Theorem ipval3 31190

Description: Expansion of the inner product value ipval 31184. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dipfval.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dipfval.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
dipfval.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
dipfval.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
dipfval.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ipval3.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
ipval3	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = (((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2)))) / 4))

Proof of Theorem ipval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dipfval.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		dipfval.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		dipfval.4	. . 3 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		dipfval.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
5		dipfval.7	. . 3 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
6	1, 2, 3, 4, 5	ipval2 31188	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = (((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))) / 4))
7		ipval3.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
8	1, 2, 3, 7	nvmval 31123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))
9	8	fveq2d 6882	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝐵)) = (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))
10	9	oveq1d 7428	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2))
11	10	oveq2d 7429	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) = (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)))
12		ax-icn 11183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
13	1, 3	nvscl 31107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
14	12, 13	mp3an2 1478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
15	14	3adant2 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
16	1, 2, 3, 7	nvmval 31123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀(i𝑆𝐵)) = (𝐴𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐵))))
17	15, 16	syld3an3 1436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀(i𝑆𝐵)) = (𝐴𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐵))))
18		neg1cn 12227	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -1 ∈ ℂ
19	1, 3	nvsass 31109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((-1 · i)𝑆𝐵) = (-1𝑆(i𝑆𝐵)))
20	18, 19	mp3anr1 1487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((-1 · i)𝑆𝐵) = (-1𝑆(i𝑆𝐵)))
21	12, 20	mpanr1 716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((-1 · i)𝑆𝐵) = (-1𝑆(i𝑆𝐵)))
22	12	mulm1i 11683	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-1 · i) = -i
23	22	oveq1i 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 · i)𝑆𝐵) = (-i𝑆𝐵)
24	21, 23	eqtr3di 2810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1𝑆(i𝑆𝐵)) = (-i𝑆𝐵))
25	24	3adant2 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1𝑆(i𝑆𝐵)) = (-i𝑆𝐵))
26	25	oveq2d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐵))) = (𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))
27	17, 26	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀(i𝑆𝐵)) = (𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))
28	27	fveq2d 6882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵))) = (𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵))))
29	28	oveq1d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2))
30	29	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2)) = (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))
31	30	oveq2d 7429	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2))) = (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2))))
32	11, 31	oveq12d 7431	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2)))) = ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))))
33	32	oveq1d 7428	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2)))) / 4) = (((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))) / 4))
34	6, 33	eqtr4d 2798	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = (((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2)))) / 4))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  1c1 11125  ici 11126   + caddc 11127   · cmul 11129   − cmin 11465  -cneg 11466   / cdiv 11895  2c2 12319  4c4 12321  ↑cexp 14125  NrmCVeccnv 31065   +_𝑣 cpv 31066  BaseSetcba 31067   ·_𝑠OLD cns 31068   −_𝑣 cnsb 31070  norm_CVcnmcv 31071  ·_𝑖OLDcdip 31181

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-sum 15774  df-grpo 30974  df-gid 30975  df-ginv 30976  df-gdiv 30977  df-ablo 31026  df-vc 31040  df-nv 31073  df-va 31076  df-ba 31077  df-sm 31078  df-0v 31079  df-vs 31080  df-nmcv 31081  df-dip 31182

This theorem is used by:  hhip  31658