Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipsubdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dipsubdir 28275
 Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipsubdir.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipsubdir.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
ipsubdir.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
dipsubdir ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) − (𝐵𝑃𝐶)))

Proof of Theorem dipsubdir
StepHypRef Expression
1 idd 24 . . . . 5 (𝑈 ∈ CPreHilOLD → (𝐴𝑋𝐴𝑋))
2 phnv 28241 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
3 neg1cn 11496 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℂ
4 ipsubdir.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5 eqid 2778 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
64, 5nvscl 28053 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
73, 6mp3an2 1522 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
82, 7sylan 575 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝐵𝑋) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
98ex 403 . . . . 5 (𝑈 ∈ CPreHilOLD → (𝐵𝑋 → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵) ∈ 𝑋))
10 idd 24 . . . . 5 (𝑈 ∈ CPreHilOLD → (𝐶𝑋𝐶𝑋))
111, 9, 103anim123d 1516 . . . 4 (𝑈 ∈ CPreHilOLD → ((𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐴𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵) ∈ 𝑋𝐶𝑋)))
1211imp 397 . . 3 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵) ∈ 𝑋𝐶𝑋))
13 eqid 2778 . . . 4 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
14 ipsubdir.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
154, 13, 14dipdir 28269 . . 3 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵) ∈ 𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)𝑃𝐶)))
1612, 15syldan 585 . 2 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)𝑃𝐶)))
17 ipsubdir.3 . . . . . 6 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
184, 13, 5, 17nvmval 28069 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))
192, 18syl3an1 1163 . . . 4 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))
20193adant3r3 1192 . . 3 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))
2120oveq1d 6937 . 2 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))𝑃𝐶))
224, 5, 14dipass 28272 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)𝑃𝐶) = (-1 · (𝐵𝑃𝐶)))
233, 22mp3anr1 1531 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)𝑃𝐶) = (-1 · (𝐵𝑃𝐶)))
244, 14dipcl 28139 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ)
25243expb 1110 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ)
262, 25sylan 575 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ)
2726mulm1d 10827 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (-1 · (𝐵𝑃𝐶)) = -(𝐵𝑃𝐶))
2823, 27eqtrd 2814 . . . . 5 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)𝑃𝐶) = -(𝐵𝑃𝐶))
29283adantr1 1171 . . . 4 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)𝑃𝐶) = -(𝐵𝑃𝐶))
3029oveq2d 6938 . . 3 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝑃𝐶) + ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)𝑃𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐶) + -(𝐵𝑃𝐶)))
314, 14dipcl 28139 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐶𝑋) → (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ)
32313adant3r2 1191 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ)
33243adant3r1 1190 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ)
3432, 33negsubd 10740 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝑃𝐶) + -(𝐵𝑃𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐶) − (𝐵𝑃𝐶)))
352, 34sylan 575 . . 3 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝑃𝐶) + -(𝐵𝑃𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐶) − (𝐵𝑃𝐶)))
3630, 35eqtr2d 2815 . 2 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝑃𝐶) − (𝐵𝑃𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐶) + ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)𝑃𝐶)))
3716, 21, 363eqtr4d 2824 1 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) − (𝐵𝑃𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277   − cmin 10606  -cneg 10607  NrmCVeccnv 28011   +𝑣 cpv 28012  BaseSetcba 28013   ·𝑠OLD cns 28014   −𝑣 cnsb 28016  ·𝑖OLDcdip 28127  CPreHilOLDccphlo 28239 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-sum 14825  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-t1 21526  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-grpo 27920  df-gid 27921  df-ginv 27922  df-gdiv 27923  df-ablo 27972  df-vc 27986  df-nv 28019  df-va 28022  df-ba 28023  df-sm 28024  df-0v 28025  df-vs 28026  df-nmcv 28027  df-ims 28028  df-dip 28128  df-ph 28240 This theorem is referenced by:  dipsubdi  28276  siilem1  28278
 Copyright terms: Public domain W3C validator