Theorem dvcnvre 25980

Description: The derivative rule for inverse functions. If 𝐹 is a continuous and differentiable bijective function from 𝑋 to 𝑌 which never has derivative 0, then ^◡𝐹 is also differentiable, and its derivative is the reciprocal of the derivative of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcnvre.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ))
dvcnvre.d	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
dvcnvre.z	⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
dvcnvre.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dvcnvre	⊢ (𝜑 → (ℝ D ◡𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ (1 / ((ℝ D 𝐹)‘(◡𝐹‘𝑥)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Proof of Theorem dvcnvre

Dummy variables 𝑦 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2		tgioo4 24749	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
3		reelprrecn 11118	. . 3 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
5		retop 24705	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
6		dvcnvre.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌)
7		f1ofo 6781	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → 𝐹:𝑋–onto→𝑌)
8		forn 6749	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋–onto→𝑌 → ran 𝐹 = 𝑌)
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑌)
10		dvcnvre.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ))
11		cncff 24842	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
12		frn 6669	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
14	9, 13	eqsstrrd 3969	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
15		uniretop 24706	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
16	15	ntrss2 23001	. . . . 5 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
17	5, 14, 16	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
18		f1ocnvfv2 7223	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
19	6, 18	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
20		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
21	20	rexmet 24735	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
22		dvcnvre.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
23		dvbsss 25859	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ)
25	22, 24	eqsstrrd 3969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
26	15	ntrss2 23001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
27	5, 25, 26	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
28		ax-resscn 11083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
30	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
31		fss 6678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
32	30, 28, 31	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
33	29, 32, 25, 2, 1	dvbssntr 25857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
34	22, 33	eqsstrrd 3969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
35	27, 34	eqssd 3951	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) = 𝑋)
36	15	isopn3 23010	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) = 𝑋))
37	5, 25, 36	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) = 𝑋))
38	35, 37	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)))
39		f1ocnv 6786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌 → ◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋)
40		f1of 6774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝐹:𝑌–1-1-onto→𝑋 → ◡𝐹:𝑌⟶𝑋)
41	6, 39, 40	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝑌⟶𝑋)
42	41	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ 𝑋)
43		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
44	20, 43	tgioo 24740	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
45	44	mopni2 24437	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (◡𝐹‘𝑥) ∈ 𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
46	21, 38, 42, 45	mp3an2ani 1470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
47	10	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ))
48	22	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
49		dvcnvre.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
50	49	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
51	6	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑌)
52	42	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ 𝑋)
53		rphalfcl 12934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
54	53	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
55	25	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝑋 ⊆ ℝ)
56	55, 52	sseldd 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
57	54	rpred 12949	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
58	56, 57	resubcld 11565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
59	56, 57	readdcld 11161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
60		elicc2 13327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))))
61	58, 59, 60	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))))
62	61	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))))
63	62	simp1d 1142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
64	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
65		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
66	65	rpred 12949	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
67	64, 66	resubcld 11565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) ∈ ℝ)
68	58	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
69	65, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
70	69	rpred 12949	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
71		rphalflt 12936	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) < 𝑟)
72	65, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑟 / 2) < 𝑟)
73	70, 66, 64, 72	ltsub2dd 11750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) < ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)))
74	62	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦)
75	67, 68, 63, 73, 74	ltletrd 11293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) < 𝑦)
76	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
77	64, 66	readdcld 11161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟) ∈ ℝ)
78	62	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 ≤ ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))
79	70, 66, 64, 72	ltadd2dd 11292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)) < ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟))
80	63, 76, 77, 78, 79	lelttrd 11291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 < ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟))
81	67	rexrd 11182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) ∈ ℝ*)
82	77	rexrd 11182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟) ∈ ℝ*)
83		elioo2 13302	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) ∈ ℝ* ∧ ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) < 𝑦 ∧ 𝑦 < ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟))))
84	81, 82, 83	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟) < 𝑦 ∧ 𝑦 < ((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟))))
85	63, 75, 80, 84	mpbir3and 1343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟)))
86	85	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))) → 𝑦 ∈ (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟))))
87	86	ssrdv 3939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))) ⊆ (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟)))
88		rpre 12914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
89	88	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ)
90	20	bl2ioo 24736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟)))
91	56, 89, 90	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((◡𝐹‘𝑥) − 𝑟)(,)((◡𝐹‘𝑥) + 𝑟)))
92	87, 91	sseqtrrd 3971	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))) ⊆ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟))
93		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
94	92, 93	sstrd 3944	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (((◡𝐹‘𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((◡𝐹‘𝑥) + (𝑟 / 2))) ⊆ 𝑋)
95		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
96		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
97		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌)
98	47, 48, 50, 51, 52, 54, 94, 95, 1, 96, 97	dvcnvrelem2 25979	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((◡𝐹‘𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ∧ ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)))))
99	46, 98	rexlimddv 3143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ∧ ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)))))
100	99	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌))
101	19, 100	eqeltrrd 2837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌))
102	17, 101	eqelssd 3955	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) = 𝑌)
103	15	isopn3 23010	. . . 4 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ) → (𝑌 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) = 𝑌))
104	5, 14, 103	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) = 𝑌))
105	102, 104	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (topGen‘ran (,)))
106	99	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(◡𝐹‘𝑥))))
107	19	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(◡𝐹‘𝑥))) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))
108	106, 107	eleqtrd 2838	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))
109	108	ralrimiva 3128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑌 ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))
110	1	cnfldtopon 24726	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
111	14, 28	sstrdi 3946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℂ)
112		resttopon 23105	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
113	110, 111, 112	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
114	25, 28	sstrdi 3946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
115		resttopon 23105	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
116	110, 114, 115	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
117		cncnp 23224	. . . . 5 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋)) → (◡𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)) ↔ (◡𝐹:𝑌⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑌 ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))))
118	113, 116, 117	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)) ↔ (◡𝐹:𝑌⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑌 ◡𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))))
119	41, 109, 118	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)))
120	1, 97, 96	cncfcn 24859	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝑌–cn→𝑋) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)))
121	111, 114, 120	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌–cn→𝑋) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)))
122	119, 121	eleqtrrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 ∈ (𝑌–cn→𝑋))
123	1, 2, 4, 105, 6, 122, 22, 49	dvcnv 25937	1 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ◡𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ (1 / ((ℝ D 𝐹)‘(◡𝐹‘𝑥)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3901  {cpr 4582   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624  ran crn 5625   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  –onto→wfo 6490  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364   / cdiv 11794  2c2 12200  ℝ⁺crp 12905  (,)cioo 13261  [,]cicc 13264  abscabs 15157   ↾_t crest 17340  TopOpenctopn 17341  topGenctg 17357  ∞Metcxmet 21294  ballcbl 21296  MetOpencmopn 21299  ℂ_fldccnfld 21309  Topctop 22837  TopOnctopon 22854  intcnt 22961   Cn ccn 23168   CnP ccnp 23169  –cn→ccncf 24825   D cdv 25820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-lp 23080  df-perf 23081  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-haus 23259  df-cmp 23331  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25823  df-dv 25824

This theorem is referenced by:  dvrelog  26602