Theorem lcmineqlem22 40055

Description: The lcm inequality lemma without base cases 7 and 8. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem22.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem22.2	⊢ (𝜑 → 4 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem22	⊢ (𝜑 → ((2↑((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∧ (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2)))))

Proof of Theorem lcmineqlem22

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12047	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		2nn0 12250	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
5		lcmineqlem22.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12293	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	4, 6	nn0mulcld 12298	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
8		1nn0 12249	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
10	7, 9	nn0addcld 12297	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
11	2, 10	reexpcld 13879	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
12	7, 4	nn0addcld 12297	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℕ0)
13	2, 12	reexpcld 13879	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ∈ ℝ)
14		fz1ssnn 13286	. . . . . 6 ⊢ (1...((2 · 𝑁) + 1)) ⊆ ℕ
15		fzfi 13690	. . . . . 6 ⊢ (1...((2 · 𝑁) + 1)) ∈ Fin
16		lcmfnncl 16332	. . . . . 6 ⊢ (((1...((2 · 𝑁) + 1)) ⊆ ℕ ∧ (1...((2 · 𝑁) + 1)) ∈ Fin) → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ)
17	14, 15, 16	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ)
19	18	nnred 11988	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℝ)
20		1red 10977	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
21	5	nnred 11988	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
22	2, 21	remulcld 11006	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
23		1lt2 12144	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
25	20, 2, 24	ltled 11123	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 2)
26	20, 2, 22, 25	leadd2dd 11590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 2))
27		2z 12352	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
29	5	nnzd 12424	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
30	28, 29	zmulcld 12431	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
31	30	peano2zd 12428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
32	30, 28	zaddcld 12429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℤ)
33	2, 31, 32, 24	leexp2d 13967	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 2) ↔ (2↑((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (2↑((2 · 𝑁) + 2))))
34	26, 33	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (2↑((2 · 𝑁) + 2)))
35		lcmineqlem22.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 4 ≤ 𝑁)
36	5, 35	lcmineqlem21 40054	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))
37	11, 13, 19, 34, 36	letrd 11132	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))
38		fz1ssnn 13286	. . . . . 6 ⊢ (1...((2 · 𝑁) + 2)) ⊆ ℕ
39		fzfi 13690	. . . . . 6 ⊢ (1...((2 · 𝑁) + 2)) ∈ Fin
40		lcmfnncl 16332	. . . . . 6 ⊢ (((1...((2 · 𝑁) + 2)) ⊆ ℕ ∧ (1...((2 · 𝑁) + 2)) ∈ Fin) → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) ∈ ℕ)
41	38, 39, 40	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) ∈ ℕ
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) ∈ ℕ)
43	42	nnred 11988	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) ∈ ℝ)
44	18	nnzd 12424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℤ)
45	44, 32	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℤ))
46		dvdslcm 16301	. . . . . . 7 ⊢ (((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℤ) → ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∥ ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)) ∧ ((2 · 𝑁) + 2) ∥ ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2))))
47	45, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∥ ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)) ∧ ((2 · 𝑁) + 2) ∥ ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2))))
48	47	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∥ ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)))
49		2nn 12046	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
51	50, 5	nnmulcld 12026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
52	51, 50	nnaddcld 12025	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℕ)
53	52	lcmfunnnd 40017	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) = ((lcm‘(1...(((2 · 𝑁) + 2) − 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)))
54	22	recnd 11004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
55	2	recnd 11004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
56		1cnd 10971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
57	54, 55, 56	addsubassd 11352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) − 1) = ((2 · 𝑁) + (2 − 1)))
58		2m1e1 12099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 − 1) = 1
59	58	oveq2i 7282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑁) + (2 − 1)) = ((2 · 𝑁) + 1)
60	57, 59	eqtrdi 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) − 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
61	60	oveq2d 7287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1...(((2 · 𝑁) + 2) − 1)) = (1...((2 · 𝑁) + 1)))
62	61	fveq2d 6775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...(((2 · 𝑁) + 2) − 1))) = (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))
63	62	oveq1d 7286	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...(((2 · 𝑁) + 2) − 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)) = ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)))
64	53, 63	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) = ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)))
65	48, 64	breqtrrd 5107	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∥ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))))
66	44, 42	jca 512	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℤ ∧ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) ∈ ℕ))
67		dvdsle 16017	. . . . 5 ⊢ (((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℤ ∧ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) ∈ ℕ) → ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∥ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2)))))
68	66, 67	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∥ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2)))))
69	65, 68	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))))
70	13, 19, 43, 36, 69	letrd 11132	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))))
71	37, 70	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → ((2↑((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∧ (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3892   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  Fincfn 8716  ℝcr 10871  1c1 10873   + caddc 10875   · cmul 10877   < clt 11010   ≤ cle 11011   − cmin 11205  ℕcn 11973  2c2 12028  4c4 12030  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ...cfz 13238  ↑cexp 13780   ∥ cdvds 15961   lcm clcm 16291  lcmclcmf 16292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cc 10192  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950  ax-addf 10951  ax-mulf 10952

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-symdif 4182  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-disj 5045  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-ofr 7528  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-oadd 8292  df-omul 8293  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-fi 9148  df-sup 9179  df-inf 9180  df-oi 9247  df-dju 9660  df-card 9698  df-acn 9701  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-xmul 12849  df-ioo 13082  df-ioc 13083  df-ico 13084  df-icc 13085  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-fl 13510  df-mod 13588  df-seq 13720  df-exp 13781  df-fac 13986  df-bc 14015  df-hash 14043  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-limsup 15178  df-clim 15195  df-rlim 15196  df-sum 15396  df-prod 15614  df-dvds 15962  df-gcd 16200  df-lcm 16293  df-lcmf 16294  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-hom 16984  df-cco 16985  df-rest 17131  df-topn 17132  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-topgen 17152  df-pt 17153  df-prds 17156  df-xrs 17211  df-qtop 17216  df-imas 17217  df-xps 17219  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-mulg 18699  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-fbas 20592  df-fg 20593  df-cnfld 20596  df-top 22041  df-topon 22058  df-topsp 22080  df-bases 22094  df-cld 22168  df-ntr 22169  df-cls 22170  df-nei 22247  df-lp 22285  df-perf 22286  df-cn 22376  df-cnp 22377  df-haus 22464  df-cmp 22536  df-tx 22711  df-hmeo 22904  df-fil 22995  df-fm 23087  df-flim 23088  df-flf 23089  df-xms 23471  df-ms 23472  df-tms 23473  df-cncf 24039  df-ovol 24626  df-vol 24627  df-mbf 24781  df-itg1 24782  df-itg2 24783  df-ibl 24784  df-itg 24785  df-0p 24832  df-limc 25028  df-dv 25029

This theorem is referenced by:  lcmineqlem23  40056