Theorem lgamucov2 26926

Description: The 𝑈 regions used in the proof of lgamgulm 26922 have interiors which cover the entire domain of the Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgamucov.u	⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamucov.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Assertion

Ref	Expression
lgamucov2	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑟,𝑥,𝐴   𝜑,𝑘,𝑟,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑘,𝑟)

Proof of Theorem lgamucov2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgamucov.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
2		lgamucov.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
3		eqid 2726	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4	1, 2, 3	lgamucov 26925	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ 𝐴 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑈))
5	3	cnfldtop 24655	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
6	1	ssrab3 4075	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ⊆ ℂ
7		unicntop 24657	. . . . . 6 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
8	7	ntrss2 22916	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝑈 ⊆ ℂ) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑈) ⊆ 𝑈)
9	5, 6, 8	mp2an 689	. . . 4 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑈) ⊆ 𝑈
10	9	sseli 3973	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑈) → 𝐴 ∈ 𝑈)
11	10	reximi 3078	. 2 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℕ 𝐴 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑈) → ∃𝑟 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑈)
12	4, 11	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ∃wrex 3064  {crab 3426   ∖ cdif 3940   ⊆ wss 3943   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℂcc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   ≤ cle 11253   / cdiv 11875  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  abscabs 15187  TopOpenctopn 17376  ℂ_fldccnfld 21240  Topctop 22750  intcnt 22876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-fz 13491  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-rest 17377  df-topn 17378  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-xms 24181  df-ms 24182

This theorem is referenced by:  lgamcvglem  26927