Theorem lcmineqlem22 43359

Description: The lcm inequality lemma without base cases 7 and 8. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem22.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem22.2	⊢ (𝜑 → 4 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem22	⊢ (𝜑 → ((2↑((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∧ (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2)))))

Proof of Theorem lcmineqlem22

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12455	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		2nn0 12661	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
5		lcmineqlem22.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12705	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	4, 6	nn0mulcld 12710	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
8		1nn0 12660	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
10	7, 9	nn0addcld 12709	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
11	2, 10	reexpcld 14344	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
12	7, 4	nn0addcld 12709	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℕ0)
13	2, 12	reexpcld 14344	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ∈ ℝ)
14		fz1ssnn 13727	. . . . . 6 ⊢ (1...((2 · 𝑁) + 1)) ⊆ ℕ
15		fzfi 14153	. . . . . 6 ⊢ (1...((2 · 𝑁) + 1)) ∈ Fin
16		lcmfnncl 16845	. . . . . 6 ⊢ (((1...((2 · 𝑁) + 1)) ⊆ ℕ ∧ (1...((2 · 𝑁) + 1)) ∈ Fin) → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ)
17	14, 15, 16	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ)
19	18	nnred 12388	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℝ)
20		1red 11346	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
21	5	nnred 12388	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
22	2, 21	remulcld 11376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
23		1lt2 12553	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
25	20, 2, 24	ltled 11495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 2)
26	20, 2, 22, 25	leadd2dd 11969	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 2))
27		2z 12766	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
29	5	nnzd 12757	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
30	28, 29	zmulcld 12847	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
31	30	peano2zd 12844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
32	30, 28	zaddcld 12845	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℤ)
33	2, 31, 32, 24	leexp2d 14435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 2) ↔ (2↑((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (2↑((2 · 𝑁) + 2))))
34	26, 33	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (2↑((2 · 𝑁) + 2)))
35		lcmineqlem22.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 4 ≤ 𝑁)
36	5, 35	lcmineqlem21 43358	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))
37	11, 13, 19, 34, 36	letrd 11504	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))
38		fz1ssnn 13727	. . . . . 6 ⊢ (1...((2 · 𝑁) + 2)) ⊆ ℕ
39		fzfi 14153	. . . . . 6 ⊢ (1...((2 · 𝑁) + 2)) ∈ Fin
40		lcmfnncl 16845	. . . . . 6 ⊢ (((1...((2 · 𝑁) + 2)) ⊆ ℕ ∧ (1...((2 · 𝑁) + 2)) ∈ Fin) → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) ∈ ℕ)
41	38, 39, 40	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) ∈ ℕ
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) ∈ ℕ)
43	42	nnred 12388	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) ∈ ℝ)
44	18	nnzd 12757	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℤ)
45	44, 32	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℤ))
46		dvdslcm 16814	. . . . . . 7 ⊢ (((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℤ) → ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∥ ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)) ∧ ((2 · 𝑁) + 2) ∥ ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2))))
47	45, 46	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∥ ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)) ∧ ((2 · 𝑁) + 2) ∥ ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2))))
48	47	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∥ ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)))
49		2nn 12454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
51	50, 5	nnmulcld 12429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
52	51, 50	nnaddcld 12428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 2) ∈ ℕ)
53	52	lcmfunnnd 43321	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) = ((lcm‘(1...(((2 · 𝑁) + 2) − 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)))
54	22	recnd 11374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
55	2	recnd 11374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
56		1cnd 11339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
57	54, 55, 56	addsubassd 11726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) − 1) = ((2 · 𝑁) + (2 − 1)))
58		2m1e1 12505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 − 1) = 1
59	58	oveq2i 7460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑁) + (2 − 1)) = ((2 · 𝑁) + 1)
60	57, 59	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 2) − 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
61	60	oveq2d 7465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1...(((2 · 𝑁) + 2) − 1)) = (1...((2 · 𝑁) + 1)))
62	61	fveq2d 6918	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...(((2 · 𝑁) + 2) − 1))) = (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))
63	62	oveq1d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...(((2 · 𝑁) + 2) − 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)) = ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)))
64	53, 63	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) = ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 2)))
65	48, 64	breqtrrd 5137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∥ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))))
66	44, 42	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℤ ∧ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) ∈ ℕ))
67		dvdsle 16521	. . . . 5 ⊢ (((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℤ ∧ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) ∈ ℕ) → ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∥ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2)))))
68	66, 67	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∥ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))) → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2)))))
69	65, 68	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))))
70	13, 19, 43, 36, 69	letrd 11504	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2))))
71	37, 70	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ((2↑((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∧ (2↑((2 · 𝑁) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 2)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  Fincfn 9009  ℝcr 11236  1c1 11238   + caddc 11240   · cmul 11242   < clt 11380   ≤ cle 11381   − cmin 11578  ℕcn 12373  2c2 12435  4c4 12437  ℕ₀cn0 12644  ℤcz 12731  ...cfz 13677  ↑cexp 14242   ∥ cdvds 16463   lcm clcm 16804  lcmclcmf 16805

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677  ax-cc 10550  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315  ax-addf 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-symdif 4201  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5074  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-of 7723  df-ofr 7724  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-supp 8213  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-oadd 8516  df-omul 8517  df-er 8753  df-map 8885  df-pm 8886  df-ixp 8962  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-fsupp 9390  df-fi 9438  df-sup 9469  df-inf 9470  df-oi 9539  df-dju 10017  df-card 10055  df-acn 10058  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-q 13114  df-rp 13159  df-xneg 13279  df-xadd 13280  df-xmul 13281  df-ioo 13518  df-ioc 13519  df-ico 13520  df-icc 13521  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-fl 13970  df-mod 14048  df-seq 14183  df-exp 14243  df-fac 14457  df-bc 14486  df-hash 14514  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-limsup 15679  df-clim 15696  df-rlim 15697  df-sum 15895  df-prod 16114  df-dvds 16464  df-gcd 16706  df-lcm 16806  df-lcmf 16807  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-starv 17484  df-sca 17485  df-vsca 17486  df-ip 17487  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-unif 17492  df-hom 17493  df-cco 17494  df-rest 17634  df-topn 17635  df-0g 17653  df-gsum 17654  df-topgen 17655  df-pt 17656  df-prds 17659  df-xrs 17715  df-qtop 17720  df-imas 17721  df-xps 17723  df-mre 17797  df-mrc 17798  df-acs 17800  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-submnd 19020  df-mulg 19319  df-cntz 19573  df-cmn 20038  df-psmet 21712  df-xmet 21713  df-met 21714  df-bl 21715  df-mopn 21716  df-fbas 21717  df-fg 21718  df-cnfld 21721  df-top 23256  df-topon 23273  df-topsp 23295  df-bases 23308  df-cld 23381  df-ntr 23382  df-cls 23383  df-nei 23460  df-lp 23498  df-perf 23499  df-cn 23589  df-cnp 23590  df-haus 23677  df-cmp 23749  df-tx 23925  df-hmeo 24118  df-fil 24209  df-fm 24301  df-flim 24302  df-flf 24303  df-xms 24683  df-ms 24684  df-tms 24685  df-cncf 25243  df-ovol 25829  df-vol 25830  df-mbf 25984  df-itg1 25985  df-itg2 25986  df-ibl 25987  df-itg 25988  df-0p 26035  df-limc 26230  df-dv 26231

This theorem is used by:  lcmineqlem23  43360