Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvresntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvresntr 40643
Description: Function-builder for derivative: expand the function from an open set to its closure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvresntr.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
dvresntr.x (𝜑𝑋𝑆)
dvresntr.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvresntr.j 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
dvresntr.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvresntr.i (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
dvresntr (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑆 D (𝐹𝑌)))

Proof of Theorem dvresntr
StepHypRef Expression
1 dvresntr.s . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
2 dvresntr.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
3 dvresntr.x . . 3 (𝜑𝑋𝑆)
4 dvresntr.k . . . 4 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
5 dvresntr.j . . . 4 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
64, 5dvres 23888 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋𝑆𝑋𝑆)) → (𝑆 D (𝐹𝑋)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)))
71, 2, 3, 3, 6syl22anc 1477 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑋)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)))
8 ffn 6183 . . . 4 (𝐹:𝑋⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝑋)
9 fnresdm 6138 . . . 4 (𝐹 Fn 𝑋 → (𝐹𝑋) = 𝐹)
102, 8, 93syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 𝐹)
1110oveq2d 6807 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑋)) = (𝑆 D 𝐹))
124cnfldtopon 22799 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
13 resttopon 21179 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
1412, 1, 13sylancr 575 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
155, 14syl5eqel 2854 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆))
16 topontop 20931 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝐽 ∈ Top)
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ Top)
18 toponuni 20932 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = 𝐽)
1915, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 = 𝐽)
203, 19sseqtrd 3790 . . . . . 6 (𝜑𝑋 𝐽)
21 eqid 2771 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
2221ntridm 21086 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 𝐽) → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑋))
2317, 20, 22syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑋))
24 dvresntr.i . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑌)
2524fveq2d 6334 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑌))
2623, 25, 243eqtr3d 2813 . . . 4 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑌) = 𝑌)
2726reseq2d 5532 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝑌))
2821ntrss2 21075 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑋) ⊆ 𝑋)
2917, 20, 28syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) ⊆ 𝑋)
3024, 29eqsstr3d 3789 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑋)
3130, 3sstrd 3762 . . . 4 (𝜑𝑌𝑆)
324, 5dvres 23888 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋𝑆𝑌𝑆)) → (𝑆 D (𝐹𝑌)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)))
331, 2, 3, 31, 32syl22anc 1477 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑌)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)))
3424reseq2d 5532 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝑌))
3527, 33, 343eqtr4rd 2816 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)) = (𝑆 D (𝐹𝑌)))
367, 11, 353eqtr3d 2813 1 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑆 D (𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723   cuni 4574  cres 5251   Fn wfn 6024  wf 6025  cfv 6029  (class class class)co 6791  cc 10134  t crest 16282  TopOpenctopn 16283  fldccnfld 19954  Topctop 20911  TopOnctopon 20928  intcnt 21035   D cdv 23840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12144  df-xadd 12145  df-xmul 12146  df-fz 12527  df-seq 13002  df-exp 13061  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-starv 16157  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-unif 16166  df-rest 16284  df-topn 16285  df-topgen 16305  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-cnp 21246  df-xms 22338  df-ms 22339  df-limc 23843  df-dv 23844
This theorem is referenced by:  fourierdlem73  40906
  Copyright terms: Public domain W3C validator