MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipval3 30738
Description: Expansion of the inner product value ipval 30732. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipfval.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dipfval.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
dipfval.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
dipfval.6 𝑁 = (normCV𝑈)
dipfval.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ipval3.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
Assertion
Ref Expression
ipval3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = (((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2)))) / 4))

Proof of Theorem ipval3
StepHypRef Expression
1 dipfval.1 . . 3 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 dipfval.2 . . 3 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
3 dipfval.4 . . 3 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 dipfval.6 . . 3 𝑁 = (normCV𝑈)
5 dipfval.7 . . 3 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
61, 2, 3, 4, 5ipval2 30736 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = (((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))) / 4))
7 ipval3.3 . . . . . . . 8 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
81, 2, 3, 7nvmval 30671 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))
98fveq2d 6911 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝐵)) = (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))
109oveq1d 7446 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2))
1110oveq2d 7447 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) = (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)))
12 ax-icn 11212 . . . . . . . . . . . 12 i ∈ ℂ
131, 3nvscl 30655 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
1412, 13mp3an2 1448 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
15143adant2 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
161, 2, 3, 7nvmval 30671 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀(i𝑆𝐵)) = (𝐴𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐵))))
1715, 16syld3an3 1408 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑀(i𝑆𝐵)) = (𝐴𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐵))))
18 neg1cn 12378 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 ∈ ℂ
191, 3nvsass 30657 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → ((-1 · i)𝑆𝐵) = (-1𝑆(i𝑆𝐵)))
2018, 19mp3anr1 1457 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (i ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → ((-1 · i)𝑆𝐵) = (-1𝑆(i𝑆𝐵)))
2112, 20mpanr1 703 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → ((-1 · i)𝑆𝐵) = (-1𝑆(i𝑆𝐵)))
2212mulm1i 11706 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 · i) = -i
2322oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 · i)𝑆𝐵) = (-i𝑆𝐵)
2421, 23eqtr3di 2790 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (-1𝑆(i𝑆𝐵)) = (-i𝑆𝐵))
25243adant2 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-1𝑆(i𝑆𝐵)) = (-i𝑆𝐵))
2625oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐵))) = (𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))
2717, 26eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑀(i𝑆𝐵)) = (𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))
2827fveq2d 6911 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵))) = (𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵))))
2928oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2))
3029oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2)) = (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))
3130oveq2d 7447 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2))) = (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2))))
3211, 31oveq12d 7449 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2)))) = ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))))
3332oveq1d 7446 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2)))) / 4) = (((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))) / 4))
346, 33eqtr4d 2778 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = (((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2)))) / 4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154  ici 11155   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  4c4 12321  cexp 14099  NrmCVeccnv 30613   +𝑣 cpv 30614  BaseSetcba 30615   ·𝑠OLD cns 30616  𝑣 cnsb 30618  normCVcnmcv 30619  ·𝑖OLDcdip 30729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-dip 30730
This theorem is referenced by:  hhip  31206
  Copyright terms: Public domain W3C validator