Theorem dvmptcmul 26013

Description: Function-builder for derivative, product rule for constant multiplier. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptadd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptadd.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptadd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptadd.da	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
dvmptcmul.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
dvmptcmul	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐶 · 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐶 · 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem dvmptcmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptadd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvmptcmul.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3	2	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
4		0cnd 11165	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℂ)
5	2	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐶 ∈ ℂ)
6		0cnd 11165	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℂ)
7	1, 2	dvmptc 26007	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0))
8		dvmptadd.da	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
9	8	dmeqd 5877	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
10		dvmptadd.b	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
11	10	ralrimiva 3153	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ 𝑉)
12		dmmptg 6223	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = 𝑋)
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = 𝑋)
14	9, 13	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = 𝑋)
15		dvbsss 25951	. . . . 5 ⊢ dom (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ⊆ 𝑆
16	14, 15	eqsstrrdi 3979	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
17		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
18		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
19	18	cnfldtopon 24829	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
20		recnprss 25953	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
21	1, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
22		resttopon 23208	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
23	19, 21, 22	sylancr 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
24		topontop 22960	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
26		toponuni 22961	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
27	23, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
28	16, 27	sseqtrd 3970	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
29		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
30	29	ntrss2 23104	. . . . . 6 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
31	25, 28, 30	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
32		dvmptadd.a	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
33	32	fmpttd 7090	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
34	21, 33, 16, 17, 18	dvbssntr 25949	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
35	14, 34	eqsstrrd 3969	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
36	31, 35	eqssd 3951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) = 𝑋)
37	1, 5, 6, 7, 16, 17, 18, 36	dvmptres2 26011	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
38	1, 3, 4, 37, 32, 10, 8	dvmptmul 26010	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐶 · 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶))))
39	32	mul02d 11374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 · 𝐴) = 0)
40	39	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶)) = (0 + (𝐵 · 𝐶)))
41	1, 32, 10, 8	dvmptcl 26008	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
42	41, 3	mulcld 11195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
43	42	addlidd 11377	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 + (𝐵 · 𝐶)) = (𝐵 · 𝐶))
44	41, 3	mulcomd 11196	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
45	40, 43, 44	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶)) = (𝐶 · 𝐵))
46	45	mpteq2dva 5190	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐶 · 𝐵)))
47	38, 46	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐶 · 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐶 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075   ⊆ wss 3902  {cpr 4581  ∪ cuni 4862   ↦ cmpt 5178  dom cdm 5643  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  ℂcc 11064  ℝcr 11065  0cc0 11066   + caddc 11069   · cmul 11071   ↾_t crest 17439  TopOpenctopn 17440  ℂ_fldccnfld 21411  Topctop 22940  TopOnctopon 22957  intcnt 23064   D cdv 25912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144  ax-addf 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9301  df-fi 9350  df-sup 9381  df-inf 9382  df-oi 9451  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-q 12943  df-rp 12987  df-xneg 13107  df-xadd 13108  df-xmul 13109  df-icc 13349  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14337  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-struct 17173  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17522  df-qtop 17527  df-imas 17528  df-xps 17530  df-mre 17604  df-mrc 17605  df-acs 17607  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-submnd 18808  df-mulg 19100  df-cntz 19347  df-cmn 19812  df-psmet 21403  df-xmet 21404  df-met 21405  df-bl 21406  df-mopn 21407  df-fbas 21408  df-fg 21409  df-cnfld 21412  df-top 22941  df-topon 22958  df-topsp 22980  df-bases 22993  df-cld 23066  df-ntr 23067  df-cls 23068  df-nei 23145  df-lp 23183  df-perf 23184  df-cn 23274  df-cnp 23275  df-haus 23362  df-tx 23609  df-hmeo 23802  df-fil 23893  df-fm 23985  df-flim 23986  df-flf 23987  df-xms 24367  df-ms 24368  df-tms 24369  df-cncf 24927  df-limc 25915  df-dv 25916

This theorem is referenced by:  dvmptdivc  26014  dvmptneg  26015  dvmptre  26018  dvmptim  26019  dvsincos  26030  cmvth  26040  dvlipcn  26043  dvivthlem1  26057  dvfsumle  26070  dvfsumabs  26072  dvfsumlem2  26076  dvply1  26335  dvtaylp  26420  pserdvlem2  26478  pige3ALT  26572  dvcxp1  26792  dvcxp2  26793  dvcncxp1  26795  dvatan  26987  divsqrtsumlem  27031  lgamgulmlem2  27081  logexprlim  27276  log2sumbnd  27595  itgexpif  34860  dvasin  38163  areacirclem1  38167  lcmineqlem12  42617  aks4d1p1p6  42650  lhe4.4ex1a  44865  expgrowthi  44869  expgrowth  44871  fourierdlem39  46680