Theorem dipsubdir 31456

Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipsubdir.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipsubdir.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
ipsubdir.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dipsubdir	⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) − (𝐵𝑃𝐶)))

Proof of Theorem dipsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idd 25	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ 𝑋))
2		phnv 31422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
3		neg1cn 12309	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		ipsubdir.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
6	4, 5	nvscl 31234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
7	3, 6	mp3an2 1478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
8	2, 7	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
9	8	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → (𝐵 ∈ 𝑋 → ( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋))
10		idd 25	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → (𝐶 ∈ 𝑋 → 𝐶 ∈ 𝑋))
11	1, 9, 10	3anim123d 1471	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)))
12	11	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
13		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
14		ipsubdir.7	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
15	4, 13, 14	dipdir 31450	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶)))
16	12, 15	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + (( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶)))
17		ipsubdir.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
18	4, 13, 5, 17	nvmval 31250	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
19	2, 18	syl3an1 1181	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
20	19	3adant3r3 1203	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
21	20	oveq1d 7436	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴( +𝑣 ‘𝑈)( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))𝑃𝐶))
22	4, 5, 14	dipass 31453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ( -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶) = ( -1 · (𝐵𝑃𝐶)))
23	3, 22	mp3anr1 1487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶) = ( -1 · (𝐵𝑃𝐶)))
24	4, 14	dipcl 31320	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ)
25	24	3expb 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ)
26	2, 25	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ)
27	26	mulm1d 11772	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ( -1 · (𝐵𝑃𝐶)) = -(𝐵𝑃𝐶))
28	23, 27	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶) = -(𝐵𝑃𝐶))
29	28	3adantr1 1188	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶) = -(𝐵𝑃𝐶))
30	29	oveq2d 7437	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑃𝐶) + (( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐶) + -(𝐵𝑃𝐶)))
31	4, 14	dipcl 31320	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ)
32	31	3adant3r2 1202	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ)
33	24	3adant3r1 1201	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ)
34	32, 33	negsubd 11679	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑃𝐶) + -(𝐵𝑃𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐶) − (𝐵𝑃𝐶)))
35	2, 34	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑃𝐶) + -(𝐵𝑃𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐶) − (𝐵𝑃𝐶)))
36	30, 35	eqtr2d 2796	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑃𝐶) − (𝐵𝑃𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐶) + (( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶)))
37	16, 21, 36	3eqtr4d 2805	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) − (𝐵𝑃𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209   − cmin 11545   -cneg 11546  NrmCVeccnv 31192   +_𝑣 cpv 31193  BaseSetcba 31194   ·_𝑠OLD cns 31195   −_𝑣 cnsb 31197  ·_𝑖OLDcdip 31308  CPreHil_OLDccphlo 31420

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282  ax-addf 11283  ax-mulf 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-fi 9407  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-ioo 13484  df-icc 13487  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-seq 14149  df-exp 14209  df-hash 14479  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-clim 15661  df-sum 15860  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-unif 17457  df-hom 17458  df-cco 17459  df-rest 17599  df-topn 17600  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-topgen 17620  df-pt 17621  df-prds 17624  df-xrs 17680  df-qtop 17685  df-imas 17686  df-xps 17688  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-submnd 18985  df-mulg 19284  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-cnfld 21685  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-cld 23343  df-ntr 23344  df-cls 23345  df-cn 23551  df-cnp 23552  df-t1 23638  df-haus 23639  df-tx 23887  df-hmeo 24080  df-xms 24645  df-ms 24646  df-tms 24647  df-grpo 31101  df-gid 31102  df-ginv 31103  df-gdiv 31104  df-ablo 31153  df-vc 31167  df-nv 31200  df-va 31203  df-ba 31204  df-sm 31205  df-0v 31206  df-vs 31207  df-nmcv 31208  df-ims 31209  df-dip 31309  df-ph 31421

This theorem is used by:  dipsubdi  31457  siilem1  31459