MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptres2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptres2 24242
Description: Function-builder for derivative: restrict a derivative to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptadd.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptadd.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
dvmptadd.da (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
dvmptres2.z (𝜑𝑍𝑋)
dvmptres2.j 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
dvmptres2.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvmptres2.i (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑍) = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
dvmptres2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑍𝐴)) = (𝑥𝑌𝐵))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem dvmptres2
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 recnprss 24185 . . . 4 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
4 dvmptadd.a . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
54fmpttd 6742 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
6 dvmptadd.da . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
76dmeqd 5660 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = dom (𝑥𝑋𝐵))
8 dvmptadd.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
98ralrimiva 3149 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐵𝑉)
10 dmmptg 5971 . . . . . 6 (∀𝑥𝑋 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝑋𝐵) = 𝑋)
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝑋𝐵) = 𝑋)
127, 11eqtrd 2831 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = 𝑋)
13 dvbsss 24183 . . . 4 dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ⊆ 𝑆
1412, 13syl6eqssr 3943 . . 3 (𝜑𝑋𝑆)
15 dvmptres2.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑋)
1615, 14sstrd 3899 . . 3 (𝜑𝑍𝑆)
17 dvmptres2.k . . . 4 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
18 dvmptres2.j . . . 4 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
1917, 18dvres 24192 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋𝑆𝑍𝑆)) → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑍)) = ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)))
203, 5, 14, 16, 19syl22anc 835 . 2 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑍)) = ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)))
2115resmptd 5789 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑍) = (𝑥𝑍𝐴))
2221oveq2d 7032 . 2 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑍)) = (𝑆 D (𝑥𝑍𝐴)))
236reseq1d 5733 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)) = ((𝑥𝑋𝐵) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)))
24 dvmptres2.i . . . 4 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑍) = 𝑌)
2524reseq2d 5734 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐵) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)) = ((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑌))
2617cnfldtopon 23074 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
27 resttopon 21453 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
2826, 3, 27sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
2918, 28syl5eqel 2887 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆))
30 topontop 21205 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝐽 ∈ Top)
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Top)
32 toponuni 21206 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = 𝐽)
3329, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 = 𝐽)
3416, 33sseqtrd 3928 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 𝐽)
35 eqid 2795 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
3635ntrss2 21349 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑍 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑍) ⊆ 𝑍)
3731, 34, 36syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑍) ⊆ 𝑍)
3824, 37eqsstrrd 3927 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑍)
3938, 15sstrd 3899 . . . 4 (𝜑𝑌𝑋)
4039resmptd 5789 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑌) = (𝑥𝑌𝐵))
4123, 25, 403eqtrd 2835 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)) = (𝑥𝑌𝐵))
4220, 22, 413eqtr3d 2839 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑍𝐴)) = (𝑥𝑌𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wral 3105  wss 3859  {cpr 4474   cuni 4745  cmpt 5041  dom cdm 5443  cres 5445  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  cc 10381  cr 10382  t crest 16523  TopOpenctopn 16524  fldccnfld 20227  Topctop 21185  TopOnctopon 21202  intcnt 21309   D cdv 24144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-fz 12743  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-rest 16525  df-topn 16526  df-topgen 16546  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-cnp 21520  df-xms 22613  df-ms 22614  df-limc 24147  df-dv 24148
This theorem is referenced by:  dvmptres  24243  dvmptcmul  24244  rolle  24270  mvth  24272  taylthlem1  24644  pige3ALT  24788  logccv  24927  lgamgulmlem2  25289  itgpowd  39306  lhe4.4ex1a  40199  binomcxplemdvbinom  40223  binomcxplemnotnn0  40226  itgsinexplem1  41780  dirkeritg  41929  fourierdlem39  41973  etransclem46  42107
  Copyright terms: Public domain W3C validator