MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipval3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipval3 30532
Description: Expansion of the inner product value ipval 30526. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipfval.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
dipfval.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
dipfval.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
dipfval.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
dipfval.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
ipval3.3 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
ipval3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) = (((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝑀(i𝑆𝐡)))↑2)))) / 4))
Proof of Theorem ipval3
StepHypRef Expression
1 dipfval.1 . . 3 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 dipfval.2 . . 3 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
3 dipfval.4 . . 3 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
4 dipfval.6 . . 3 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
5 dipfval.7 . . 3 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
61, 2, 3, 4, 5ipval2 30530 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) = (((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))) / 4))
7 ipval3.3 . . . . . . . 8 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
81, 2, 3, 7nvmval 30465 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀𝐡) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))
98fveq2d 6901 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝐡)) = (π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))))
109oveq1d 7435 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝐡))↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2))
1110oveq2d 7436 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝐡))↑2)) = (((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)))
12 ax-icn 11198 . . . . . . . . . . . 12 i ∈ β„‚
131, 3nvscl 30449 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
1412, 13mp3an2 1446 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
15143adant2 1129 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
161, 2, 3, 7nvmval 30465 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀(i𝑆𝐡)) = (𝐴𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐡))))
1715, 16syld3an3 1407 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀(i𝑆𝐡)) = (𝐴𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐡))))
18 neg1cn 12357 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 ∈ β„‚
191, 3nvsass 30451 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((-1 Β· i)𝑆𝐡) = (-1𝑆(i𝑆𝐡)))
2018, 19mp3anr1 1455 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (i ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((-1 Β· i)𝑆𝐡) = (-1𝑆(i𝑆𝐡)))
2112, 20mpanr1 702 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((-1 Β· i)𝑆𝐡) = (-1𝑆(i𝑆𝐡)))
2212mulm1i 11690 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 Β· i) = -i
2322oveq1i 7430 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 Β· i)𝑆𝐡) = (-i𝑆𝐡)
2421, 23eqtr3di 2783 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆(i𝑆𝐡)) = (-i𝑆𝐡))
25243adant2 1129 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆(i𝑆𝐡)) = (-i𝑆𝐡))
2625oveq2d 7436 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐡))) = (𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))
2717, 26eqtrd 2768 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀(i𝑆𝐡)) = (𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))
2827fveq2d 6901 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀(i𝑆𝐡))) = (π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡))))
2928oveq1d 7435 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝑀(i𝑆𝐡)))↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))
3029oveq2d 7436 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝑀(i𝑆𝐡)))↑2)) = (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))
3130oveq2d 7436 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝑀(i𝑆𝐡)))↑2))) = (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2))))
3211, 31oveq12d 7438 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝑀(i𝑆𝐡)))↑2)))) = ((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))))
3332oveq1d 7435 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝑀(i𝑆𝐡)))↑2)))) / 4) = (((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐡)))↑2)))) / 4))
346, 33eqtr4d 2771 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) = (((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝑀(i𝑆𝐡)))↑2)))) / 4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11137  1c1 11140  ici 11141   + caddc 11142   Β· cmul 11144   βˆ’ cmin 11475  -cneg 11476   / cdiv 11902  2c2 12298  4c4 12300  β†‘cexp 14059  NrmCVeccnv 30407   +𝑣 cpv 30408  BaseSetcba 30409   ·𝑠OLD cns 30410   βˆ’π‘£ cnsb 30412  normCVcnmcv 30413  Β·π‘–OLDcdip 30523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666  df-grpo 30316  df-gid 30317  df-ginv 30318  df-gdiv 30319  df-ablo 30368  df-vc 30382  df-nv 30415  df-va 30418  df-ba 30419  df-sm 30420  df-0v 30421  df-vs 30422  df-nmcv 30423  df-dip 30524
This theorem is referenced by:  hhip  31000
  Copyright terms: Public domain W3C validator