Theorem dvresntr 43714

Description: Function-builder for derivative: expand the function from an open set to its closure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvresntr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvresntr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvresntr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvresntr.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvresntr.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvresntr.i	⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dvresntr	⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑌)))

Proof of Theorem dvresntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvresntr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		dvresntr.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3		dvresntr.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
4		dvresntr.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
5		dvresntr.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
6	4, 5	dvres 25155	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)))
7	1, 2, 3, 3, 6	syl22anc 836	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)))
8		ffn 6637	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝑋)
9		fnresdm 6589	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → (𝐹 ↾ 𝑋) = 𝐹)
10	2, 8, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑋) = 𝐹)
11	10	oveq2d 7332	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑋)) = (𝑆 D 𝐹))
12	4	cnfldtopon 24026	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
13		resttopon 22392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
14	12, 1, 13	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
15	5, 14	eqeltrid 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆))
16		topontop 22142	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝐽 ∈ Top)
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
18		toponuni 22143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ 𝐽)
19	15, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ 𝐽)
20	3, 19	sseqtrd 3970	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽)
21		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
22	21	ntridm 22299	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑋))
23	17, 20, 22	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑋))
24		dvresntr.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑌)
25	24	fveq2d 6815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑌))
26	23, 25, 24	3eqtr3d 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑌) = 𝑌)
27	26	reseq2d 5910	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝑌))
28	21	ntrss2 22288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑋) ⊆ 𝑋)
29	17, 20, 28	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) ⊆ 𝑋)
30	24, 29	eqsstrrd 3969	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
31	30, 3	sstrd 3940	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑆)
32	4, 5	dvres 25155	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑆)) → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑌)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)))
33	1, 2, 3, 31, 32	syl22anc 836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑌)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)))
34	24	reseq2d 5910	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝑌))
35	27, 33, 34	3eqtr4rd 2787	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)) = (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑌)))
36	7, 11, 35	3eqtr3d 2784	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3896  ∪ cuni 4849   ↾ cres 5609   Fn wfn 6460  ⟶wf 6461  ‘cfv 6465  (class class class)co 7316  ℂcc 10948   ↾_t crest 17205  TopOpenctopn 17206  ℂ_fldccnfld 20677  Topctop 22122  TopOnctopon 22139  intcnt 22248   D cdv 25107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-er 8547  df-map 8666  df-pm 8667  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-fi 9246  df-sup 9277  df-inf 9278  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-4 12117  df-5 12118  df-6 12119  df-7 12120  df-8 12121  df-9 12122  df-n0 12313  df-z 12399  df-dec 12517  df-uz 12662  df-q 12768  df-rp 12810  df-xneg 12927  df-xadd 12928  df-xmul 12929  df-fz 13319  df-seq 13801  df-exp 13862  df-cj 14886  df-re 14887  df-im 14888  df-sqrt 15022  df-abs 15023  df-struct 16922  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-plusg 17049  df-mulr 17050  df-starv 17051  df-tset 17055  df-ple 17056  df-ds 17058  df-unif 17059  df-rest 17207  df-topn 17208  df-topgen 17228  df-psmet 20669  df-xmet 20670  df-met 20671  df-bl 20672  df-mopn 20673  df-cnfld 20678  df-top 22123  df-topon 22140  df-topsp 22162  df-bases 22176  df-cld 22250  df-ntr 22251  df-cls 22252  df-cnp 22459  df-xms 23553  df-ms 23554  df-limc 25110  df-dv 25111

This theorem is referenced by:  fourierdlem73  43975