MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptres2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptres2 26000
Description: Function-builder for derivative: restrict a derivative to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptadd.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptadd.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
dvmptadd.da (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
dvmptres2.z (𝜑𝑍𝑋)
dvmptres2.j 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
dvmptres2.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvmptres2.i (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑍) = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
dvmptres2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑍𝐴)) = (𝑥𝑌𝐵))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem dvmptres2
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 recnprss 25939 . . . 4 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
4 dvmptadd.a . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
54fmpttd 7135 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
6 dvmptadd.da . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
76dmeqd 5916 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = dom (𝑥𝑋𝐵))
8 dvmptadd.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
98ralrimiva 3146 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐵𝑉)
10 dmmptg 6262 . . . . . 6 (∀𝑥𝑋 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝑋𝐵) = 𝑋)
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝑋𝐵) = 𝑋)
127, 11eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = 𝑋)
13 dvbsss 25937 . . . 4 dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ⊆ 𝑆
1412, 13eqsstrrdi 4029 . . 3 (𝜑𝑋𝑆)
15 dvmptres2.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑋)
1615, 14sstrd 3994 . . 3 (𝜑𝑍𝑆)
17 dvmptres2.k . . . 4 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
18 dvmptres2.j . . . 4 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
1917, 18dvres 25946 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋𝑆𝑍𝑆)) → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑍)) = ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)))
203, 5, 14, 16, 19syl22anc 839 . 2 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑍)) = ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)))
2115resmptd 6058 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑍) = (𝑥𝑍𝐴))
2221oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑍)) = (𝑆 D (𝑥𝑍𝐴)))
236reseq1d 5996 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)) = ((𝑥𝑋𝐵) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)))
24 dvmptres2.i . . . 4 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑍) = 𝑌)
2524reseq2d 5997 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐵) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)) = ((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑌))
2617cnfldtopon 24803 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
27 resttopon 23169 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
2826, 3, 27sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
2918, 28eqeltrid 2845 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆))
30 topontop 22919 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝐽 ∈ Top)
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Top)
32 toponuni 22920 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = 𝐽)
3329, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 = 𝐽)
3416, 33sseqtrd 4020 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 𝐽)
35 eqid 2737 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
3635ntrss2 23065 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑍 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑍) ⊆ 𝑍)
3731, 34, 36syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑍) ⊆ 𝑍)
3824, 37eqsstrrd 4019 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑍)
3938, 15sstrd 3994 . . . 4 (𝜑𝑌𝑋)
4039resmptd 6058 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑌) = (𝑥𝑌𝐵))
4123, 25, 403eqtrd 2781 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)) = (𝑥𝑌𝐵))
4220, 22, 413eqtr3d 2785 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑍𝐴)) = (𝑥𝑌𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wss 3951  {cpr 4628   cuni 4907  cmpt 5225  dom cdm 5685  cres 5687  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  fldccnfld 21364  Topctop 22899  TopOnctopon 22916  intcnt 23025   D cdv 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-cnp 23236  df-xms 24330  df-ms 24331  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  dvmptres  26001  dvmptcmul  26002  rolle  26028  mvth  26031  itgpowd  26091  taylthlem1  26415  pige3ALT  26562  logccv  26705  lgamgulmlem2  27073  dvrelog2  42065  dvrelog3  42066  lhe4.4ex1a  44348  binomcxplemdvbinom  44372  binomcxplemnotnn0  44375  itgsinexplem1  45969  dirkeritg  46117  fourierdlem39  46161  etransclem46  46295
  Copyright terms: Public domain W3C validator