Theorem dvresntr 42209

Description: Function-builder for derivative: expand the function from an open set to its closure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvresntr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvresntr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvresntr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvresntr.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvresntr.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvresntr.i	⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dvresntr	⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑌)))

Proof of Theorem dvresntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvresntr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		dvresntr.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3		dvresntr.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
4		dvresntr.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
5		dvresntr.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
6	4, 5	dvres 24511	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)))
7	1, 2, 3, 3, 6	syl22anc 836	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)))
8		ffn 6516	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝑋)
9		fnresdm 6468	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → (𝐹 ↾ 𝑋) = 𝐹)
10	2, 8, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑋) = 𝐹)
11	10	oveq2d 7174	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑋)) = (𝑆 D 𝐹))
12	4	cnfldtopon 23393	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
13		resttopon 21771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
14	12, 1, 13	sylancr 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
15	5, 14	eqeltrid 2919	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆))
16		topontop 21523	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝐽 ∈ Top)
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
18		toponuni 21524	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ 𝐽)
19	15, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ 𝐽)
20	3, 19	sseqtrd 4009	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽)
21		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
22	21	ntridm 21678	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑋))
23	17, 20, 22	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑋))
24		dvresntr.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑌)
25	24	fveq2d 6676	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑌))
26	23, 25, 24	3eqtr3d 2866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑌) = 𝑌)
27	26	reseq2d 5855	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝑌))
28	21	ntrss2 21667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑋) ⊆ 𝑋)
29	17, 20, 28	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) ⊆ 𝑋)
30	24, 29	eqsstrrd 4008	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
31	30, 3	sstrd 3979	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑆)
32	4, 5	dvres 24511	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑆)) → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑌)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)))
33	1, 2, 3, 31, 32	syl22anc 836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑌)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)))
34	24	reseq2d 5855	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝑌))
35	27, 33, 34	3eqtr4rd 2869	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)) = (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑌)))
36	7, 11, 35	3eqtr3d 2866	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3938  ∪ cuni 4840   ↾ cres 5559   Fn wfn 6352  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537   ↾_t crest 16696  TopOpenctopn 16697  ℂ_fldccnfld 20547  Topctop 21503  TopOnctopon 21520  intcnt 21627   D cdv 24463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-rest 16698  df-topn 16699  df-topgen 16719  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cld 21629  df-ntr 21630  df-cls 21631  df-cnp 21838  df-xms 22932  df-ms 22933  df-limc 24466  df-dv 24467

This theorem is referenced by:  fourierdlem73  42471