Theorem dvresntr 40612

Description: Function-builder for derivative: expand the function from an open set to its closure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvresntr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvresntr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvresntr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvresntr.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvresntr.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvresntr.i	⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dvresntr	⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑌)))

Proof of Theorem dvresntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvresntr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		dvresntr.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3		dvresntr.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
4		dvresntr.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
5		dvresntr.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
6	4, 5	dvres 23889	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)))
7	1, 2, 3, 3, 6	syl22anc 858	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)))
8		ffn 6256	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝑋)
9		fnresdm 6211	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → (𝐹 ↾ 𝑋) = 𝐹)
10	2, 8, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑋) = 𝐹)
11	10	oveq2d 6890	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑋)) = (𝑆 D 𝐹))
12	4	cnfldtopon 22799	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
13		resttopon 21179	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
14	12, 1, 13	sylancr 577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
15	5, 14	syl5eqel 2889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆))
16		topontop 20931	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝐽 ∈ Top)
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
18		toponuni 20932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ 𝐽)
19	15, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ 𝐽)
20	3, 19	sseqtrd 3838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽)
21		eqid 2806	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
22	21	ntridm 21086	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑋))
23	17, 20, 22	syl2anc 575	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑋))
24		dvresntr.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑌)
25	24	fveq2d 6412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑌))
26	23, 25, 24	3eqtr3d 2848	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑌) = 𝑌)
27	26	reseq2d 5597	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝑌))
28	21	ntrss2 21075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑋) ⊆ 𝑋)
29	17, 20, 28	syl2anc 575	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) ⊆ 𝑋)
30	24, 29	eqsstr3d 3837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
31	30, 3	sstrd 3808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑆)
32	4, 5	dvres 23889	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑆)) → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑌)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)))
33	1, 2, 3, 31, 32	syl22anc 858	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑌)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)))
34	24	reseq2d 5597	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝑌))
35	27, 33, 34	3eqtr4rd 2851	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)) = (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑌)))
36	7, 11, 35	3eqtr3d 2848	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1637   ∈ wcel 2156   ⊆ wss 3769  ∪ cuni 4630   ↾ cres 5313   Fn wfn 6096  ⟶wf 6097  ‘cfv 6101  (class class class)co 6874  ℂcc 10219   ↾_t crest 16286  TopOpenctopn 16287  ℂ_fldccnfld 19954  Topctop 20911  TopOnctopon 20928  intcnt 21035   D cdv 23841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-oadd 7800  df-er 7979  df-map 8094  df-pm 8095  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-fi 8556  df-sup 8587  df-inf 8588  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-4 11366  df-5 11367  df-6 11368  df-7 11369  df-8 11370  df-9 11371  df-n0 11560  df-z 11644  df-dec 11760  df-uz 11905  df-q 12008  df-rp 12047  df-xneg 12162  df-xadd 12163  df-xmul 12164  df-fz 12550  df-seq 13025  df-exp 13084  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-struct 16070  df-ndx 16071  df-slot 16072  df-base 16074  df-plusg 16166  df-mulr 16167  df-starv 16168  df-tset 16172  df-ple 16173  df-ds 16175  df-unif 16176  df-rest 16288  df-topn 16289  df-topgen 16309  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-cnp 21246  df-xms 22338  df-ms 22339  df-limc 23844  df-dv 23845

This theorem is referenced by:  fourierdlem73  40875