MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplem2 17097
Description: Lemma for prmgap 17106: The factorial of a number plus an integer greater than 1 and less then or equal to the number are not coprime. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmgaplem2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 1 < (((!‘𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼))

Proof of Theorem prmgaplem2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzuz 13580 . . . 4 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ (ℤ‘2))
21adantl 481 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ (ℤ‘2))
3 breq1 5169 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼) ↔ 𝐼 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼)))
4 breq1 5169 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖𝐼𝐼𝐼))
53, 4anbi12d 631 . . . 4 (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑖𝐼) ↔ (𝐼 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝐼𝐼)))
65adantl 481 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑖 = 𝐼) → ((𝑖 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑖𝐼) ↔ (𝐼 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝐼𝐼)))
7 prmgaplem1 17096 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼))
8 elfzelz 13584 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
9 iddvds 16318 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼𝐼)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼𝐼)
1110adantl 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼𝐼)
127, 11jca 511 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (𝐼 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝐼𝐼))
132, 6, 12rspcedvd 3637 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑖𝐼))
14 nnnn0 12560 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
1514faccld 14333 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
1615adantr 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
17 eluz2nn 12949 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (ℤ‘2) → 𝐼 ∈ ℕ)
181, 17syl 17 . . . . 5 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℕ)
1918adantl 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ)
2016, 19nnaddcld 12345 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ((!‘𝑁) + 𝐼) ∈ ℕ)
21 ncoprmgcdgt1b 16698 . . 3 ((((!‘𝑁) + 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑖𝐼) ↔ 1 < (((!‘𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼)))
2220, 19, 21syl2anc 583 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑖𝐼) ↔ 1 < (((!‘𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼)))
2313, 22mpbid 232 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 1 < (((!‘𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  wrex 3076   class class class wbr 5166  cfv 6573  (class class class)co 7448  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324  cn 12293  2c2 12348  cz 12639  cuz 12903  ...cfz 13567  !cfa 14322  cdvds 16302   gcd cgcd 16540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-gcd 16541
This theorem is referenced by:  prmgap  17106
  Copyright terms: Public domain W3C validator