Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvresntr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvresntr 45188
Description: Function-builder for derivative: expand the function from an open set to its closure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvresntr.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
dvresntr.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
dvresntr.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvresntr.j 𝐽 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
dvresntr.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
dvresntr.i (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹) = π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
dvresntr (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹) = (𝑆 D (𝐹 β†Ύ π‘Œ)))
Proof of Theorem dvresntr
StepHypRef Expression
1 dvresntr.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
2 dvresntr.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
3 dvresntr.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
4 dvresntr.k . . . 4 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
5 dvresntr.j . . . 4 𝐽 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
64, 5dvres 25790 . . 3 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚) ∧ (𝑋 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑋)) = ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹)))
71, 2, 3, 3, 6syl22anc 836 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑋)) = ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹)))
8 ffn 6710 . . . 4 (𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
9 fnresdm 6662 . . . 4 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑋) = 𝐹)
102, 8, 93syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑋) = 𝐹)
1110oveq2d 7420 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑋)) = (𝑆 D 𝐹))
124cnfldtopon 24649 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
13 resttopon 23015 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
1412, 1, 13sylancr 586 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
155, 14eqeltrid 2831 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
16 topontop 22765 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ 𝐽 ∈ Top)
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
18 toponuni 22766 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 = βˆͺ 𝐽)
1915, 18syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 = βˆͺ 𝐽)
203, 19sseqtrd 4017 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝐽)
21 eqid 2726 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2221ntridm 22922 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜((intβ€˜π½)β€˜π‘‹)) = ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹))
2317, 20, 22syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π½)β€˜((intβ€˜π½)β€˜π‘‹)) = ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹))
24 dvresntr.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹) = π‘Œ)
2524fveq2d 6888 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π½)β€˜((intβ€˜π½)β€˜π‘‹)) = ((intβ€˜π½)β€˜π‘Œ))
2623, 25, 243eqtr3d 2774 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘Œ) = π‘Œ)
2726reseq2d 5974 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π½)β€˜π‘Œ)) = ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ π‘Œ))
2821ntrss2 22911 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹) βŠ† 𝑋)
2917, 20, 28syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹) βŠ† 𝑋)
3024, 29eqsstrrd 4016 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
3130, 3sstrd 3987 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑆)
324, 5dvres 25790 . . . 4 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚) ∧ (𝑋 βŠ† 𝑆 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑆)) β†’ (𝑆 D (𝐹 β†Ύ π‘Œ)) = ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π½)β€˜π‘Œ)))
331, 2, 3, 31, 32syl22anc 836 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 β†Ύ π‘Œ)) = ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π½)β€˜π‘Œ)))
3424reseq2d 5974 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹)) = ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ π‘Œ))
3527, 33, 343eqtr4rd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹)) = (𝑆 D (𝐹 β†Ύ π‘Œ)))
367, 11, 353eqtr3d 2774 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹) = (𝑆 D (𝐹 β†Ύ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902   β†Ύ cres 5671   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107   β†Ύt crest 17372  TopOpenctopn 17373  β„‚fldccnfld 21235  Topctop 22745  TopOnctopon 22762  intcnt 22871   D cdv 25742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-fz 13488  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-rest 17374  df-topn 17375  df-topgen 17395  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-cnp 23082  df-xms 24176  df-ms 24177  df-limc 25745  df-dv 25746
This theorem is referenced by:  fourierdlem73  45449
  Copyright terms: Public domain W3C validator