MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipval3 27955
Description: Expansion of the inner product value ipval 27949. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipfval.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dipfval.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
dipfval.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
dipfval.6 𝑁 = (normCV𝑈)
dipfval.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ipval3.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
Assertion
Ref Expression
ipval3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = (((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2)))) / 4))

Proof of Theorem ipval3
StepHypRef Expression
1 dipfval.1 . . 3 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 dipfval.2 . . 3 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
3 dipfval.4 . . 3 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 dipfval.6 . . 3 𝑁 = (normCV𝑈)
5 dipfval.7 . . 3 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
61, 2, 3, 4, 5ipval2 27953 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = (((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))) / 4))
7 ipval3.3 . . . . . . . 8 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
81, 2, 3, 7nvmval 27888 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))
98fveq2d 6379 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝐵)) = (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))
109oveq1d 6857 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2))
1110oveq2d 6858 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) = (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)))
12 ax-icn 10248 . . . . . . . . . . . 12 i ∈ ℂ
131, 3nvscl 27872 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
1412, 13mp3an2 1573 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
15143adant2 1161 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
161, 2, 3, 7nvmval 27888 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀(i𝑆𝐵)) = (𝐴𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐵))))
1715, 16syld3an3 1528 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑀(i𝑆𝐵)) = (𝐴𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐵))))
1812mulm1i 10729 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 · i) = -i
1918oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 · i)𝑆𝐵) = (-i𝑆𝐵)
20 neg1cn 11393 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 ∈ ℂ
211, 3nvsass 27874 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → ((-1 · i)𝑆𝐵) = (-1𝑆(i𝑆𝐵)))
2220, 21mp3anr1 1582 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (i ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → ((-1 · i)𝑆𝐵) = (-1𝑆(i𝑆𝐵)))
2312, 22mpanr1 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → ((-1 · i)𝑆𝐵) = (-1𝑆(i𝑆𝐵)))
2419, 23syl5reqr 2814 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (-1𝑆(i𝑆𝐵)) = (-i𝑆𝐵))
25243adant2 1161 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-1𝑆(i𝑆𝐵)) = (-i𝑆𝐵))
2625oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐵))) = (𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))
2717, 26eqtrd 2799 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑀(i𝑆𝐵)) = (𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))
2827fveq2d 6379 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵))) = (𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵))))
2928oveq1d 6857 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2))
3029oveq2d 6858 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2)) = (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))
3130oveq2d 6858 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2))) = (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2))))
3211, 31oveq12d 6860 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2)))) = ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))))
3332oveq1d 6857 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2)))) / 4) = (((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))) / 4))
346, 33eqtr4d 2802 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = (((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2)))) / 4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  1c1 10190  ici 10191   + caddc 10192   · cmul 10194  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  2c2 11327  4c4 11329  cexp 13067  NrmCVeccnv 27830   +𝑣 cpv 27831  BaseSetcba 27832   ·𝑠OLD cns 27833  𝑣 cnsb 27835  normCVcnmcv 27836  ·𝑖OLDcdip 27946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-sum 14704  df-grpo 27739  df-gid 27740  df-ginv 27741  df-gdiv 27742  df-ablo 27791  df-vc 27805  df-nv 27838  df-va 27841  df-ba 27842  df-sm 27843  df-0v 27844  df-vs 27845  df-nmcv 27846  df-dip 27947
This theorem is referenced by:  hhip  28425
  Copyright terms: Public domain W3C validator