Theorem dvcnvre 25924

Description: The derivative rule for inverse functions. If 𝐹 is a continuous and differentiable bijective function from 𝑋 to 𝑌 which never has derivative 0, then ^◡𝐹 is also differentiable, and its derivative is the reciprocal of the derivative of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcnvre.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ))
dvcnvre.d	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
dvcnvre.z	⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
dvcnvre.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dvcnvre	⊢ (𝜑 → (ℝ D ◡𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ (1 / ((ℝ D 𝐹)‘(◡𝐹‘𝑥)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Proof of Theorem dvcnvre

Dummy variables 𝑦 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2		tgioo4 24693	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
3		reelprrecn 11160	. . 3 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
5		retop 24649	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
6		dvcnvre.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌)
7		f1ofo 6807	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → 𝐹:𝑋–onto→𝑌)
8		forn 6775	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋–onto→𝑌 → ran 𝐹 = 𝑌)
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑌)
10		dvcnvre.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ))
11		cncff 24786	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
12		frn 6695	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
14	9, 13	eqsstrrd 3982	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
15		uniretop 24650	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
16	15	ntrss2 22944	. . . . 5 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
17	5, 14, 16	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
18		f1ocnvfv2 7252	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
19	6, 18	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
20		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
21	20	rexmet 24679	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
22		dvcnvre.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
23		dvbsss 25803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ)
25	22, 24	eqsstrrd 3982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
26	15	ntrss2 22944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
27	5, 25, 26	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
28		ax-resscn 11125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
30	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
31		fss 6704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
32	30, 28, 31	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
33	29, 32, 25, 2, 1	dvbssntr 25801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
34	22, 33	eqsstrrd 3982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
35	27, 34	eqssd 3964	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) = 𝑋)
36	15	isopn3 22953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) = 𝑋))
37	5, 25, 36	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) = 𝑋))
38	35, 37	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)))
39		f1ocnv 6812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋)
40		f1of 6800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋 → ◡𝐹:𝑌⟶𝑋)
41	6, 39, 40	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝑌⟶𝑋)
42	41	ffvelcdmda 7056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ 𝑋)
43		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
44	20, 43	tgioo 24684	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
45	44	mopni2 24381	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (◡𝐹‘𝑥) ∈ 𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
46	21, 38, 42, 45	mp3an2ani 1470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
47	10	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ))
48	22	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
49		dvcnvre.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
50	49	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
51	6	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌)
52	42	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ 𝑋)
53		rphalfcl 12980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
54	53	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
55	25	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝑋 ⊆ ℝ)
56	55, 52	sseldd 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
57	54	rpred 12995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
58	56, 57	resubcld 11606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
59	56, 57	readdcld 11203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
60		elicc2 13372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))))
61	58, 59, 60	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))))
62	61	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))))
63	62	simp1d 1142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
64	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
65		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
66	65	rpred 12995	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
67	64, 66	resubcld 11606	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) ∈ ℝ)
68	58	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
69	65, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
70	69	rpred 12995	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
71		rphalflt 12982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) < 𝑟)
72	65, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑟 / 2) < 𝑟)
73	70, 66, 64, 72	ltsub2dd 11791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) < ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)))
74	62	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦)
75	67, 68, 63, 73, 74	ltletrd 11334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) < 𝑦)
76	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
77	64, 66	readdcld 11203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟) ∈ ℝ)
78	62	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 ≤ ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))
79	70, 66, 64, 72	ltadd2dd 11333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)) < ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟))
80	63, 76, 77, 78, 79	lelttrd 11332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 < ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟))
81	67	rexrd 11224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) ∈ ℝ*)
82	77	rexrd 11224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟) ∈ ℝ*)
83		elioo2 13347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) ∈ ℝ* ∧ ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) < 𝑦 ∧ 𝑦 < ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟))))
84	81, 82, 83	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) < 𝑦 ∧ 𝑦 < ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟))))
85	63, 75, 80, 84	mpbir3and 1343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟)))
86	85	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))) → 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟))))
87	86	ssrdv 3952	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))) ⊆ (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟)))
88		rpre 12960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
89	88	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ)
90	20	bl2ioo 24680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟)))
91	56, 89, 90	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟)))
92	87, 91	sseqtrrd 3984	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))) ⊆ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟))
93		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
94	92, 93	sstrd 3957	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))) ⊆ 𝑋)
95		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
96		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
97		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌)
98	47, 48, 50, 51, 52, 54, 94, 95, 1, 96, 97	dvcnvrelem2 25923	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ∧ ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)))))
99	46, 98	rexlimddv 3140	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ∧ ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)))))
100	99	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌))
101	19, 100	eqeltrrd 2829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌))
102	17, 101	eqelssd 3968	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) = 𝑌)
103	15	isopn3 22953	. . . 4 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ) → (𝑌 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) = 𝑌))
104	5, 14, 103	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) = 𝑌))
105	102, 104	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (topGen‘ran (,)))
106	99	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(◡𝐹‘𝑥))))
107	19	fveq2d 6862	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(◡𝐹‘𝑥))) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))
108	106, 107	eleqtrd 2830	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))
109	108	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑌 ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))
110	1	cnfldtopon 24670	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
111	14, 28	sstrdi 3959	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℂ)
112		resttopon 23048	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
113	110, 111, 112	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
114	25, 28	sstrdi 3959	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
115		resttopon 23048	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
116	110, 114, 115	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
117		cncnp 23167	. . . . 5 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋)) → (◡𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)) ↔ (◡𝐹:𝑌⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑌 ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))))
118	113, 116, 117	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)) ↔ (◡𝐹:𝑌⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑌 ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))))
119	41, 109, 118	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)))
120	1, 97, 96	cncfcn 24803	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝑌–cn→𝑋) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)))
121	111, 114, 120	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌–cn→𝑋) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)))
122	119, 121	eleqtrrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 ∈ (𝑌–cn→𝑋))
123	1, 2, 4, 105, 6, 122, 22, 49	dvcnv 25881	1 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ◡𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ (1 / ((ℝ D 𝐹)‘(◡𝐹‘𝑥)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914  {cpr 4591   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188   × cxp 5636  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   ↾ cres 5640   ∘ ccom 5642  ⟶wf 6507  –onto→wfo 6509  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405   / cdiv 11835  2c2 12241  ℝ⁺crp 12951  (,)cioo 13306  [,]cicc 13309  abscabs 15200   ↾_t crest 17383  TopOpenctopn 17384  topGenctg 17400  ∞Metcxmet 21249  ballcbl 21251  MetOpencmopn 21254  ℂ_fldccnfld 21264  Topctop 22780  TopOnctopon 22797  intcnt 22904   Cn ccn 23111   CnP ccnp 23112  –cn→ccncf 24769   D cdv 25764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-cmp 23274  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-limc 25767  df-dv 25768

This theorem is referenced by:  dvrelog  26546