Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvresntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvresntr 45335
Description: Function-builder for derivative: expand the function from an open set to its closure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvresntr.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
dvresntr.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
dvresntr.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvresntr.j 𝐽 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
dvresntr.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
dvresntr.i (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹) = π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
dvresntr (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹) = (𝑆 D (𝐹 β†Ύ π‘Œ)))

Proof of Theorem dvresntr
StepHypRef Expression
1 dvresntr.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
2 dvresntr.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
3 dvresntr.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
4 dvresntr.k . . . 4 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
5 dvresntr.j . . . 4 𝐽 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
64, 5dvres 25860 . . 3 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚) ∧ (𝑋 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑋)) = ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹)))
71, 2, 3, 3, 6syl22anc 837 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑋)) = ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹)))
8 ffn 6727 . . . 4 (𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
9 fnresdm 6679 . . . 4 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑋) = 𝐹)
102, 8, 93syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑋) = 𝐹)
1110oveq2d 7442 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑋)) = (𝑆 D 𝐹))
124cnfldtopon 24719 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
13 resttopon 23085 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
1412, 1, 13sylancr 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
155, 14eqeltrid 2833 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
16 topontop 22835 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ 𝐽 ∈ Top)
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
18 toponuni 22836 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 = βˆͺ 𝐽)
1915, 18syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 = βˆͺ 𝐽)
203, 19sseqtrd 4022 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝐽)
21 eqid 2728 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2221ntridm 22992 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜((intβ€˜π½)β€˜π‘‹)) = ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹))
2317, 20, 22syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π½)β€˜((intβ€˜π½)β€˜π‘‹)) = ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹))
24 dvresntr.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹) = π‘Œ)
2524fveq2d 6906 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π½)β€˜((intβ€˜π½)β€˜π‘‹)) = ((intβ€˜π½)β€˜π‘Œ))
2623, 25, 243eqtr3d 2776 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘Œ) = π‘Œ)
2726reseq2d 5989 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π½)β€˜π‘Œ)) = ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ π‘Œ))
2821ntrss2 22981 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹) βŠ† 𝑋)
2917, 20, 28syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹) βŠ† 𝑋)
3024, 29eqsstrrd 4021 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
3130, 3sstrd 3992 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑆)
324, 5dvres 25860 . . . 4 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚) ∧ (𝑋 βŠ† 𝑆 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑆)) β†’ (𝑆 D (𝐹 β†Ύ π‘Œ)) = ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π½)β€˜π‘Œ)))
331, 2, 3, 31, 32syl22anc 837 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 β†Ύ π‘Œ)) = ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π½)β€˜π‘Œ)))
3424reseq2d 5989 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹)) = ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ π‘Œ))
3527, 33, 343eqtr4rd 2779 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹)) = (𝑆 D (𝐹 β†Ύ π‘Œ)))
367, 11, 353eqtr3d 2776 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹) = (𝑆 D (𝐹 β†Ύ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4912   β†Ύ cres 5684   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144   β†Ύt crest 17409  TopOpenctopn 17410  β„‚fldccnfld 21286  Topctop 22815  TopOnctopon 22832  intcnt 22941   D cdv 25812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-rest 17411  df-topn 17412  df-topgen 17432  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-cnp 23152  df-xms 24246  df-ms 24247  df-limc 25815  df-dv 25816
This theorem is referenced by:  fourierdlem73  45596
  Copyright terms: Public domain W3C validator