Theorem lcmineqlem22 42916

Description: The lcm inequality lemma without base cases 7 and 8. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem22.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem22.2	⊢ (𝜑 → 4 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem22	⊢ (𝜑 → ((2↑((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∧ (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2)))))

Proof of Theorem lcmineqlem22

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12339	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		2nn0 12545	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
5		lcmineqlem22.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	4, 6	nn0mulcld 12594	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
8		1nn0 12544	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
10	7, 9	nn0addcld 12593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
11	2, 10	reexpcld 14227	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
12	7, 4	nn0addcld 12593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℕ0)
13	2, 12	reexpcld 14227	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ∈ ℝ)
14		fz1ssnn 13610	. . . . . 6 ⊢ (1...((2 · 𝑁) + 1)) ⊆ ℕ
15		fzfi 14036	. . . . . 6 ⊢ (1...((2 · 𝑁) + 1)) ∈ Fin
16		lcmfnncl 16719	. . . . . 6 ⊢ (((1...((2 · 𝑁) + 1)) ⊆ ℕ ∧ (1...((2 · 𝑁) + 1)) ∈ Fin) → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ)
17	14, 15, 16	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ)
19	18	nnred 12272	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℝ)
20		1red 11233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
21	5	nnred 12272	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
22	2, 21	remulcld 11263	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
23		1lt2 12437	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
25	20, 2, 24	ltled 11382	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 2)
26	20, 2, 22, 25	leadd2dd 11853	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 2))
27		2z 12650	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
29	5	nnzd 12641	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
30	28, 29	zmulcld 12731	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
31	30	peano2zd 12728	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
32	30, 28	zaddcld 12729	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℤ)
33	2, 31, 32, 24	leexp2d 14316	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 2) ↔ (2↑((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (2↑((2 · 𝑁) + 2))))
34	26, 33	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (2↑((2 · 𝑁) + 2)))
35		lcmineqlem22.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 4 ≤ 𝑁)
36	5, 35	lcmineqlem21 42915	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))
37	11, 13, 19, 34, 36	letrd 11391	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))
38		fz1ssnn 13610	. . . . . 6 ⊢ (1...((2 · 𝑁) + 2)) ⊆ ℕ
39		fzfi 14036	. . . . . 6 ⊢ (1...((2 · 𝑁) + 2)) ∈ Fin
40		lcmfnncl 16719	. . . . . 6 ⊢ (((1...((2 · 𝑁) + 2)) ⊆ ℕ ∧ (1...((2 · 𝑁) + 2)) ∈ Fin) → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) ∈ ℕ)
41	38, 39, 40	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) ∈ ℕ
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) ∈ ℕ)
43	42	nnred 12272	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) ∈ ℝ)
44	18	nnzd 12641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℤ)
45	44, 32	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℤ))
46		dvdslcm 16688	. . . . . . 7 ⊢ (((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℤ) → ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∥ ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)) ∧ ((2 · 𝑁) + 2) ∥ ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2))))
47	45, 46	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∥ ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)) ∧ ((2 · 𝑁) + 2) ∥ ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2))))
48	47	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∥ ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)))
49		2nn 12338	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
51	50, 5	nnmulcld 12313	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
52	51, 50	nnaddcld 12312	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℕ)
53	52	lcmfunnnd 42878	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) = ((lcm‘(1...(((2 · 𝑁) + 2) − 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)))
54	22	recnd 11261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
55	2	recnd 11261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
56		1cnd 11226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
57	54, 55, 56	addsubassd 11613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) − 1) = ((2 · 𝑁) + (2 − 1)))
58		2m1e1 12389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 − 1) = 1
59	58	oveq2i 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑁) + (2 − 1)) = ((2 · 𝑁) + 1)
60	57, 59	eqtrdi 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) − 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
61	60	oveq2d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1...(((2 · 𝑁) + 2) − 1)) = (1...((2 · 𝑁) + 1)))
62	61	fveq2d 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...(((2 · 𝑁) + 2) − 1))) = (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))
63	62	oveq1d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...(((2 · 𝑁) + 2) − 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)) = ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)))
64	53, 63	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) = ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)))
65	48, 64	breqtrrd 5133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∥ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))))
66	44, 42	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℤ ∧ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) ∈ ℕ))
67		dvdsle 16400	. . . . 5 ⊢ (((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℤ ∧ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) ∈ ℕ) → ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∥ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2)))))
68	66, 67	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∥ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2)))))
69	65, 68	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))))
70	13, 19, 43, 36, 69	letrd 11391	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))))
71	37, 70	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ((2↑((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∧ (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Fincfn 8952  ℝcr 11123  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11465  ℕcn 12257  2c2 12319  4c4 12321  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ...cfz 13561  ↑cexp 14125   ∥ cdvds 16342   lcm clcm 16678  lcmclcmf 16679

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cc 10437  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-symdif 4199  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-ofr 7679  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-acn 9947  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ioc 13403  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-bc 14367  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-prod 15993  df-dvds 16343  df-gcd 16585  df-lcm 16680  df-lcmf 16681  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-rest 17507  df-topn 17508  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-topgen 17528  df-pt 17529  df-prds 17532  df-xrs 17588  df-qtop 17593  df-imas 17594  df-xps 17596  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-mulg 19191  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-fbas 21582  df-fg 21583  df-cnfld 21586  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-cld 23244  df-ntr 23245  df-cls 23246  df-nei 23323  df-lp 23361  df-perf 23362  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-haus 23540  df-cmp 23612  df-tx 23788  df-hmeo 23981  df-fil 24072  df-fm 24164  df-flim 24165  df-flf 24166  df-xms 24546  df-ms 24547  df-tms 24548  df-cncf 25106  df-ovol 25692  df-vol 25693  df-mbf 25847  df-itg1 25848  df-itg2 25849  df-ibl 25850  df-itg 25851  df-0p 25898  df-limc 26093  df-dv 26094

This theorem is used by:  lcmineqlem23  42917