Theorem dvmptntr 26284

Description: Function-builder for derivative: expand the function from an open set to its closure. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptntr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvmptntr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvmptntr.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptntr.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvmptntr.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvmptntr.i	⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dvmptntr	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem dvmptntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptntr.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
2		dvmptntr.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
3	2	cnfldtopon 25094	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4		dvmptntr.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
5		resttopon 23472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
6	3, 4, 5	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
7	1, 6	eqeltrid 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆))
8		topontop 23224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝐽 ∈ Top)
9	7, 8	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
10		dvmptntr.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
11		toponuni 23225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ 𝐽)
12	7, 11	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ 𝐽)
13	10, 12	sseqtrd 3967	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽)
14		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
15	14	ntridm 23379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑋))
16	9, 13, 15	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑋))
17		dvmptntr.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑌)
18	17	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑌))
19	16, 18	eqtr3d 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = ((int‘𝐽)‘𝑌))
20	19	reseq2d 5970	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)))
21		dvmptntr.a	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
22	21	fmpttd 7113	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
23	2, 1	dvres 26224	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)))
24	4, 22, 10, 10, 23	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)))
25	14	ntrss2 23368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑋) ⊆ 𝑋)
26	9, 13, 25	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) ⊆ 𝑋)
27	17, 26	eqsstrrd 3966	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
28	27, 10	sstrd 3941	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑆)
29	2, 1	dvres 26224	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑆)) → (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌)) = ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)))
30	4, 22, 10, 28, 29	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌)) = ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)))
31	20, 24, 30	3eqtr4d 2806	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋)) = (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌)))
32		ssid 3953	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
33		resmpt 6029	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
34	32, 33	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
35	34	oveq2d 7434	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)))
36	31, 35	eqtr3d 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)))
37	27	resmptd 6032	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴))
38	37	oveq2d 7434	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴)))
39	36, 38	eqtr3d 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5653  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191   ↾_t crest 17584  TopOpenctopn 17585  ℂ_fldccnfld 21671  Topctop 23204  TopOnctopon 23221  intcnt 23328   D cdv 26176

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-fz 13633  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-struct 17318  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-rest 17586  df-topn 17587  df-topgen 17607  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cld 23330  df-ntr 23331  df-cls 23332  df-cnp 23539  df-xms 24632  df-ms 24633  df-limc 26179  df-dv 26180

This theorem is used by:  rolle  26303  cmvth  26304  dvlip  26306  dvlipcn  26307  dvle  26320  dvfsumabs  26336  ftc2  26357  itgparts  26360  itgsubstlem  26361  lgamgulmlem2  27350  ftc2nc  38600  areacirc  38611  itgsin0pilem1  46929  itgsbtaddcnst  46961