Theorem dvbss 25827

Description: The set of differentiable points is a subset of the domain of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dvbss	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem dvbss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		dvcl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		dvcl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
4		eqid 2731	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
5		eqid 2731	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6	1, 2, 3, 4, 5	dvbssntr 25826	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝐴))
7	5	cnfldtop 24696	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
8		cnex 11084	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
9		ssexg 5261	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
10	1, 8, 9	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
11		resttop 23073	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
12	7, 10, 11	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
13	5	cnfldtopon 24695	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
14		resttopon 23074	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
15	13, 1, 14	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
16		toponuni 22827	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
18	3, 17	sseqtrd 3971	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
19		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
20	19	ntrss2 22970	. . 3 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
21	12, 18, 20	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
22	6, 21	sstrd 3945	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902  ∪ cuni 4859  dom cdm 5616  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11001   ↾_t crest 17321  TopOpenctopn 17322  ℂ_fldccnfld 21289  Topctop 22806  TopOnctopon 22823  intcnt 22930   D cdv 25789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-fz 13405  df-seq 13906  df-exp 13966  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-struct 17055  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-rest 17323  df-topn 17324  df-topgen 17344  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-cnfld 21290  df-top 22807  df-topon 22824  df-topsp 22846  df-bases 22859  df-ntr 22933  df-cnp 23141  df-xms 24233  df-ms 24234  df-limc 25792  df-dv 25793

This theorem is referenced by:  dvbsss  25828  dvres3  25839  dvres3a  25840  dvidlem  25841  dvcnp  25845  dvnff  25850  dvnres  25858  cpnord  25862  dvmulbr  25866  dvmulbrOLD  25867  dvaddf  25870  dvmulf  25871  dvcmul  25872  dvcobr  25874  dvcobrOLD  25875  dvcof  25877  dvcjbr  25878  dvrec  25884  dvcnv  25906  dvlipcn  25924  dvlip2  25925  lhop  25946  dvtaylp  26303  ulmdv  26337  pserdv  26364  unbdqndv1  36541  unbdqndv2  36544  knoppndv  36567  fourierdlem80  46223  fourierdlem94  46237  fourierdlem113  46256