MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptres2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptres2 24486
Description: Function-builder for derivative: restrict a derivative to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptadd.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptadd.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
dvmptadd.da (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
dvmptres2.z (𝜑𝑍𝑋)
dvmptres2.j 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
dvmptres2.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvmptres2.i (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑍) = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
dvmptres2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑍𝐴)) = (𝑥𝑌𝐵))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem dvmptres2
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 recnprss 24429 . . . 4 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
4 dvmptadd.a . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
54fmpttd 6871 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
6 dvmptadd.da . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
76dmeqd 5767 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = dom (𝑥𝑋𝐵))
8 dvmptadd.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
98ralrimiva 3179 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐵𝑉)
10 dmmptg 6089 . . . . . 6 (∀𝑥𝑋 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝑋𝐵) = 𝑋)
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝑋𝐵) = 𝑋)
127, 11eqtrd 2853 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = 𝑋)
13 dvbsss 24427 . . . 4 dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ⊆ 𝑆
1412, 13eqsstrrdi 4019 . . 3 (𝜑𝑋𝑆)
15 dvmptres2.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑋)
1615, 14sstrd 3974 . . 3 (𝜑𝑍𝑆)
17 dvmptres2.k . . . 4 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
18 dvmptres2.j . . . 4 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
1917, 18dvres 24436 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋𝑆𝑍𝑆)) → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑍)) = ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)))
203, 5, 14, 16, 19syl22anc 834 . 2 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑍)) = ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)))
2115resmptd 5901 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑍) = (𝑥𝑍𝐴))
2221oveq2d 7161 . 2 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑍)) = (𝑆 D (𝑥𝑍𝐴)))
236reseq1d 5845 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)) = ((𝑥𝑋𝐵) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)))
24 dvmptres2.i . . . 4 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑍) = 𝑌)
2524reseq2d 5846 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐵) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)) = ((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑌))
2617cnfldtopon 23318 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
27 resttopon 21697 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
2826, 3, 27sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
2918, 28eqeltrid 2914 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆))
30 topontop 21449 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝐽 ∈ Top)
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Top)
32 toponuni 21450 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = 𝐽)
3329, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 = 𝐽)
3416, 33sseqtrd 4004 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 𝐽)
35 eqid 2818 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
3635ntrss2 21593 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑍 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑍) ⊆ 𝑍)
3731, 34, 36syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑍) ⊆ 𝑍)
3824, 37eqsstrrd 4003 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑍)
3938, 15sstrd 3974 . . . 4 (𝜑𝑌𝑋)
4039resmptd 5901 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑌) = (𝑥𝑌𝐵))
4123, 25, 403eqtrd 2857 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)) = (𝑥𝑌𝐵))
4220, 22, 413eqtr3d 2861 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑍𝐴)) = (𝑥𝑌𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wss 3933  {cpr 4559   cuni 4830  cmpt 5137  dom cdm 5548  cres 5550  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  t crest 16682  TopOpenctopn 16683  fldccnfld 20473  Topctop 21429  TopOnctopon 21446  intcnt 21553   D cdv 24388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-rest 16684  df-topn 16685  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-cnp 21764  df-xms 22857  df-ms 22858  df-limc 24391  df-dv 24392
This theorem is referenced by:  dvmptres  24487  dvmptcmul  24488  rolle  24514  mvth  24516  taylthlem1  24888  pige3ALT  25032  logccv  25173  lgamgulmlem2  25534  itgpowd  39699  lhe4.4ex1a  40538  binomcxplemdvbinom  40562  binomcxplemnotnn0  40565  itgsinexplem1  42115  dirkeritg  42264  fourierdlem39  42308  etransclem46  42442
  Copyright terms: Public domain W3C validator