Theorem lgamucov2 25333

Description: The 𝑈 regions used in the proof of lgamgulm 25329 have interiors which cover the entire domain of the Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgamucov.u	⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamucov.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Assertion

Ref	Expression
lgamucov2	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑟,𝑥,𝐴   𝜑,𝑘,𝑟,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑘,𝑟)

Proof of Theorem lgamucov2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgamucov.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑟 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑟) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
2		lgamucov.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
3		eqid 2771	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4	1, 2, 3	lgamucov 25332	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ 𝐴 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑈))
5	3	cnfldtop 23110	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
6	1	ssrab3 3940	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ⊆ ℂ
7		unicntop 23112	. . . . . 6 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
8	7	ntrss2 21384	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝑈 ⊆ ℂ) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑈) ⊆ 𝑈)
9	5, 6, 8	mp2an 680	. . . 4 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑈) ⊆ 𝑈
10	9	sseli 3847	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑈) → 𝐴 ∈ 𝑈)
11	10	reximi 3183	. 2 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℕ 𝐴 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑈) → ∃𝑟 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑈)
12	4, 11	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  ∀wral 3081  ∃wrex 3082  {crab 3085   ∖ cdif 3819   ⊆ wss 3822   class class class wbr 4925  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974  ℂcc 10331  1c1 10334   + caddc 10336   ≤ cle 10473   / cdiv 11096  ℕcn 11437  ℕ₀cn0 11705  ℤcz 11791  abscabs 14452  TopOpenctopn 16549  ℂ_fldccnfld 20262  Topctop 21220  intcnt 21344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-fi 8668  df-sup 8699  df-inf 8700  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-q 12161  df-rp 12203  df-xneg 12322  df-xadd 12323  df-xmul 12324  df-ioo 12556  df-fz 12707  df-fl 12975  df-seq 13183  df-exp 13243  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-starv 16434  df-tset 16438  df-ple 16439  df-ds 16441  df-unif 16442  df-rest 16550  df-topn 16551  df-topgen 16571  df-psmet 20254  df-xmet 20255  df-met 20256  df-bl 20257  df-mopn 20258  df-cnfld 20263  df-top 21221  df-topon 21238  df-topsp 21260  df-bases 21273  df-cld 21346  df-ntr 21347  df-xms 22648  df-ms 22649

This theorem is referenced by:  lgamcvglem  25334