MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnvre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcnvre 25383
Description: The derivative rule for inverse functions. If 𝐹 is a continuous and differentiable bijective function from 𝑋 to 𝑌 which never has derivative 0, then 𝐹 is also differentiable, and its derivative is the reciprocal of the derivative of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnvre.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ))
dvcnvre.d (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
dvcnvre.z (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
dvcnvre.1 (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
Assertion
Ref Expression
dvcnvre (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑥𝑌 ↦ (1 / ((ℝ D 𝐹)‘(𝐹𝑥)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Proof of Theorem dvcnvre
Dummy variables 𝑦 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . 2 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21tgioo2 24166 . 2 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
3 reelprrecn 11143 . . 3 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
43a1i 11 . 2 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
5 retop 24125 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
6 dvcnvre.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
7 f1ofo 6791 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋onto𝑌)
8 forn 6759 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋onto𝑌 → ran 𝐹 = 𝑌)
96, 7, 83syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑌)
10 dvcnvre.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ))
11 cncff 24256 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
12 frn 6675 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
1310, 11, 123syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
149, 13eqsstrrd 3983 . . . . 5 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
15 uniretop 24126 . . . . . 6 ℝ = (topGen‘ran (,))
1615ntrss2 22408 . . . . 5 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
175, 14, 16sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
18 f1ocnvfv2 7223 . . . . . 6 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝑥𝑌) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
196, 18sylan 580 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
20 eqid 2736 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2120rexmet 24154 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
22 dvcnvre.d . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
23 dvbsss 25266 . . . . . . . . . . . . 13 dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ)
2522, 24eqsstrrd 3983 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
2615ntrss2 22408 . . . . . . . . . . 11 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
275, 25, 26sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
28 ax-resscn 11108 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3010, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
31 fss 6685 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3230, 28, 31sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
3329, 32, 25, 2, 1dvbssntr 25264 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
3422, 33eqsstrrd 3983 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋))
3527, 34eqssd 3961 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) = 𝑋)
3615isopn3 22417 . . . . . . . . . 10 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) = 𝑋))
375, 25, 36sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑋) = 𝑋))
3835, 37mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)))
39 f1ocnv 6796 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
40 f1of 6784 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑌1-1-onto𝑋𝐹:𝑌𝑋)
416, 39, 403syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
4241ffvelcdmda 7035 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑋)
43 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
4420, 43tgioo 24159 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
4544mopni2 23849 . . . . . . . 8 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑋 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
4621, 38, 42, 45mp3an2ani 1468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑌) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
4710ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ))
4822ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
49 dvcnvre.z . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
5049ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
516ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
5242adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑋)
53 rphalfcl 12942 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
5453ad2antrl 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
5525ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝑋 ⊆ ℝ)
5655, 52sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
5754rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
5856, 57resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
5956, 57readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
60 elicc2 13329 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦𝑦 ≤ ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))))
6158, 59, 60syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦𝑦 ≤ ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))))
6261biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦𝑦 ≤ ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))))
6362simp1d 1142 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
6456adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
65 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
6665rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
6764, 66resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) − 𝑟) ∈ ℝ)
6858adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
6965, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
7069rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
71 rphalflt 12944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) < 𝑟)
7265, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑟 / 2) < 𝑟)
7370, 66, 64, 72ltsub2dd 11768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) − 𝑟) < ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)))
7462simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2)) ≤ 𝑦)
7567, 68, 63, 73, 74ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) − 𝑟) < 𝑦)
7659adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
7764, 66readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) + 𝑟) ∈ ℝ)
7862simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 ≤ ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))
7970, 66, 64, 72ltadd2dd 11314 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)) < ((𝐹𝑥) + 𝑟))
8063, 76, 77, 78, 79lelttrd 11313 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 < ((𝐹𝑥) + 𝑟))
8167rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) − 𝑟) ∈ ℝ*)
8277rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑥) + 𝑟) ∈ ℝ*)
83 elioo2 13305 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹𝑥) − 𝑟) ∈ ℝ* ∧ ((𝐹𝑥) + 𝑟) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) − 𝑟) < 𝑦𝑦 < ((𝐹𝑥) + 𝑟))))
8481, 82, 83syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → (𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) − 𝑟) < 𝑦𝑦 < ((𝐹𝑥) + 𝑟))))
8563, 75, 80, 84mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2)))) → 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟)))
8685ex 413 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))) → 𝑦 ∈ (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟))))
8786ssrdv 3950 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))) ⊆ (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟)))
88 rpre 12923 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
8988ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ)
9020bl2ioo 24155 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟)))
9156, 89, 90syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((𝐹𝑥) − 𝑟)(,)((𝐹𝑥) + 𝑟)))
9287, 91sseqtrrd 3985 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))) ⊆ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟))
93 simprr 771 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)
9492, 93sstrd 3954 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → (((𝐹𝑥) − (𝑟 / 2))[,]((𝐹𝑥) + (𝑟 / 2))) ⊆ 𝑋)
95 eqid 2736 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
96 eqid 2736 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
97 eqid 2736 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌)
9847, 48, 50, 51, 52, 54, 94, 95, 1, 96, 97dvcnvrelem2 25382 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐹𝑥)(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑋)) → ((𝐹‘(𝐹𝑥)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(𝐹𝑥)))))
9946, 98rexlimddv 3158 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝐹‘(𝐹𝑥)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(𝐹𝑥)))))
10099simpld 495 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌))
10119, 100eqeltrrd 2839 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌))
10217, 101eqelssd 3965 . . 3 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) = 𝑌)
10315isopn3 22417 . . . 4 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ) → (𝑌 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) = 𝑌))
1045, 14, 103sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝑌) = 𝑌))
105102, 104mpbird 256 . 2 (𝜑𝑌 ∈ (topGen‘ran (,)))
10699simprd 496 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(𝐹𝑥))))
10719fveq2d 6846 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘(𝐹‘(𝐹𝑥))) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))
108106, 107eleqtrd 2840 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))
109108ralrimiva 3143 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑌 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))
1101cnfldtopon 24146 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
11114, 28sstrdi 3956 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
112 resttopon 22512 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
113110, 111, 112sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
11425, 28sstrdi 3956 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
115 resttopon 22512 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
116110, 114, 115sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
117 cncnp 22631 . . . . 5 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋)) → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)) ↔ (𝐹:𝑌𝑋 ∧ ∀𝑥𝑌 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))))
118113, 116, 117syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)) ↔ (𝐹:𝑌𝑋 ∧ ∀𝑥𝑌 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))‘𝑥))))
11941, 109, 118mpbir2and 711 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)))
1201, 97, 96cncfcn 24273 . . . 4 ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝑌cn𝑋) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)))
121111, 114, 120syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑌cn𝑋) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑌) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)))
122119, 121eleqtrrd 2841 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝑌cn𝑋))
1231, 2, 4, 105, 6, 122, 22, 49dvcnv 25341 1 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑥𝑌 ↦ (1 / ((ℝ D 𝐹)‘(𝐹𝑥)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  wss 3910  {cpr 4588   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  ccnv 5632  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  ccom 5637  wf 6492  ontowfo 6494  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  +crp 12915  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  abscabs 15119  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  ∞Metcxmet 20781  ballcbl 20783  MetOpencmopn 20786  fldccnfld 20796  Topctop 22242  TopOnctopon 22259  intcnt 22368   Cn ccn 22575   CnP ccnp 22576  cnccncf 24239   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  dvrelog  25992
  Copyright terms: Public domain W3C validator