Theorem dvcnvre 25420

Description: The derivative rule for inverse functions. If 𝐹 is a continuous and differentiable bijective function from 𝑋 to 𝑌 which never has derivative 0, then ^◡𝐹 is also differentiable, and its derivative is the reciprocal of the derivative of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcnvre.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ))
dvcnvre.d	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
dvcnvre.z	⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
dvcnvre.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dvcnvre	⊢ (𝜑 → (ℝ D ◡𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ (1 / ((ℝ D 𝐹)‘(◡𝐹‘𝑥)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Proof of Theorem dvcnvre

Dummy variables 𝑦 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	tgioo2 24203	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
3		reelprrecn 11152	. . 3 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
5		retop 24162	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
6		dvcnvre.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌)
7		f1ofo 6796	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → 𝐹:𝑋–onto→𝑌)
8		forn 6764	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋–onto→𝑌 → ran 𝐹 = 𝑌)
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑌)
10		dvcnvre.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ))
11		cncff 24293	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
12		frn 6680	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
14	9, 13	eqsstrrd 3986	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
15		uniretop 24163	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
16	15	ntrss2 22445	. . . . 5 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
17	5, 14, 16	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
18		f1ocnvfv2 7228	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
19	6, 18	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
20		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
21	20	rexmet 24191	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
22		dvcnvre.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
23		dvbsss 25303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ)
25	22, 24	eqsstrrd 3986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
26	15	ntrss2 22445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
27	5, 25, 26	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
28		ax-resscn 11117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
30	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
31		fss 6690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
32	30, 28, 31	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
33	29, 32, 25, 2, 1	dvbssntr 25301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
34	22, 33	eqsstrrd 3986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
35	27, 34	eqssd 3964	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) = 𝑋)
36	15	isopn3 22454	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) = 𝑋))
37	5, 25, 36	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) = 𝑋))
38	35, 37	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)))
39		f1ocnv 6801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋)
40		f1of 6789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋 → ◡𝐹:𝑌⟶𝑋)
41	6, 39, 40	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝑌⟶𝑋)
42	41	ffvelcdmda 7040	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ 𝑋)
43		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
44	20, 43	tgioo 24196	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
45	44	mopni2 23886	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (◡𝐹‘𝑥) ∈ 𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
46	21, 38, 42, 45	mp3an2ani 1468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
47	10	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ))
48	22	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
49		dvcnvre.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
50	49	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
51	6	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌)
52	42	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ 𝑋)
53		rphalfcl 12951	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
54	53	ad2antrl 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
55	25	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝑋 ⊆ ℝ)
56	55, 52	sseldd 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
57	54	rpred 12966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
58	56, 57	resubcld 11592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
59	56, 57	readdcld 11193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
60		elicc2 13339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))))
61	58, 59, 60	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))))
62	61	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))))
63	62	simp1d 1142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
64	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
65		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
66	65	rpred 12966	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
67	64, 66	resubcld 11592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) ∈ ℝ)
68	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
69	65, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
70	69	rpred 12966	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
71		rphalflt 12953	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) < 𝑟)
72	65, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑟 / 2) < 𝑟)
73	70, 66, 64, 72	ltsub2dd 11777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) < ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)))
74	62	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦)
75	67, 68, 63, 73, 74	ltletrd 11324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) < 𝑦)
76	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
77	64, 66	readdcld 11193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟) ∈ ℝ)
78	62	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 ≤ ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))
79	70, 66, 64, 72	ltadd2dd 11323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)) < ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟))
80	63, 76, 77, 78, 79	lelttrd 11322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 < ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟))
81	67	rexrd 11214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) ∈ ℝ*)
82	77	rexrd 11214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟) ∈ ℝ*)
83		elioo2 13315	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) ∈ ℝ* ∧ ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) < 𝑦 ∧ 𝑦 < ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟))))
84	81, 82, 83	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) < 𝑦 ∧ 𝑦 < ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟))))
85	63, 75, 80, 84	mpbir3and 1342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟)))
86	85	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))) → 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟))))
87	86	ssrdv 3953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))) ⊆ (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟)))
88		rpre 12932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
89	88	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ)
90	20	bl2ioo 24192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟)))
91	56, 89, 90	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟)))
92	87, 91	sseqtrrd 3988	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))) ⊆ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟))
93		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
94	92, 93	sstrd 3957	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))) ⊆ 𝑋)
95		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
96		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
97		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌)
98	47, 48, 50, 51, 52, 54, 94, 95, 1, 96, 97	dvcnvrelem2 25419	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ∧ ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)))))
99	46, 98	rexlimddv 3154	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ∧ ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)))))
100	99	simpld 495	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌))
101	19, 100	eqeltrrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌))
102	17, 101	eqelssd 3968	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) = 𝑌)
103	15	isopn3 22454	. . . 4 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ) → (𝑌 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) = 𝑌))
104	5, 14, 103	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) = 𝑌))
105	102, 104	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (topGen‘ran (,)))
106	99	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(◡𝐹‘𝑥))))
107	19	fveq2d 6851	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(◡𝐹‘𝑥))) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))
108	106, 107	eleqtrd 2834	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))
109	108	ralrimiva 3139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑌 ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))
110	1	cnfldtopon 24183	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
111	14, 28	sstrdi 3959	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℂ)
112		resttopon 22549	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
113	110, 111, 112	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
114	25, 28	sstrdi 3959	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
115		resttopon 22549	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
116	110, 114, 115	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
117		cncnp 22668	. . . . 5 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋)) → (◡𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)) ↔ (◡𝐹:𝑌⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑌 ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))))
118	113, 116, 117	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)) ↔ (◡𝐹:𝑌⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑌 ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))))
119	41, 109, 118	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)))
120	1, 97, 96	cncfcn 24310	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝑌–cn→𝑋) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)))
121	111, 114, 120	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌–cn→𝑋) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)))
122	119, 121	eleqtrrd 2835	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 ∈ (𝑌–cn→𝑋))
123	1, 2, 4, 105, 6, 122, 22, 49	dvcnv 25378	1 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ◡𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ (1 / ((ℝ D 𝐹)‘(◡𝐹‘𝑥)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3913  {cpr 4593   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   × cxp 5636  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   ↾ cres 5640   ∘ ccom 5642  ⟶wf 6497  –onto→wfo 6499  –1-1-onto→wf1o 6500  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  ℂcc 11058  ℝcr 11059  0cc0 11060  1c1 11061   + caddc 11063  ℝ^*cxr 11197   < clt 11198   ≤ cle 11199   − cmin 11394   / cdiv 11821  2c2 12217  ℝ⁺crp 12924  (,)cioo 13274  [,]cicc 13277  abscabs 15131   ↾_t crest 17316  TopOpenctopn 17317  topGenctg 17333  ∞Metcxmet 20818  ballcbl 20820  MetOpencmopn 20823  ℂ_fldccnfld 20833  Topctop 22279  TopOnctopon 22296  intcnt 22405   Cn ccn 22612   CnP ccnp 22613  –cn→ccncf 24276   D cdv 25264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138  ax-addf 11139  ax-mulf 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9356  df-sup 9387  df-inf 9388  df-oi 9455  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-q 12883  df-rp 12925  df-xneg 13042  df-xadd 13043  df-xmul 13044  df-ioo 13278  df-ico 13280  df-icc 13281  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-seq 13917  df-exp 13978  df-hash 14241  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-struct 17030  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-starv 17162  df-sca 17163  df-vsca 17164  df-ip 17165  df-tset 17166  df-ple 17167  df-ds 17169  df-unif 17170  df-hom 17171  df-cco 17172  df-rest 17318  df-topn 17319  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-topgen 17339  df-pt 17340  df-prds 17343  df-xrs 17398  df-qtop 17403  df-imas 17404  df-xps 17406  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-submnd 18616  df-mulg 18887  df-cntz 19111  df-cmn 19578  df-psmet 20825  df-xmet 20826  df-met 20827  df-bl 20828  df-mopn 20829  df-fbas 20830  df-fg 20831  df-cnfld 20834  df-top 22280  df-topon 22297  df-topsp 22319  df-bases 22333  df-cld 22407  df-ntr 22408  df-cls 22409  df-nei 22486  df-lp 22524  df-perf 22525  df-cn 22615  df-cnp 22616  df-haus 22703  df-cmp 22775  df-tx 22950  df-hmeo 23143  df-fil 23234  df-fm 23326  df-flim 23327  df-flf 23328  df-xms 23710  df-ms 23711  df-tms 23712  df-cncf 24278  df-limc 25267  df-dv 25268

This theorem is referenced by:  dvrelog  26029