Theorem dvmptres2 25470

Description: Function-builder for derivative: restrict a derivative to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptadd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptadd.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptadd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptadd.da	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
dvmptres2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝑋)
dvmptres2.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvmptres2.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvmptres2.i	⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑍) = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dvmptres2	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem dvmptres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptadd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		recnprss 25412	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
4		dvmptadd.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	fmpttd 7111	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
6		dvmptadd.da	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
7	6	dmeqd 5903	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
8		dvmptadd.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
9	8	ralrimiva 3146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ 𝑉)
10		dmmptg 6238	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = 𝑋)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = 𝑋)
12	7, 11	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = 𝑋)
13		dvbsss 25410	. . . 4 ⊢ dom (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ⊆ 𝑆
14	12, 13	eqsstrrdi 4036	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
15		dvmptres2.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝑋)
16	15, 14	sstrd 3991	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝑆)
17		dvmptres2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
18		dvmptres2.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
19	17, 18	dvres 25419	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑆)) → (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑍)) = ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)))
20	3, 5, 14, 16, 19	syl22anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑍)) = ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)))
21	15	resmptd 6038	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑍) = (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))
22	21	oveq2d 7421	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑍)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)))
23	6	reseq1d 5978	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)) = ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)))
24		dvmptres2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑍) = 𝑌)
25	24	reseq2d 5979	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)) = ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ 𝑌))
26	17	cnfldtopon 24290	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
27		resttopon 22656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
28	26, 3, 27	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
29	18, 28	eqeltrid 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆))
30		topontop 22406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝐽 ∈ Top)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
32		toponuni 22407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ 𝐽)
33	29, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ 𝐽)
34	16, 33	sseqtrd 4021	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ∪ 𝐽)
35		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
36	35	ntrss2 22552	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑍 ⊆ ∪ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑍) ⊆ 𝑍)
37	31, 34, 36	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑍) ⊆ 𝑍)
38	24, 37	eqsstrrd 4020	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑍)
39	38, 15	sstrd 3991	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
40	39	resmptd 6038	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ 𝑌) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵))
41	23, 25, 40	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵))
42	20, 22, 41	3eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ⊆ wss 3947  {cpr 4629  ∪ cuni 4907   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675   ↾ cres 5677  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  ℝcr 11105   ↾_t crest 17362  TopOpenctopn 17363  ℂ_fldccnfld 20936  Topctop 22386  TopOnctopon 22403  intcnt 22512   D cdv 25371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-rest 17364  df-topn 17365  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-cnp 22723  df-xms 23817  df-ms 23818  df-limc 25374  df-dv 25375

This theorem is referenced by:  dvmptres  25471  dvmptcmul  25472  rolle  25498  mvth  25500  itgpowd  25558  taylthlem1  25876  pige3ALT  26020  logccv  26162  lgamgulmlem2  26523  dvrelog2  40917  dvrelog3  40918  lhe4.4ex1a  43073  binomcxplemdvbinom  43097  binomcxplemnotnn0  43100  itgsinexplem1  44656  dirkeritg  44804  fourierdlem39  44848  etransclem46  44982