Theorem lcmineqlem22 40507

Description: The lcm inequality lemma without base cases 7 and 8. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem22.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem22.2	⊢ (𝜑 → 4 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem22	⊢ (𝜑 → ((2↑((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∧ (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2)))))

Proof of Theorem lcmineqlem22

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12227	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		2nn0 12430	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
5		lcmineqlem22.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12473	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	4, 6	nn0mulcld 12478	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
8		1nn0 12429	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
10	7, 9	nn0addcld 12477	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
11	2, 10	reexpcld 14068	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
12	7, 4	nn0addcld 12477	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℕ0)
13	2, 12	reexpcld 14068	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ∈ ℝ)
14		fz1ssnn 13472	. . . . . 6 ⊢ (1...((2 · 𝑁) + 1)) ⊆ ℕ
15		fzfi 13877	. . . . . 6 ⊢ (1...((2 · 𝑁) + 1)) ∈ Fin
16		lcmfnncl 16505	. . . . . 6 ⊢ (((1...((2 · 𝑁) + 1)) ⊆ ℕ ∧ (1...((2 · 𝑁) + 1)) ∈ Fin) → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ)
17	14, 15, 16	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ)
19	18	nnred 12168	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℝ)
20		1red 11156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
21	5	nnred 12168	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
22	2, 21	remulcld 11185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
23		1lt2 12324	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
25	20, 2, 24	ltled 11303	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 2)
26	20, 2, 22, 25	leadd2dd 11770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 2))
27		2z 12535	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
29	5	nnzd 12526	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
30	28, 29	zmulcld 12613	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
31	30	peano2zd 12610	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
32	30, 28	zaddcld 12611	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℤ)
33	2, 31, 32, 24	leexp2d 14155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 2) ↔ (2↑((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (2↑((2 · 𝑁) + 2))))
34	26, 33	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (2↑((2 · 𝑁) + 2)))
35		lcmineqlem22.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 4 ≤ 𝑁)
36	5, 35	lcmineqlem21 40506	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))
37	11, 13, 19, 34, 36	letrd 11312	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))
38		fz1ssnn 13472	. . . . . 6 ⊢ (1...((2 · 𝑁) + 2)) ⊆ ℕ
39		fzfi 13877	. . . . . 6 ⊢ (1...((2 · 𝑁) + 2)) ∈ Fin
40		lcmfnncl 16505	. . . . . 6 ⊢ (((1...((2 · 𝑁) + 2)) ⊆ ℕ ∧ (1...((2 · 𝑁) + 2)) ∈ Fin) → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) ∈ ℕ)
41	38, 39, 40	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) ∈ ℕ
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) ∈ ℕ)
43	42	nnred 12168	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) ∈ ℝ)
44	18	nnzd 12526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℤ)
45	44, 32	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℤ))
46		dvdslcm 16474	. . . . . . 7 ⊢ (((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℤ) → ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∥ ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)) ∧ ((2 · 𝑁) + 2) ∥ ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2))))
47	45, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∥ ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)) ∧ ((2 · 𝑁) + 2) ∥ ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2))))
48	47	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∥ ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)))
49		2nn 12226	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
51	50, 5	nnmulcld 12206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
52	51, 50	nnaddcld 12205	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℕ)
53	52	lcmfunnnd 40469	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) = ((lcm‘(1...(((2 · 𝑁) + 2) − 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)))
54	22	recnd 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
55	2	recnd 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
56		1cnd 11150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
57	54, 55, 56	addsubassd 11532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) − 1) = ((2 · 𝑁) + (2 − 1)))
58		2m1e1 12279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 − 1) = 1
59	58	oveq2i 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑁) + (2 − 1)) = ((2 · 𝑁) + 1)
60	57, 59	eqtrdi 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) − 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
61	60	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1...(((2 · 𝑁) + 2) − 1)) = (1...((2 · 𝑁) + 1)))
62	61	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...(((2 · 𝑁) + 2) − 1))) = (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))
63	62	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...(((2 · 𝑁) + 2) − 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)) = ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)))
64	53, 63	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) = ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)))
65	48, 64	breqtrrd 5133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∥ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))))
66	44, 42	jca 512	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℤ ∧ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) ∈ ℕ))
67		dvdsle 16192	. . . . 5 ⊢ (((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℤ ∧ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) ∈ ℕ) → ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∥ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2)))))
68	66, 67	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∥ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2)))))
69	65, 68	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))))
70	13, 19, 43, 36, 69	letrd 11312	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))))
71	37, 70	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → ((2↑((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∧ (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  ℝcr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  ℕcn 12153  2c2 12208  4c4 12210  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ...cfz 13424  ↑cexp 13967   ∥ cdvds 16136   lcm clcm 16464  lcmclcmf 16465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-prod 15789  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-lcm 16466  df-lcmf 16467  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034  df-limc 25230  df-dv 25231

This theorem is referenced by:  lcmineqlem23  40508