Theorem dvresntr 40643

Description: Function-builder for derivative: expand the function from an open set to its closure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvresntr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvresntr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvresntr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvresntr.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvresntr.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvresntr.i	⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dvresntr	⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑌)))

Proof of Theorem dvresntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvresntr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		dvresntr.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3		dvresntr.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
4		dvresntr.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
5		dvresntr.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
6	4, 5	dvres 23888	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)))
7	1, 2, 3, 3, 6	syl22anc 1477	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)))
8		ffn 6183	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝑋)
9		fnresdm 6138	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → (𝐹 ↾ 𝑋) = 𝐹)
10	2, 8, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑋) = 𝐹)
11	10	oveq2d 6807	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑋)) = (𝑆 D 𝐹))
12	4	cnfldtopon 22799	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
13		resttopon 21179	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
14	12, 1, 13	sylancr 575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
15	5, 14	syl5eqel 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆))
16		topontop 20931	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝐽 ∈ Top)
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
18		toponuni 20932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ 𝐽)
19	15, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ 𝐽)
20	3, 19	sseqtrd 3790	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽)
21		eqid 2771	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
22	21	ntridm 21086	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑋))
23	17, 20, 22	syl2anc 573	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑋))
24		dvresntr.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑌)
25	24	fveq2d 6334	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑌))
26	23, 25, 24	3eqtr3d 2813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑌) = 𝑌)
27	26	reseq2d 5532	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝑌))
28	21	ntrss2 21075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑋) ⊆ 𝑋)
29	17, 20, 28	syl2anc 573	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) ⊆ 𝑋)
30	24, 29	eqsstr3d 3789	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
31	30, 3	sstrd 3762	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑆)
32	4, 5	dvres 23888	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑆)) → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑌)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)))
33	1, 2, 3, 31, 32	syl22anc 1477	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑌)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)))
34	24	reseq2d 5532	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝑌))
35	27, 33, 34	3eqtr4rd 2816	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)) = (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑌)))
36	7, 11, 35	3eqtr3d 2813	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3723  ∪ cuni 4574   ↾ cres 5251   Fn wfn 6024  ⟶wf 6025  ‘cfv 6029  (class class class)co 6791  ℂcc 10134   ↾_t crest 16282  TopOpenctopn 16283  ℂ_fldccnfld 19954  Topctop 20911  TopOnctopon 20928  intcnt 21035   D cdv 23840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12144  df-xadd 12145  df-xmul 12146  df-fz 12527  df-seq 13002  df-exp 13061  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-starv 16157  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-unif 16166  df-rest 16284  df-topn 16285  df-topgen 16305  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-cnp 21246  df-xms 22338  df-ms 22339  df-limc 23843  df-dv 23844

This theorem is referenced by:  fourierdlem73  40906