Theorem dipsubdir 30823

Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipsubdir.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipsubdir.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
ipsubdir.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dipsubdir	⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) − (𝐵𝑃𝐶)))

Proof of Theorem dipsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idd 24	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ 𝑋))
2		phnv 30789	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
3		neg1cn 12107	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		ipsubdir.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
6	4, 5	nvscl 30601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
7	3, 6	mp3an2 1451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
8	2, 7	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
9	8	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → (𝐵 ∈ 𝑋 → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋))
10		idd 24	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → (𝐶 ∈ 𝑋 → 𝐶 ∈ 𝑋))
11	1, 9, 10	3anim123d 1445	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)))
12	11	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
13		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
14		ipsubdir.7	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
15	4, 13, 14	dipdir 30817	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶)))
16	12, 15	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶)))
17		ipsubdir.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
18	4, 13, 5, 17	nvmval 30617	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
19	2, 18	syl3an1 1163	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
20	19	3adant3r3 1185	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
21	20	oveq1d 7361	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))𝑃𝐶))
22	4, 5, 14	dipass 30820	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶) = (-1 · (𝐵𝑃𝐶)))
23	3, 22	mp3anr1 1460	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶) = (-1 · (𝐵𝑃𝐶)))
24	4, 14	dipcl 30687	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ)
25	24	3expb 1120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ)
26	2, 25	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ)
27	26	mulm1d 11566	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (-1 · (𝐵𝑃𝐶)) = -(𝐵𝑃𝐶))
28	23, 27	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶) = -(𝐵𝑃𝐶))
29	28	3adantr1 1170	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶) = -(𝐵𝑃𝐶))
30	29	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑃𝐶) + ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐶) + -(𝐵𝑃𝐶)))
31	4, 14	dipcl 30687	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ)
32	31	3adant3r2 1184	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ)
33	24	3adant3r1 1183	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ)
34	32, 33	negsubd 11475	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑃𝐶) + -(𝐵𝑃𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐶) − (𝐵𝑃𝐶)))
35	2, 34	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑃𝐶) + -(𝐵𝑃𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐶) − (𝐵𝑃𝐶)))
36	30, 35	eqtr2d 2767	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑃𝐶) − (𝐵𝑃𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐶) + ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶)))
37	16, 21, 36	3eqtr4d 2776	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) − (𝐵𝑃𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  1c1 11004   + caddc 11006   · cmul 11008   − cmin 11341  -cneg 11342  NrmCVeccnv 30559   +_𝑣 cpv 30560  BaseSetcba 30561   ·_𝑠OLD cns 30562   −_𝑣 cnsb 30564  ·_𝑖OLDcdip 30675  CPreHil_OLDccphlo 30787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082  ax-mulf 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-ioo 13246  df-icc 13249  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-seq 13906  df-exp 13966  df-hash 14235  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-clim 15392  df-sum 15591  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-hom 17182  df-cco 17183  df-rest 17323  df-topn 17324  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-topgen 17344  df-pt 17345  df-prds 17348  df-xrs 17403  df-qtop 17408  df-imas 17409  df-xps 17411  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-mulg 18978  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-cnfld 21290  df-top 22807  df-topon 22824  df-topsp 22846  df-bases 22859  df-cld 22932  df-ntr 22933  df-cls 22934  df-cn 23140  df-cnp 23141  df-t1 23227  df-haus 23228  df-tx 23475  df-hmeo 23668  df-xms 24233  df-ms 24234  df-tms 24235  df-grpo 30468  df-gid 30469  df-ginv 30470  df-gdiv 30471  df-ablo 30520  df-vc 30534  df-nv 30567  df-va 30570  df-ba 30571  df-sm 30572  df-0v 30573  df-vs 30574  df-nmcv 30575  df-ims 30576  df-dip 30676  df-ph 30788

This theorem is referenced by:  dipsubdi  30824  siilem1  30826