Theorem prmgaplem2 16976

Description: Lemma for prmgap 16985: The factorial of a number plus an integer greater than 1 and less than or equal to the number are not coprime. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 1 < (((!‘𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼))

Proof of Theorem prmgaplem2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13434	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘2))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘2))
3		breq1 5099	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼) ↔ 𝐼 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼)))
4		breq1 5099	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 ∥ 𝐼 ↔ 𝐼 ∥ 𝐼))
5	3, 4	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑖 ∥ 𝐼) ↔ (𝐼 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝐼 ∥ 𝐼)))
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑖 = 𝐼) → ((𝑖 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑖 ∥ 𝐼) ↔ (𝐼 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝐼 ∥ 𝐼)))
7		prmgaplem1 16975	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼))
8		elfzelz 13438	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
9		iddvds 16194	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∥ 𝐼)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∥ 𝐼)
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ 𝐼)
12	7, 11	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (𝐼 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝐼 ∥ 𝐼))
13	2, 6, 12	rspcedvd 3576	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑖 ∥ 𝐼))
14		nnnn0 12406	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	14	faccld 14205	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
17		eluz2nn 12799	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐼 ∈ ℕ)
18	1, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℕ)
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ)
20	16, 19	nnaddcld 12195	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ((!‘𝑁) + 𝐼) ∈ ℕ)
21		ncoprmgcdgt1b 16576	. . 3 ⊢ ((((!‘𝑁) + 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑖 ∥ 𝐼) ↔ 1 < (((!‘𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼)))
22	20, 19, 21	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑖 ∥ 𝐼) ↔ 1 < (((!‘𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼)))
23	13, 22	mpbid 232	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 1 < (((!‘𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  1c1 11025   + caddc 11027   < clt 11164  ℕcn 12143  2c2 12198  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749  ...cfz 13421  !cfa 14194   ∥ cdvds 16177   gcd cgcd 16419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-seq 13923  df-exp 13983  df-fac 14195  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-dvds 16178  df-gcd 16420

This theorem is referenced by:  prmgap  16985