Theorem dvmptntr 25923

Description: Function-builder for derivative: expand the function from an open set to its closure. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptntr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvmptntr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvmptntr.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptntr.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvmptntr.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvmptntr.i	⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dvmptntr	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem dvmptntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptntr.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
2		dvmptntr.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
3	2	cnfldtopon 24719	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4		dvmptntr.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
5		resttopon 23085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
6	3, 4, 5	sylancr 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
7	1, 6	eqeltrid 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆))
8		topontop 22835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝐽 ∈ Top)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
10		dvmptntr.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
11		toponuni 22836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ 𝐽)
12	7, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ 𝐽)
13	10, 12	sseqtrd 4022	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽)
14		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
15	14	ntridm 22992	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑋))
16	9, 13, 15	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑋))
17		dvmptntr.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑌)
18	17	fveq2d 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑌))
19	16, 18	eqtr3d 2770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = ((int‘𝐽)‘𝑌))
20	19	reseq2d 5989	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)))
21		dvmptntr.a	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
22	21	fmpttd 7130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
23	2, 1	dvres 25860	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)))
24	4, 22, 10, 10, 23	syl22anc 837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)))
25	14	ntrss2 22981	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑋) ⊆ 𝑋)
26	9, 13, 25	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) ⊆ 𝑋)
27	17, 26	eqsstrrd 4021	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
28	27, 10	sstrd 3992	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑆)
29	2, 1	dvres 25860	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑆)) → (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌)) = ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)))
30	4, 22, 10, 28, 29	syl22anc 837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌)) = ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)))
31	20, 24, 30	3eqtr4d 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋)) = (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌)))
32		ssid 4004	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
33		resmpt 6046	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
34	32, 33	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
35	34	oveq2d 7442	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)))
36	31, 35	eqtr3d 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)))
37	27	resmptd 6049	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴))
38	37	oveq2d 7442	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴)))
39	36, 38	eqtr3d 2770	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3949  ∪ cuni 4912   ↦ cmpt 5235   ↾ cres 5684  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℂcc 11144   ↾_t crest 17409  TopOpenctopn 17410  ℂ_fldccnfld 21286  Topctop 22815  TopOnctopon 22832  intcnt 22941   D cdv 25812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-rest 17411  df-topn 17412  df-topgen 17432  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-cnp 23152  df-xms 24246  df-ms 24247  df-limc 25815  df-dv 25816

This theorem is referenced by:  rolle  25942  cmvth  25943  cmvthOLD  25944  dvlip  25946  dvlipcn  25947  dvle  25960  dvfsumabs  25977  ftc2  25999  itgparts  26002  itgsubstlem  26003  lgamgulmlem2  26982  ftc2nc  37208  areacirc  37219  itgsin0pilem1  45367  itgsbtaddcnst  45399