Theorem dvmptcmul 26022

Description: Function-builder for derivative, product rule for constant multiplier. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptadd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptadd.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptadd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptadd.da	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
dvmptcmul.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
dvmptcmul	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐶 · 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐶 · 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem dvmptcmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptadd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvmptcmul.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
4		0cnd 11283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℂ)
5	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐶 ∈ ℂ)
6		0cnd 11283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℂ)
7	1, 2	dvmptc 26016	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0))
8		dvmptadd.da	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
9	8	dmeqd 5930	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
10		dvmptadd.b	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
11	10	ralrimiva 3152	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ 𝑉)
12		dmmptg 6273	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = 𝑋)
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = 𝑋)
14	9, 13	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = 𝑋)
15		dvbsss 25957	. . . . 5 ⊢ dom (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ⊆ 𝑆
16	14, 15	eqsstrrdi 4064	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
17		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
18		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
19	18	cnfldtopon 24824	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
20		recnprss 25959	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
21	1, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
22		resttopon 23190	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
23	19, 21, 22	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
24		topontop 22940	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
26		toponuni 22941	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
27	23, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
28	16, 27	sseqtrd 4049	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
29		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
30	29	ntrss2 23086	. . . . . 6 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
31	25, 28, 30	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
32		dvmptadd.a	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
33	32	fmpttd 7149	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
34	21, 33, 16, 17, 18	dvbssntr 25955	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
35	14, 34	eqsstrrd 4048	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
36	31, 35	eqssd 4026	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) = 𝑋)
37	1, 5, 6, 7, 16, 17, 18, 36	dvmptres2 26020	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
38	1, 3, 4, 37, 32, 10, 8	dvmptmul 26019	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐶 · 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶))))
39	32	mul02d 11488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 · 𝐴) = 0)
40	39	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶)) = (0 + (𝐵 · 𝐶)))
41	1, 32, 10, 8	dvmptcl 26017	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
42	41, 3	mulcld 11310	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
43	42	addlidd 11491	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 + (𝐵 · 𝐶)) = (𝐵 · 𝐶))
44	41, 3	mulcomd 11311	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
45	40, 43, 44	3eqtrd 2784	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶)) = (𝐶 · 𝐵))
46	45	mpteq2dva 5266	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐶 · 𝐵)))
47	38, 46	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐶 · 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐶 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   ⊆ wss 3976  {cpr 4650  ∪ cuni 4931   ↦ cmpt 5249  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184   + caddc 11187   · cmul 11189   ↾_t crest 17480  TopOpenctopn 17481  ℂ_fldccnfld 21387  Topctop 22920  TopOnctopon 22937  intcnt 23046   D cdv 25918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922

This theorem is referenced by:  dvmptdivc  26023  dvmptneg  26024  dvmptre  26027  dvmptim  26028  dvsincos  26039  cmvth  26049  cmvthOLD  26050  dvlipcn  26053  dvivthlem1  26067  dvfsumle  26080  dvfsumleOLD  26081  dvfsumabs  26083  dvfsumlem2  26087  dvfsumlem2OLD  26088  dvply1  26343  dvtaylp  26430  pserdvlem2  26490  pige3ALT  26580  dvcxp1  26800  dvcxp2  26801  dvcncxp1  26803  dvatan  26996  divsqrtsumlem  27041  lgamgulmlem2  27091  logexprlim  27287  log2sumbnd  27606  itgexpif  34583  dvasin  37664  areacirclem1  37668  lcmineqlem12  41997  aks4d1p1p6  42030  lhe4.4ex1a  44298  expgrowthi  44302  expgrowth  44304  fourierdlem39  46067