Theorem dvcnvre 25383

Description: The derivative rule for inverse functions. If 𝐹 is a continuous and differentiable bijective function from 𝑋 to 𝑌 which never has derivative 0, then ^◡𝐹 is also differentiable, and its derivative is the reciprocal of the derivative of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcnvre.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ))
dvcnvre.d	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
dvcnvre.z	⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
dvcnvre.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dvcnvre	⊢ (𝜑 → (ℝ D ◡𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ (1 / ((ℝ D 𝐹)‘(◡𝐹‘𝑥)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Proof of Theorem dvcnvre

Dummy variables 𝑦 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	tgioo2 24166	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
3		reelprrecn 11143	. . 3 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
5		retop 24125	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
6		dvcnvre.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌)
7		f1ofo 6791	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → 𝐹:𝑋–onto→𝑌)
8		forn 6759	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋–onto→𝑌 → ran 𝐹 = 𝑌)
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑌)
10		dvcnvre.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ))
11		cncff 24256	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
12		frn 6675	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
14	9, 13	eqsstrrd 3983	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
15		uniretop 24126	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
16	15	ntrss2 22408	. . . . 5 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
17	5, 14, 16	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
18		f1ocnvfv2 7223	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
19	6, 18	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
20		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
21	20	rexmet 24154	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
22		dvcnvre.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
23		dvbsss 25266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ)
25	22, 24	eqsstrrd 3983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
26	15	ntrss2 22408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
27	5, 25, 26	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
28		ax-resscn 11108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
30	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
31		fss 6685	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
32	30, 28, 31	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
33	29, 32, 25, 2, 1	dvbssntr 25264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
34	22, 33	eqsstrrd 3983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
35	27, 34	eqssd 3961	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) = 𝑋)
36	15	isopn3 22417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) = 𝑋))
37	5, 25, 36	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) = 𝑋))
38	35, 37	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)))
39		f1ocnv 6796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋)
40		f1of 6784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋 → ◡𝐹:𝑌⟶𝑋)
41	6, 39, 40	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝑌⟶𝑋)
42	41	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ 𝑋)
43		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
44	20, 43	tgioo 24159	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
45	44	mopni2 23849	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (◡𝐹‘𝑥) ∈ 𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
46	21, 38, 42, 45	mp3an2ani 1468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
47	10	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ))
48	22	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
49		dvcnvre.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
50	49	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
51	6	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌)
52	42	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ 𝑋)
53		rphalfcl 12942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
54	53	ad2antrl 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
55	25	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝑋 ⊆ ℝ)
56	55, 52	sseldd 3945	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
57	54	rpred 12957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
58	56, 57	resubcld 11583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
59	56, 57	readdcld 11184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
60		elicc2 13329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))))
61	58, 59, 60	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))))
62	61	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))))
63	62	simp1d 1142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
64	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
65		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
66	65	rpred 12957	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
67	64, 66	resubcld 11583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) ∈ ℝ)
68	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
69	65, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
70	69	rpred 12957	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
71		rphalflt 12944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) < 𝑟)
72	65, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑟 / 2) < 𝑟)
73	70, 66, 64, 72	ltsub2dd 11768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) < ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)))
74	62	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦)
75	67, 68, 63, 73, 74	ltletrd 11315	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) < 𝑦)
76	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
77	64, 66	readdcld 11184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟) ∈ ℝ)
78	62	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 ≤ ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))
79	70, 66, 64, 72	ltadd2dd 11314	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)) < ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟))
80	63, 76, 77, 78, 79	lelttrd 11313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 < ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟))
81	67	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) ∈ ℝ*)
82	77	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟) ∈ ℝ*)
83		elioo2 13305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) ∈ ℝ* ∧ ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) < 𝑦 ∧ 𝑦 < ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟))))
84	81, 82, 83	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) < 𝑦 ∧ 𝑦 < ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟))))
85	63, 75, 80, 84	mpbir3and 1342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟)))
86	85	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))) → 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟))))
87	86	ssrdv 3950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))) ⊆ (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟)))
88		rpre 12923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
89	88	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ)
90	20	bl2ioo 24155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟)))
91	56, 89, 90	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟)))
92	87, 91	sseqtrrd 3985	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))) ⊆ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟))
93		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
94	92, 93	sstrd 3954	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))) ⊆ 𝑋)
95		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
96		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
97		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌)
98	47, 48, 50, 51, 52, 54, 94, 95, 1, 96, 97	dvcnvrelem2 25382	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ∧ ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)))))
99	46, 98	rexlimddv 3158	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ∧ ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)))))
100	99	simpld 495	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌))
101	19, 100	eqeltrrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌))
102	17, 101	eqelssd 3965	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) = 𝑌)
103	15	isopn3 22417	. . . 4 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ) → (𝑌 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) = 𝑌))
104	5, 14, 103	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) = 𝑌))
105	102, 104	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (topGen‘ran (,)))
106	99	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(◡𝐹‘𝑥))))
107	19	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(◡𝐹‘𝑥))) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))
108	106, 107	eleqtrd 2840	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))
109	108	ralrimiva 3143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑌 ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))
110	1	cnfldtopon 24146	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
111	14, 28	sstrdi 3956	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℂ)
112		resttopon 22512	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
113	110, 111, 112	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
114	25, 28	sstrdi 3956	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
115		resttopon 22512	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
116	110, 114, 115	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
117		cncnp 22631	. . . . 5 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋)) → (◡𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)) ↔ (◡𝐹:𝑌⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑌 ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))))
118	113, 116, 117	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)) ↔ (◡𝐹:𝑌⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑌 ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))))
119	41, 109, 118	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)))
120	1, 97, 96	cncfcn 24273	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝑌–cn→𝑋) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)))
121	111, 114, 120	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌–cn→𝑋) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)))
122	119, 121	eleqtrrd 2841	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 ∈ (𝑌–cn→𝑋))
123	1, 2, 4, 105, 6, 122, 22, 49	dvcnv 25341	1 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ◡𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ (1 / ((ℝ D 𝐹)‘(◡𝐹‘𝑥)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910  {cpr 4588   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   × cxp 5631  ^◡ccnv 5632  dom cdm 5633  ran crn 5634   ↾ cres 5635   ∘ ccom 5637  ⟶wf 6492  –onto→wfo 6494  –1-1-onto→wf1o 6495  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  ℝ⁺crp 12915  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  abscabs 15119   ↾_t crest 17302  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  ∞Metcxmet 20781  ballcbl 20783  MetOpencmopn 20786  ℂ_fldccnfld 20796  Topctop 22242  TopOnctopon 22259  intcnt 22368   Cn ccn 22575   CnP ccnp 22576  –cn→ccncf 24239   D cdv 25227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231

This theorem is referenced by:  dvrelog  25992