‚:๐ตโŸถ(Baseโ€˜(๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ))))
10526ply1ring 22121 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘† โˆˆ Ring)
10612, 105syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Ring)
107 ringgrp 20143 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘† โˆˆ Ring โ†’ ๐‘† โˆˆ Grp)
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Grp)
109 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (mulGrpโ€˜๐‘†) = (mulGrpโ€˜๐‘†)
110109, 27mgpbas 20045 . . . . . . . . . . . 12 ๐ต = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘†))
111109ringmgp 20144 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘† โˆˆ Ring โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘†) โˆˆ Mnd)
112106, 111syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘†) โˆˆ Mnd)
11331, 26, 27vr1cl 22091 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
11412, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
115110, 30, 112, 41, 114mulgnn0cld 19022 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
11627, 33ringidcl 20165 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘† โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
117106, 116syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
11827, 32grpsubcl 18948 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘† โˆˆ Grp โˆง (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โ†’ ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†‘ ๐‘‹) โˆ’ 1 ) โˆˆ ๐ต)
119108, 115, 117, 118syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†‘ ๐‘‹) โˆ’ 1 ) โˆˆ ๐ต)
12034, 119eqeltrid 2831 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)
121104, 120ffvelcdmd 7081 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘‡) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘Œ โ†‘s (Baseโ€˜๐‘Œ))))
12298, 17, 99, 5, 100, 121pwselbas 17444 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘‡):(Baseโ€˜๐‘Œ)โŸถ(Baseโ€˜๐‘Œ))
123122ffnd 6712 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘‡) Fn (Baseโ€˜๐‘Œ))
124123adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘‡) Fn (Baseโ€˜๐‘Œ))
125 fniniseg 7055 . . . . 5 ((๐‘‚โ€˜๐‘‡) Fn (Baseโ€˜๐‘Œ) โ†’ ((๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ (โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘‡) โ€œ {(0gโ€˜๐‘Œ)}) โ†” ((๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘‡)โ€˜(๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2))) = (0gโ€˜๐‘Œ))))
126124, 125syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ (โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘‡) โ€œ {(0gโ€˜๐‘Œ)}) โ†” ((๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘‡)โ€˜(๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2))) = (0gโ€˜๐‘Œ))))
12725, 97, 126mpbir2and 710 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)) โˆˆ (โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘‡) โ€œ {(0gโ€˜๐‘Œ)}))
128 lgsqr.g . . 3 ๐บ = (๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ (๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)))
129127, 128fmptd 7109 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:(1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โŸถ(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘‡) โ€œ {(0gโ€˜๐‘Œ)}))
130 fvoveq1 7428 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)) = (๐ฟโ€˜(๐‘ฅโ†‘2)))
131 fvex 6898 . . . . . . . 8 (๐ฟโ€˜(๐‘ฅโ†‘2)) โˆˆ V
132130, 128, 131fvmpt 6992 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฅ) = (๐ฟโ€˜(๐‘ฅโ†‘2)))
133132ad2antrl 725 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฅ) = (๐ฟโ€˜(๐‘ฅโ†‘2)))
134 fvoveq1 7428 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ (๐ฟโ€˜(๐‘ฆโ†‘2)) = (๐ฟโ€˜(๐‘งโ†‘2)))
135 fvex 6898 . . . . . . . 8 (๐ฟโ€˜(๐‘งโ†‘2)) โˆˆ V
136134, 128, 135fvmpt 6992 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ง) = (๐ฟโ€˜(๐‘งโ†‘2)))
137136ad2antll 726 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ง) = (๐ฟโ€˜(๐‘งโ†‘2)))
138133, 137eqeq12d 2742 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘ฅ) = (๐บโ€˜๐‘ง) โ†” (๐ฟโ€˜(๐‘ฅโ†‘2)) = (๐ฟโ€˜(๐‘งโ†‘2))))
13947nnnn0d 12536 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
140139adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
141 elfzelz 13507 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
142141ad2antrl 725 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
143 zsqcl 14099 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
144142, 143syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
145 elfzelz 13507 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
146145ad2antll 726 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
147 zsqcl 14099 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘งโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
148146, 147syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘งโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
1493, 13zndvds 21444 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘งโ†‘2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ฟโ€˜(๐‘ฅโ†‘2)) = (๐ฟโ€˜(๐‘งโ†‘2)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ฅโ†‘2) โˆ’ (๐‘งโ†‘2))))
150140, 144, 148, 149syl3anc 1368 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐ฟโ€˜(๐‘ฅโ†‘2)) = (๐ฟโ€˜(๐‘งโ†‘2)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ฅโ†‘2) โˆ’ (๐‘งโ†‘2))))
151 elfznn 13536 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
152151ad2antrl 725 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
153152nncnd 12232 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
154 elfznn 13536 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•)
155154ad2antll 726 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•)
156155nncnd 12232 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
157 subsq 14179 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) โˆ’ (๐‘งโ†‘2)) = ((๐‘ฅ + ๐‘ง) ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง)))
158153, 156, 157syl2anc 583 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) โˆ’ (๐‘งโ†‘2)) = ((๐‘ฅ + ๐‘ง) ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง)))
159158breq2d 5153 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ฅโ†‘2) โˆ’ (๐‘งโ†‘2)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง))))
160138, 150, 1593bitrd 305 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘ฅ) = (๐บโ€˜๐‘ง) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง))))
1612adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
162142, 146zaddcld 12674 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
163142, 146zsubcld 12675 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
164 euclemma 16657 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง))))
165161, 162, 163, 164syl3anc 1368 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง))))
166161, 46syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
167166nnzd 12589 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
168152, 155nnaddcld 12268 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆˆ โ„•)
169 dvdsle 16260 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘ฅ + ๐‘ง)))
170167, 168, 169syl2anc 583 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘ฅ + ๐‘ง)))
171168nnred 12231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆˆ โ„)
172166nnred 12231 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
173172, 49syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
174152nnred 12231 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
175155nnred 12231 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
17669adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„)
177 elfzle2 13511 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
178177ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
179 elfzle2 13511 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ง โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
180179ad2antll 726 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ง โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
181174, 175, 176, 176, 178, 180le2addd 11837 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โ‰ค (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) + ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
18251adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
1831822halvesd 12462 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) + ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
184181, 183breqtrd 5167 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))
185172ltm1d 12150 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < ๐‘ƒ)
186171, 173, 172, 184, 185lelttrd 11376 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ง) < ๐‘ƒ)
187171, 172ltnled 11365 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) < ๐‘ƒ โ†” ยฌ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘ฅ + ๐‘ง)))
188186, 187mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘ฅ + ๐‘ง))
189188pm2.21d 121 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค (๐‘ฅ + ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
190170, 189syld 47 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
191 moddvds 16215 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ mod ๐‘ƒ) = (๐‘ง mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง)))
192166, 142, 146, 191syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐‘ฅ mod ๐‘ƒ) = (๐‘ง mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง)))
193166nnrpd 13020 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
194152nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0)
195194nn0ge0d 12539 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
19682adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) < ๐‘ƒ)
197174, 176, 172, 178, 196lelttrd 11376 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ฅ < ๐‘ƒ)
198 modid 13867 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ) = ๐‘ฅ)
199174, 193, 195, 197, 198syl22anc 836 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ) = ๐‘ฅ)
200155nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•0)
201200nn0ge0d 12539 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ง)
202175, 176, 172, 180, 196lelttrd 11376 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ๐‘ง < ๐‘ƒ)
203 modid 13867 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐‘ง โˆง ๐‘ง < ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ง mod ๐‘ƒ) = ๐‘ง)
204175, 193, 201, 202, 203syl22anc 836 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ง mod ๐‘ƒ) = ๐‘ง)
205199, 204eqeq12d 2742 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐‘ฅ mod ๐‘ƒ) = (๐‘ง mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ง))
206192, 205bitr3d 281 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง) โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ง))
207206biimpd 228 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
208190, 207jaod 856 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
209165, 208sylbid 239 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
210160, 209sylbid 239 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘ฅ) = (๐บโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
211210ralrimivva 3194 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โˆ€๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))((๐บโ€˜๐‘ฅ) = (๐บโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
212 dff13 7250 . 2 (๐บ:(1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ€“1-1โ†’(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘‡) โ€œ {(0gโ€˜๐‘Œ)}) โ†” (๐บ:(1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โŸถ(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘‡) โ€œ {(0gโ€˜๐‘Œ)}) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โˆ€๐‘ง โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))((๐บโ€˜๐‘ฅ) = (๐บโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง)))
213129, 211, 212sylanbrc 582 1 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:(1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ€“1-1โ†’(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘‡) โ€œ {(0gโ€˜๐‘Œ)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆ€wral 3055  Vcvv 3468   โˆ– cdif 3940  {csn 4623   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ—กccnv 5668   โ€œ cima 5672   Fn wfn 6532  โŸถwf 6533  โ€“1-1โ†’wf1 6534  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ„+crp 12980  ...cfz 13490   mod cmo 13840  โ†‘cexp 14032   โˆฅ cdvds 16204   gcd cgcd 16442  โ„™cprime 16615  ฯ•cphi 16706  Basecbs 17153  0gc0g 17394   โ†‘s cpws 17401  Mndcmnd 18667  Grpcgrp 18863  -gcsg 18865  .gcmg 18995  mulGrpcmgp 20039  1rcur 20086  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139   RingHom crh 20371  Fieldcfield 20588  Domncdomn 21190  IDomncidom 21191  โ„คringczring 21333  โ„คRHomczrh 21386  โ„ค/nโ„คczn 21389  var1cv1 22050  Poly1cpl1 22051  eval1ce1 22188   deg1 cdg1 25942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-phi 16708  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-imas 17463  df-qus 17464  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-nsg 19051  df-eqg 19052  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-srg 20092  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-nzr 20415  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-field 20590  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-rsp 21068  df-2idl 21107  df-rlreg 21193  df-domn 21194  df-idom 21195  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-zn 21393  df-assa 21748  df-asp 21749  df-ascl 21750  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-opsr 21807  df-evls 21977  df-evl 21978  df-psr1 22054  df-vr1 22055  df-ply1 22056  df-evl1 22190
This theorem is referenced by:  lgsqrlem4  27237
  Copyright terms: Public domain W3C validator