Theorem ipval3 30795

Description: Expansion of the inner product value ipval 30789. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dipfval.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
dipfval.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
dipfval.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
dipfval.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
dipfval.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ipval3.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
ipval3	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = (((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2)))) / 4))

Proof of Theorem ipval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dipfval.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		dipfval.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		dipfval.4	. . 3 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		dipfval.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
5		dipfval.7	. . 3 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
6	1, 2, 3, 4, 5	ipval2 30793	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = (((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))) / 4))
7		ipval3.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
8	1, 2, 3, 7	nvmval 30728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))
9	8	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝐵)) = (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))
10	9	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2))
11	10	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) = (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)))
12		ax-icn 11088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
13	1, 3	nvscl 30712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
14	12, 13	mp3an2 1452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
15	14	3adant2 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
16	1, 2, 3, 7	nvmval 30728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀(i𝑆𝐵)) = (𝐴𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐵))))
17	15, 16	syld3an3 1412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀(i𝑆𝐵)) = (𝐴𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐵))))
18		neg1cn 12135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -1 ∈ ℂ
19	1, 3	nvsass 30714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((-1 · i)𝑆𝐵) = (-1𝑆(i𝑆𝐵)))
20	18, 19	mp3anr1 1461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((-1 · i)𝑆𝐵) = (-1𝑆(i𝑆𝐵)))
21	12, 20	mpanr1 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((-1 · i)𝑆𝐵) = (-1𝑆(i𝑆𝐵)))
22	12	mulm1i 11586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-1 · i) = -i
23	22	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 · i)𝑆𝐵) = (-i𝑆𝐵)
24	21, 23	eqtr3di 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1𝑆(i𝑆𝐵)) = (-i𝑆𝐵))
25	24	3adant2 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1𝑆(i𝑆𝐵)) = (-i𝑆𝐵))
26	25	oveq2d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐵))) = (𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))
27	17, 26	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀(i𝑆𝐵)) = (𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))
28	27	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵))) = (𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵))))
29	28	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2))
30	29	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2)) = (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))
31	30	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2))) = (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2))))
32	11, 31	oveq12d 7378	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2)))) = ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))))
33	32	oveq1d 7375	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2)))) / 4) = (((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐵)))↑2)))) / 4))
34	6, 33	eqtr4d 2775	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = (((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝑀(i𝑆𝐵)))↑2)))) / 4))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  1c1 11030  ici 11031   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368  -cneg 11369   / cdiv 11798  2c2 12227  4c4 12229  ↑cexp 14014  NrmCVeccnv 30670   +_𝑣 cpv 30671  BaseSetcba 30672   ·_𝑠OLD cns 30673   −_𝑣 cnsb 30675  norm_CVcnmcv 30676  ·_𝑖OLDcdip 30786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-grpo 30579  df-gid 30580  df-ginv 30581  df-gdiv 30582  df-ablo 30631  df-vc 30645  df-nv 30678  df-va 30681  df-ba 30682  df-sm 30683  df-0v 30684  df-vs 30685  df-nmcv 30686  df-dip 30787

This theorem is referenced by:  hhip  31263