Theorem dipsubdir 30877

Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipsubdir.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipsubdir.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
ipsubdir.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dipsubdir	⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) − (𝐵𝑃𝐶)))

Proof of Theorem dipsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idd 24	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ 𝑋))
2		phnv 30843	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
3		neg1cn 12378	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		ipsubdir.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
6	4, 5	nvscl 30655	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
7	3, 6	mp3an2 1448	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
8	2, 7	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
9	8	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → (𝐵 ∈ 𝑋 → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋))
10		idd 24	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → (𝐶 ∈ 𝑋 → 𝐶 ∈ 𝑋))
11	1, 9, 10	3anim123d 1442	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)))
12	11	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
13		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
14		ipsubdir.7	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
15	4, 13, 14	dipdir 30871	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶)))
16	12, 15	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶)))
17		ipsubdir.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
18	4, 13, 5, 17	nvmval 30671	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
19	2, 18	syl3an1 1162	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
20	19	3adant3r3 1183	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
21	20	oveq1d 7446	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))𝑃𝐶))
22	4, 5, 14	dipass 30874	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶) = (-1 · (𝐵𝑃𝐶)))
23	3, 22	mp3anr1 1457	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶) = (-1 · (𝐵𝑃𝐶)))
24	4, 14	dipcl 30741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ)
25	24	3expb 1119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ)
26	2, 25	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ)
27	26	mulm1d 11713	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (-1 · (𝐵𝑃𝐶)) = -(𝐵𝑃𝐶))
28	23, 27	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶) = -(𝐵𝑃𝐶))
29	28	3adantr1 1168	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶) = -(𝐵𝑃𝐶))
30	29	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑃𝐶) + ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐶) + -(𝐵𝑃𝐶)))
31	4, 14	dipcl 30741	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ)
32	31	3adant3r2 1182	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ)
33	24	3adant3r1 1181	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ)
34	32, 33	negsubd 11624	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑃𝐶) + -(𝐵𝑃𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐶) − (𝐵𝑃𝐶)))
35	2, 34	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑃𝐶) + -(𝐵𝑃𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐶) − (𝐵𝑃𝐶)))
36	30, 35	eqtr2d 2776	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑃𝐶) − (𝐵𝑃𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐶) + ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶)))
37	16, 21, 36	3eqtr4d 2785	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) − (𝐵𝑃𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   − cmin 11490  -cneg 11491  NrmCVeccnv 30613   +_𝑣 cpv 30614  BaseSetcba 30615   ·_𝑠OLD cns 30616   −_𝑣 cnsb 30618  ·_𝑖OLDcdip 30729  CPreHil_OLDccphlo 30841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-t1 23338  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-dip 30730  df-ph 30842

This theorem is referenced by:  dipsubdi  30878  siilem1  30880