Theorem dvmptcmul 26092

Description: Function-builder for derivative, product rule for constant multiplier. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptadd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptadd.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptadd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptadd.da	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
dvmptcmul.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
dvmptcmul	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐶 · 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐶 · 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem dvmptcmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptadd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvmptcmul.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3	2	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
4		0cnd 11199	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℂ)
5	2	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐶 ∈ ℂ)
6		0cnd 11199	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℂ)
7	1, 2	dvmptc 26086	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0))
8		dvmptadd.da	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
9	8	dmeqd 5896	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
10		dvmptadd.b	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
11	10	ralrimiva 3163	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ 𝑉)
12		dmmptg 6244	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = 𝑋)
13	11, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = 𝑋)
14	9, 13	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = 𝑋)
15		dvbsss 26030	. . . . 5 ⊢ dom (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ⊆ 𝑆
16	14, 15	eqsstrrdi 3988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
17		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
18		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
19	18	cnfldtopon 24908	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
20		recnprss 26032	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
21	1, 20	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
22		resttopon 23287	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
23	19, 21, 22	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
24		topontop 23039	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
25	23, 24	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
26		toponuni 23040	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
27	23, 26	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
28	16, 27	sseqtrd 3979	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
29		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
30	29	ntrss2 23183	. . . . . 6 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
31	25, 28, 30	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
32		dvmptadd.a	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
33	32	fmpttd 7111	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
34	21, 33, 16, 17, 18	dvbssntr 26028	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
35	14, 34	eqsstrrd 3978	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋))
36	31, 35	eqssd 3960	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) = 𝑋)
37	1, 5, 6, 7, 16, 17, 18, 36	dvmptres2 26090	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
38	1, 3, 4, 37, 32, 10, 8	dvmptmul 26089	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐶 · 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶))))
39	32	mul02d 11408	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 · 𝐴) = 0)
40	39	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶)) = (0 + (𝐵 · 𝐶)))
41	1, 32, 10, 8	dvmptcl 26087	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
42	41, 3	mulcld 11229	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
43	42	addlidd 11411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 + (𝐵 · 𝐶)) = (𝐵 · 𝐶))
44	41, 3	mulcomd 11230	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
45	40, 43, 44	3eqtrd 2808	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶)) = (𝐶 · 𝐵))
46	45	mpteq2dva 5206	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((0 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐶 · 𝐵)))
47	38, 46	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐶 · 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐶 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ⊆ wss 3911  {cpr 4594  ∪ cuni 4874   ↦ cmpt 5194  dom cdm 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  ℝcr 11099  0cc0 11100   + caddc 11103   · cmul 11105   ↾_t crest 17473  TopOpenctopn 17474  ℂ_fldccnfld 21491  Topctop 23019  TopOnctopon 23036  intcnt 23143   D cdv 25991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-mulg 19134  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cld 23145  df-ntr 23146  df-cls 23147  df-nei 23224  df-lp 23262  df-perf 23263  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-haus 23441  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-fil 23972  df-fm 24064  df-flim 24065  df-flf 24066  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448  df-cncf 25006  df-limc 25994  df-dv 25995

This theorem is referenced by:  dvmptdivc  26093  dvmptneg  26094  dvmptre  26097  dvmptim  26098  dvsincos  26109  cmvth  26119  dvlipcn  26122  dvivthlem1  26136  dvfsumle  26149  dvfsumabs  26151  dvfsumlem2  26155  dvply1  26414  dvtaylp  26499  pserdvlem2  26557  pige3ALT  26651  dvcxp1  26871  dvcxp2  26872  dvcncxp1  26874  dvatan  27066  divsqrtsumlem  27110  lgamgulmlem2  27160  logexprlim  27355  log2sumbnd  27674  itgexpif  34938  dvasin  38278  areacirclem1  38282  lcmineqlem12  42732  aks4d1p1p6  42765  lhe4.4ex1a  44966  expgrowthi  44970  expgrowth  44972  fourierdlem39  46787