Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnvre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcnvre 24620
 Description: The derivative rule for inverse functions. If 𝐹 is a continuous and differentiable bijective function from 𝑋 to 𝑌 which never has derivative 0, then ◡𝐹 is also differentiable, and its derivative is the reciprocal of the derivative of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnvre.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ))
dvcnvre.d (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
dvcnvre.z (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
dvcnvre.1 (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
Assertion
Ref Expression
dvcnvre (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑥𝑌 ↦ (1 / ((ℝ D 𝐹)‘(𝐹𝑥)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Proof of Theorem dvcnvre
Dummy variables 𝑦 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2822 . 2 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21tgioo2 23406 . 2 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
3 reelprrecn 10618 . . 3 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
43a1i 11 . 2 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
5 retop 23365 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
6 dvcnvre.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
7 f1ofo 6604 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋onto𝑌)
8 forn 6575 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋onto𝑌 → ran 𝐹 = 𝑌)
96, 7, 83syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑌)
10 dvcnvre.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ))
11 cncff 23496 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
12 frn 6500 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
1310, 11, 123syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
149, 13eqsstrrd 3981 . . . . 5 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
15 uniretop 23366 . . . . . 6 ℝ = (topGen‘ran (,))
1615ntrss2 21660 . . . . 5 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
175, 14, 16sylancr 590 . . . 4 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
18 f1ocnvfv2 7017 . . . . . 6 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝑥𝑌) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
196, 18sylan 583 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
20 eqid 2822 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2120rexmet 23394 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
22 dvcnvre.d . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
23 dvbsss 24503 . . . . . . . . . . . . 13 dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ)
2522, 24eqsstrrd 3981 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
2615ntrss2 21660 . . . . . . . . . . 11 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
275, 25, 26sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
28 ax-resscn 10583 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3010, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
31 fss 6508 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3230, 28, 31sylancl 589 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
3329, 32, 25, 2, 1dvbssntr 24501 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
3422, 33eqsstrrd 3981 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
3527, 34eqssd 3959 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) = 𝑋)
3615isopn3 21669 . . . . . . . . . 10 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) = 𝑋))
375, 25, 36sylancr 590 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) = 𝑋))
3835, 37mpbird 260 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)))
39 f1ocnv 6609 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
40 f1of 6597 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑌1-1-onto𝑋𝐹:𝑌𝑋)
416, 39, 403syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
4241ffvelrnda 6833 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑋)
43 eqid 2822 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
4420, 43tgioo 23399 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
4544mopni2 23098 . . . . . . . 8 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
4621, 38, 42, 45mp3an2ani 1465 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑌) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
4710ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ))
4822ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
49 dvcnvre.z . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
5049ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
516ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
5242adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑋)
53 rphalfcl 12404 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
5453ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
5525ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝑋 ⊆ ℝ)
5655, 52sseldd 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
5754rpred 12419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
5856, 57resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
5956, 57readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
60 elicc2 12790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦𝑦 ≤ ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))))
6158, 59, 60syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦𝑦 ≤ ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))))
6261biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦𝑦 ≤ ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))))
6362simp1d 1139 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
6456adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
65 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
6665rpred 12419 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
6764, 66resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) − 𝑟) ∈ ℝ)
6858adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
6965, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
7069rpred 12419 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
71 rphalflt 12406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) < 𝑟)
7265, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑟 / 2) < 𝑟)
7370, 66, 64, 72ltsub2dd 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) − 𝑟) < ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)))
7462simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦)
7567, 68, 63, 73, 74ltletrd 10789 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) − 𝑟) < 𝑦)
7659adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
7764, 66readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) + 𝑟) ∈ ℝ)
7862simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 ≤ ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))
7970, 66, 64, 72ltadd2dd 10788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)) < ((𝐹𝑥) + 𝑟))
8063, 76, 77, 78, 79lelttrd 10787 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 < ((𝐹𝑥) + 𝑟))
8167rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) − 𝑟) ∈ ℝ*)
8277rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) + 𝑟) ∈ ℝ*)
83 elioo2 12767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹𝑥) − 𝑟) ∈ ℝ* ∧ ((𝐹𝑥) + 𝑟) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) − 𝑟) < 𝑦𝑦 < ((𝐹𝑥) + 𝑟))))
8481, 82, 83syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) − 𝑟) < 𝑦𝑦 < ((𝐹𝑥) + 𝑟))))
8563, 75, 80, 84mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟)))
8685ex 416 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))) → 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟))))
8786ssrdv 3948 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))) ⊆ (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟)))
88 rpre 12385 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
8988ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ)
9020bl2ioo 23395 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟)))
9156, 89, 90syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟)))
9287, 91sseqtrrd 3983 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))) ⊆ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟))
93 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
9492, 93sstrd 3952 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))) ⊆ 𝑋)
95 eqid 2822 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
96 eqid 2822 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
97 eqid 2822 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌)
9847, 48, 50, 51, 52, 54, 94, 95, 1, 96, 97dvcnvrelem2 24619 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((𝐹‘(𝐹𝑥)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(𝐹𝑥)))))
9946, 98rexlimddv 3277 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝐹‘(𝐹𝑥)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(𝐹𝑥)))))
10099simpld 498 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌))
10119, 100eqeltrrd 2915 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌))
10217, 101eqelssd 3963 . . 3 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) = 𝑌)
10315isopn3 21669 . . . 4 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ) → (𝑌 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) = 𝑌))
1045, 14, 103sylancr 590 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) = 𝑌))
105102, 104mpbird 260 . 2 (𝜑𝑌 ∈ (topGen‘ran (,)))
10699simprd 499 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(𝐹𝑥))))
10719fveq2d 6656 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(𝐹𝑥))) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))
108106, 107eleqtrd 2916 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))
109108ralrimiva 3174 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑌 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))
1101cnfldtopon 23386 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
11114, 28sstrdi 3954 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
112 resttopon 21764 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
113110, 111, 112sylancr 590 . . . . 5 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
11425, 28sstrdi 3954 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
115 resttopon 21764 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
116110, 114, 115sylancr 590 . . . . 5 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
117 cncnp 21883 . . . . 5 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋)) → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)) ↔ (𝐹:𝑌𝑋 ∧ ∀𝑥𝑌 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))))
118113, 116, 117syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)) ↔ (𝐹:𝑌𝑋 ∧ ∀𝑥𝑌 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))))
11941, 109, 118mpbir2and 712 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)))
1201, 97, 96cncfcn 23513 . . . 4 ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝑌cn𝑋) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)))
121111, 114, 120syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝑌cn𝑋) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)))
122119, 121eleqtrrd 2917 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝑌cn𝑋))
1231, 2, 4, 105, 6, 122, 22, 49dvcnv 24578 1 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑥𝑌 ↦ (1 / ((ℝ D 𝐹)‘(𝐹𝑥)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∀wral 3130  ∃wrex 3131   ⊆ wss 3908  {cpr 4541   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122   × cxp 5530  ◡ccnv 5531  dom cdm 5532  ran crn 5533   ↾ cres 5534   ∘ ccom 5536  ⟶wf 6330  –onto→wfo 6332  –1-1-onto→wf1o 6333  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  ℝ*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859   / cdiv 11286  2c2 11680  ℝ+crp 12377  (,)cioo 12726  [,]cicc 12729  abscabs 14584   ↾t crest 16685  TopOpenctopn 16686  topGenctg 16702  ∞Metcxmet 20074  ballcbl 20076  MetOpencmopn 20079  ℂfldccnfld 20089  Topctop 21496  TopOnctopon 21513  intcnt 21620   Cn ccn 21827   CnP ccnp 21828  –cn→ccncf 23479   D cdv 24464 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-topgen 16708  df-pt 16709  df-prds 16712  df-xrs 16766  df-qtop 16771  df-imas 16772  df-xps 16774  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-fbas 20086  df-fg 20087  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-lp 21739  df-perf 21740  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-haus 21918  df-cmp 21990  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cncf 23481  df-limc 24467  df-dv 24468 This theorem is referenced by:  dvrelog  25226
 Copyright terms: Public domain W3C validator