Theorem lgamucov2 27003

Description: The 𝑈 regions used in the proof of lgamgulm 26999 have interiors which cover the entire domain of the Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgamucov.u	⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamucov.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Assertion

Ref	Expression
lgamucov2	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑟,𝑥,𝐴   𝜑,𝑘,𝑟,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑘,𝑟)

Proof of Theorem lgamucov2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgamucov.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
2		lgamucov.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
3		eqid 2734	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4	1, 2, 3	lgamucov 27002	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ 𝐴 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑈))
5	3	cnfldtop 24725	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
6	1	ssrab3 4032	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ⊆ ℂ
7		unicntop 24727	. . . . . 6 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
8	7	ntrss2 22999	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝑈 ⊆ ℂ) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑈) ⊆ 𝑈)
9	5, 6, 8	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑈) ⊆ 𝑈
10	9	sseli 3927	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑈) → 𝐴 ∈ 𝑈)
11	10	reximi 3072	. 2 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℕ 𝐴 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑈) → ∃𝑟 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑈)
12	4, 11	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  {crab 3397   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  1c1 11025   + caddc 11027   ≤ cle 11165   / cdiv 11792  ℕcn 12143  ℕ₀cn0 12399  ℤcz 12486  abscabs 15155  TopOpenctopn 17339  ℂ_fldccnfld 21307  Topctop 22835  intcnt 22959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-fz 13422  df-fl 13710  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-struct 17072  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-rest 17340  df-topn 17341  df-topgen 17361  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-xms 24262  df-ms 24263

This theorem is referenced by:  lgamcvglem  27004