Theorem dvmptntr 25487

Description: Function-builder for derivative: expand the function from an open set to its closure. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptntr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvmptntr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvmptntr.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptntr.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvmptntr.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvmptntr.i	⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dvmptntr	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem dvmptntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptntr.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
2		dvmptntr.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
3	2	cnfldtopon 24298	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4		dvmptntr.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
5		resttopon 22664	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
6	3, 4, 5	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
7	1, 6	eqeltrid 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆))
8		topontop 22414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝐽 ∈ Top)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
10		dvmptntr.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
11		toponuni 22415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ 𝐽)
12	7, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ 𝐽)
13	10, 12	sseqtrd 4022	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽)
14		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
15	14	ntridm 22571	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑋))
16	9, 13, 15	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑋))
17		dvmptntr.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑌)
18	17	fveq2d 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑌))
19	16, 18	eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = ((int‘𝐽)‘𝑌))
20	19	reseq2d 5981	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)))
21		dvmptntr.a	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
22	21	fmpttd 7114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
23	2, 1	dvres 25427	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)))
24	4, 22, 10, 10, 23	syl22anc 837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋)) = ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)))
25	14	ntrss2 22560	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑋) ⊆ 𝑋)
26	9, 13, 25	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) ⊆ 𝑋)
27	17, 26	eqsstrrd 4021	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
28	27, 10	sstrd 3992	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑆)
29	2, 1	dvres 25427	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑆)) → (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌)) = ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)))
30	4, 22, 10, 28, 29	syl22anc 837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌)) = ((𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)))
31	20, 24, 30	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋)) = (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌)))
32		ssid 4004	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
33		resmpt 6037	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
34	32, 33	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
35	34	oveq2d 7424	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑋)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)))
36	31, 35	eqtr3d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)))
37	27	resmptd 6040	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴))
38	37	oveq2d 7424	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴)))
39	36, 38	eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948  ∪ cuni 4908   ↦ cmpt 5231   ↾ cres 5678  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℂcc 11107   ↾_t crest 17365  TopOpenctopn 17366  ℂ_fldccnfld 20943  Topctop 22394  TopOnctopon 22411  intcnt 22520   D cdv 25379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-topn 17368  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-cnp 22731  df-xms 23825  df-ms 23826  df-limc 25382  df-dv 25383

This theorem is referenced by:  rolle  25506  cmvth  25507  dvlip  25509  dvlipcn  25510  dvle  25523  dvfsumabs  25539  ftc2  25560  itgparts  25563  itgsubstlem  25564  lgamgulmlem2  26531  gg-cmvth  35176  ftc2nc  36565  areacirc  36576  itgsin0pilem1  44656  itgsbtaddcnst  44688