MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipsubdir Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dipsubdir 30369
Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipsubdir.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ipsubdir.3 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
ipsubdir.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dipsubdir ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝑀𝐡)𝑃𝐢) = ((𝐴𝑃𝐢) βˆ’ (𝐡𝑃𝐢)))
Proof of Theorem dipsubdir
StepHypRef Expression
1 idd 24 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD β†’ (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ 𝐴 ∈ 𝑋))
2 phnv 30335 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
3 neg1cn 12331 . . . . . . . 8 -1 ∈ β„‚
4 ipsubdir.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
5 eqid 2731 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
64, 5nvscl 30147 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡) ∈ 𝑋)
73, 6mp3an2 1448 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡) ∈ 𝑋)
82, 7sylan 579 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡) ∈ 𝑋)
98ex 412 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD β†’ (𝐡 ∈ 𝑋 β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡) ∈ 𝑋))
10 idd 24 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD β†’ (𝐢 ∈ 𝑋 β†’ 𝐢 ∈ 𝑋))
111, 9, 103anim123d 1442 . . . 4 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡) ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)))
1211imp 406 . . 3 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡) ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋))
13 eqid 2731 . . . 4 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
14 ipsubdir.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
154, 13, 14dipdir 30363 . . 3 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡) ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡))𝑃𝐢) = ((𝐴𝑃𝐢) + ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐢)))
1612, 15syldan 590 . 2 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡))𝑃𝐢) = ((𝐴𝑃𝐢) + ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐢)))
17 ipsubdir.3 . . . . . 6 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
184, 13, 5, 17nvmval 30163 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀𝐡) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))
192, 18syl3an1 1162 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀𝐡) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))
20193adant3r3 1183 . . 3 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑀𝐡) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))
2120oveq1d 7427 . 2 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝑀𝐡)𝑃𝐢) = ((𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡))𝑃𝐢))
224, 5, 14dipass 30366 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (-1 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐢) = (-1 Β· (𝐡𝑃𝐢)))
233, 22mp3anr1 1457 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐢) = (-1 Β· (𝐡𝑃𝐢)))
244, 14dipcl 30233 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝑃𝐢) ∈ β„‚)
25243expb 1119 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝑃𝐢) ∈ β„‚)
262, 25sylan 579 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝑃𝐢) ∈ β„‚)
2726mulm1d 11671 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (-1 Β· (𝐡𝑃𝐢)) = -(𝐡𝑃𝐢))
2823, 27eqtrd 2771 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐢) = -(𝐡𝑃𝐢))
29283adantr1 1168 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐢) = -(𝐡𝑃𝐢))
3029oveq2d 7428 . . 3 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝑃𝐢) + ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐢)) = ((𝐴𝑃𝐢) + -(𝐡𝑃𝐢)))
314, 14dipcl 30233 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐢) ∈ β„‚)
32313adant3r2 1182 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑃𝐢) ∈ β„‚)
33243adant3r1 1181 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝑃𝐢) ∈ β„‚)
3432, 33negsubd 11582 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝑃𝐢) + -(𝐡𝑃𝐢)) = ((𝐴𝑃𝐢) βˆ’ (𝐡𝑃𝐢)))
352, 34sylan 579 . . 3 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝑃𝐢) + -(𝐡𝑃𝐢)) = ((𝐴𝑃𝐢) βˆ’ (𝐡𝑃𝐢)))
3630, 35eqtr2d 2772 . 2 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝑃𝐢) βˆ’ (𝐡𝑃𝐢)) = ((𝐴𝑃𝐢) + ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐢)))
3716, 21, 363eqtr4d 2781 1 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝑀𝐡)𝑃𝐢) = ((𝐴𝑃𝐢) βˆ’ (𝐡𝑃𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11112  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119   βˆ’ cmin 11449  -cneg 11450  NrmCVeccnv 30105   +𝑣 cpv 30106  BaseSetcba 30107   ·𝑠OLD cns 30108   βˆ’π‘£ cnsb 30110  Β·π‘–OLDcdip 30221  CPreHilOLDccphlo 30333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-t1 23039  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-grpo 30014  df-gid 30015  df-ginv 30016  df-gdiv 30017  df-ablo 30066  df-vc 30080  df-nv 30113  df-va 30116  df-ba 30117  df-sm 30118  df-0v 30119  df-vs 30120  df-nmcv 30121  df-ims 30122  df-dip 30222  df-ph 30334
This theorem is referenced by:  dipsubdi  30370  siilem1  30372
  Copyright terms: Public domain W3C validator